高三数学一轮复习第3课时等比数列学案

高考数学第一轮复习第三章 数列第三课时等比数列教案教学目的：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题．教学重点：等比数列的通项公式及前n 项和公式的的运用。

教学难点：函数与方程思想及等价转化的思想；错位减法的运用。

考点分析及学法指导：等差与等比数列的考察题型即有选择题、填空题，又有解答题；难度即有容易题、中等题，也有难题。

这与每年试卷的结构布局有关。

客观是突出“小而巧”，主观是为“大而全”，着重考察函数与方程、等价转换、分类讨论等重要的数学思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法，加强与函数、方程、不等式等支撑数学笠体系的重点内容的结合，在知识网络交汇点设计命题。

数列的应用题，考察的侧重点是现实客观事的确良数学化。

旨在通过阅读，理解命题的背景材料，运用数学的思想和方法分析题目中多种数量之间的关系，构造数列模型，将现实问题转化为数学问题解决。

资料 教学过程： 一、知识讲解：1．m n m n q a a -=2．若q p n m +=+，m 、n 、p 、q ∈N *，则q p n m a a a a =特别地，当p n m 2=+时，2p n m a a a =3．n n n q qa q a q q a S ⋅---=--=111)1(111(q≠1)，则nn q k k S ⋅-=，其中q 为公比，q ≠0，q ≠1，qa k -=11。

4．若首项1a ＞0，公比q ＞1，或首项1a ＜0，公比0＜q ＜1，则数列为递增数列；若首项1a ＞0，公比0＜q ＜1，或首项1a ＜0，公比q ＞1，则数列为递减数列；公比q ＝1，数列为常数列；公比q ＜0，数列为摆动数列．公比q 不等于零是一大特点．5．在等比数列中，下标成等差数列的项构成等比数列； 6．连续相同个数项的积也构成等比数列；7．在等比数列中{}2n a ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1也成等比数列； 8．若{}n a 为等比数列，则{}n a lg 成等差数列． 二、例题分析 （一）基础知识扫描1．等比数列{}n a 的通项公式为n a =，可推广为 n a =⋅m a ；等比数列前n 项和公式为n S =，其中n ，m ∈N *．2．若等比数列{}n a 中，3021=+a a ，6043=+a a ，则87a a +=. 3．ac b =2是三个数a ，b ，c 成等比数列的() A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为( )A ．三个月B ．一个月C ．10天D ．20天 5．给出下面五个命题：①若{}n a 是等比数列，且l k n m +=+，则l k n m a a a a +=+②若{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，则()()n n n n n S S S S S 2322-⋅=-③{}n a 是等比数列的一个充要条件是()1-⋅=nn b a S ，常数a ≠0，b ≠1；④若{}k n 成等差数列，则{}kn a成等比数列，其中a >0，a ≠1；⑤若{}n a 成等差数列，则{}n a lg 成等比数列。

