③数学第二章第一节函数的概念及其表示限时作业

2.1 函数概念1．函数的概念(1)义务教育阶段对函数的描述性概念在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．(2)用集合与对应语言刻画的函数概念给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．习惯上我们称y是x的函数．破疑点函数概念的理解函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，义务教育阶段函数的定义是从运动变化的观点出发，描述两个变量之间的制约关系的，高中阶段函数的定义是从集合的观点出发，对两个变量之间的对应关系加以说明．相比之下，义务教育阶段函数的定义更接近于生活，突出体现两个变量的相互依赖关系，高中阶段函数的定义更科学严谨，突出强调两个变量的取值及对应关系，也就是说高中阶段函数定义是初中阶段函数定义的发展．从高中阶段函数的定义可以看出，函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应．(3)函数符号f(x)的意义①符号“y＝f(x)”中的“f”表示对应关系，在不同的具体函数中，“f”的含义不一样，可以把函数的对应关系“f”形象地看作一个“暗箱”．例如f(x)＝x2，可以将其看作输入x，输出x2，于是“暗箱”相当于一个“平方机”的作用(如图所示)，则显然应该有f(a)＝a2，f(m＋1)＝(m＋1)2，f(x＋1)＝(x＋1)2.②符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为：x是自变量，它是对应关系f所施加的对象；f是对应关系，它常用一个解析式表示，但在某些问题中，对应关系不便用或不能用解析式来表示，这时，就必须采用其他方式，如图像、表格等；y是自变量x 的函数，当x允许取某一具体数值时，相应的y值为与该自变量值相对应的函数值；y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．③f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当自变量x＝a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．④在函数概念中，集合B不是函数的值域，值域是集合B的一个子集．(4)初中学过的正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数对照表：函数类型正比例函数一次函数对应关系y＝kx(k＞0)y＝kx(k＜0)y＝kx＋b(k＞0)y＝kx＋b(k＜0)图像定义域R R R R 值域R R R R函数类型二次函数反比例函数对应关系y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)kyx=(k＞0)kyx=(k＜0)图像定义域R R{x|x≠0}{x|x≠0}值域 244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭{y |y ≠0} {y |y ≠0}【例1－1】判断下列对应是否为集合A 到集合B 的函数？(1)A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x |；(2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； (3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ；(4)A ＝{－1,1}，B ＝{0}，f ：x →y ＝0.分析：判断一个对应是否为从一个集合到另一个集合的函数，只需判断按照对应关系，对于一个集合中的任何一个数，在另一个集合中是否都存在唯一确定的数与之对应．解：(1)A 中的元素0在B 中没有对应元素，故此对应不是集合A 到集合B 的函数；(2)对于集合A 中的任意一个整数x ，按照对应关系：f ：x →y ＝x 2在集合B 中都有唯一一个确定的整数x 2与其对应，故此对应是集合A 到集合B 的函数；(3)集合A 中的负整数没有算术平方根，在集合B 中没有对应的元素，故此对应不是集合A 到集合B 的函数；(4)对于集合A 中任意一个数，按照对应关系f ：x →y ＝0在集合B 中都有唯一一个确定的数0和它对应，故此对应是集合A 到集合B 的函数．解技巧 非函数关系的判断若在集合A 中存在元素，按照对应关系在集合B 中没有对应元素或存在一个以上的元素与之对应，则此对应不是从集合A 到集合B 的函数．【例1－2】下列各式中，y 是x 的函数的是( )．①1y x =- ②1y x =- ③11y x x =-+- ④y 2＝x 2A ．①②B ．①②③C ．①②③④D ．①③解析：③中变量x 的取值为∅，故不是函数；④中变量x 的一个值，可对应两个y 值，故也不是函数．答案：A解技巧 函数关系的判断判断两个变量之间的关系式是否为函数，关键看两点，一是变量的取值是否为空集，若是，一定不是函数；二是每一个自变量是否对应唯一的函数值．2．函数的三要素(1)定义域定义域是自变量x 的取值范围，是构成函数的一个不可缺少的组成部分．有时给出的函数没有明确说明定义域，这时，它的定义域就是自变量允许的取值范围，如果函数涉及实际问题，它的定义域还必须使实际问题有意义．例如：函数3x y x+=没有指出它的定义域，则我们认为它的定义域是{x |x ≥－3，且x ≠0}．又如：一矩形的宽为x ，长是宽的2倍，其面积为S ＝2x 2，定义域为{x |x ＞0}，而不是R .(2)对应关系函数符号“y ＝f (x )”是数学中的抽象符号之一，对应关系f 是函数的核心，它是对自变量x 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”，是连接x 与y 的纽带，按照这一“程序”，从定义域A 中任取一个x ，可得到值域{y |y ＝f (x )，x ∈A }中唯一的y 与之对应．同一“f ”可以“操作”于不同形式的变量，如f (x )是对x 实施“操作”，而f (x 2)是对x 2实施“操作”，f (2)是对2实施“操作”，f (a )是对a 实施“操作”．(3)值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它的值域也会随之确定．【例2－1】已知函数f(x)＝2x2－3x＋1，写出下列各式的结果：(1)f(0)＝________；(2)f(－2)＝________；(3)f(x－1)＝________；(4)f(2x)＝________.解析：(1)(2)均是求当自变量x取某个具体值时，函数f(x)的值，只需将所给的自变量值代入函数的解析式，便可求出f(0)＝2×02－3×0＋1＝1，f(－2)＝2×(－2)2－3×(－2)＋1＝15；而(3)和(4)中是分别用x－1和2x去取代函数自变量，即占据了函数f(x)自变量的位置，所以只需把函数f(x)中的自变量x分别替换为x－1和2x即可，故f(x－1)＝2(x －1)2－3(x－1)＋1＝2x2－7x＋6，f(2x)＝2(2x)2－3(2x)＋1＝8x2－6x＋1.答案：(1)1 (2)15 (3)2x2－7x＋6 (4)8x2－6x＋1【例2－2】已知函数22()1xf xx=+，则f(a)＋1fa⎛⎫⎪⎝⎭＝________.解析：∵22()1af aa=+，222111111afa aa⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭==⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴22222111()1111a af a fa a a a+⎛⎫+=+==⎪+++⎝⎭.答案：13．相同函数的判断值域可以由定义域和对应关系唯一确定，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数．析规律相同函数的理解1．若两个函数的定义域不相同，则这两个函数不相同．2．若两个函数的对应关系不相同，则这两个函数不相同；即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系．例如，函数y＝x＋1与y＝x－1，其中定义域都是R，值域都是R.但它们的对应关系是不同的，因此不能说这两个函数是同一函数．3．函数与自变量及因变量的表示符号无关．4．判断给出解析式的两个函数是否为同一函数，一看定义域是否相同，二看化简后解析式是否相同．