云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（五） 文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B A A D DC B C A C BD 【解析】1．{23568}(){368}U U A A B ==∵，，，，，∴，，，故选B ． 2．5i (5i)(1i)23i 1i (1i)(1i)z +++===+--+，在复平面内对应的点的坐标为(23)，，故选A ． 3．1248161024⨯⨯⨯⨯=，结束循环时32i =，故条件可为32i ≥，故选A ．4．A 选项中p ⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题；B 选项中“1x =”是“2230x x +-=”的充分不必要条件；C 选项中命题“()0x f x ∀∈>R ，”的否定是“00()0x f x ∃∈R ，≤”；D 选项正确，故选D ．5．2(2122)(14)λλλλ+=+--=--，，，，a b a b (2)()+⊥-∵，a b a b (21)(1)λλ+-+∴ (22)(4)0λλ--=，即241170λλ-+=，解得714λλ==或，故选D ． 6．易知，A 、B 、D 选项分别对应的是俯视、正视、侧视时的投影，故选C ．7．①442222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2f x x x x x x x x =-=+-=，最小正周期为π，①错；②ππsin 2sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，②对；③π()2cos 2cos 2cos 3f x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭ ππ2cos cos 2sin sin 3sin cos 33x x x x ++π2sin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故易知()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域为[12]，，③错，故选B ．8．斜率为1，12Rt MF F ∴△为等腰直角三角形，2122MF F F c ==，12MF c =，由双曲线定义知：122MF MF a -=，即(222)2c a -=，化简得21c a=+，故选C ． 9．()0xf x '>在(0)(0)-∞+∞，，上恒成立，0x >∴时，()0f x '>；0x <时，()0f x '<，即()f x 在(0)-∞，上递减，在(0)+∞，上递增，(1)(2)(3)f f f <<∴，由()f x 为偶函数，(2)(2)f f -=，(1)(2)(3)f f f <-<∴，故选A ．10．如图1，M N AB AP MN PB ∵、分别为和的中点，∴∥，MN CN PB CN ⊥⊥∵，∴，又P ABC -为正三棱锥，PB AC ⊥∴，AC CN C =， PB PAC ⊥∴平面，PB PA PB PC ⊥⊥∴，，同理可得PA PC ⊥，所以PA PB PC ，，两两垂直，且1PA PB PC ===，所以外接球半径为32，所以外接球表面积为3π，故选C ． 11．22(1)(2)2x y ++-=，圆心坐标为(12)C -，，圆关于直线260ax by ++=对称，即圆心在直线上，圆心坐标代入直线方程得：2260a b -++=，即点()a b ，在直线30l x y -++=： 上，过(12)C -，作l 的垂线，垂足设为D ，过D 作圆C 的切线，切点设为E ，则切线长DE 最短，此时1233222CD CE ++===，，由勾股定理，4DE =，故选B ．12．()0f x kx -=，即方程()f x kx =有四个实数根，即函数()y f x =和函数y kx =的图象有四个交点，分析得，ln x y x=的图象先增后减，在e x =处取 得最大值，如图2所示，设直线与ln (1)x y x x =≥ 的图象相切时斜率为0k ，则00k k <<即可．设切点为000ln x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则00201ln x k x -=，则切线方程为000200ln 1ln ()x x y x x x x --=-，又切线经过点(00)，，代入解得0e x =，故012ek =，图1图2故概率为14e P =，故选D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号13 14 15 16 答案2n 3 2017 (42)-，【解析】13．124a a a ，，成等比数列，所以2214a a a =，即21111(2)(6)22n a a a a a n +=+==，∴，∴． 14．如图3所示，x y ，所满足的可行域为图中阴影 部分区域，对于直线33x z y =-+，显然经过P 点时截距取得最小值，即z 取得最小值，此时3303z =+⨯=．15．当2015x ≤时，()(3)[(6)](6)f x f x f x f x =-+=--+=+，此时()f x 为周期为6的周期函数，201563355=⨯+，(1)(2011)(2014)(2017)2017f f f f ==-==∴．16．222x y m m +>+恒成立，则2min (2)2x y m m +>+即可，211x y+=∵，2(2)x y x y +=+⋅∴ 21442248x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++++⋅ ⎪⎝⎭≥，故282m m >+，即可解得(42)m ∈-，． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理得：sin sin sin (cos 2)0B A A B +-=，sin 0sin cos 20A B B ≠+-∵，∴，π224B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴ 图3即πsin 14B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πππ(0π)424B B B ∈+==∵，，∴，∴． …………………（6分） （Ⅱ）12sin 3622ABC S ac B ac ac ====△，∴， 又322a c +=+，22()(322)17122a c +=+=+，22217122a c ac ++=+，2217a c +=∴，22222cos 172625b a c ac B =+-=-⨯⨯=，5b =∴． ………………（12分） 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在题图甲中连接BD ，交AE 于点F ，因为E 为CD 中点，故DE =1， 2AD AB DE AD==，又90BAD ADE ∠=∠=︒， BAD ADE ∴△∽△，ABD DAE ∠=∠∴，90DAE ADB ABD ADB ∠+∠=∠+∠=︒∴，90AFD ∠=︒∴，即AE BD ⊥．因为是沿着AE 折叠的，故不改变1D F AE BF AE ⊥⊥，，又1D F BF F =，AE ⊥∴平面1BD F ，而1BD ⊂平面1BD F ，1AE BD ⊥∴．…………………………………………………（6分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1D F AE ⊥，因为平面1AD E ⊥平面ABCE ，1D F ABCE ⊥∴平面，又1122222ABC S AB BC =⋅⋅=⨯=△， 在题图甲中易求36AE BD ==，DF AE ⊥∵，6AD DE DF AE ⋅==∴， 即16D F ，而26BF =， 1111623233D ABC ABC V S D F -=⋅⋅==△∴ 又1AD E ABCE ⊥平面平面，1D F BF ⊥∴，221130BD D F BF =+∴，在1ABD △中，22211112cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠==⋅，17sin BAD ∠=∴， 11111714sin 2222ABD S AB AD BAD =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△， 设点C 到平面1ABD 的距离为h ，因为11C ABD D ABC V V --=，11233342914D ABC ABD V h S -⨯===△∴，故点C 到平面1ABD 的距离为42． …………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）求得555521111901122025ii i i i i i i i x x y x y ========∑∑∑∑，，，， 51522215112545ˆˆˆ1.25 1.240.290545ii i i i x y x y b a y bx xx ==--⨯⨯====-=-⨯=-⨯-∑∑，， 故线性回归方程为ˆ 1.20.2y x =+． ………………………………………………（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当9x =时，ˆ 1.290.211y=⨯+=，即使用年份为9年时，返厂所需要支出的费用为11万元． ……………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2212c a b e a -===，又菱形面积243S ab ==，易得：23a b ==，， 故椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………………………………（4分）（Ⅱ）设点1122()()M x y N x y ，，，，当切线与x 轴不垂直时，设切线方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得222(43)84120k x kmx m +++-=，212122284124343km m x x x x k k --+==++，， 222221212228412(1)[()4](1)44343km m MN k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦∴， 化简得：22222(19214448)(1)(43)k m MN k k +-=++，① 因为直线y kx m =+与圆222x y +=相切，故221mk =+， ………………………（8分）即222(1)m k =+，将其代入①式得：2222(9648)(1)(43)k MN k k +=++， 令2(0)t k t =≥，则222222(1)(9648)96144486(43)666(43)(43)(43)(43)t t t t t MN t t t t +++++-====-++++， 显然，在0t ≥时，函数26()6(43)f t t =-+单调递增， 故最小值在0t =时取得，此时，0k =，43MN =． 当斜率不存在时，22x =，代入算得436MN =>， 故当直线为2y =±时，MN 取得最小值43，又12OMN S MN r =⋅⋅△，r 为定值2， 故MN 取得最小值时，OMN S △26． ……………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：1()ln ln 1f x x x a x a x'=+⋅-=+-，令()0f x '=得1e a x -=， 令()0f x '<，即1(0e )a x -∈，，此时()f x 单调递减；令()0f x '>，即1(e )a x -∈+∞，，此时()f x 单调递增．故1e a x -=为()f x 的最小值点．11(e )e a a f --=-，所以()f x 在(0)x ∈+∞，上有极小值1e a --，无极大值． ……………………………（5分） （Ⅱ）证明：当(0+)x ∈∞，时，要想证212ln 1e e x x x x x ---<恒成立， 即证212ln e e x x x x x --<+恒成立．可尝试证min 2max 12(ln )ee x x x x x -⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭， 不等式右边为（Ⅰ）中1a =-的情况，故知ln x x x +在2e x -=处取得极小值，也即最小值2e --． …………………………………………………………………（8分）令212()e ex x h x -=-，2e (1)e 2()(e )e x x x x x x h x ---'==， 容易看出2max ()(2)e h x h -==-，又()h x 和ln x x x +分别取得最大值和最小值的x 并不相同，故212ln e ex x x x x --<+恒成立， 即当(0+)x ∈∞，时，()1g x <恒成立．……………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：如图4，∵PA 是切线，AB 是弦，∴BAP C ∠=∠．又∵APD CPE ∠=∠，∴BAP APD C CPE ∠+∠=∠+∠．ADE BAP APD ∠=∠+∠，AED C CPE ∠=∠+∠，∴ADE AED ∠=∠． …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BAP C ∠=∠，又∵APC BPA ∠=∠，∴APC △∽BPA △，∴PC CA PA AB=． ∵AC AP =，∴APC C ∠=∠，∴APC C BAP ∠=∠=∠．由三角形内角和定理可知，180APC C CAP ∠+∠+∠=︒．∵BC 是圆O 的直径，∴90BAC ∠=︒，∴1809090APC C BAP ∠+∠+∠=︒-︒=︒，图4∴190303C APC BAP ∠=∠=∠=⨯︒=︒． 在Rt ABC △中，1tan CA C AB =，即1tan30CA AB=︒， ∴3CA AB =，∴3PC CA PA AB==． ……………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆的直角坐标方程为：2222222x y r ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 圆心坐标为2222C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，ρ=2222122⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心C 在第二象限，3π4θ=，圆心极坐标为3π14⎛⎫ ⎪⎝⎭，． …………………………（5分） （Ⅱ）圆C 上的点到直线l 的最大距离等于圆心C 到直线l 的距离和半径之和，l 的直角坐标方程为10x y +-=，22122222r -+-+=，322r =． ……………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）31(1)()3(11)31(1)x x f x x x x x +>⎧⎪=+-⎨⎪--<-⎩，≤≤，，()5f x >∴的解集为4 2 3x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或． ……………………………………（5分） （Ⅱ）()[2)f x ∈+∞，，()()f x a a <∈R 的解集为空集，则(2]a ∈-∞，． …………（10分）。

理科数学参考答案·第1页（共8页）云南师大附中2015届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由{0,2}A =，{0,1,2}B =，所以{0,2}AB =，故选C.2．由42015i i 1i z =+=-，则1i z =+，其对应点为(1,1)，在第一象限，故选A. 3．由{}n a 为等差数列，故而39662a a a +==，又1161166S a ==，故选D. 4．框图的运行如下：第一步1,πcos ;6k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第二步3,ππcos cos ;63k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第三步5,ππ2πcos cos cos .633k S =⎧⎪⎨=⎪⎩第三步结束跳出循环，即最后输出的ππ2πcos cos cos 633S =，又由ππ2πc o sc o s c 6338S ==，故选D. 5．①错，因为分别与两平行平面平行的两直线可以是平行、相交或异面； ②错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面； ③错，因为两直线的位置关系可以是平行、相交或异面；④对，直线m 、n 的方向向量分别是两互相垂直平面α、β的法向量，故而m n ⊥，所以有3个命题是假命题，故选C ．6．如图1所示，由椭圆的第一定义知，1214PF PF +=， 又有122PF PF -=，故而18PF =，26PF =，而1210F F =，所以2221212PF PF F F +=， 故12PF F △为Rt △，则12121242PF F S PF PF =⋅=△，故选B.7．由于1A 、2A 串联，故其能通过电流的概率为0.81， 则1A 、2A 不能通过电流的概率为10.810.19-=，图2图1理科数学参考答案·第2页（共8页）由1A 、2A 串联后与3A 并联，如图2，故,A B 之间能通过电流的概率为1(10.81)(10.9)0.981---=，又由于电路再与4A 串联，故而电流能在,M N 之间通过的概率是0.9810.90.8829⨯=，故选B.8．由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线220y x =的焦点重合，则5c =，由点到线的距离公式可知焦点(,0)c 到双曲线渐近线by x a=±的距离d b =，所以4b =，故而3a ==，故其离心率53e =，故选C.9．由题意知，2n B =，令1x =，则4n A =，故而4272n n A B +=+=， 解之得：3n =，故选A.10．由题意可知该三棱锥为如图3所示的边长为1的正方体中以,,,A B C D为顶点的正四面体，故而其体积313V ==，故选C. 11．由(())()()0xf x xf x f x ''=+>，则函数()xf x 为R 上的增函数. 由于01a b <<<，则01b a a <=，01a b b <=，log log 1a a b a <=，而lo g l o g 1b ba b >=，则log (log )b b a f a ⋅最大，故选D.12．必要条件，若ABC △是锐角三角形，则π,,0,2A B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，所以tan tan tan 0A B C ++>，必要性成立；充分条件，由tan tan tan 0A B C ++>，即tan ,tan ,tan A B C 有意义，ABC △不是直角三角形. 又在ABC △中，由πA B C ++=，得：πA B C +=-，所以tan()tan(π)A B C +=-⇒tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⇒++=，由tan tan tan 0A B C ++>， 则tan tan tan 0A B C >，所以ABC △是锐角三角形，故选B.