第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q(n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝a b.2．等比数列的通项公式与前n 项和公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)当q ≠－1时，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列． [常用结论]1．“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件．2．若q ≠0，q ≠1，则S n ＝k －kq n (k ≠0)是数列{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列． ( )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝a b. ( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36C.812 D ．54C [公比q ＝a 4a 3＝1812＝32，则a 6＝a 4q 2＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝812.]3．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]4．在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝________. 4 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝1，a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝52，消去a 1得1q ＋q ＝52， 解得q ＝12或q ＝2.又0＜q ＜1，故q ＝12，此时a 1＝4.]5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.]等比数列基本量的运算1．(2019·n S n ，若a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( )A ．1B ．5 C.3148 D.1116D [由S 3＝3a 3得a 1＋a 2＝2a 3， ∴1＋q ＝2q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)． ∴S 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23×3332＝1116，故选D.]2．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.32 [设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝74，a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.]3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . [解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[规律方法] 解决等比数列有关问题的两种常用思想等比数列的判定与证明【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn . (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．[解] (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a nn ＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.等比中项法：若数列n n n (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.等比数列性质的应用►考法1 【例2】 (1)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.(1)50 (2)31 [(1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20 ＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)] ＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11) ＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎨⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且a n ＞0，q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎨⎧ a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2.所以S 5＝1×(1－25)1－2＝31.]►考法2 等比数列前n 项和的性质【例3】 (1)等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________．(2)数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式a n ＝________.(1)63 (2)12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1[(1)法一：设数列{a n }的前n 项和为S n .因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝48，①a 1(1－q 2n )1－q ＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n ＝14.③ 将③代入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝(S 2n －S n )2Sn＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ， 因为S 2n ＝S n ＋q n S n ，所以q n ＝S 2n －S n S n＝14，所以S 3n ＝S 2n ＋q 2n S n ＝60＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142×48＝63.(2)设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64，所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.](1)已知等比数列{a n }的公比q ＞0，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50(1)B (2)B [(1) a 5·a 7＝a 26＝4a 24，∴a 6＝2a 4，则a 6a 4＝q 2＝2.∴q ＝2，从而a 1＝12＝22，故选B. (2)S 12＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9)＋(a 10＋a 11＋a 12)＝4＋8＋16＋32＝60.]等差、等比数列的综合问题【例4】 (1)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52A [设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q 2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，由a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3(1＋q 2)a 4(1＋q 2)＝1q ＝25＋1＝2(5－1)(5＋1)(5－1)＝5－12，故选A.](2)(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. ①求{a n }的通项公式； ②求e a 1＋e a 2＋…＋e a n . [解] ①设{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 3＝5ln 2， 所以2a 1＋3d ＝5ln 2.又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. ②因为e a 1＝e ln 2＝2，＝＝e ln 2＝2，所以数列{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×1－2n1－2＝2(2n －1)．n 1248(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意 有⎩⎨⎧a 1＝1，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ， ∴b n ＝2n ，∴b n ＋1b n＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.1．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1C.12D.18C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)， 将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0， 解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.]2．(2014·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2D.n (n －1)2A [由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a 1＋6)2＝(a 1＋2)(a 1＋14)，∴a 1＝2.∴S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝2n ＋n 2－n ＝n (n ＋1)．]3．(2017·全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.－8 [设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1， ① a 1(1－q 2)＝－3.②②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2. ∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.]4．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.[解] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.①(1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎨⎧ d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0.解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21.当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.自我感悟：______________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________。

高三数学《等比数列》教学设计[推荐五篇]第一篇：高三数学《等比数列》教学设计作为一名辛苦耕耘的教育工作者，通常会被要求编写教学设计，教学设计是对学业业绩问题的解决措施进行策划的过程。

教学设计应该怎么写才好呢？下面是小编为大家收集的高三数学《等比数列》教学设计，仅供参考，希望能够帮助到大家。

教学重点：理解等比数列的概念，认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一，探索并掌握等比数列的通项公式。

教学难点：遇到具体问题时，抽象出数列的模型和数列的等比关系，并能用有关知识解决相应问题。

教学过程：一.复习准备1.等差数列的通项公式。

2.等差数列的前n项和公式。

3.等差数列的性质。

二.讲授新课引入：1“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”2细胞分裂模型3计算机病毒的传播由学生通过类比，归纳，猜想，发现等比数列的特点进而让学生通过用递推公式描述等比数列。

让学生回忆用不完全归纳法得到等差数列的通项公式的过程然后类比等比数列的通项公式注意：1公比q是任意一个常数，不仅可以是正数也可以是负数。

2当首项等于0时，数列都是0。

当公比为0时，数列也都是0。

所以首项和公比都不可以是0。

3当公比q=1时，数列是怎么样的，当公比q大于1，公比q小于1时数列是怎么样的？4以及等比数列和指数函数的`关系5是后一项比前一项。

列：1，2，（略）小结：等比数列的通项公式三.巩固练习：1.教材P59练习1，2，3，题2.作业：P60习题1，4。

第二课时5.2.4等比数列（二）教学重点：等比数列的性质教学难点：等比数列的通项公式的应用一.复习准备：提问：等差数列的通项公式等比数列的通项公式等差数列的性质二.讲授新课：1.讨论：如果是等差列的三项满足那么如果是等比数列又会有什么性质呢？由学生给出如果是等比数列满足2练习：如果等比数列=4，=16，=？(学生口答)如果等比数列=4，=16，=？(学生口答)3等比中项：如果等比数列.那么，则叫做等比数列的等比中项（教师给出）4思考：是否成立呢？成立吗？成立吗？又学生找到其间的规律，并对比记忆如果等差列，5思考：如果是两个等比数列，那么是等比数列吗？如果是为什么？是等比数列吗？引导学生证明。