【例3】下列四组函数中，表示同一个函数的是( )．A．f(x)＝x，g(x)＝2()xB．f(x)＝x，g(x)＝2xC．f(x)＝x＋2，g(x)＝242 xx--D．f(x)＝|x|，g(t)＝2t解析：对于选项A，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝2()x的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不相同；对于选项B，g(x)＝2x＝|x|，它与f(x)＝x的对应关系不相同；对于选项C，g(x)＝242xx--＝x＋2(x≠2)，它与f(x)＝x＋2的定义域不同；对于选项D，两个函数的定义域均为R，且f(x)＝|x|与g(t)＝2t＝|t|对应关系也相同．答案：D解技巧判断函数f(x)与g(x)是否为相同函数的步骤根据解析式判断两个函数f(x)和g(x)是否是同一个函数的步骤是：①先求函数f(x)和g(x)的定义域，如果定义域不同，那么它们不相同，如果定义域相同，再执行下一步；②化简函数的解析式，如果化简后的函数解析式相同，那么它们相同，否则它们不相同．4．区间及其表示(1)区间的概念设a，b是两个实数，且a＜b.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫作闭区间，表示为[a，b]；②满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫作开区间，表示为(a，b)；③满足不等式a≤x＜b和a＜x≤b的实数x的集合叫作半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]．这里实数a，b都叫作相应区间的端点．实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们还可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．(2)区间的几何表示以上区间均可以在数轴上表示出来，在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示．我们要善于利用区间的“数轴区间几何表示区间几何表示[a，b][a，＋∞) (a，b)(a，＋∞) [a，b)(－∞，b](a，b](－∞，b)谈重点1．并不是所有的数集都能用区间表示．例如：数集M＝{1,2,3,4}，自然数集N，有理数集Q等都不能用区间表示．2．区间符号内的两个字母(或数字)之间用“，”隔开．3．无穷大“∞”是一个符号，不是一个具体的数，因此不能将[1，＋∞)写成[1，＋∞]．以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．4．区间仍是集合，是一类特殊数集的另外一种符号语言．今后我们表示函数的定义域、值域时常用区间形式．5．一般地，区间符号内的两个字母(或数字)，左边的字母(或数字)不大于右边的；否则，该区间为空集．【例4－1】将下列集合用区间表示出来：(1){x|x≥1}；(2){x|1＜x≤2}；(3){x|－1＜x＜1，或x≥2}．解：(1)集合{x|x≥1}用区间可表示为[1，＋∞)；(2)集合{x|1＜x≤2}用区间可表示为(1,2]；(3)集合{x|－1＜x＜1，或x≥2}用区间可表示为(－1,1)∪[2，＋∞)．解技巧用区间表示数集用区间表示数集的关键是紧扣区间的规定，若遇到有两个不等式且中间用“或”连接的数集时，用区间表示时用“∪”连接两部分即可．以上区间用数轴可表示为【例4－2】对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M，且x∉N}，设94A x x⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，B＝{x|x＜0}，则B－A＝( )．A．9,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦B．9,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)解析：在数轴上画出集合A和B，根据定义可知B－A＝{x|x∈B，且x∉A}，观察数轴得B－A＝94x x⎧⎫⎫<-⎨⎬⎪⎭⎩⎭，此集合用区间可表示为9,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.答案：B【例4－3】已知集合A＝(－∞，1]，集合B＝[a，＋∞)，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．解析：集合A，B都是用区间表示的两个数集，在数轴上画出集合A和B，若满足A∪B ＝R，则实数a落在1的左侧或与1重合，所以实数a的取值范围是a≤1.答案：a≤1【例4－4】已知集合A＝[1,4]，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(用区间表示)________．解析：在数轴上画出集合A，要使集合A和B满足A⊆B，实数a只能落在4的右侧，所以实数a的范围用区间可表示为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)5．函数定义域的求法(1)确定函数定义域的原则①当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；②当函数y＝f(x)用图像给出时，函数的定义域是指图像在x轴上的正投影所覆盖的实数x的集合；③当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是使解析式有意义的实数x的范围；④当函数y＝f(x)是由实际问题给出时，函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．(2)由函数解析式求定义域的常用方法①如果f(x)为整式，其定义域为实数集R；②如果f(x)为分式，其定义域是使分母不为0的实数x的集合；③如果f(x)是二次根式(偶次根式)，其实义域是使根号内的式子不小于0的实数x的集合；④如果f(x)是由以上几个部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数x的集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则其定义域应符合实际问题．(3)由解析式求函数定义域的一般步骤第一，列出使解析式有意义的自变量适合的不等式(组)；第二，解不等式(组)；第三，把不等式(组)的解集表示成集合或区间的形式．(4)抽象函数的定义域求法①函数f [φ(x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是φ(x )的范围；②已知f (x )的定义域为A ，求f [φ(x )]的定义域，其实质是已知f [φ(x )]中φ(x )的取值范围为A ，求x 的取值范围；③已知f [φ(x )]的定义域为B ，求f (x )的定义域，其实质是已知f [φ(x )]中的x 的取值范围为B ，求出φ(x )的取值范围(值域)，此范围就是f (x )的定义域；④在同一对应法则f 下的范围相同，即f (t )，f [φ(x )]，f [h (x )]三个函数中的t ，φ(x )，h (x )的取值范围相同．例如：若函数f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，则f (2x －1)的定义域是________． ∵f (x ＋1)的定义域是[－2,3]，∴－2≤x ≤3.∴－1≤x ＋1≤4，即f (x )的定义域是[－1,4]．又由－1≤2x －1≤4，得0≤x ≤52， ∴f (2x －1)的定义域为50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【例5－1】函数1()12f x x x=++-的定义域为( )． A ．[－1,2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：当函数解析式给出时，函数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值范围；当一个函数由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合．要使1x +有意义，须满足x ＋1≥0，即x ≥－1；要使12x-有意义，须满足2－x ≠0，即x ≠2，所以函数f (x )的定义域为{x |x ≥－1，且x ≠2}，用区间可表示为[－1,2)∪(2，＋∞)．