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图3理科数学参考答案·第3页（共8页）13．由223a b +=，得2(2)12a b +=，即224()4()12a a b b +⋅+=，所以21441122b b +⨯⨯⨯+=，解得2b =.14．,x y 满足的线性区域如图4阴影部分所示，222x y +=，由两点间距离公式知，22x y+的最小值的几何意义是点 (0,0)到阴影区域中点的最小距离的平方，如图可知点(0,0)到阴影区域 的最小距离为点(0,0)到直线220x y+-=的距离d ， 故d ==222min4()5x y +==.15．经观察可知，由两位的“和谐数”有9个，而三位的“和谐数”相当于在两位数的中间增加0至9中任意一个数，故而三位的“和谐数”有91090⨯=个，而四位的“和谐数”相当于三位的“和谐数”中间的数字重复出现一次，则四位的“和谐数”有90个；同理，五位的“和谐数”有9010900⨯=个，六位的“和谐数”有900个，七位的“和谐数”有900109000⨯=个，八位的“和谐数”有9000个.16．记三个球心分别是1O ，2O ，3O ，球I 与桌面的切点为O ，反过来看图，由题意可知：三棱锥123IO O O 是以I 为顶点 123O O O 为底面的正三棱锥，三棱锥123OO O O 是以O 为顶点 123O O O 为底面的正三棱锥. 如图5所示，记A 为底面123O O O的中心，则OIA 三点共线且OA 垂直底面123O O O ，由题意知126O O =， 3OA =，1O A =，设球I 的半径为r ，则3AI r =-，13IO r =+，有22211()()()AO AI IO +=，即22(3)(3)12r r +=-+，解得1r =，所以球I 的半径为1．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）图4图5理科数学参考答案·第4页（共8页）证明：（Ⅰ）由121(2)n n a a n -=+≥，知112(1)(2)n n a a n -+=+≥， 所以{1}n a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，故而111(1)2n n a a -+=+⋅，即12n n a +=，所以21n n a =-． ……………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知221log (1)21n n b a n +=+=+， 21111114(1)41n n c b n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭， 所以1111111111142231414n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ……………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图6，取BC 的中点O ， 因为PBC △为等边三角形，所以PO BC ⊥，又因为侧面PBC ⊥底面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， 如图6，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，直线OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1,2,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)D --，(0,0,P ，所以(2,1,0)BD=--，(1,2,PA =-，0BD PA ⋅=， 则BD PA ⊥，即B D P A⊥.………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：因为PFPA λ=，(1,2,PA =-，所以(,2,)PF λλ=-， 又(1,1,DP =，所以(1,12,))DF DP PF λλλ=+=+--，又平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)n =，直线DF 与平面ABCD 所成角为30︒.sin 30DF n DF n⋅︒=，所以12=， 所以241670λλ-+=，则12λ=或72λ=（舍）. 当12λ=时，直线DF 与平面ABCD 所成角为30︒. …………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为18的等差数列，图6理科数学参考答案·第5页（共8页）又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P ，故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是18P +、14P +，由题意知，19(1)832P P ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得14P =或58P =（舍），所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为14. ………………………………（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是38、12，由题意知，ξ的可能取值为2,3,4,5,6，由题意可知121(2)(1,1)436P P m n ξ=====⨯=，11233235(3)(1,2)(2,1)433483144P P m n P m n ξ⎛⎫⎛⎫====+===⨯⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (4)(1,3)(2,2)(3,1)P P m n P m n P m n ξ====+==+==1113312352584334833483144⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(5)(2,3)(3,2)P P m n P m n ξ====+==33113512134833483396⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，35115(6)(3,3)483396P P m n ξ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ξ的分布列为：……………………………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点20)F ，故可设椭圆的方程为222213x y b b +=+，解方程组2,y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得C，D -，理科数学参考答案·第6页（共8页）由抛物线与椭圆的对称性，可得：22F C CD F SST==，所以212F S =，所以12S ⎫⎪⎭.因此2213413b b+=+，解得21b =，故而24a =， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=. ……………………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设其为k . ①当0k =时，0OA OB tOP +==，所以0t =； ②当0k ≠时，则直线l 的方程为(3)y k x =-，联立221,4(3),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 并整理得：2222(14)243640k x k x k +-+-=，由Δ2222(24)4(14)(364)0k k k =-+->，得2105k <<，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则2212122224364,1414k k x x x x k k -+==++． 因为OA OB tOP +=，所以121200(,)(,)x x y y t x y ++=， 所以20122124()(14)k x x x t t k =+=+，012122116()[()6](14)ky y y k x x k t t t k -=+=+-=+．因为点P 在椭圆上，所以2222224644(14)(14)k k t k t k ⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦， 解得222236991414k t k k ==-++， 由于2105k <<，故而204t <<，所以(2,0)(0,2)t ∈-，综合①②可知，(2,2)t ∈-. ……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由题意知，()ln 2(0)f x x x '=+>，所以2()ln 2(0)F x ax x x =++>，2121()2(0)ax F x ax x x x+'∴=+=>．理科数学参考答案·第7页（共8页）①当0a ≥时，恒有()0F x '>，故()F x 在(0,)+∞上是增函数； ②当0a <时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x << 令()0F x '<，得2210ax +<，解得x 综上所述，当0a ≥时，()F x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，()F x在0,⎛⎝上单调递增；在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. ………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由题意知，21212121()()ln ln f x f x x x k x x x x ''--==--，要证121x x k <<，即要证22112122211111ln ln ln x x x x x x x x x x x x --<<⇔<<-， 令211x t x =>，则只需要证明11ln t t t-<<，由l n 0t >，即等价证明：ln 1ln (1)t t t t t <-<>． ①设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t '=-≥≥，故而()g t 在[1,)+∞上单调递增，而当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即ln 1(1)t t t <->；②设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故而()h t 在[1,)+∞上单调递增， 而当1t >时，()ln (1)(1)0(1)h t t t t h t =-->=>，即1ln (1)t t t t -<>. 综上①②知，ln 1ln (1)t t t t t <-<>成立，即121x x k<<. …………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图7，连接DG ，AB ， ∵AD 为⊙M 的直径， ∴90ABD AGD ∠=∠=︒，在⊙O 中，90ABC AEC ABD ∠=∠=∠=︒，∴AC 为⊙O 的直径. …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）∵90AEC ∠=︒，∴90CEF ∠=︒，∵点G 为弧BD 的中点，∴BAG GAD ∠=∠，图7理科数学参考答案·第8页（共8页）在⊙O 中，BAE ECB ∠=∠，∴AGD CEF △∽△，∴AG EF CE GD ⋅=⋅. …………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩故而C 的直角坐标方程为22.y ax =消去t 得直线l 的普通方程为2y x =-. ……………………………………………（4分）（Ⅱ）由题意可知直线l的标准参数方程为2,4,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）， 代入22y ax =得到2)8(4)0t a t a -+++=，则有1212),8(4)t t a t t a +=+⋅=+，由28(4)48(4)0a a ∆=+-⨯+>，即0a >或4a <-.因为2||||||MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅， 解得1a =或4a =-（舍），所以1a =. ………………………………………………………………（10分） 24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）因为0,0m n >>， 则2422m n mn +≥，4222m n m n +≥， 所以244233()()4m n m n m n ++≥，当且仅当1m n ==时，取等号． …………………………………………（5分） （Ⅱ）由柯西不等式知：22222()()()a b m n am bn +++≥， 即2225()(5)m n +≥，所以225m n +≥， 当且仅当a bm n=时取等号. …………………………………………（10分）。

云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数z=i4+i2015的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a9=12，则数列{a n}的前11项和S11等于（）A．33 B．44 C．55 D．664．（5分）执行如图所示框图，则输出S的值为（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；③若m⊂α，n⊂β且α⊥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n．其中假命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）A．24B．24 C．48D．487．（5分）如图，元件A i（i=1，2，3，4）通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是（）A．0.729 B．0.8829 C．0.864 D．0.98918．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）若在的展开式中，各系数之和为A，各二项式系数之和为B，且A+B=72，则n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）如图所示，某三棱锥的三视图均为边长为1的正方形，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）+f（x）＞0，当0＜a＜b＜1时，下面选项中最大的一项是（）A．a b f（a b）B．b a f（b a）C．log a b•f（log a b）D．log b a•f（log b a）12．（5分）在△ABC中，tanA+tanB+tanC＞0是△ABC是锐角三角形的（）A．既不充分也不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，夹角为60°，且||=1，|2﹣|=2，则||=．14．（5分）已知，则x2+y2的最小值是．15．（5分）无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“和谐数”，如88，545，7337，43534等都是“和谐数”．两位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，988，9999，共90个；由此推测：八位的“和谐数”总共有个．16．（5分）三个半径均为3且两两外切的球O1、O2、O3放在水平桌面上，现有球I放在桌面上与球O1、O2、O3都外切，则球I的半径是．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}满足a n=2a n﹣1+1（n≥2）且a1=1，b n=log2（a2n+1+1），．求证：（Ⅰ）数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}的前n项和．18．（12分）如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，侧面PBC⊥底面ABCD，点F在线段AP上，且满足．（1）证明：PA⊥BD；（2）当λ取何值时，直线DF与平面ABCD所成角为30°？19．（12分）甲乙两位同学参加学校安排的3次体能测试，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为，乙同学3次测试每次测试合格的概率均为，每位同学参加的每次测试是否合格相互独立．（Ⅰ）求甲同学第一次参加测试就合格的概率P；（Ⅱ）设甲同学参加测试的次数为m，乙同学参加测试的次数为n，求ξ=m+n的分布列．20．（12分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（3，0）的直线l与椭圆E交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足+=t （O为坐标原点），求实数t的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．（Ⅰ）设F（x）=ax2+f'（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（Ⅱ）若斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1＜＜x2．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE．（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径．（Ⅱ）求证：AG•EF=CE•GD．选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．（10分）设a＞0，b＞0，m＞0，n＞0．（Ⅰ）证明：（m2+n4）（m4+n2）≥4m3n3；（Ⅱ）a2+b2=5，ma+nb=5，求证：m2+n2≥5．云南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）在复平面内，复数z=i4+i2015的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的单位i的指数运算，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的共轭复数的形式，判断选项即可．解答：解：复数z=i4+i2015=1+i2012+3=1﹣i，复数的共轭复数我1+i，对应的点（1，1）在第一象限．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，基本知识的考查．3．