第三节等比数列及其前n项和［最新考纲］［考情分析］［核心素养]1.理解等比数列的概念。

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系。

等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分.1.数学运算2.逻辑推理‖知识梳理‖1．等比数列的有关概念(1)定义①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1．（2)前n项和公式3．等比数列的性质（1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）．（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q．特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p.(3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．(5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列．2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．3．｛a n｝为等比数列，若a1·a2·…·a n＝T n，则T n，错误!，错误!，…成等比数列．4．当q≠0且q≠1时，S n＝k－k·q n（k≠0）是｛a n}成等比数列的充要条件，这时k＝错误!.5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．（1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．（)（2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac。

高三第一轮复习《等比数列》教学设计教学目标：1.使学生理解等比数列的概念，掌握其通项公式，并能运用定义及其通项公式解决一些简单的实际问题。

2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系3.用类比的方法研究等比数列 ,使学生对数列建立起一个知识体系,培养用不完全归纳法去发现并解决问题的能力和计算能力,多让学生动手,让学生在解题中,体会成功的快乐教学重点：1.等比数列的通项公式及其推导过程2.等比数列性质的应用教学难点：等比数列的实际应用问题或与其他知识交汇题的题目 教学方法：自主探究、合作学习教学过程：一、知识点的整理:1．等比数列的定义:2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝11-n q a3.等比中项：若xy G =2，那么G 叫做x 与y 的等比中项．4．等比数列的常用性质5．等比数列的前n 项和公式二、典例分析练习 （口答) 性质的应用(1)．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.(2)．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.(3)．在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则公比q 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3(4)．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________.例1等比数列的基本量的运算（1）已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n（2）在等比数列中，若.14321=a a a a ，816151413=a a a a ，求44434241a a a a 例2等比数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1 (n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列；(2)求数列{b n }的通项公式．变式:设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式课堂小结通过本节课的学习，你对等比函数有什么认识？你有什么收获？1.设计意图：等比数列在高中数学中占有很重要的位置.这一节的难点是对公式的理解及灵活应用,如何突破这一难点,就要让学生理解公式的由来和涉及的数学思想,比如累乘法.然后讲一些典型题,易错易漏题.本节课，力图让学生从不同的角度去研究数列，对等比数列进行一个全方位的研究，并通过类比的方法,把研究等差数列的方法迁移过来.本课的教学中我努力实践以下两点：（1）.在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.（2）.在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法.（3）.通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法.教学流程：2.预期目标完成：本节课无论是等比数列的概念还是通项公式的推导及其应用，还是例题练习，都是通过学生的自主探究或学生交流或师生交流的方式进行教学。