答案：A析规律 函数的定义域求函数的定义域主要是通过解不等式(组)来获得．如果不加说明，函数的定义域就是使函数式有意义的自变量的取值集合．【例5－2】(1)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，求f (x 2＋1)的定义域；(2)已知函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，求f (x )的定义域．分析：正确理解函数定义域的意义是解抽象函数问题的关键，函数的定义域就是使函数有意义的自变量x 的取值范围，而且在同一对应法则f 下的范围相同．解：(1)由0≤x 2＋1≤1，得－1≤x 2≤0，∴x ＝0.∴f (x 2＋1)的定义域为{0}．(2)∵函数f (2x －1)的定义域为[0,1)，即0≤x ＜1，∴－1≤2x －1＜1.∴f (x )的定义域为[－1,1)．解技巧 抽象函数的定义域1．已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域，一般设u ＝g (x )，则u 的取值范围就是f (x )的定义域，通过解不等式可求．2．已知f [g (x )]的定义域为D ，求f (x )的定义域，就是求g (x )在D 上的值域．【例5－3】求下列函数的定义域，并用区间表示．(1)217y x x =--；(2)0||y x x=-；(3)1y x=+. 解：(1)要使函数y =必须0,170,x x ≥⎧⎨-≥⎩即0,11,7x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩∴0≤x ≤17. 故此函数的定义域为107x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭，可用区间表示为10,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2)要使函数0y =10,||0,x x x +≠⎧⎨->⎩即1,0,x x ≠-⎧⎨<⎩∴x ＜0，且x ≠－1.故此函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}，可用区间表示为(－∞，－1)∪(－1,0)．(3)要使函数1y x =+有意义，必须230,20,0,x x x +≥⎧⎪->⎨⎪≠⎩即3,22,0,x x x ⎧≥-⎪⎪<⎨⎪≠⎪⎩∴32-≤x ＜2，且x ≠0.故此函数的定义域为32,02x x x ⎧⎫-≤<≠⎨⎬⎩⎭，可用区间表示为3,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∪(0,2)． 6．函数值域的求法函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定的．函数的最值是函数值域的端点值，求最值与求值域的思路是基本相同的．求函数值域的常用方法有：(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出所求函数的值域；如求函数y =x 2≥0及4－x 2≥0∈[0,2]，故所求的函数值域为[0,2]．(2)数形结合法：利用函数所表示的几何意义，借助于图像的直观性来求函数的值域，是一种常见的方法．如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键． 如求函数212y x =+的值域时，若令u ＝x 2＋2，则1y u=(u ≥2)，可借助反比例函数的图像，易得0＜y ≤12，所以函数212y x =+的值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. (3)配方法：若函数是二次函数形式，即可化为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，这里要特别注意给定区间求二次函数的值域问题．如求函数y ＝x－＋3的值域，因为y ＝x－3＝21)＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)． (4)换元法：对于形如y ＝ax ＋ba ，b ，c ，d ∈R ，ac ≠0)的函数，往往通过换元，将其转化为二次函数的形式求值域．如求函数y ＝x－3t =(t ≥0)，得y ＝t 2－2t ＋3，即y＝(t －1)2＋2(t ≥0)，结合二次函数的图像可知，所求函数的值域为[2，＋∞)．(5)判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，通过方程有实数根，判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++(a 1，a 2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求解．(6)分离常数法：对于形如cx d y ax b +=+的函数，可将其变形为h y k ax b=++的形式，结合反比例函数的图像和图像平移的有关知识求出值域．【例6－1】函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈[2,5]的值域是( )．A ．[1,6]B ．[－3,1]C ．[－3,6]D ．[－3，＋∞)解析：函数y ＝x 2－4x ＋1是二次函数形式，配方得y ＝(x －2)2－3，画出函数y ＝(x －2)2－3，x ∈[2,5]的图像(如图)，由图像可知，函数的值域为{y |－3≤y ≤6}，用区间可表示为[－3,6]．答案：C【例6－2】函数f (x )＝269x -+的值域是( )．A ．(－∞，6]B ．(－∞，3]C ．(0,6]D ．(0,3]解析：∵x 2≥0，∴x 2＋9≥9，∴2+93x ≥，∴2693x -+≤，∴函数f (x )＝269x -+的值域为(－∞，3]．答案：B 【例6－3】函数21x y x =+的值域为________． 解析：∵22(1)222111x x y x x x +-===-+++， 又∵201x ≠+，∴y ≠2. ∴函数21x y x =+的值域为{y |y ≠2}． 答案：{y |y ≠2}【例6－4】求下列函数的值域．(1)21y x x =--(2)22321x x y x x -+=-+. 解：(1)令1x t -=，则t ≥0，x ＝t 2＋1，∴y ＝2(t 2＋1)－t ＝2t 2－t ＋2＝2115248t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. ∵该函数的对称轴为14t =，它在10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减少的，在1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是增加的，且当14t =时，min 158y =， 例如：求函数125x y x -=+的值域． 由于177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，因为72025x ≠+，所以12y ≠-. 所以函数125x y x -=+的值域为1,2y y y ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭R 且. 析规律 分式型函数的值域对于形如cx d y ax b +=+型函数，其值域为,c y y y a ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭R 且. ∴该函数的值域是15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (2)由22321x x y x x -+=-+变形得(y －1)x 2＋(1－2y )x ＋y －3＝0， 当y ＝1时，x ＝－2；当y ≠1时，∵x ∈R ，∴Δ＝(1－2y )2－4(y －1)(y －3)≥0，即12y ≥11，解得1112y ≥. 综上可知，该函数的值域为11,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 警误区 换元法求值域的注意事项换元法通常用于无理函数，它是化无理式为有理式的有效方法．由于换元后，自变量的取值范围通常会发生变化，因此，注意新元的取值范围是正确求值域的关键．。