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a9=12，则数列{a n}的前11项和S11等于（）A．33 B．44 C．55 D．66考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得S11==，由此能求出结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，a3+a9=12，∴数列{a n}的前11项和：S11====66．故选：D．点评：本题考查等差数列的前11项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4．（5分）执行如图所示框图，则输出S的值为（）A．B．﹣C．D．﹣考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的S，α的值，当k=5时，满足条件k＞4，输出S的值为﹣．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=1，α=S=，α=不满足条件k＞4，k=3S=，α=不满足条件k＞4，k=5S=﹣，α=满足条件k＞4，输出S的值为﹣．故选：D．点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5．（5分）关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，有下列四个命题：①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；③若m⊂α，n⊂β且α⊥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n．其中假命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：对四个命题，利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，分别判断能求出结果．解答：解：对于①，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥平面ABCD，AD∥平面A1B1C1D1，A1D1∥AD；E P∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，EP∩PQ=P；A1D1∥平面ABCD，PQ∥平面A1B1C1D1，A1D1与PQ异面．综上，直线m，n与平面α，β，m∥α，n∥β且α∥β，则直线m，n的位置关系为平行或相交或异面．故①为假命题；当m⊂β时，则m⊥n，故②为假命题；∵m⊂α，n⊂β，且α⊥β，∴根据当m⊥β，可以推出直线m垂直于β内的所有条件，可以得到垂直与直线n，故③为假命题；由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故④正确故选：C．点评：本题考查两直线位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．6．（5分）F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（）A．24B．24 C．48D．48考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆的定义，结合|PF1|﹣|PF2|=2，可得|PF1|=8，|PF2|=6，进而PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积可求．解答：解：由题意，|PF1|+|PF2|=14，∵|PF1|﹣|PF2|=2，∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴PF1⊥PF2，∴△PF1F2的面积为=24，故选：B．点评：本题考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质以及根据一些性质求面积，确定PF1⊥PF2是关键．7．（5分）如图，元件A i（i=1，2，3，4）通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是（）A．0.729 B．0.8829 C．0.864 D．0.9891考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：求出电流不能通过A1 、A2 ，且也不能通过A3的概率，用1减去此概率，即得电流能通过系统A1 、A2 、A3的概率．再根据电流能通过A4的概率为0.9，利用相互独立事件的概率乘法公式求得电流能在M，N之间通过的概率．解答：解：电流能通过A1 、A2 ，的概率为0.9×0.9=0.81，电流能通过A3的概率为0.9，故电流不能通过A1 、A2 ，且也不能通过A3的概率为（1﹣0.81）（1﹣0.9）=0.019，故电流能通过系统A1 、A2 、A3的概率为 1﹣0.019=0.981，而电流能通过A4的概率为0.9，故电流能在M，N之间通过的概率是（1﹣0.019）×0.9=0.8829，故选：B．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．8．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，且抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的离心率．解答：解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线的离心率为e==，故选：C．点评：本题考查双曲线的离心率，考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）若在的展开式中，各系数之和为A，各二项式系数之和为B，且A+B=72，则n的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意可得A==4n，B=2n，再由A+B=4n+2n=72，求得2n的值，可得n的值．解答：解：由题意可得A==4n，B=2n，再由A+B=4n+2n=72，可得（2n﹣8）（2n+9）=0，∴2n=8，n=3，故选：A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，注意各系数之和，与各二项式系数之和的区别，属于基础题．10．（5分）如图所示，某三棱锥的三视图均为边长为1的正方形，则该三棱锥的体积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体可看成边长为什么的正方体内截出的正四面体．解答：解：该几何体可看成边长为什么的正方体内截出的正四面体，则其体积V=1﹣4××（×1×1）×1=，故选C．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足xf′（x）+f（x）＞0，当0＜a＜b＜1时，下面选项中最大的一项是（）A．a b f（a b）B．b a f（b a）C．log a b•f（log a b）D．log b a•f（log b a）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：通过构造新函数构造函数F（x）=xf（x）得出F（x）在R上是增函数，在a b，b a，loga（b），logb（a）中logb（a）最大，从而得出答案．解答：解：构造函数F（x）=xf（x）则F'（x）=xf'（x）+f（x）＞0即F（x）在R上是增函数，又由0＜a＜b＜1知a b，b a＜1而loga（b）＜loga（a）=1logb（a）＞logb（b）=1故在a b，b a，loga（b），logb（a）中logb（a）最大故F（logb（a））=logb a•f（logb a）最大故选D．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了转化思想，是一道中档题．12．（5分）在△ABC中，tanA+tanB+tanC＞0是△ABC是锐角三角形的（）A．既不充分也不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．充分不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性和必要性，从而得出答案．解答：解：先证充分性：∵tan（A+B）=，∴tan（A+B）=tan（180°﹣C）=﹣tanC，∴tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，若三角形有一个钝角，必有一个值为负值，tanA•tanB•tanC＜0，若三角形有一个为直角，则tanA•tanB•tanC无意义，∴当tanA•tanB•tanC＞0时三个角为锐角，故tanA+tanB+tanC＞0时，△ABC是锐角三角形；再证必要性：∵△ABC是锐角三角形；∴tanA•tanB•tanC＞0，又tan（A+B）=，∴tan（A+B）=tan（180°﹣C）=﹣tanC，∴tanA+tanB=﹣tanC+tanAtanBtanC，∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC＞0，∴△ABC是锐角三角形时，tanA+tanB+tanC＞0．故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角恒等变换，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量，夹角为60°，且||=1，|2﹣|=2，则||=4．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积运算和性质即可得出．解答：解：∵|2﹣|=2，∴=12，∴，化为，解得=4．故答案为：4．点评：本题考查了数量积运算和性质，属于基础题．14．（5分）已知，则x2+y2的最小值是．考点：简单线性规划的应用．专题：数形结合．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题．解答：解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，当O点到直线2x+y﹣2=0的距离平方时，z最小，最小值为=，故答案为：．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．15．（5分）无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“和谐数”，如88，545，7337，43534等都是“和谐数”．两位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，988，9999，共90个；由此推测：八位的“和谐数”总共有9000个．考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：根据“和谐数”的定义和特点，一位的“和谐数”有10个，二位的“和谐数”有9个，三位的“和谐数”有9×10个，四位的“和谐数”有9×10个，五位和六位的“和谐数”总共有9×10×10 个，位和八位的“和谐数”总共有9×10×10×10=9000 个，从而得出结论．解答：解：根据“和谐数”的定义，“和谐数”的首位和末尾是相同的，故两位或两位以上的“和谐数”的末尾不能为0，故末尾和首位有9种选择，其余的有10种选择．对于位数是偶数的“和谐数”，其中有一半位数确定了，这个数就确定了．对于位数是奇数的“和谐数”，最中间的那位数字可任意取，有10种方法．故一位的“和谐数”有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10个；二位的“和谐数”有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的“和谐数”有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共9×10=90个；四位的“和谐数”有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共9×10=90个；故五位和六位的“和谐数”总共有9×10×10=900 个，七位和八位的“和谐数”总共有9×10×10×10=9000 个，故答案为：9000．点评：本题主要考查排列、组合以及两个基本原理的应用，注意理解“和谐数”的定义和特点，属于中档题．16．（5分）三个半径均为3且两两外切的球O1、O2、O3放在水平桌面上，现有球I放在桌面上与球O1、O2、O3都外切，则球I的半径是1．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，球心I到平面O1O2O3的距离为3﹣r，|O1I|=3+r，由勾股定理可得方程，解方程即可得出结论．解答：解：设球I的半径是r，则|O1I|=3+r，由题意，球I放在桌面上与球O1、O2、O3都外切，∴球心I到桌面的距离为r，球心O1到桌面的距离为3，∴球心I到平面O1O2O3的距离为3﹣r，则由勾股定理可得（3+r）2=（3﹣r）2+（2）2，∴r=1，故答案为：1．点评：本题考查球与球的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．三、解答题17．（12分）已知数列{a n}满足a n=2a n﹣1+1（n≥2）且a1=1，b n=log2（a2n+1+1），．求证：（Ⅰ）数列{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{c n}的前n项和．考点：数列递推式；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）把已知的等式a n=2a n﹣1+1变形，得到a n+1=2（a n﹣1+1），同时求出当n=2时得到a2+1=2（a1+1），将a1的值代入求出a2+1的值，确定出数列{a n+1}以2为首项，2为公比的等比数列，表示出等比数列的通项公式，可得出a n的通项公式；（Ⅱ）确定数列{c n}的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．解答：证明：（Ⅰ）∵a n=2a n﹣1+1，∴a n+1=2（a n﹣1+1），令n=2得：a2+1=2（a1+1），又a1=1，∴a2+1=4，a1+1=2，∴数列{a n+1}以2为首项，2为公比的等比数列，则通项公式为a n+1=2n，即a n=2n﹣1，…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=log2（a2n+1+1）=2n+1，=（﹣），所以S n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）＜．…（12分）点评：此题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的确定，考查裂项法求和，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．18．（12分）如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2，CD=1，侧面PBC⊥底面ABCD，点F在线段AP上，且满足．（1）证明：PA⊥BD；（2）当λ取何值时，直线DF与平面ABCD所成角为30°？考点：用空间向量求直线与平面的夹角；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）先证明PO⊥平面ABCD，再建立空间直角坐标系，利用向量的数量积为0，可证得PA⊥BD；（2）利用平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），直线DF与平面ABCD所成角为30°，根据向量的夹角公式，即可求得结论．解答：（1）证明：如图，∵△PBC是等边三角形，O是BC中点，∴PO⊥BC．由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，∴A（1，﹣2，0），B（1，0，0），D（﹣1，﹣1，0），P（0，0，）∴∴∴∴PA⊥BD；（2）解：∵，∴∵∴=∵平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），直线DF与平面ABCD所成角为30°∴sin30°=||∴4λ2﹣16λ+7=0∴，（舍去）∴λ=时，直线DF与平面ABCD所成角为30°．点评：本题考查线线垂直，考查线面角，考查李建勇空间向量解决立体几何问题，属于中档题．19．（12分）甲乙两位同学参加学校安排的3次体能测试，规定按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加．甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过，且他直到第二次测试才合格的概率为，乙同学3次测试每次测试合格的概率均为，每位同学参加的每次测试是否合格相互独立．（Ⅰ）求甲同学第一次参加测试就合格的概率P；（Ⅱ）设甲同学参加测试的次数为m，乙同学参加测试的次数为n，求ξ=m+n的分布列．考点：离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P，故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是p+、p+，由题意知，（1﹣p）（p+）=，由此能求出甲同学第一次参加测试就合格的概率．（Ⅱ）甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是、，由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出ξ=m+n的分布列．解答：解：（Ⅰ）由甲同学3次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列，又甲同学第一次参加测试就合格的概率为P，故而甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是p+、p+，由题意知，（1﹣p）（p+）=，解得p=或p=（舍），所以甲同学第一次参加测试就合格的概率为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知甲同学参加第二、三次测试合格的概率分别是、，由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，5，6，由题意可知P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）=（）×（）+（）×（）=，P（ξ=6）==，所以ξ的分布列为：ξ 2 3 4 5 6P…（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．20．