第三讲 等比数列及其前n 项和A 组基础巩固一、单选题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( C )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] a n ＝132＝a 1q n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴n ＝5，故选C.2．(2021·陕西西安中学六模)已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2a 6＝4，且a 4＋2a 7＝52，则S 5＝( C )A ．29B ．30C ．31D ．32[解析] 本题考查等比数列性质及基本量的运算．∵a 2a 6＝a 24＝4，且a n >0，∴a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.设{a n }的公比为q ，则a 7a 4＝q 3＝18，q ＝12，∴a n ＝a 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4＝25－n ，∴S 5＝16＋8＋4＋2＋1＝31.3．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( B ) A ．152B ．314C ．334D ．172[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则显然q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 11－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 11－q 51－q＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.4．(2021·全国甲理)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( B )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件[解析] 当q ＝1，a 1<0时，等比数列{a n }的前n 项和S n ＝na 1<0，可知{S n }是单调递减数列，因此甲不是乙的充分条件；若{S n }是递增数列，则当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1>0，即a 1qn －1>0恒成立，而只有当a 1>0，q >0时，a 1q n －1>0恒成立，所以可得q >0，因此甲是乙的必要条件．综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件．故选B.5．(2021·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则a b＝( A )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 解法一：a 1＝a ＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a ·3n －2，又∵{a n }是等比数列，∴a ＋b ＝2a ·31－2，∴a b＝－3.故选A.解法二：a 1＝a ＋b ，a 2＝2a ，a 3＝6a . 又∵{a n }是等比数列， ∴a 2a 1＝a 3a 2，∴2a a ＋b ＝6a 2a， ∴a ＝－3b ，∴a b＝－3，故选A.6．(2022·广东惠州一中月考)已知数列{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( C )A ．16(1－4－n) B ．16(1－2－n) C ．323(1－4－n)D ．323(1－2－n )[解析] 因为等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，所以a 5a 2＝q 3＝18，所以q ＝12.由等比数列的性质，易知数列{a n a n ＋1}为等比数列，其首项为a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，所以要求的a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{a n a n ＋1}的前n 项和．由等比数列的前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．故选C.二、多选题7．(2021·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝6，则S 4＝( AC )A ．－10B ．－8C ．8D ．10[解析] 设等比数列的公比为q ，因为a 1＝2，S 3＝6，所以S 3＝2＋2q ＋2q 2＝6，则q 2＋q －2＝0，所以q ＝1或q ＝－2.当q ＝1时，S 4＝S 3＋2＝8；当q ＝－2时，S 4＝S 3＋a 1q 3＝6＋2×(－2)3＝－10，故选A 、C.8．(2021·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( BD )A ．a ＝507B ．c ＝507C ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列[解析] 由题意得a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＋2c ＋4c ＝50，即c ＝507，故选B 、D.三、填空题9．(2021·四川南充一诊)数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝ 320 . [解析] 由题意知log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，∴a n ＋1＝2a n ，∴{a n }是公比为2的等比数列，又a 3＝10，∴a 8＝a 3·25＝320.10．(2021·北京东城区期末)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 2＋2a 3＝6，则公比q ＝ 12 ，S 4＝454. [解析] 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式．由题意，数列{a n }是各项均为正数的等比数列，由a 1＝6，a 2＋2a 3＝6，可得a 1q ＋2a 1q 2＝6q ＋12q 2＝6，即2q 2＋q －1＝0，解得q ＝12或q ＝－1(舍去)．由等比数列的前n 项和公式，可得S 4＝6×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1241－12＝454.11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝ 32 .[解析] 由题意知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝74，a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝634－74＝14＝74·q 3，∴q ＝2.又a 1＋2a 1＋4a 1＝74，∴a 1＝14，∴a 8＝14×27＝32.12．(2021·长春市高三一检)等比数列{a n }的首项为a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝ －12.[解析] 由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，所以q ＝－12.四、解答题13．(2021·陕西榆林一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． [解析] (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n ， 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.14．(2021·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .[解析] (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝41－2n1－2＋n n ＋12－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.B 组能力提升1．(2021·安徽六安一中调研)已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( C ) A ．52或－52 B ．－52C ．52D ．12[解析] 由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.故选C. 2．(多选题)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 1＝2，a 4＝2a 2＋a 3.若设其公比为q ，前n 项和为S n ，则下面结论不正确的是( C 、D )A ．q ＝2B ．a n ＝2nC ．S 10＝2 047D ．a n ＋a n ＋1>a n ＋2[解析] 本题考查等比数列基本量的计算．因为a 1＝2，a 4＝2a 2＋a 3，公比为q ，所以2q 3＝4q ＋2q 2，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(负值舍去)，故A 正确；a n ＝2×2n －1＝2n，故B 正确；S n ＝2×2n －12－1＝2n ＋1－2，所以S 10＝2 046，故C 错误；a n ＋a n ＋1＝2n ＋2×2n＝3a n ，而a n ＋2＝4a n >3a n ，故D 错误．故选C 、D.3．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( B )A ．128127B ．44 800127C ．700127D ．17532[解析] 由题意知每日所走的路程成等比数列{a n }，且公比q ＝12，S 7＝700，由等比数列的求和公式得a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1271－12＝700，解得a 1＝44 800127.故选B. 4．(2022·南昌模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，且前n 项和S n ＝126，则n ＝( C )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a n －1＝a 3a n －2＝a 1a n ，又因为a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，所以a 1a n ＝128，又因为a 1＋a n ＝66.所以a 1＝2，a n ＝64或a 1＝64，a n ＝2.因为S n ＝a 1－a n q1－q，且S n ＝126，所以若a 1＝2，a n ＝64，则2－64q 1－q ＝126，得q ＝2.此时a n ＝2×2n －1＝2n＝64，n＝6；若a 1＝64，a n ＝2，则64－2q 1－q ＝126，得q ＝12，此时a n ＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2，得n ＝6.综上知，n ＝6.5．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m . [解析] (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8，解得a 1＝1，q ＝3.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)知log 3a n ＝n －1. 故S n ＝n n －12.由S m ＋S m ＋1＝S m ＋3得m (m －1)＋(m ＋1)m ＝(m ＋3)(m ＋2)，即m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1(舍去)或m ＝6.。