活页作业(六) 函数的概念知识点及角度难易度及题号基础中档稍难函数的概念2、39用区间表示数集1、10 5函数的定义域4、6、87、11121．设全集U＝R，集合A＝[3,7)，B＝(2,10)，则∁R(A∩B)＝( )A．[3,7) B．(－∞，3)∪[7，＋∞)C．(－∞，2)∪[10，＋∞) D．∅解析：∵A∩B＝[3,7)，∴∁R(A∩B)＝(－∞，3)∪[7，＋∞)．答案：B2．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，则集合A不可能是( ) A．{1} B．{－1}C．{－1,1} D．{－1,0}解析：若集合A＝{－1,0}，则0∈A，但02＝0∉B.故选D.答案：D3．各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )解析：因垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点．故选A.答案：A4．函数f(x)＝12－x的定义域为M，g(x)＝x＋2的定义域为N，则M∩N＝( )A．[－2，＋∞)B．[－2,2) C．(－2,2) D．(－∞，2) 解析：M＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，N＝{x|x＋2≥0}＝{x|x≥－2}，∴M ∩N ＝{x |－2≤x ＜2}＝[－2,2)． 答案：B5．若(2m ，m ＋1)表示一个开区间，则m 的取值范围是________． 解析：由2m ＜m ＋1，解得m ＜1. 答案：(－∞，1)6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．解析：观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]； 只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 答案：[－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] 7．求下列函数的定义域． (1)y ＝2x ＋1＋3－4x . (2)y ＝1|x ＋2|－1.解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0⇒x ≥－12，3－4x ≥0⇒x ≤34，∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34. (2)由已知得：∵|x ＋2|－1≠0，∴|x ＋2|≠1， 得x ≠－3，x ≠－1.∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)．8．四个函数：(1)y ＝x ＋1.(2)y ＝x 3.(3)y ＝x 2－1.(4)y ＝1x.其中定义域相同的函数有( )A ．(1)，(2)和(3)B ．(1)和(2)C ．(2)和(3)D ．(2)，(3)和(4)解析：(1)，(2)和(3)中函数的定义域均为R ，而(4)函数的定义域为{x |x ≠0}．答案：A9．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，则从A 到B 的函数f (x )有________个． 解析：抓住函数的“取元任意性，取值唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.f (1) 4 4 44 5 5 5 5 f (2) 4 4 5 5 4 4 5 5 f (3)45454545答案：810．将下列集合用区间表示： (1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －1≥0；(2){x |x ＝1或2＜x ≤3}．解：(1)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －1≥0＝{x |x ≥2或x ＜1}＝(－∞，1)∪[2，＋∞)．(2){x |x ＝1或2＜x ≤3}＝{1}∪(2,3]． 11．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．解：要使函数解析式有意义，需满足⎩⎨⎧x ＋2≥0，6－2x ≥0，6－2x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≤3，x ≠52⇒－2≤x ≤3，且x ≠52.∴函数的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2≤x ≤3，且x ≠52.用区间表示为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，52∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，3.12．将长为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于边长x 的解析式，并写出此函数的定义域．解：设矩形一边长为x ，则另一边长为12(a －2x )，所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜a 2，0＜12a －2x＜a2，解得0＜x ＜a2，即函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.1．函数概念的理解．(1)“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．(2)函数定义域中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．2．求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，列不等式(组)是求函数定义域的基本方法．。