（12分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过点M（3，0）的直线l与椭圆E交于两点A、B，设P为椭圆上一点，且满足+=t （O为坐标原点），求实数t的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由焦点F2（，0），故可设椭圆的方程为，求出C，D的坐标，由抛物线与椭圆的对称性，可得S（，），代入椭圆方程，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合+=t，求出P的坐标，代入椭圆方程，求出实数t的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（，0），故可设椭圆的方程为，解方程组解得C（，2），D（，﹣2），由抛物线与椭圆的对称性，可得：=，所以|F2S|=，所以S（，）．因此，解得b=1，故而a=2，所以椭圆E的方程为．（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设其为k．①当k=0时，所以t=0；②当k≠0时，则直线l的方程为y=k（x﹣3），代入椭圆方程，消去y并整理得：（1+4k2）x2﹣24k2x+36k2﹣4=0，由△＞0，得0＜k2＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=，x1x2=．因为+=t，所以（x1+x2，y1+y2）=t（x0，y0），所以x0=（x1+x2）=，y0=．因为点P在椭圆上，所以[]2+[]2=4，解得t2=9﹣，由于0＜k2＜，故而0＜t2＜4，所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），综合①②可知，t∈（﹣2，2）．点评：本题重点考查圆锥曲线的方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键是利用待定系数法求圆锥曲线的方程．21．（12分）已知函数f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．（Ⅰ）设F（x）=ax2+f'（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；（Ⅱ）若斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：x1＜＜x2．考点：利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，代入函数F（x）=ax2+f'（x）（a∈R），进一步求出函数F（x）的导函数，然后分a≥0和a＜0分析导函数在不同区间内的符号，从而得到函数F（x）的单调性；（Ⅱ）由两点式求出，利用分析法得到证，转化为证，换元后构造函数，利用导函数得到单调性，从而得到要证的结论．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x（lnx+1）（x＞0），得f′（x）=lnx+2（x＞0），F（x）=ax2+lnx+2（x＞0），∴（x＞0）．①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）上是增函数；②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax2+1＞0，解得；令F′（x）＜0，得2ax2+1＜0，解得；综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减；（Ⅱ）．要证，即证，等价于证，令，则只要证1＜，由t＞1，知lnt＞0，故等价于lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞0）（*）①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则（t≥1），故g（t）在[1，+∞）上是增函数，∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt，②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h′（t）=lnt≥0（t≥1），故h（t）在[1，+∞）上是增函数．∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1（t＞1）．由①②知（*）成立，故．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了不等式的证明，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了函数构造法，解答的关键在于正确分类，是有一定难度题目．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧BD的中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F，连接CE．（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径．（Ⅱ）求证：AG•EF=CE•GD．考点：圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质．专题：证明题．分析：（ I）要证AC为⊙O的直径，只需证出=90°即可．∠ABC连接DG，AB，根据圆周角定理得出∠ABD=∠AGD=90°后，则可得到证明．（Ⅱ）要证AG•EF=CE•GD，可考虑证明△AGD∽△ECF．两三角形均为直角三角形，再通过∠GAD=∠GAB=∠BCE，则可证出△AGD∽△ECF．解答：证明：（ I）连接DG，AB∵AD为⊙M的直径∴∠ABD=∠AGD=90°在⊙O中，∠ABC=∠AEC=∠ABD=90°∴AC为⊙O的直径．…（4分）（ II）∵∠AEC=90°∴∠CEF=90°∵点G为弧BD的中点∴∠GAD=∠GAB，在⊙O中，∠BCE=∠GAB∴△AGD∽△E CF∴AG•EF=CE•GD…（10分）点评：本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理．在以圆为背景的条件下，要充分利用圆的几何性质、圆周角定理，弦切角定理等，寻求相等角实现转化与代换．选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（﹣2，﹣4）的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．考点：直线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用极坐标化为直角坐标方程的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的方程；消去参数t即可得到直线l的方程；（2）把直线的方程代入抛物线的方程得到根与系数的关系，利用两点间的距离公式和等比数列的定义即可得出．解答：解：（1）由曲线C：ρsin2θ=2acosθ（a＞0），可得ρ2sin2θ=2aρcosθ，化为y2=2ax．由直线l的参数方程为，消去参数t可得直线l：y=x﹣2．（2）联立，化为x2﹣（4+2a）x+4=0，∵直线l与抛物线相交于两点，∴△=（4+2a）2﹣16＞0，解得a＞0或a＜﹣4．（*）∴x1+x2=4+2a，x1x2=4．∴|MN|===．=，|PN|=．∴|PM||PN|=2|（x1+2）（x2+2）|=2|x1x2+2（x1+x2）+4|=2|16+4a|∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2=|PM||PN|，∴=2|16+4a|，化为a（4+a）=|4+a|，∵a＞0或a＜﹣4．解得a=1．∴a=1．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相交问题转化为把直线的方程与抛物线的方程联立得到根与系数的关系、两点间的距离公式和等比数列的定义等基础知识与基本技能方法，属于难题．选修4-5：不等式选讲24．（10分）设a＞0，b＞0，m＞0，n＞0．（Ⅰ）证明：（m2+n4）（m4+n2）≥4m3n3；（Ⅱ）a2+b2=5，ma+nb=5，求证：m2+n2≥5．考点：不等式的证明．专题：综合题；不等式．分析：（Ⅰ）利用基本不等式，即可得出结论；（Ⅱ）利用柯西不等式即可得出．解答：证明：（Ⅰ）因为m＞0，n＞0，则m2+n4≥2mn2，m4+n2≥2m2n，所以（m2+n4）（m4+n2）≥4m3n3，当且仅当m=n=1时，取等号．…（5分）（Ⅱ）由柯西不等式可得：（m2+n2）（a2+b2）≥（ma+nb）2，∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴5（m2+n2）≥25，∴m2+n2≥5，当且仅当na=mb时取等号．…（10分）点评：本题考查了基本不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．。

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（一）文科数学【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、圆锥曲线、立体几何、数列、三角函数的性质、解三角形、命题、程序框图、概率、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 【题文】1、已知全集U 和集合A 如图1所示，则()U C A B ⋂= A.{3} B.{5,6} C.{3,5,6} D.{0,4,5,6,7,8}【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B 解析：由图易知()U A B =ð{5,6}.则选B.【思路点拨】本题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键. 【题文】2、11ii-+= A. ﹣2i B. ﹣i C.1﹣i D.1+i 【知识点】复数的代数运算L4【答案解析】B 解析：21i (1i)2ii.1i 22---===-+则选B.【思路点拨】复数的代数运算是常考知识点之一，熟记运算法则是解题的关键.【题文】3、在如下的四个电路图中，记：条件M:“开关1S ”闭合；条件N ：“灯泡L 亮”，则满足M 是N 的必要不充分条件的图为【知识点】充要条件A2【答案解析】C 解析：对于图A ，M 是N 的充分不必要条件．对于图B ，M 是N 的充要条件．对于图C ，M 是N 的必要不充分条件．对于图D ，M 是N 的既不充分也不必要条件．则选C.【思路点拨】判断充分必要条件一般先明确条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性成立，若由结论能推出条件，则必要性成立. 【题文】4、下列命题为真命题的是 A 、命题“若x ＞y ，则x ＞y ”的逆命题 B 、命题“若x ＞1，则21x >”的否命题 C 、命题“若x=1，则220x x +-=”的否命题 D 、命题“若x(x ﹣1) ＞0，则x ＞1”的逆否命题 【知识点】命题及其关系A2【答案解析】A 解析：命题“若x y >，则x y >”的逆命题是“若x y >，则x y >”无论y 是正数、负数、0都成立．则选A.【思路点拨】可先写出逆命题与否命题，再判断真假，判断逆否命题真假只需判断原命题真假.【题文】5、等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若1361,,a a a +成等比数列，则n S = A 、()1n n + B 、2n C 、()1n n - D 、2n【知识点】等差数列与等比数列D2 D3【答案解析】A 解析：依题意得2316(1)a a a =+，即2111(4)(1)(10)a a a +=++，解得12a =，所以(1)n S n n =+.则选A.【思路点拨】可直接利用等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式解答. 【题文】6、已知向量,a b 满足6a b -=，1a b ∙=，则a b +=A C D.10 【知识点】向量的数量积及其应用F3【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，所以2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b ，即+a b 则选C.【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解. 【题文】7、在区间[0,1]内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为 A 、29 B 、79 C 、118 D 、1718【知识点】几何概型K3【答案解析】D 解析：设,[0,1]x y ∈，作出不等式组01,01,13x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪+>⎩≤≤≤≤ 所表示的平面区域，由几何概型知，所求概率111117233.1118P -⨯⨯==⨯ 则选D.【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】8、在△ABC 中，若sinC=2sinAcosB,则此三角形一定是A .等腰三角形 B.直角三角形 C .等腰直角三角形 D.等边三角形 【知识点】解三角形C8【答案解析】A 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac+-=，所以22a b =，即a b =.则选A.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】9、已知函数f(x)及其导数()'f x ，若存在0x ，使得()()00'f x f x =，则称0x 是f(x)的一个“和谐点”，下列函数中①()2f x x =；②()1xf x e =；③()ln f x x =；④()1f x x x=+，存在“和谐点”的是 A 、①② B 、①④ C 、①③④ D 、②③④ 【知识点】导数的应用B11【答案解析】C 解析：①显然成立，②显然不成立，对于③④作出()y f x =与()y f x '=的图象可知成立．则选C.【思路点拨】对于新定义问题，关键是理解其含义，本题的本质是方程有无实根问题.【题文】10、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为A 、36aB 、312a C3a D3【知识点】棱锥的体积G7【答案解析】D 解析：设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后，依题意得：当BD ＝a 时， DE ⊥BE ，又DE ⊥AC ， ∴DE ⊥平面ABC ，∴三棱锥D −ABC 的高为DEa ，∴V D −ABC ＝13·12a 23． 则选D.【思路点拨】对于翻折问题，应注意结合翻折前后的垂直关系及线段的对应关系进行解答.【题文】11、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm ，高为3cm 的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为 A .310 B.510 C .710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D 解析：圆锥毛坯的底面半径为4cm r =，高为3cm h =，则母线长5cm l =，所以圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r =+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S =+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．则选D. 【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】12、若函数()1ln f x a x x=+在区间(1, ＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 A.( ﹣∞, ﹣2] B. ( ﹣∞, ﹣1] C.[1，＋∞) D. [2，＋∞) 【知识点】导数的应用B12【答案解析】C 解析：因为()f x 在区间(1,)+∞上单调递增，所以1x >时，21()0a f x x x '=-≥恒成立，即1a x ≥在区间(1,)+∞上恒成立，因为1x >，所以101x<<，所以 1.a ≥则选C.【思路点拨】先由函数的单调性转化为导数的符号问题，再由不等式恒成立求参数范围即可. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)【题文】13设A 、B 分别是椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左、右顶点，点P 在C 上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为﹣13，则C 的离心率为__________. 【知识点】椭圆的几何性质H5由题意知(,0),(,0)A a B a -，取(0,)P b ，则13A P BP b b k k a a ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故223a b =，所以，222223a b e a -==，即e =．【思路点拨】利用已知条件得到椭圆中的量a,b,c 的关系，再求离心率即可.【题文】14、定义一种新运算“⊗”：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654⊗-⊗=_______.【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答.【题文】15、设奇函数f(x)在(0, ＋∞)上为单调递增函数，且f(2)=0，则不等式()()02f x f x x--≥的解集为__________.【知识点】奇函数 函数的单调性B3 B4【答案解析】[﹣2，0) ∪(0，2]解析：原不等式可化为()0x f x ⋅≤且0x ≠，作出奇函数()f x 的简图，可知其解集为[2,0)(0,2]-．【思路点拨】先由奇函数的性质对不等式转化，再结合奇函数及函数的单调性解答即可.【题文】16、已知数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，且()*121n n S S n N +=+∈，则n a =_______.【知识点】等比数列D3 【答案解析】12n -解析：由121n n S S +=+得，当2n ≥时，121n n S S -=+，∴112()n n n n S S S S +--=-，即12n n a a +=，∴12n na a +=，又11a =，得2112213S a a a =+==+，∴22a =，∴212a a =，∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a -=． 【思路点拨】一般遇到数列的前n 项和之间的递推公式，经常利用1n n n a S S -=-进行转化求解.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)【题文】17、(12分)已知函数()221cos cos 2sin 2f x x x x x =+-(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f(x)的值域. 