高三第一轮复习《数列》5.3 等比数列（第三课时）一、考向分析以下几种形式在考题中出现的频率很高:(1)等比数列基本量的计算;(2)等比数列性质的应用;(3)等比数列的判断与证明;(4)等比数列与等差数列的综合。

二、考试要求1. 理解等比数列的概念；2. 掌握等比数列的通项公式与前n项和的公式3. 能在具体问题情境中识别数列的等比关系，并能有关知识解决问题；4. 了解等比数列与指数函数的关系.三、重点与难点1. 熟练运用等比数列的通项公式求解问题是复习重点；2. 判断或证明数列的等比关系是复习的难点.四、复习过程1. 知识梳理2. 高考真题（1）(2019年全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=( ).A .16B .8C .4D .2（2）(2019年全国Ⅰ卷)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=31, 24a =a 6, 则S 5= .（3） (2018年全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6= .(4)(2019年全国Ⅱ卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4.①证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列.②求{a n }和{b n }的通项公式.（5）(2018年全国Ⅲ卷)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3.①求{a n }的通项公式;②记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m.4. 规律总结：①深刻理解等比数列的定义，紧扣“从第二项起”和“比是同一常数”，特别注意0,0.n a q ≠≠②判断或证明等比数列的两种思路： 利用定义，证明1n na q a +=为常数; 利用等比中项，证明212n n n a a a ++=对*n ∈N 成立.③方程思想：在1,,,,n n a a q S n 五个两种，运用待定系数法“知三求二”； 函数思想与分类讨论：当a 1＞0，q ＞1或a 1＜0，0＜q ＜1时为递增数列;当a 1＜0，q ＞1或a 1＞0，0＜q ＜1时为递减数列；当q ＜0时为摆动数列；当q =1时为常数列.④掌握等比数列的有关性质:若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈,则m n s t a a a a ⋅=⋅.5.备用题例4 (1)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( ).A.7B.5C.-5D.-7(2)在等比数列{an}中,a1=2,前n 项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn 等于( ).A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1五、教学反思。