2.1.1 函数的概念和图象课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个________，通常记为y ＝f(x)，x ∈A.其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f(x)的________． 2．若A 是函数y ＝f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的________． 3．函数的三要素是指函数的定义域、值域、对应法则．一、填空题1．对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有________个． ①y 是x 的函数；②对于不同的x ，y 的值也不同；③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量； ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有________．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是________．①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f(x)＝x 2和g(x)＝(x ＋1)2；④f(x)＝x 2x 和g(x)＝xx2. 4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有________个． 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为________． 6．函数y ＝x ＋1的值域为________．7．已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f(x)满足：对任意实数a ，b 都有f(a ＋b)＝f(a)f(b)，且f(1)＝1，则＋＋＋＋…＋＝________.9．已知函数f(x)＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________．二、解答题11．已知函数f (1－x1＋x)＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息多长时间？ (3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？ (6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应法则是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应法则所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应法则，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f(x)以表格形式给出时，其定义域指表格中的x的集合；②当f(x)以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f(x)以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1函数的概念和图象2．1.1 函数的概念和图象知识梳理1．函数定义域 2.值域作业设计1．2解析①、③正确；②不对，如f(x)＝x2，当x＝±1时y＝1；④不对，f(x)不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．2．②③解析 ①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾． 3．④解析 ①中的函数定义域不同；②中y ＝x 0的x 不能取0；③中两函数的对应法则不同． 4．9解析 由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”． 5．{x|0≤x≤1}解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x≥0，x≥0，解得0≤x≤1.6．[0，＋∞) 7．3 2 1解析 g[f(1)]＝g(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝2，g[f(3)]＝g(1)＝1. 8．2 010解析 由f(a ＋b)＝f(a)f(b)，令b ＝1，∵f(1)＝1，∴f(a＋1)＝f(a)，即＋＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2 010时，得＝＝…＝＝1.故答案为2 010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x＝1,2,3,4,5，∴f(x)＝2x －3＝－1,1,3,5,7.10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x≤1，0≤x＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x≤12，－23≤x≤13，即x∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x ＝2，解得x ＝－13，所以f(2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10：30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h)m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋＋2＝h 2＋2h(m 2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)函数图象如下确定．由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．。

函数的概念及基本性质练习题1. 下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( )2．若f (1x )＝11＋x ，则f (x )等于( )A.11＋x (x ≠－1) B.1＋xx (x ≠0)C.x1＋x (x ≠0且x ≠－1) D ．1＋x (x ≠－1)3．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝() A ．3x ＋2 B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －34．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)5.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋1，x ＜1x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12B.45C ．2D ．96．下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( )A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 7．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z8．求下列函数的定义域：(1)y ＝－x 2x 2－3x －2；(2)y ＝34x ＋83x －29．下列命题中，正确的是()A．函数y＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数y＝x3(x－1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数y＝x2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D．函数y＝ax2＋c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数10．奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)的值为()A．10B．－10C．－15 D．1511．f(x)＝x3＋1x的图象关于()A．原点对称B．y轴对称C．y＝x对称D．y＝－x对称12．如果定义在区间[3－a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么a＝________. 13．①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝x|x|；③f(x)＝3x＋x；④f(x)＝1－x2x.以上函数中的奇函数是________．14．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－32)与f(a2＋2a＋52)的大小关系是()A．f(－32)＞f(a2＋2a＋52) B．f(－32)＜f(a2＋2a＋52)C．f(－32)≥f(a2＋2a＋52) D．f(－32)≤f(a2＋2a＋52)15．已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(12)＝25，求函数f(x)的解析式．指数的运算及指数函数1．将532写为根式，则正确的是( ) A.352 B.35 C.532 D.53 2．根式 1a 1a (式中a ＞0)的分数指数幂形式为( ) A ．a －43 B ．a 43 C ．a －34 D ．a 343.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( )A ．0B ．2(a －b )C ．0或2(a －b )D ．a －b4．计算：(π)0＋2－2×(214)12＝________.5．下列各式正确的是( ) A.(－3)2＝－3 B.4a 4＝a C.22＝2 D ．a 0＝16．若xy ≠0，那么等式 4x 2y 3＝－2xy y 成立的条件是( )A ．x >0，y >0B ．x >0，y <0C ．x <0，y >0D ．x <0，y <07．计算(2n ＋1)2·(12)2n ＋14n ·8－2(n ∈N *)的结果为( ) A.164 B ．22n ＋5 C ．2n 2－2n ＋6 D ．(12)2n －78．设a 12－a －12＝m ，则a 2＋1a ＝( )A ．m 2－2B ．2－m 2C ．m 2＋2D ．m 29．根式a －a 化成分数指数幂是________． 10．化简求值：0.064－13－(－18)0＋1634＋0.2512；11．使不等式23x －1＞2成立的x 的取值为( )A ．(23，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(13，＋∞)D ．(－13，＋∞)12．不论a 取何正实数，函数f (x )＝a x ＋1－2恒过点( )A ．(－1，－1)B ．(－1,0)C ．(0，－1)D ．(－1，－3)13．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x 的图象( )A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度14．在同一坐标系中，函数f (x )＝ax 与g (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象可能是( )15．当x >0时，指数函数f (x )＝(a －1)x <1恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2B ．1<a <2C ．a >1D ．a ∈R16．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，a 的值为( )A.12 B ．2 C ．4 D.1417．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a ＞0B ．A ＜1C ．0＜a ＜1D ．a ≠118．方程4x ＋1－4＝0的解是x ＝________.19．函数y ＝(12)1－x 的单调增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)20．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________.21．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．22．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1(4－a 2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)23．画出函数y ＝(12)|x |的图象,根据图象指出其值域和单调区间24．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2·3x ＋1－9x 的值域．。

函数的概念练习题(含答案)1.2.1 函数的概念及练题答案一、选择题1.集合A = {x|0 ≤ x ≤ 4}，B = {y|0 ≤ y ≤ 2}，下列不表示从 A 到 B 的函数是()A。

f(x) → y = xB。

f(x) → y = xC。

f(x) → y = xD。

f(x) → y = x2.某物体一天中的温度是时间 t 的函数：T(t) = t^3 - 3t + 60，时间单位是小时，温度单位为℃，t = 表示 12:00，其后 t 的取值为正，则上午 8 时的温度为()A。

8℃B。

112℃C。

58℃D。

18℃3.函数 y = 1 - x^2 + x^2 - 1 的定义域是()A。

[-1,1]B。

(无穷小。

无穷大)C。

[0,1]D。

{ -1,1}4.已知 f(x) 的定义域为 [-2,2]，则 f(x^2 - 1) 的定义域为()A。

[-1,3]B。

[0,3]C。

[-3,3]D。

[-4,4]5.若函数 y = f(3x - 1) 的定义域是 [1,3]，则 y = f(x) 的定义域是()A。

[1/3,1]B。

[2/3,2]C。

[4/3,4]D。

[5/3,5]6.函数 y = f(x) 的图象与直线 x = a 的交点个数有()A。

必有一个B。

至多一个C。

可能两个以上D。

无法确定7.函数 f(x) = (ax + 4) / (ax + 3) 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是()A。

{a|a∈R}B。

{a|a≠-3}C。

{a|a≠-4}D。

{a|a≠-3,-4}8.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营。

据市场分析，每辆客车营运的利润 y 与营运年数 x(x∈N) 为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过()年。