【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4 【答案解析】(1) π (2) 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：（1）1cos 21cos 21()22222x x f x x +-=-+⨯-11cos 222x x =--π1sin 26x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．所以其最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（Ⅰ）知π()1sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∴．所以函数()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【思路点拨】一般研究与三角有关的函数的性质通常先化成sin()y A x ωϕ=+形式再进行解答.【题文】18、(12分)某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x 依次为1,2,3,4,5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得频率分布表如下：(1)若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，等级编号为5的恰有2件，求a,b,c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级编号为4的3件产品记为123,,x x x ，等级编号为5的2件产品记为12,y y ，现从123,,x x x ,12,y y 这5件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率. 【知识点】频率分布表 概率I2 K2【答案解析】(1) 0.1a =，0.15b =，0.1c = (2) 1213{,},{,},x x x x1112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x y x y x x x y x y x y x y y y ()0.4P A =解析：（1）由频率分布表得0.20.451a b c ++++=，即0.35a b c ++=． 因为抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有3件，所以30.1520b ==． 等级编号为5的恰有2件，所以20.120c ==．从而0.350.1a b c =--=． 所以0.1a =，0.15b =，0.1c =． （2）从12312,,,,x x x y y 这5件产品中任取两件，所有可能的结果为：1213{,},{,},x x x x1112232122313212{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}x y x y x x x y x y x y x y y y ．设事件A表示“从12312,,,,x x x y y 这5件产品中任取两件，其等级编号相同”，则A 包含的基本事件为：12132312{,},{,},{,},{,}x x x x x x y y 共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率4()0.410P A ==． 【思路点拨】一般求古典概型的概率问题，通常利用列举法计算事件的个数进行解答.【题文】19、(12分)如图4，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为长方形，AD=2AB ，点E 、F 分别是线段PD 、PC 的中点. (1)证明：EF ∥平面PAB ；(2)在线段AD 上是否存在一点O ，使得BO ⊥平面PAC ，若存在，请指出点O 的位置，并证明BO ⊥平面PAC ；若不存在，请说明理由.【知识点】直线与平面平行的判定 线面垂直的判定G4 G5【答案解析】(1)略 (2) 在线段AD 上存在一点O 为线段AD 的四等分点 解析：（1）∵EF CD ∥，CD AB ∥，∴EF AB ∥， 又∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB ．（2）在线段AD 上存在一点O ，使得BO ⊥平面PAC ， 此时点O 为线段AD 的四等分点，且14AO AD =. ∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA BO ⊥，又∵长方形ABCD 中，△ABO ∽△DAC ，∴AC BO ⊥， 又∵PAAC A =，∴BO ⊥平面PAC ．【思路点拨】一般遇到判定直线与平面平行或垂直问题，通常利用其判定定理解答.【题文】20、(12分)如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H ()00,x y ()00y >作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，分别交抛物线于E 、F 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174. (1)求抛物线C 的方程；(2)当∠AHB 的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率..【知识点】抛物线 直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) 14EF k =-解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174， ∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =． （2）方法一：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点(4,2)H ，∴HE HF k k =-， 设11(,)E x y ，22(,)F x y ， ∴12122244y y x x --=---，即1222122244y y y y --=---，∴124y y +=-. 212122212121114EF y y y y k x x y y y y --====---+． 方法二：∵当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，点(4,2)H ，∴60AHB ∠=︒，可得HA k =HB k =，∴直线HA的方程为2y -，联立方程组22,,y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩220y --=，∵2E y +=∴E y =E x =同理可得F y =，F x =，∴14EF k =-． 【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，第二问抓住当∠AHB的角平分线垂直x 轴时，两切线的斜率互为相反数进行解答. 【题文】21、(12分)已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，且对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，在(0,)+∞上单调递减,；当0a >时在10,a ⎛⎤⎥⎝⎦上递减，在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增；(2) 211e b -≤ 解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x-'=-=， ∴当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立， 函数()f x 在(0,)+∞上单调递减．当0a >时，由()0f x '≤，得10x a <≤；由()0f x '≥，得1x a≥，∴函数()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，在1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =， ∴1ln ()21xf x bx b x x-⇔+-≥≥，令1ln ()1xg x x x=+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增， ………（10分）∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤． 【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D. (1)求证：直线AB 是圆O 的切线；(2)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1 【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB == ∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线. （2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt △ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠， 又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD ∽△BEC , ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =， 又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+，解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =， ∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，若直线与圆有公共点，则公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可. 【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为32x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，若点P的坐标为(，求PA PB +. 【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】解析：（1）由ρθ=，可得220x y +-=， 即圆C的方程为22(5x y +=．由3,,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数）可得直线l的方程为30x y +=．所以，圆C 的圆心到直线l=（2）将l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=．由于24420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩．又直线l过点(3P ，故由上式及t的几何意义得1212||||||||PA PB t t t t +=+=+=【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答. 【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲] 已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <；(2)若不等式()3f x≤对任意的x∈[0,1]恒成立，求实数a的范围. 【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a>时，不等式的解集为26x xa a⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a<时，不等式的解集为62x xa a⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.(2) 15a-≤≤且a≠0．解析：（1）()4f x<⇔24ax-<⇔424ax-<-<⇔26ax-<<，当0a>时，不等式的解集为26x xa a⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a<时，不等式的解集为62x xa a⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x≤⇔23ax-≤⇔323ax--≤≤⇔15ax-≤≤⇔5,1, axax⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x∈，∴当x=0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。

云南省师大附中2015届高考数学适应性月考卷文（扫描版）2015届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADBBCAADCA【解析】1．因为{41}M =-，，所以M N =I {1}，故选B ．2．221i 1iz =-+=-+-，故选C ．3．lg lg 010101010lg lg a b a b a b a b a b a b >>>>>>>当时，，则；当时，，无法得出，故选A ． 4．(1)(24)x =-∵，，，，且，a =b a b P 420x --=∴，2x =-，(12)10-⋅∴，，a =a b =，故选D ． 5．因为23112a a a ，，成等差数列，所以1233122a a a a +=⨯=，即2111a a q a q +=，所以210q q --=，解得152q +=或1502q -=<（舍去），故选B ． 6．150=0+2=2=21+2=4i S i =>⨯不成立，，；45022424412i S i =>=+==⨯+=不成立，，；1250426212630i S i =>=+==⨯+=不成立，，；3050628230868i S i =>=+==⨯+=不成立，，； 68508i S =>=成立，，故选B ．7．作出不等式组表示的区域如图1阴影部分所示， 由图可知，(00)z ax by a b =+>>，过点(11)A ，时 取最大值，所以4a b +=，故选C ．8．∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，322aa a +==∴，∴，故选A ．9．由三视图还原出几何图形如图2所示，其中正视图由SBC 面看入，SD ABCD AB ⊥平面，与DC 平行，2433AB DC AD SD ====，，，， 11(24)33932V =⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．10．如图3所示，把三棱柱补形为四棱柱1111ABDC A B D C -，连接1BD ，则11BD AC ∥，则11A BD ∠就是异面直线1A B 与1AC 所成的角，设AB a =，在11A BD △中，1A B a =，13BD a =，112A D a =，116sin 3A BD ∠=∴，故选D ．11．2()323f x x tx '=-+∵，由于()f x 在区间[14]，上单调递减，则有()0f x '≤在[14]，上恒成立，即23230x tx -+≤，也即312t x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥在[14]，上恒成立，因为312y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[14]，上单调递增，所以31514248t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≥，故选C ．12．由题意1()()0(1)a f ax af x ax ax x ax x+=-+-<≥，即222210a x a ax --<，易知0a <，222210a x a -->，22112a a +<，1a <-∴，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案19- 11241289【解析】图3图2图113．21cos(π2)cos2(12sin )9ααα-=-=--=-．14．先后抛掷两次骰子，共有36个基本事件，其中点数之和为4的事件有(13)(22)(31)，，，，，共3个，所以出现向上的点数之和为4的概率是313612=．15．∵函数(1)y f x =-的图象关于点(10)，对称，()f x ∴是R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=∴，故()f x 的周期为4，(2013)(50341)(1)4f f f =⨯+==∴，(2012)(2014)(2012)(20122)f f f f +=++∴(2012)(2012)0f f =-=， (2012)(2013)(2014)4f f f ++=∴． 16．由12a =，21n n a a =+，21n n a n a +=-，得2211n n a a n ++=+，123459899()()()223501276a a a a a a a +++++++=++++=L L ∴，10050251263111(1)2(12)14(1)13(1)12(1)13a a a a a a a =+=++=+-=-+=-+=--=∵， 121001276131289a a a +++=+=L ∴．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C ，因为sin 0A ≠，解得tan 303C C C π∈π=，又(，)，∴．…………………………（5分）（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．因为2A π≠，cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =． …………………………（8分）由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-， 解得13a b ==，．133sin 2ABC S ab C ==△． 所以，ABC △33． …………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题条件知，PQ AD BQ AD PQ BQ Q ⊥⊥=I ，，，所以AD PQB ⊥平面，AD PAD PQB PAD ⊂⊥∵平面，∴平面平面． …………………………………（4分） （Ⅱ）解：如图4所示，PA PD Q AD PQ AD =⊥∵，为中点，∴．PAD ABCD PAD ABCD AD ⊥=I ∵平面平面，平面平面， PQ ABCD ⊥∴平面． …………………………（7分）设PA =PD =AD =2a ，则3PQ a =，23BCQ S a =△，23123223333M BCQ a V a a -===， 1a =∴，Q PAB P QAB V V --=，设点Q 到平面PAB 的距离为h ， 26PA AB PB ===∵， 165111333232h =⨯⨯∴ 15h =∴，即点Q 到平面PAB 15． …………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）8585x x ==乙甲∵，，2231.650s s ==乙甲，，22s s <乙甲，所以选甲合适．