第三节 等比数列考纲传真1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系.1．等比数列2．等比数列的性质(1)对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . (2)通项公式的推广：a n ＝a m q n－m(m ，n ∈N *)(3)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．(4)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{1a n }，{a 2n }，{a n ·b n }，{a nb n }(λ≠0)仍是等比数列．1．(人教A 版教材习题改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12『解析』 由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.『答案』 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11『解析』 8a 2＋a 5＝0，得8a 2＝－a 2q 3，又a 2≠0，∴q ＝－2， 则S 5＝11a 1，S 2＝－a 1，∴S 5S 2＝－11.『答案』 A3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』 由题意a 27＝a 3a 11＝16，且a 7＞0，∴a 7＝4， ∴a 10＝a 7·q 3＝4×23＝25，从而log 2a 10＝5. 『答案』 B4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________． 『解析』 ∵S 3＝21，q ＝4，∴a 1（1－q 3）1－q ＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1.『答案』 4n －15．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________．『解析』 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝1－（－2）53＝11.『答案』 11等比数列的基本计算(1)(2012·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n .『思路点拨』 建立关于a 1与公比q 的方程，求出基本量a 1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式．『尝试解答』 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， ∵a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①2（1＋q 2）＝5q ， ②由①得a 1＝q ；由②知q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n .『答案』 2n(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4[1－（－12）n ]1－（－12）＝83『1－(－12)n 』．,1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．(2013·泰安调研)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .『解』 (1)设公比为q ，则a n ＝a 1qn －1.由已知有⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝2（1a 1＋1a 1q），a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64（1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4）.化简得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1＞0，故q ＝2，a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n＝(a n＋1a n)2＝a2n＋1a2n＋2＝4n－1＋14n－1＋2.因此T n＝(1＋4＋…＋4n－1)＋(1＋14＋…＋14n－1)＋2n＝4n－14－1＋1－14n1－14＋2n＝13(4n－41－n)＋2n＋1.等比数列的判定与证明(2013·徐州质检)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n＋54}是等比数列．『思路点拨』正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d，从而求出数列{b n}的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．『尝试解答』(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{b n}中的b3，b4，b5依次为7－d，10，18＋d.依题意，(7－d)(18＋d)＝100，解之得d＝2或d＝－13(舍去)，∴b3＝5，公比q＝2，因此b1＝54.故b n＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)证明由(1)知b1＝54，公比q＝2，∴S n＝54（1－2n）1－2＝5·2n－2－54，则S n＋54＝5·2n－2，因此S1＋54＝52，S n＋54S n－1＋54＝5·2n－25·2n－3＝2(n≥2)．∴数列{S n＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．,1．本题求解常见的错误：(1)计算失误，不注意对方程的根(公差d)的符号进行判断；(2)不能灵活运用数列的性质简化运算．2．证明数列{a n}是等比数列一般有两种方法：(1)定义法：a n＋1a n＝q(q是不为零的常数，n∈N*)；(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0(n ∈N *)．(1)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．『解析』 (1)由题意知a n －2a n －1＝0，∴a n ＝2a n －1(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.『答案』 2n ＋1－2(2)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12.又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，a n ＋S n ＝n ，∴2a n ＋1－a n ＝1，即2(a n ＋1－1)＝a n －1. 又∵a 1－1＝－12，∴a n ＋1－1a n －1＝12，即c n ＋1c n ＝12，∴数列{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列．则c n ＝－12×(12)n －1＝－(12)n ，∴{a n }的通项公式a n ＝c n ＋1＝1－(12)n .等比数列的性质及应用(1)(2013·嘉兴模拟)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于( )A ．50B ．70C ．80D ．90 (2)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. ①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n }的前n 项和．『思路点拨』 (1)利用S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列的性质求解；(2)灵活应用a 2n ＝a n －1·a n ＋1，求a 1与公比q ，进而求出a n ，b n ，然后利用裂项相消法求和． 『尝试解答』 (1)∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列， ∴S 3·(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)2，又S 3＝40，S 6＝40＋20＝60， ∴40(S 9－60)＝202，故S 9＝70. 『答案』 B(2)①设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .②b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.故1b n ＝－2n （n ＋1）＝－2(1n －1n ＋1)，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2『(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)』＝－2n n ＋1.所以数列{1b n }的前n 项和为－2nn ＋1.,1．本题充分利用已知条件，数列的性质，简化了运算．