A。

4B。

5C。

6D。

79.(安徽铜陵县一中高一期中)已知 g(x) = 1 - 2x，f[g(x)] = (2/x) (x≠0)，那么 f(2) 等于()A。

2.2 一次函数和二次函数1．一次函数的性质与图象(1)一次函数的概念函数y＝kx＋b(k≠0)叫做一次函数，又叫做线性函数；它的定义域为R，值域为R.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是直线，其中k叫做该直线的斜率，b叫做该直线在y 轴上的截距．对一次函数的概念要注意以下三点：①k≠0.若k＝0，则函数就成为常数函数．②x的最高次项次数为1.否则，也不是一次函数．③b为任意常数．一次y＝kx＋b(k≠0)函数分k＞0k＜0类图象因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两个点，再连成直线即可． (4)图象的特点①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线．②一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (5)画法技巧①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0,0)，(1，k )两点，然后连线．②画一次函数y ＝kx ＋b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )，⎝ ⎛⎭⎪⎫－bk，0，然后连线．原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于－b k多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的点．谈重点 对截距b 含义的理解 (1)b 的取值范围：b ∈R .(2)b 的几何意义：直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点的纵坐标．(3)点(0，b )是直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．(4)截距与距离是两个不同的概念．截距可正可负可以为零，但距离不可能为负． 【例1－1】一次函数y ＝kx －k ，若y 随x 的增大而增大，则它的图象过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第一、二、四象限 D ．第二、三、四象限解析：由题意知k ＞0，所以－k ＜0，故y ＝kx －k 的图象过第一、三、四象限． 答案：B 【例1－2】函数的解析式为x －2y ＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为( )A ．17,22 B ．1，－7 C ．1，72 D ．17,22-解析：∵x－2y＋7＝0，∴17 =22y x+，∴斜率1=2k，纵截距7=2b，故选A.答案：A【例1－3】在同一直角坐标系内画出一次函数y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象．解：列表．描点(0,1)，(－0.5,0)x＋1和y＝－2x＋1的图象，如图．【例1－4】已知一次函数的图象经过A(3,5)和B(－4，－9)两点，求该一次函数的解析式．分析：一次函数的图象是一条直线，可设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，又因为其图象过A，B两点，所以A，B两点的坐标适合方程，由此解出k和b.解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．∵当x＝3时，y＝5；当x＝－4时，y＝－9，∴3=5,4=9. k bk b+⎧⎨-+-⎩①②①－②，得7k＝14，∴k＝2.把k＝2代入①，得b＝－1.∴这个一次函数的解析式为y＝2x－1.2．二次函数的定义函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.特别地，当b＝c＝0，则函数变为y＝ax2(a≠0)．点技巧学习二次函数的定义应注意的两点(1)对二次函数的定义，要特别注意a≠0这个条件．函数y＝ax2＋bx＋c只有在a≠0的条件下才是二次函数，且x的最高次数是2，b，c可取任意实数．(2)任何一个二次函数的解析式都可化成y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，因此把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数的一般形式．3．二次函数的图象变换及参数a ，b ，c ，h ，k 对其图象的影响(1)函数y ＝x 2和y ＝ax 2(a ≠0)的图象之间的关系二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到，参数a 的取值不同，函数及其图象也有区别，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下．而且，当a ＞0时，a 的值越大，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越大；当a ＜0时，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越大，函数y＝ax 2图象开口越大．也就是说，|a |越大，抛物线的开口越小；反之，|a |越小，抛物线的开口越大．(2)函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象之间的关系函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象向左(h ＞0)或向右(h ＜0)平移|h |个单位长度，再向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位长度得到．h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图象的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象形状相同，只是位置不同．(3)函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象之间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图象如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象．在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)中，二次项系数a 决定着函数图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x ＝－b2a，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c ＜0时，交点在y 轴的负半轴．【例3－1】(1)由y ＝－2x 2的图象，如何得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图象？(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？(3)将函数y ＝4x 2＋2x ＋1写成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，并说明它的图象是由y ＝4x 2的图象经过怎样的变换得到的？解：(1)把y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x ＋1)2－3的图象．(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y ＝2(x －3)2＋4，即y ＝2x 2－12x ＋22的图象．(3)y ＝4x 2＋2x ＋1＝21412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ＝21114121616x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭ ＝21141416x ⎡⎤⎛⎫+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝213444x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.把y ＝4x 2的图象向左平移14个单位长度，再向上平移34个单位长度，就可得到函数y＝4x 2＋2x ＋1的图象．【例3－2】(1)在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y ＝x 2；②y ＝x 2－2；③y ＝2x 2－4x .(2)分析如何把y ＝x 2的图象变换成y ＝2x 2－4x 的图象．分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析y ＝x 2与y ＝2x 2－4x 的图象之间的关系．x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y ＝x 2－2 … 7 2 －1 －2 －1 2 7 …y ＝2x 2－4x … 30 16 6 0 －2 0 6 …(2)y ＝2x 2－4x＝2(x 2－2x )＝2(x 2－2x ＋1－1)＝2(x －1)2－2.由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．方法一：先把y ＝x 2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2x2的图象，然后把y ＝2x 2的图象向下平移2个单位长度得到y ＝2x 2－2的图象，最后把y ＝2x2－2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．方法二：先把y ＝x 2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图象，然后把y ＝(x －1)2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2的图象，最后把y ＝2(x －1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．析规律 二次函数图象的变换规律所有二次函数的图象均可以由函数y ＝x 2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：y ＝x 2------------------→横坐标不变纵坐标变为原来的a 倍y ＝ax 2----------------------→k >0，上移k 个单位长度k <0，下移|k |个单位长度y ＝ax 2＋k --------------------→h >0，左移h 个单位长度h <0，右移|h |个单位长度y ＝a (x ＋h )2＋k ，其中a 决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h 决定左、右平移，k 决定上、下平移．【例3－3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，与函数y ＝x 2－12x ＋1有相同的对称轴，与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交(1)求f (x )．(2)由y ＝x 2的图象能得到f (x )的图象吗？分析：(1)根据a ，b ，c 对f (x )的图象影响，由y ＝－2x 2＋3x 确定a ，由y ＝x 2－12x ＋1确定b ，由y ＝4x 2－x －1确定c ；(2)由y ＝x 2的图象得f (x )的图象要分步骤：y ＝x 2→y＝ax 2→y ＝a (x ＋h )2→y ＝a (x ＋h )2＋k ，因此先将f (x )的解析式化为f (x )＝a (x ＋h )2＋k 的形式．解：(1)∵f (x )与y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，∴a ＝－2.∵f (x )与函数y ＝x 2－12x ＋1有相同的对称轴1=4x ， ∴1=24b a -. 又∵a ＝－2，∴b ＝1.∵f (x )与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点(0，－1)， ∴c ＝－1.∴f (x )＝－2x 2＋x －1.(2)f (x )＝217248x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭.将函数y ＝x 2图象上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的－2倍得到函数y ＝－2x 2的图象；将函数y ＝－2x 2的图象向右平移14个单位长度，再向下平移78个单位长度得到函数217=248y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的图象，即函数y ＝－2x 2＋x －1的图象．析规律 二次函数的图象变换应先配方解决本题的关键是明确a ，b ，c 对函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的影响以及利用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误．4．二次函数的性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方转化为f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，结合图象函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(2)对称轴是直线x＝－b2a，顶点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a(2)对称轴是直线x＝－b2a，顶点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－b2a，4ac－b24a(3)在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是增函数(3)在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b2a上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a，＋∞上是减函数(4)抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y min＝4ac－b24a(4)抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y max＝4ac－b24a由上表可以看出，函数的性质就是函数图象特征的具体描述，因此可借助于图象特征来理解记忆二次函数的主要性质．以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图象观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．【例4－1】分别指出下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值：(1)y＝x2－4x＋9；(2)y＝－2x2＋4x－3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图象研究其性质．解：(1)y＝x2－4x＋9＝(x－2)2＋5，由于x2的系数是正数，所以函数图象开口向上；顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x＝2；函数在区间(－∞，2]上是减函数，在区间[2，＋∞)上是增函数；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y＝－2x2＋4x－3＝－2(x－1)2－1，由于x2的系数是负数，所以函数图象开口向下；顶点坐标为(1，－1)；对称轴方程为x＝1；函数在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是－1. 谈重点 配方法的重要作用配方法是研究二次函数最值及对称性、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴以后，其图象的对称性及其单调性可直观的反应在大脑中，解题中应注意多总结这些性质，以便拓展自己的思维空间．【例4－2】抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.解析：因为抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，所以其顶点的纵坐标248(7)(1)=048m m ⨯⨯--+⨯，即m 2－30m ＋225＝0，所以(m －15)2＝0， 所以m ＝15. 答案：15点技巧 牢记二次函数的性质是关键抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，当顶点在x 轴上时，其纵坐标4ac －b 24a ＝0；当顶点在y 轴上时，其横坐标－b2a＝0.