………（5分） （Ⅱ）①因为基本事件的总数25n =个，而满足条件3x y -≤的事件有(8280)，，(8285)，，(8280)，，(8285)，，(7980)，，(9595)，，(8790)，，(8785)，共8个，8()25P A =∴． ……………………………………………………………………（8分） 图4②考试有5次，任取2次，基本事件共10个：(8295)，和(8275)，，(8295)，和(7980)，，(8295)，和(9590)，，(8295)，和(8785)，，(8275)，和(7980)，，(8275)，和(9590)，，(8275)，和(8785)，，(7980)，和(9590)，，(7980)，和(8785)，，(9590)，和(8785)，，其中符合条件的事件共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次考试两人“水平相当”的概率63105P ==．…（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，，234c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，所以2234a c =，又点0)是抛物线的焦点，23c =∴．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………………………………（4分）（Ⅱ）因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，l 与椭圆交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，由22223(14)2432014y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩，． 由222(24)128(14)02k k k ∆=-+>⇒>．12122224321414k x x x x k k +=-=++，． ……………………………………………（7分） 12121322OAB S OD x x x x =-=-△∵，1223||OANB OABS S x x ==-=Y △∴== …………………………………………（9分）令22k t -=，则22k t =+(0)t >由上式知，2OANB S ===Y ∴，当且仅当9t =，即2174k =时取等号，k =∴当时，平行四边形OANB 的面积最大值为2． 此时直线l 的方程为3y =+． ……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x +=，则2ln ()(0)xf x x x'=->， …………………（1分）当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减．所以()f x 在1x =处取得极大值． …………………………………………………（3分）因为()f x 在区间13a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（其中0a >）上存在极值，所以1,11,3a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得213a <<． …………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）不等式3+()1k k f x x +≥，即3(1)(1ln )x x k k x+++≥．设(1)(1ln )()x x g x x ++=，则2ln ()x xg x x-'=． 令()ln h x x x =-，则1()1h x x'=-．因为1x ≥，所以()0h x '≥，则()h x 在[1)+∞，上单调递增． …………………（9分） 所以()h x 的最小值为(1)10h =>，从而()0g x '>，故()g x 在[1)+∞，上单调递增，所以()g x 的最小值为(1)2g =，所以32k k +≤，2(1)(2)0k k k -++≤．解得1k ≤． ………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 证明：（Ⅰ）如图5，连接BE ，则BE EC ⊥，又D 是BC 的中点，所以DE BD =．又OE OB OD OD ==，，所以ODE ODB △≌△， 所以90OBD OED ∠=∠=︒． 故D E O B ，，，四点共圆． …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）如图5，延长DO 交圆于点H ，2()DE DM DH DM DO OH DM DO =⋅=⋅+=⋅+∵DM OH ⋅， 21122DE DM AC DM AB ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，即22DE DM AC DM AB =⋅+⋅，,2BCDE DC ==∵ ∴22DC DM AC DM AB =⋅+⋅． ……………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）半圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=(01)y ≤≤，又cos sin x y ρθρθ==，，所以半圆C 的极坐标方程是2cos 02ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，． …………………………（5分）（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标，则有1112cos ,,3ρθθ=⎧⎪⎨π=⎪⎩ 解得111,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 设22()ρθ，为点Q 的极坐标，则有2222(sin 3)53,,3ρθθθ⎧+=⎪⎨π=⎪⎩解得225,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 由于12θθ=，所以124PQ ρρ=-=，所以PQ 的长为4． …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）因为a b c ，，为正实数，由均值不等式可得33333331111113a b c a b c ++⋅⋅≥3331113a b c abc++≥，所以3331113abc abc a b ++++≥，而33223abc abc abc abc +⋅≥， 所以33311123abc a b c+++≥当且仅当63a b c ===时，取等号． ……………………………………………（5分）（Ⅱ）3311113A B C ABCABC++≥39π3A B C =++≥，πππ9A B C++∴≥， 图5当且仅当π3A B C ===时，取等号． ………………………………………………（10分）。

2014-2015学年云南师范大学附中高三（下）月考数学试卷（六）（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A． {1，3} B． {3，7，9} C． {3，5，9} D． {3，9} 2．复数=（）A． i B．﹣i C． 12﹣13i D． 12+13i 3．函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数4．给定下列两个命题：①“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．其中说法正确的是（）A．①真②假B．①假②真C．①和②都为假D．①和②都为真5．在如图所示的程序中，若N=5时，则输出的S等于（）A．B．C．D．6．=（cos25°，sin25°），=（sin20°，cos20°），=+t，t∈R，则||的最小值是（）A．B．C． 1 D．7．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10） B．C． 3（1﹣3﹣10）D． 3（1+3﹣10）8．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A． 24﹣B． 24﹣C． 24﹣πD． 24﹣9．过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．10．已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．C． [2，+∞）D．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=4，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．已知定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个不同的实根x1，x2，x3，则x12+x22+x32等于（）A． 13 B．C． 5 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为．14．已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．15．若x，y满足|x|+|y|≤1，则z=的取值范围是．16．定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，且f（x）=﹣，f （﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量=（sinx，1），，函数．Ⅰ求函数f（x）的最小正周期；Ⅱ若a，b，c分别是△ΑΒC的三边，a=2，c=2，且f（A）是函数f（x）在上的最大值，求角A、角C．18．为了了解昆明市学生开展体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从五华区，盘龙区，西山区三个区中抽取7个高完中进行调查，已知三个区中分别由18，27，18个高完中．（Ⅰ）求从五华区，盘龙区，西山区中分别抽取的学校个数；（Ⅱ）若从抽取的7个学校中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个学校中至少有1个来自五华区的概率．19．如图，三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的正三角形，且∠BAC=90°，O、D分别为BC、AB的中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求四棱锥S﹣ACOD的体积．20．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调增区间．（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．21．已知椭圆的焦距为2，置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．（l）求椭圆的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥A B于点H，BH=2．（Ⅰ）求DE的长；（Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】2010•南通模拟）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【选修4-5：不等式选讲】2012•浉河区校级模拟）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．2014-2015学年云南师范大学附中高三（下）月考数学试卷（六）（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则∁U A=（）A． {1，3} B． {3，7，9} C． {3，5，9} D． {3，9}考点：补集及其运算．分析：从U中去掉A中的元素就可．解答：解：从全集U中，去掉1，5，7，剩下的元素构成C U A．故选D．点评：集合补集就是从全集中去掉集合本身含有的元素后所构成的集合．2．复数=（）A． i B．﹣i C． 12﹣13i D． 12+13i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数的分子中利用﹣i2=1代入3，然后化简即可．解答：解：故选A．点评：本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧．3．函数是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：诱导公式一；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简函数解析式后，找出ω的值，代入周期公式求出函数的最小正周期，再根据余弦函数为偶函数，即可得到正确的选项．解答：解：y=sin（﹣2x）=cos2x，∵ω=2，∴T==π，又余弦函数为偶函数，则原函数是周期为π的偶函数．故选B点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及函数的奇偶性，其中利用诱导公式将函数解析式化为一个角的余弦函数是解本题的关键．4．给定下列两个命题：①“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．其中说法正确的是（）A．①真②假B．①假②真C．①和②都为假D．①和②都为真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假；反之成立，由充分必要条件即可判断；②由存在性命题的否定是全称性命题，即可判断．解答：解：①“p∨q”为真，则p，q中至少有一个为真，推不出“¬p”为假；若“¬p”为假，则p为真，“p∨q”为真，故“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件，故①正确；②“∃x∈R，使sinx＞0”的否定是“∀x∈R，使sinx≤0”．故②正确．故选：D．点评：本题考查简易逻辑的基础知识：充分必要条件的判断和命题的否定，属于基础题．5．在如图所示的程序中，若N=5时，则输出的S等于（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图的功能进行运算即可．解答：解：由程序框图可知，该程序框图的功能是：求，故选D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，了解程序框图的功能是解决本题的关键．6．=（cos25°，sin25°），=（sin20°，cos20°），=+t，t∈R，则||的最小值是（）A．B．C． 1 D．考点：两角和与差的正弦函数；函数的值域；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：将平方，再利用向量数量积公式，两角和的正弦公式化简，利用配方法即可求得结论．解答：解：∵∴||2=2+2t+t22=1+2t（sin20°cos25°+cos20°sin25°）+t2=t2+2tsin45°+1=t2+t+1=（t+）2+≥∴||≥∴||的最小值是故选B．点评：本题考查向量知识，考查两角和的正弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．7．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10） B．C． 3（1﹣3﹣10）D． 3（1+3﹣10）考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求解答：解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A． 24﹣B． 24﹣C． 24﹣πD． 24﹣考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得．解答：解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．点评：考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系．9．过点（）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率．专题：压轴题；直线与圆．分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．解答：解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=﹣．故答案为B．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．10．已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．C． [2，+∞）D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．解答：解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜ta n30°=，即b＜ a∵b=∴＜a，整理得c＜ a∴e=＜∵双曲线中e＞1故e的范围是（1，）故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．11．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为2的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=4，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，利用截面圆的性质即可求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离，即可计算出三棱锥的体积．解答：解：因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC外接圆的半径，所以点O到平面ABC的距离，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为，此棱锥的体积为=，故选A．点评：本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．12．已知定义域为R 的函数f （x ）=，若关于x 的方程f 2（x ）+bf （x ）+c=0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 12+x 22+x 32等于（ ）A ． 13B ．C ． 5D ．考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 计算题；压轴题．分析： 作出f （x ）的图象，由图知，只有当f （x ）=1时有两解，欲使关于x 的方程f 2（x ）+bf （x ）﹣1=0有3个不同的实数解x 1，x 2，x 3，则必有f （x ）=1这个等式，故可得三个根的平方和，问题得到解决．