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)(2012·课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1，2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2『解析』 (1)由于a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，a 4＋a 7＝2，∴a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根， 解之得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4.∴q 3＝－12或q 3＝－2.当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝4×(－2)＋(－2)×(－12)＝－7，当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－2－2＋4×(－2)＝－7.(2)∵a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n ，且a n ＞0，∴a n ＝2n ，∵a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 2n －1＝2n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2.『答案』 (1)D (2)C等差、等比数列的综合应用已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对n ∈N *均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.『思路点拨』 (1)可用基本量法求解；(2)作差a n ＋1－a n ＝c nb n .『尝试解答』 (1)由已知a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2(∵d ＞0)．∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，∴数列{b n }的公比为3， ∴b n ＝3·3n －2＝3n －1.(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n ＝a n ＋1得当n ≥2时，c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n .两式相减得：n ≥2时，c n b n＝a n ＋1－a n ＝2.∴c n ＝2b n ＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，c 1b 1＝a 2，∴c 1＝3.∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 （n ＝1）2·3n －1 （n ≥2）.∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010＝3＋6－2×32 0101－3＝3＋(－3＋32010)＝32 010.,1．本题中第(2)题相当于已知数列{c n b n }的前n 项和，求c nb n.2．在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式．本题第(1)问就是用基本量公差、公比求解；第(2)问在作差a n ＋1－a n 时，要注意n ≥2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2，q ≠0)．(1)设b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，证明：{b n } 是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)若a 3是a 6与a 9的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．『解』(1)证明 由题设a n ＋1＝(1＋q )a n －qa n －1(n ≥2)， 得a n ＋1－a n ＝q (a n －a n －1)，即b n ＝qb n －1，n ≥2.由b 1＝a 2－a 1＝1，q ≠0，所以{b n }是首项为1，公比为q 的等比数列． (2)由(1)，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝q ，…，a n －a n －1＝q n －2(n ≥2) 将以上各式相加，得a n －a 1＝1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)，即a n ＝a 1＋1＋q ＋…＋q n －2(n ≥2)．所以当n ≥2时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1－q n －11－q ， q ≠1，n ， q ＝1. 上式对n ＝1显然成立．(3)由(2)，当q ＝1时，显然a 3不是a 6与a 9的等差中项，故q ≠1.由a 3－a 6＝a 9－a 3可得q 5－q 2＝q 2－q 8，由q ≠0得q 3－1＝1－q 6，①整理得(q 3)2＋q 3－2＝0，解得q 3＝－2.于是q ＝－32.另一方面，a n －a n ＋3＝q n ＋2－q n －11－q ＝q n －11－q (q 3－1)，a n ＋6－a n ＝q n －1－q n ＋51－q ＝q n －11－q (1－q 6)．由①可得a n －a n ＋3＝a n ＋6－a n ，所以对任意的n ∈N *，a n 是a n ＋3与a n ＋6的等差中项．一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n 项和公式． 两个防范1.由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.2．运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止忽略q ＝1这一特殊情形． 两种方法证明{a n }是等比数列的主要方法：(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．等比数列是每年高考的热点内容，主要考查等比数列的通项公式，前n 项和公式及等比数列的性质，各种题型均有可能出现．注重等比数列与相关知识综合交汇，或“非标准”的等比数列是命题新的生长点．创新探究之七 等比数列与三角函数的交汇创新(2011·福建高考)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A ＞0，0＜φ＜π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．『规范解答』 (1)由q ＝3，S 3＝133，得a 1（1－33）1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3. 因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin(2×π6＋φ)＝1.又0＜φ＜π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin(2x ＋π6)．创新点拨：(1)等比数列和三角函数相结合，考查学生的阅读理解能力与知识迁移能力． (2)等比数列和三角函数两部分知识跨度较大，放在一起考查，对学生灵活处理问题的能力有较高要求．应对措施：(1)采取先局部，后整体的策略，即先单独考虑等比数列和三角函数，再从整体上考虑两部分知识之间的联系．(2)对两部分知识的结合点，要从其如何产生和有何作用两个方面考虑．1．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 『解析』 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋1a n ＝q ，①中，f （a n ＋1）f （a n ）＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，∴①满足定义，②中，f （a n ＋1）f （a n ）＝2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2(q －1)a n 不满足定义．对于③，f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1a n|＝|q |满足定义． 对于④，取a n ＝2n ，则f (a n )＝ln|2n |＝n ·ln 2不是等比数列． 综上知，①、③是“保等比数列”函数． 『答案』 C2．(2012·陕西高考)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)对任意k ∈N *，证明S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 『解』(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3. 由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)证明 对任意k ∈N *，由(1)知，S k ＋2＝S k ＋a k ＋1＋a k ＋2＝S k ＋a k ＋1－2a k ＋1＝S k －a k ＋1， 且S k ＋1＝S k ＋a k ＋1，∴S k ＋2＋S k ＋1＝2S k ，从而对任意k ∈N *，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．。