【例4－3】若函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．(－∞，5]D ．[5，＋∞)解析：易知函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2是二次函数，其图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1－a ，此函数在区间(－∞，1－a ]上是减函数，若函数在(－∞，4]上是减函数，则1－a ≥4，所以a ≤－3.答案：A5．二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之．(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x ＋h )2＋k (其顶点是(－h ，k )，a ≠0)．(3)当已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．【例5－1】如图，坐标系中抛物线是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是( )A ．abc ＞0B ．b ＜a ＋cC ．a ＋b ＋c ＜0D ．2c ＜3b解析：图中出现的点(1,0)和(－1,0)要注意观察． A 中，∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在x 轴上方，∴c ＞0. 又∵=1>02ba-，∴b ＞0.∴abc ＜0.因此A 是错误的． B 中，∵当x ＝－1时，y ＜0(抛物线上横坐标为－1的点在x 轴下方)，∴a －b ＋c ＜0(把x ＝－1代入函数得y ＝a (－1)2＋b (－1)＋c ＝a －b ＋c )， ∴b ＞a ＋c .因此B 是错误的．C 中，∵抛物线上横坐标为1的点在x 轴上方，即y ＞0，又∵当x ＝1时，函数y ＝a ·12＋b ·1＋c ＝a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c ＞0.因此C 是错误的． D 中，由上得b ＞a ＋c .又∵=12b a -，∴1=2a b -. ∴2c ＜3b .因此D 正确．答案：D【例5－2】已知二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．分析：本题已知图象上两点的坐标(1，－3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)似乎差一个条件，但注意到点(1，－3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，－3)，也可设二次函数的顶点式y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，只需将点P (2,0)的坐标代入，即可求出a ；若看到P (2,0)点是图象与x 轴的交点，利用对称性即可求出图象与x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)也能求解．解：(方法1)设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得=3,42=0,=1,2a b c a b c b a⎧⎪++-⎪++⎨⎪⎪-⎩解得=3,=6,=0.a b c ⎧⎪-⎨⎪⎩∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .(方法2)设所求函数的解析式为y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，由图象经过点P (2,0)，得a (2－1)2－3＝0，解得a ＝3.∴所求函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . (方法3)∵二次函数的图象的顶点坐标为(1，－3)， ∴其对称轴为直线x ＝1.又∵图象与x 轴的一个交点坐标为P (2,0)，∴由对称性可知，图象与x 轴的另一个交点坐标为(0,0)． ∴可设所求函数的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)(a ≠0)． ∵图象的顶点坐标是(1，－3)， ∴a (1－0)(1－2)＝－3，解得a ＝3. ∴所求函数的解析式为y ＝3x (x －2)，即y ＝3x 2－6x .析规律 由二次函数的图象与x 轴的交点求解析式若二次函数y ＝f (x )的图象与x 轴的两个交点坐标为(x 1,0)和(x 2,0)，则其对称轴方程为x ＝x 1＋x 22，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x 轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标．6．二次函数图象的草图画法 画二次函数的图象时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更精确．【例6】画出函数y ＝2x 2－4x －6的草图．解：y ＝2x 2－4x －6＝2(x 2－2x )－6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6＝2[(x －1)2－1]－6＝2(x －1)2－8.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x ＝1.令y ＝0，得2x 2－4x －6＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，故函数图象与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．画法步骤：①描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，画出直线x ＝1；②连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x ＝1对称，即得函数y ＝2x 2－4x －6的草图，如图所示．7．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．待定系数法求解析式的基本步骤如下： (1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；(3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【例7】若f (x )为一次函数，且满足f [f (x )]＝1＋2x ，则f (x )的解析式为________． 解析：已知f (x )为一次函数，可以使用待定系数法． 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，利用对应系数相等即可求得=2k ，=21b 或2k ，=21b .答案：()=221f x x 或(221f x x -8．给定区间上二次函数的最值或值域的求法求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图象确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得．一般地，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值有下列四种情况： (1)当－b2a＜p ，即对称轴在区间[p ，q ]的左边时，画出草图如图①，从图象上易得f (x )在[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．(2)当p ≤－b 2a ≤p ＋q2，即对称轴在区间[p ，q ]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图②.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (q )．(3)当p ＋q 2＜－b 2a≤q ，即对称轴在区间[p ，q ]的中点与右端点之间时，画出草图如图③.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )max ＝f (p )．(4)当－b2a＞q ，即对称轴在区间[p ，q ]的右边时，画出草图如图④.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．【例8】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数在[－5,5]上的最值；(3)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在[－5,5]上是单调函数． 分析：f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2.(1)当a ＝－1时，由于对称轴x ＝1在区间[－5,5]内，则由图象知函数f (x )的最大值是f (－5)，最小值是f (1)；(2)中对称轴x ＝－a ，要根据对称轴与区间[－5,5]的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论；(3)切入点是单调函数，结合图象可知对称轴不能在区间[－5,5]内部，因此也要讨论对称轴的位置．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， 当x ＝1时，f (x )取得最小值， 即f (x )min ＝f (1)＝1.当x ＝－5时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f (－5)＝(－5－1)2＋1＝37.所以函数f(x)的最大值为37，最小值为1.(2)函数y＝f(x)＝(x＋a)2＋2－a2图象的对称轴为x＝－a.当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增函数，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－5)＝27－10a；当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，f(x)max＝f(5)＝27＋10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；当0＜－a≤5，即－5≤a＜0时，f(x)max＝f(－5)＝27－10a，f(x)min＝f(－a)＝2－a2；当－a＞5，即a＜－5时，函数在区间[－5,5]上是减函数，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)ma x＝f(－5)＝27－10a.故当a≥5时，f(x)max＝27＋10a，f(x)min＝27－10a；当0≤a＜5时，f(x)max＝27＋10a，f(x)min＝2－a2；当－5≤a＜0时，f(x)max＝27－10a，f(x)min＝2－a2；当a＜－5时，f(x)max＝27－10a，f(x)min＝27＋10a.(3)由(2)可知若函数f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，则有a≤－5或a≥5.释疑点如何在给定区间求二次函数的最值或值域当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论，一要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．9．一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时的自变量x的值，从图象上看，就是抛物线与x轴交点的横坐标．当一元二次方程的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，其解析式又可写成两根式的形式：y＝a(x－x1)·(x－x2)，抛物线与x 轴的两个交点间的距离|x 2－x 1|＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2－4c a＝b 2－4ac |a |.当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴只有一个公共点；当Δ＜0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴没有交点．当a ＞0时，它们之间的关系如下图所示：Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0求解一元二次方程根的问题，一般使用求根公式或根与系数的关系，但有些问题用这种方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数，并借助于图象，则问题会转化为易于理解和表达的问题．例如，实数a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋2a ＝0有一根小于－1，另一根大于1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图象解决该问题．设f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋2a ，画出该函数的图象(如下图)，方程的两根中一根小于－1，另一根大于1，等价于函数的图象与x 轴的一个交点在－1的左侧，另一个交点在1的右侧，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)<0，由此可解得a ＜－23.通过上述实例，我们可以看到，用函数的思想解决一元二次方程根的分布问题，运用了数形结合的思想，使难以处理的问题转化的非常直观简单．一般情况下，用二次函数的图象处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等．【例9－1】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)，并且m，n是方程f(x)＝0的两根，则实数a，b，m，n的大小关系可能是( )A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b解析：由f(x)＝1－(x－a)(x－b)可知，二次函数f(x)的开口向下，且f(a)＝f(b)＝1＞0.∵m，n是方程f(x)＝0的两根，∴f(m)＝f(n)＝0.由f(x)的图象可知，实数a，b，m，n的关系可能是m＜a＜b＜n(如图所示)．答案：A点技巧由二次函数图象比较参数大小比较实数a，b，m，n的大小，可转化为比较四个函数值f(a)，f(b)，f(m)，f(n)的关系．根据条件可容易画出函数的图象并得到a，b，m，n四个变量在x轴上的位置，从而写出a，b，m，n的大小关系．【例9－2】若方程x2－32x＝k在(－1,1)上有实根，求k的取值范围．分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图象解决该问题，或将其转化为二次函数k＝x2－32x在区间(－1,1)上的值域问题．解：(方法1)设f(x)＝x2－32x－k，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线3=4x.若方程x2－32x＝k在(－1,1)上有两个实根，则函数f(x)的图象如图甲所示，故2223()40,23(1)110,23(1)(1)(1)0,2kf kf k⎧∆=-+≥⎪⎪⎪=-⨯->⎨⎪⎪-=--⨯-->⎪⎩即9,161,25,2kkk⎧≥-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪<⎪⎩∴91<162k-≤-.若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有一实根，则函数f (x )的图象如图乙、丙所示， 故(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨≤⎩即223(1)(1)0,23110,2k k ⎧--⨯-->⎪⎪⎨⎪-⨯-≤⎪⎩∴5,21,2k k ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩∴15<22k -≤.综上所述，实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.(方法2)方程23=2x x k -可以看作是k 关于x 的二次函数23=2k x x -， 配方得239=416k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其对称轴方程为3=4x ，函数在区间31,4⎛⎤- ⎥⎝⎦上是减函数，在区间3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数(图象如图所示)．由函数的单调性可知，此函数在区间(－1,1)上的值域为3,(1)4f f⎡⎫⎛⎫-⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，∵233339==442416 f⎛⎫⎛⎫-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，f(－1)＝(－1)2－32×(－1)＝52，∴ 实数k的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.。