解答： 解：作出f （x ）的图象由图知，只有当f （x ）=1时有两解；∵关于x 的方程f 2（x ）+bf （x ）+c=0有3个不同的实数解x 1，x 2，x 3， ∴必有f （x ）=1，从而x 1=1，x 2=2，x 3=0．故可得x 12+x 22+x 32=5．故选C ．点评： 本题考查复合函数的零点问题，复合函数的零点的问题，必须要将f （x ）看成整体，利用整体思想解决．数形结合也是解决此题的关键，利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．取一根长为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为．考点： 几何概型． 专题： 概率与统计． 分析： 根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m 的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m 处的两个界点，再求出其比值． 解答： 解：记“两段的长都不小于1m”为事件A ，则只能在中间1m 的绳子上剪断，才使得剪得两段的长都不小于1m ，所以由几何概型的公式得到事件A发生的概率 P（A）=．故答案为：点评：本题主要考查概率中的几何概型，关键是明确概率模型，明确事件的测度，通过长度、面积或体积之比来得到概率．14．已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= 63 ．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．解答：解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．因为数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4．设等比数列{a n}的公比为q，则，所以q=2．则．故答案为63．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．15．若x，y满足|x|+|y|≤1，则z=的取值范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用斜率公式结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，由，由斜率公式可知，其几何意义是点（x，y）与点（3，0）所在直线的斜率，故而由图可知，，，故而z的取值范围是．故答案为：．点评：本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．16．定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，且f（x）=﹣，f （﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）= 2 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中f（x）=﹣，可得函数f（x）是以3为周期的周期函数，再由函数f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，可得f（﹣2）=1，进而可得一个周期内三个整数的函数值和为0，进而利用分组求和法得到答案．解答：解：∵，则，所以f（x）=f（x+3），即函数f（x）是以3为周期的周期函数，令x=﹣1，则，故而，由函数图象关于点对称，所以，令，则，则f（﹣2）=1，所以f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）=0，故：f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（1）+f（2）=f（﹣2）+f（﹣1）=2．故答案为：2点评：本题考查的知识点是函数的值，函数的奇偶性与函数的周期性，分组求和法，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知向量=（sinx，1），，函数．Ⅰ求函数f（x）的最小正周期；Ⅱ若a，b，c分别是△ΑΒC的三边，a=2，c=2，且f（A）是函数f（x）在上的最大值，求角A、角C．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：平面向量及应用．分析：（1）写出的坐标，然后进行数量积的坐标运算，利用二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式化简f（x）即可得到f（x）=sin（2x﹣）+2，由求周期的公式即可得到该函数的周期；（2）由x求出2x﹣的范围，这样即可求得sin（2x）的最大值，从而得到f（x）的最大值，也就得出A的值，然后由正弦定理即可求出角C．解答：解：（Ⅰ）；f（x）====；即f（x）=sin（2x﹣）+2；∴函数f（x）的最小正周期T=π；（Ⅱ）∵；∴；∴当，即时，f（x）max=3；∴，由正弦定理得：；∴；∴．点评：考查向量加法、数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，两角差的正弦公式，以及三角函数的周期公式，正弦函数的最大值，正弦定理．18．为了了解昆明市学生开展体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从五华区，盘龙区，西山区三个区中抽取7个高完中进行调查，已知三个区中分别由18，27，18个高完中．（Ⅰ）求从五华区，盘龙区，西山区中分别抽取的学校个数；（Ⅱ）若从抽取的7个学校中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个学校中至少有1个来自五华区的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（I）分层抽样按比例抽取；（Ⅱ）列出所有的基本事件，由古典概型概率公式求解．解答：解：（Ⅰ）学校总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数之比为，所以从五华区，盘龙区，西山区中应分别抽取的学校个数为2，3，2．（Ⅱ）设A1，A2为在五华区抽得的2个学校，B1，B2，B3为在盘龙区抽得的3个学校，C1，C2为在西山区抽得的2个学校，这7个学校中随机抽取2个，全部的可能结果有种．随机抽取的2个学校至少有1个来自五华区的结果有（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A1，C2），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（A2，C2），一共有11种，所以所求的概率为．点评：本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．19．如图，三棱锥S﹣ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的正三角形，且∠BAC=90°，O、D分别为BC、AB的中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求四棱锥S﹣ACOD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结OA，△ABC为等腰直角三角形，由已知得AO⊥BC，S O⊥BC，SO⊥AO．由此能证明SO⊥平面ABC．（Ⅱ）由已知得DO⊥AD，．SO⊥平面ABC，由此能求出四棱锥S﹣ACOD的体积．解答：（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且，从而OA2+SO2=SA2．所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．又AO∩BO=O．所以SO⊥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）∵BO=CO，BD=AD，∴AC∥DO，∴DO⊥AD，．，由（Ⅰ）知SO⊥平面ABC，∴．…（12分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调增区间．（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论．分析：（1）要求函数f（x）的单调增区间，即求导函数值大于等于0的区间，我们根据求出函数导函数的解析式，结合函数的定义域，分类讨论后，即可得到答案．（2）由（1）中函数的导函数的解析式，我们对a的取值进行分析讨论，求出对应的函数的单调区间，并分析函数f（x）在[1，e]上何时取最小值，分析后即可得到答案．解答：解：∵f（x）=∴函数的定义域为（0，+∞）且f'（x）=+=①当a≥0时，f'（x）≥0恒成立，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）②当a＜0时，令f'（x）≥0，则x＞﹣a∴函数f（x）的单调增区间为（﹣a，+∞）（II）由（I）可知，f'（x）=①若a≥﹣1，则x+a≥0，则f'（x）≥0恒成立，函数f（x）在[1，e]上为增函数∴f（x）的最小值为：f（1）=﹣a=，此时a=﹣（舍去）②若a≤﹣e，则f'（x）≤0恒成立，函数f（x）在[1，e]上为减函数∴f（x）的最小值为：f（e）=1﹣=，此时a=﹣（舍去）③若﹣e＜a＜﹣1，当1＜x＜﹣a时，则f'（x）＜0，当﹣a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）的最小值为：f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，此时a=﹣综上所述：a=﹣点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，其中根据导函数的解析式，对参数a进行分析讨论是解答本题的关键．21．已知椭圆的焦距为2，置椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．（l）求椭圆的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，且线段AB的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，结合焦距为2，求出椭圆的几何量，即可求椭圆的方程；（2）设出直线l的方程，代入椭圆的方程，利用判别式及根与系数的关系求出MN的中点坐标，从而得到线段MN的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式大于0，求得k的取值范围．解答：解：（1）设短轴的两个三等分点分别为M，N，F为焦点，则△MNF为正三角形，∴|OF|=|MN|，∵椭圆的焦距为2，∴1=，解得b=，∴a==2，∴椭圆的方程为；（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）．点M（x1，y1），N（x2，y2）直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．此方程有两个不等实根，于是3+4k2≠0，且△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0．整理得﹣m2+3+4k2＞0．①由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足x0=，y0=kx0+m=．从而线段MN的垂直平分线方程为y﹣=﹣（x﹣）．此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为（，0），（0，）．由题设可得||||=．整理得m2=，k≠0．将上式代入①式整理得（4k2﹣5）（4k2﹣8|k|+3）＞0，k≠0．解得＜|k|＜．∴k的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．点评：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力，属于中档题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，BH=2．（Ⅰ）求DE的长；（Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）由已知中弦DE⊥AB于点H，AB为圆O的直径，由垂径定理，我们易得DH=HE，进而由相交弦定理，得DH2=AH•BH，由AB=10，HB=2，代入即可求出DH，进而得到DE的长；（Ⅱ）由于PC切圆O于点C，由切割线定理，我们易得PC2=PD•PE，结合（Ⅰ）的结论和PC=2，代入即可求出PD的长．解答：解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，∴DH=HE，∴DH2=AH•BH=（10﹣2）×2=16，∴DH=4，∴DE=2DH=8；（Ⅱ）∵PC切圆O于点C，∴PC2=PD•PE，即（2）2=PD•（PD+8），∴PD=2．点评：本题考查的知识点是垂径定理，相交弦定理及切割线定理，分析已知线段与未知线段之间的位置关系，进而选择恰当的定义进行求解是解答此类问题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】2010•南通模拟）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．分析：（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．解答：解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=分）（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．（10分）点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．【选修4-5：不等式选讲】2012•浉河区校级模拟）已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分）又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值范围是（﹣∞，5）．点评：本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．21。

文科综合参考答案·第1页（共21页）云南师范大学附属中学2015届高三高考适应性月考（四）文科综合文科综合参考答案·第2页（共21页）文科综合参考答案·第3页（共21页）文科综合参考答案·第4页（共21页）文科综合参考答案·第5页（共21页）文科综合参考答案·第6页（共21页）文科综合参考答案·第7页（共21页）文科综合参考答案·第8页（共21页）文科综合参考答案·第9页（共21页）文科综合参考答案·第10页（共21页）文科综合参考答案·第11页（共21页）文科综合参考答案·第12页（共21页）文科综合参考答案·第13页（共21页） 云南师大附中2015届高考适应性月考卷（四）文科综合参考答案第Ⅰ卷（选择题，共140分）选择题（本大题共35小题，每小题4分，共140分）【解析】1．解除海河流域洪涝灾害的关键是提高泄洪能力，与该工程无关。

2．土壤盐碱化是由于地下水位大幅上升引起，①错；该工程不可能诱发洪涝灾害，④错。

3．山腰果树开花早是由于山谷常年成为较冷空气的集聚地，而形成逆温现象。

4．M 、N 都能受夏季风影响，降水集中在夏季；M 位于北侧，冬季西北风经过较暖湿的海洋，遇地形抬升，形成降水，而N 位于冬季风的背风坡，降水少；N 地位于夏季风的迎风坡，但降水不是以地形雨为主。

5．从甲国的城市化水平看为发达国家，从乙国的产业结构看为发展中国家，发达国家的城市化水平高于发展中国家，A 错；城市化水平越高，城乡差别越小，B 正确；根据图中信息判断C 、D 错误。

6．20世纪70年代以后，随着生产力的发展，发达国家第一、二产业的比重不断下降，第三产业的比重不断增加，成为经济结构的最大一部分，体现产业结构由低级向高级的演变，故工业化率呈逐渐下降趋势，B 正确；国家政策的影响、环境恶化和逆城市化现象的出现文科综合参考答案·第14页（共21页）不是导致发达国家工业化率下降的原因。

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（六）理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}U 1,3,5,7,9=，{}1,5,7A =，则U A =ð（ ）A ．{}1,3B ．{}3,7,9C ．{}3,5,9D ．{}3,9 2、复数3223ii+=-（ ） A ．i B ．i - C ．1213i - D ．1213i +3、函数sin 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数4、给定下列两个命题：①“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件②“0R x ∃∈，使0s i n 0x >”的否定是“R x ∀∈，使s i n 0x ≤” 其中说法正确的是（ ）A ．①真②假B ．①假②真C ．①和②都为假D ．①和②都为真 5、在图1所示的程序中，若5N =时，则输出的S 等于（ ） A ．54B ．45C ．65D ．566、已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）A ．()10613--- B ．()101139-- C ．()10313-- D ．()10313-+ 7、若已知向量()cos 25,sin 25a =，()sin 20,cos 20b =，u a tb =+，R t ∈，则u 的最小值是（ ）A B ．2C ．1D ．128、如图2所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的表面积为（ ）A ．64+B ．()968π+C ．64+D ．()968π+9、过点)引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当∆AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A B ．C ．3±D ．10、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），若过右焦点F 且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．⎛ ⎝⎭C ．[)2,+∞D ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭11、已知三棱锥C S -AB 的所有顶点都在球O 的球面上，C ∆AB 是边长为2的正三角形，C S 为球O 的直径，且C 4S =，则此棱锥的体积为（ ）A B C D ．12、()()2222f x x a x a =-++，()()22228g x x a x a =-+--+．设()(){}1m a x ,f x g x H =，()()(){}2min ,x f x g x H =（{}max ,p q 表示p ，q 中的较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中的较小值）．