初中数学函数全课件及练习题
一、函数的概念
1.定义：函数是一种特殊的数学关系，它把定义域上的一个或一些值
域上的一个或一些值映射到值域上的另一个值。

2.函数的记法：函数一般用f(x)或者y=f(x)表示，其中，x为函数
的自变量，f(x)表示x变化时得到的函数值，y是f(x)的结果。

3.函数的性质：
（1）函数内容具有一一对应性：自变量x的值决定函数f(x)的值，
两个不同的自变量不能对应同一个函数值。

（2）函数具有可表示性：函数可以用函数表、函数图像或方程式来
表示。

4.函数的类型：
（1）常数函数：自变量x的值不变时，函数值也不变，定义域内任
意x值都对应同一个函数值的函数称为常数函数，可表示为f(x)=a，a为
常数。

（2）一次函数：函数在定义域上的值与其自变量的乘积为一个常数，即f(x)=ax+b，其中a>0，b是定值。

（3）平方函数：函数为自变量的平方或其平方根与一个常数的乘积，即f(x)=ax²+bx+c，a、b、c为常数，a≠0。

（4）立方函数：函数为自变量的立方或其立方根与一个常数的乘积，即f(x)=ax³+bx²+cx+d，a、b、c、d为常数，a≠0。

（5）指数函数：函数为以x为指数的指数函数和一个常数的乘积，即f(x)=axⁿ+b，a、b为常数，a≠0，n为正整数。

专题2.1 函数的概念及其表示【三年高考】1. 【2017某某，5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与无关，选B ．2．【2017某某，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 3．【2017某某，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则的取值X 围是（A ）[2,2]-（B）[2]-（C）[2,-（D）[-【答案】A4．【2017课标3，文16】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值X 围是__________. 【答案】1(,)4-+∞ 【解析】由题意得： 当12x >时12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时12112x x +-+>恒成立，即102x <≤；当0x ≤时1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤；综上x 的取值X 围是1(,)4-+∞. 5．【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）y x= 【答案】D【解析】lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．6．【2016高考某某文数】已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 7．【2016高考文数】已知(2,5)A ，(4,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（ ）A.−1B.3C.7D.8【答案】C【解析】由题意得，AB ：511(4)2924y x y x --=-⇒=-+-， ∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⋅-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7，故选C.8．【2016高考某某文数】设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．【答案】－2；1．【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．9. 【2015高考某某，文6】函数256()4||lg 3x x f x x x -+=--的定义域为（ ） A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .10. 【2015高考新课标1，文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14- 【答案】A【解析】∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立， 当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117224---=-，故选A. 11. 【2015高考某某，文8】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度 (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时【答案】C【解析】由题意，2219248bk b e e +⎧=⎪⎨=⎪⎩得1119212b k e e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝31()2×192＝24(小时)【2017考试大纲】(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域； 了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的定义域和值域，以及求函数解析式，求函数值与最值，分段函数求值等，试题难度中等，常和其它知识结合出题．【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 函数作为基础知识，单独命题不多，常以求函数解析式来考查立体几何，解析几何，数列，向量，三角函数等内容的最值等问题.具体对函数概念的考查，一般不会以具体形式出现，而是考查通过映射理解函数的本质，体会蕴含在其中的函数思想．对函数定义域的考察，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，而且一般是一个具体的函数，故难度较低．对函数值域的考察，多以基本初等函数为背景，若在选择题、填空题中出现，则难度较低；若出现在解答题中，则会利用导数工具求解，难度较大．对函数表示的考查，通过具体问题（几何问题和实际应用）为背景，寻求变量间的函数关系，再求函数的定义域和值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果．对分段函数的考察是重点和热点，往往会以工具的形式和其他知识点结合起来考，以新颖的题型考察函数知识，难度会大点．在2018年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习.由于本单元知识点的高考题,难度不大.所以在复习中不宜做过多过高的要求,只要灵活掌握小型综合题型.由于2016,2017年高考全国卷中对函数概念考查较少,预测2018年高考可能会有以分段函数的形式考查函数概念和函数性质的题目出现．【2018年高考考点定位】高考对函数概念及其表示的考查有三种主要形式：一是考察函数的概念；二是简单函数的定义域和值域；三是函数的解析表示法；其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系. 【考点1】函数的概念与映射的概念【备考知识梳理】A、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数，1.近代定义：设B在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为=),(y∈xAxf2.传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x,y,，若对于每一个确定的x的值，都有唯一确定的值y与之对应，则x是自变量，y是x的函数．→表示集合A到集合B的一个映射，它有以下特点：3.符号:f A B(1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应;(3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.【规律方法技巧】1. 判定一条曲线是函数图象的方法：作与x 轴垂直的直线，若直线与曲线最多有一个交点，则该曲线是函数()y f x =的图象．2. 分段函数求值：给定自变量求函数值时，要确定自变量所属区间，从而代入相应的函数解析式；分段函数知道函数值或函数值X 围求自变量或自变量取值X 围时，要分类讨论并和相应的自变量区间求交集，进而得结果．3.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”． 【考点针对训练】1.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()32f x x x =-+-是函数；③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A2. 设集合B A ,是两个集合，①{}x y x f y y B R A =→>==:,0,；②{}{}x y x f R y y B x x A ±=→∈=>=:,,0；③{}{}23:,41,21-=→≤≤=≤≤=x y x f y y B x x A .则上述对应法则f 中，能构成A 到B 的映射的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【考点2】函数的表示【备考知识梳理】1．表示函数的方法有列表法、图象法、解析式法，最常用的方法是解析式法，尤其在实际问题中需要建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．2. 若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．【规律方法技巧】求函数的解析式的常用方法：1.代入法：如已知2()1,f x x =-求2()f x x +时，有222()()1f x x x x +=+-.2.待定系数法：已知()f x 的函数类型，要求()f x 的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.3.拼凑法：已知[()]f g x 的解析式，要求()f x 的解析式时，可从[()]f g x 的解析式中拼凑出“()g x ”，即用()g x 来表示，，再将解析式的两边的()g x 用代替即可.4.换元法：令()t g x =，在求出()f t 的解析式，然后用代替()f t 解析式中所有的即可.5.方程组法：已知()f x 与[()]f g x 满足的关系式，要求()f x 时，可用()g x 代替两边的所有的，得到关于[()]f g x 的方程组，解之即可得出()f x .6.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.7.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．8.应用题求解析式可用待定系数法求解．注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【考点针对训练】1.设x R ∈，定义符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则下列正确的是（ ）A ．()sin sgn sin x x x ⋅=B ．()sin sgn sin x x x ⋅=C ．()sin sgn sin x x x ⋅=D ．()sin sgn sin x x x ⋅=【答案】A【解析】0x >时，sin sgn()sin x x x ⋅=，0x <时，sin sgn()sin sin()x x x x ⋅=-=-，所以sin sgn()x x ⋅=sin x ，A 正确．故选A ．2.定义在(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 【答案】21()lg(1)lg(1)33f x x x =++-，x ∈(1,1)- 【解析】(消去法)当x ∈(1,1)-时，有2()()lg(1)f x f x x --=+，①以x -代替得2()()lg(1)f x f x x --=-+，②由①②消去()f x -得，21()lg(1)lg(1)33f x x x =++-，x ∈(1,1)-. 【考点3】分段函数及其应用【备考知识梳理】1．分段函数是一个函数，而不是几个函数；2．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集；【规律方法技巧】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．【考点针对训练】 1. 【某某省孝义市2017届高三高考考前质量检测三】则()4f -=（ ）． A. 116 B. 18 C. 14 D. 12【答案】A【解析】()()()()()41142024216f f f f f ⎛⎫-=-===== ⎪⎝⎭,故选A. 2. 【某某省某某中学2017届高三第二次摸底】设函数()4,1{2,1x x a x f x x +<=≥，若243f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a =（ ）A. 23-B. 43-C. 43-或 23-D. 2-或 23- 【答案】A【考点4】定义域和值域【备考知识梳理】在实际问题中，通过选择变量，写出函数解析式，进而确定定义域和值域，再研究函数的性质是函数思想解决实际问题的体现，定义域就是使得实际问题或者具体问题有意义的自变量的取值X 围，值域就是与定义域相应的函数值的取值X 围．1. 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值X 围.2．求函数定义域的步骤：①写出使函数有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）3.在函数)(x f y =中与自变量相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域..函数的值域与最值均在定义域上研究.函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化X 围.4.函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．【规律方法技巧】1.求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解析式，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.3.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.4.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.5.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.6.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值X 围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数X 围问题，常转化为恒成立问题来解决．7.函数值域的求法:利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的X 围.利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx e y cx d++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. 利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的X 围求自变量值或自变量的取值X 围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域X 围是否符合相应段的自变量的取值X 围．9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除. 【考点针对训练】1. 【某某省某某市第一中学2017届高三最后一卷】已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，则函数__________．【答案】(-1,1) 【解析】由题意210{340x x x +>--+>，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．2. 【某某省揭阳市2017届高三第二次模拟】已知函数，若对任意的1x 、2x R ∈，都有()()12f x gx ≤，则实数A 的取值X 围为【答案】C【解析】也即是()()max min f x g x ≤.()g x 的最小值为，画出()f x 图像如下图所示，由图可知，当1x =时，函数取得最大值为3. 【某某省某某第一中学2017届高三全真模拟】已知函数()2,1{43,1x x f x x x x≤=+->，则()f x 的值域是A. [)1,+∞B. [)0,+∞C. ()1,+∞D. [)()0,11,⋃+∞ 【答案】B【解析】当x ≤1时，f (x )∈[)0,+∞，当x>1时，f (x )=x+4x -3≥1，当且仅当x=4x，即x=2时，f (x )取最小值1；所以f (x )的值域为[)0,+∞.选B.4.【某某省某某市2017届高三四月调研】已知函数()2xxf x e a e-=+⋅+（a R ∈，为自然对数的底数），若()g f x =与()()y f f x =的值域相同，则的取值X 围是（ ）A. 0a <B. 1a ≤-C. 04a <≤D. 0a <或04a <≤ 【答案】A【应试技巧点拨】１． 在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同． ２． 定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行．３． 求函数解析式的几种常用方法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法． ４．分段函数体现了数学的分类讨论思想,求解分段函数求值问题时应注意的问题:(１)应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入计算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类讨论．(２)若给出函数值或函数值的X 围求自变量值或自变量的取值X 围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值X 围．1.【2017()()33f f +-=（ ）A. 1-B.C.D. 【答案】D()()332f f +-=，故选D.2.【某某省某某市崇安区江南中学2017届高三考前模拟】设函数()323614f x x x x =+++且()()1,19f a f b ==。