记()1x H 的最小值为A ，()2x H 的最大值为B ，则A -B =（ ）A ．16B ．16-C ．2216a a --D ．2216a a +-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13、()5234501234512x a a x a x a x a x a x -=+++++，则3a = ．14、已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和．若1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，则6S = ． 15、若x ，y 满足1x y +≤，则3yz x =-的取值范围是 ． 16、设x ，R y ∈，且满足()()()()2015201512013sin 1201412013sin 12012x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩，则x y += ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分12分）已知向量()sin ,1m x =，13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，函数()()f x m n m=+⋅． ()I 求函数()f x 的最小正周期；()II若a ，b ，c 分别是C ∆AB的三边，a =，c =且()f A 是函数()f x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上的最大值，求角A 、角C ．18、（本小题满分12分）为了解我市大学生的体质状况，对昆明地区部分大学的学生进行了身高、体重和肺活量的抽样调查．现随机抽取100名学生，测得其身高情况如下表所示．()I 求出频率分布表中①、②、③位置上相应的数据，并补全图3所示频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计众数的值；()II 若按身高分层抽样，抽取20人参加2015年庆元旦全民健身运动，其中有3名学生参加越野比赛，记这3名学生中“身高低于170cm ”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分）如图4，已知菱形C S A B 中，60S ∠AB =．沿着对角线S A 将菱形C S A B 折成三棱锥C S -AB ，且在三棱锥C S -AB 中，C 90∠BA =，O为C B 中点．()I 求证：S O ⊥平面C AB ；()II 求平面C S A 与平面C S B 夹角的余弦值．20、（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为2，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．()I 求椭圆的方程；()II 若以k （0k ≠）为斜率的直线l 与椭圆E 相交于两个不同的点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为116，求k 的取值范围． 21、（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1a x f x x x -=-+． ()I 若函数()f x 在()0,+∞上为单调增函数，求a 的取值范围； ()II 设0m n >>，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5，圆O 的直径10AB =，弦D E ⊥AB 于点H ，2BH =．()I 求D E 的长；()II 延长D E 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C，若C P =D P 的长．23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆1O 和圆2O 的极坐标方程分别为2ρ=，2cos 24πρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭．()I 把圆1O 和圆2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； ()II 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x =-，()3g x x m =-++． ()I 解关于x 的不等式()10f x a +->（R a ∈）； ()II 若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围．学参考答案一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分）1、D2、A3、B4、D5、D6、C7、B8、D9、B 10、B 11、A 12、B 【解析】1．由{13579}U =，，，，，{157}A =，，，则{39}U A =，ð，故选D ． 2．由32i (32i)(23i)i 23i (23i)(23i)+++==--+，故选A ． 3．由πsin 2cos 22y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则函数为周期为π的偶函数，故选B ．4．（1）当“p q ∨”为真时，可以是p 假q 真，故而p ⌝为假不成立；当p ⌝为假时，p 为真，则“p q ∨”为真，故①正确；（2）由特称命题的否定为全称命题，故②正确，综上所述，①②均正确，故选D ． 5．由程序框图可知，输出的1111111111511223344556223566S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭…，故选D ． 6．因为124303n n a a a ++==-，，所以11143n n a a a +=-=，，所以数列{}n a 是公比为13-的等比数列，所以{}n a 的前10项和等于103(13)--，故选C ． 7．由题意(cos 25sin 20sin 25cos 20)u a tb t t =+=︒+︒︒+︒，，则2||1u t =+，当t = 时，min 2||u =，故选B ． 8．由题意可知：该几何体为边长为4的正方体上下各挖去底面半径为2，高为2的圆锥，故而其表面积是1642(164π)24π968)π2+-+⨯⨯=+-，故选D ．9．由于y =221(0)x y y +=≥，直线l 与221(0)x y y +=≥交于A ，B 两点， 如图1所示，11sin 22AOB S AOB =∠△≤， 且当90AOB ∠=︒时，AOB S △取得最大值，此时 AB=O 到直线l ，则30OCB ∠=︒，所以直线l 的倾斜角为150°，则斜率为，故选B ． 图111．ABC △外接圆的半径r =，点O 到平面ABC的距离d ==SC 为球O 的直径⇒点S 到平面ABC 的距离为2d =，此棱锥的体积为123ABC V S d =⨯△13==A ． 12．由()()f x g x =，得2()4x a -=，所以当2x a =-和2x a =+时，两函数值相等，()f x 图象为开口向上的抛物线，()g x 图象为开口向下的抛物线，两图象在2x a =-和2x a =+处相交，则1()(2)()()(22)()(2)f x x a H x g x a x a f x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩≤，，≥，2()(2)()()(22)()(2)g x x a H x f x a x a g x x a -⎧⎪=-<<+⎨⎪+⎩≤，，≥，所以1min ()A H x = (2)44f a a =+=--，2max ()(2)412B H x g a a ==-=-+，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由题意知，3334315C (2)80T T x x +==-=-，故而380a =-． 14．因为13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，且数列{}n a 是递增的等比数列，所以13142a a q ===，，，所以66126312S -==-． 15．如图2，由033y y z x x -==--，由斜率公式可知，其几 何意义是点()x y ，与点(30)，所在直线的斜率，故而 由图可知，min 13AI z k ==-，max 13BI z k ==，故而z 的取值范围是1133⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．16．令2015()2013sin f t t t t =++，则函数()f t 为单调递增的奇函数，由题意知：(1)f x -=2015(1)2013(1)sin(1)1x x x -+-+-=，2015(1)(1)2013(1)sin(1)1f y y y y -=-+-+-=-，图2故而(1)(1)0x y -+-=，所以2x y +=．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）3sin 2m n x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，，233()(sin )sin sin sin 22f x x x x x x x =++=++1cos 23122cos 22222x x x x -=+=-+， π()sin 226f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期πT =． ………………………………………………（6分）（Ⅱ）πππ5π022666x x <-<-∵≤，∴≤，∴当ππ262x -=，即π3x =时，max ()3f x =， π3A =∴，由正弦定理sin sin a c A C=， 得sin C =π4C =∴． ……………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）①、②、③处分别填5、35、0.350，众数是172.5cm ， 补全频率分布直方图如图3所示．…………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20人，则“身高低于170cm ”的有5人， 所以ξ可能的取值为0，1，2，3，则315320C 91(0)C 228P ξ===；21155320C C 35(1)C 76P ξ===； 12155320C C 5(2)C 38P ξ===；35320C 1(3)C 114P ξ===， 图3则ξ的分布列如下：3()4E ξ=∴． ……………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题设AB AC SB SC SA ====， 如图4，连接OA ，因为ABC △为等腰直角三角形， 所以OA OB OC ==，且AO BC ⊥， 又SBC △为等腰三角形， 故SO BC ⊥，且SO =， 从而222OA SO SA +=，所以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥， 又AOBC O =，所以SO ⊥平面ABC ． ………………………………………（6分）（Ⅱ）解：以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图5所示的空间直角坐标系O xyz -．设(100)B ，，，则(100)C -，，，(010)A ，，，(001)S ，，， (011)SA =-，，，(101)SC =--，，.设平面SAC 的法向量1()x y z =，，n ， 由1100SA y z y x z x SC x z ⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=-=--=⎩⎪⎩，，，n n 令1x =，得1(111)=--，，n ．由（Ⅰ）可知AO ⊥平面SCB ，因此取平面SCB 的法向量2(010)OA ==，，n .………………………………………………………………………………（10分）设平面ASC 与平面SCB 的夹角为θ，则1212||3cos ||||θ==n n n n…………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）图5图4解：（Ⅰ）1c =，设M N ，为短轴的两个三等分点，F 为焦点， 因为MNF △为正三角形，所以||||OF MN =，即213b=，解得b =，2214a b =+=，因此，椭圆方程为22143x y +=．………………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线的方程为(0)y kx m k =+≠．点1122()()A x y B x y ，，，的坐标满足方程组22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，①，②将①式代入②式，得2234()12x kx m ++=， 整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，此方程有两个不等实根，于是222(8)4(43)(412)0km k m ∆=-+->， 整理得22430k m -+>，③ 由根与系数的关系，可知线段AB 的中点坐标00()x y ，满足12024243x x km x k +-==+，002343my kx m k =+=+， 从而线段AB 的垂直平分线方程为223144343m km y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为22004343km m k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，，，．由题设可得22112434316km m k k --=++， 整理得222(43)08||k m k k +=≠，，将上式代入③式得222(43)4308||k k k +-+>，整理得22(43)(48||3)00k k k k +-+<≠，， 解得13||22k <<，所以k 的取值范围是31132222⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，，． ………………（12分）21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：222221(1)(1)(1)2(22)1()(1)(1)(1)a x a x x ax x a x f x x x x x x x +--+-+-+'=-==+++， 因为()(0)f x +∞在，上为单调增函数，所以()0f x '≥在(0)+∞，上恒成立，即2(22)10x a x +-+≥在(0)+∞，上恒成立．当(0)x ∈+∞，时，由2(22)10x a x +-+≥， 得122a x x-+≤． 设1()(0)g x x x x=+∈+∞，，，1()2g x x x x x =+=≥， 所以当且仅当1x x=，即1x =时，()g x 有最小值2， 所以222a -≤，所以2a ≤， 所以a 的取值范围是(2]-∞，．………………………………………………（5分） （Ⅱ）证明：要证ln ln 2m n m n m n -+<-， 0m n >>∵，ln 0m n >∴，只需证112ln m m n n m n-+<， 即证21ln 1m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，只需证21ln 01m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭->+． 设2(1)()ln 1x h x x x -=-+， 由（Ⅰ）知()h x 在(1)+∞，上是单调增函数，又1m n >， 所以(1)0m h h n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即21ln 01m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+成立， 所以ln ln 2m n m n m n -+<-． ……………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】解：（Ⅰ）AB ∵为圆O 的直径，AB DE ⊥，DH HE =，22(102)16DH AH BH ==-=∴，48DH DE ==∴，． ………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）PC ∵切圆O 于点C ，2PC PD PE =∴，2(8)2PD PD PD =+=∴，∴． …………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，， 则圆1O 的直角坐标方程为224x y +=，圆2O 的直角坐标方程为22(1)(1)4x y -+-=． …………………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆1O 与圆2O 的交点所在的直线方程为1x y +=，其极坐标方程为(sin cos )1ρθθ+=． …………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）不等式()10f x a +->，即|2|10x a -+->．当1a =时，不等式的解集是(2)(2)-∞+∞，，； 当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即|2|1x a ->-，即21x a -<-或21x a ->-，即1x a <+或3x a >-， 不等式解集为(1)(3)a a -∞+-+∞，，． ………………………………………（5分） （Ⅱ）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即|2||3|x x m ->-++对任意实数x 恒成立，即|2||3|x x m -++>对任意实数x 恒成立．由于|2||3||(2)(3)|5x x x x -++--+=≥，当且仅当32x -≤≤时取等，故只要5m <， 所以m 的取值范围是(5)-∞，．………………………………………………（10分）。

文科数学参考答案·第1页（共7页）云南师大附中2015届高考适应性月考卷（八）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B B C D B C D C D B 【解析】1．因为{|01}M x x =≤≤，{|0}N y y =>，所以(01]M N =∩，，故选D ．2．由112101(1i )1i1i i i i 1i 1i×−+++++===−− ，故选A ．另该题也可直接用i 的周期性解答． 3．因为6787312a a a a ++==，所以74a =，1131313()522a a S +==，故选B ． 4．画出可行域，易知当00x y ==，时，z 有最小值，代入23x y z +=得1z =，故选B ． 5．当0m =时，直线0x my +=为0x =，此时两直线不垂直，所以0m ≠，所以0x my +=的斜率为1m −，若两直线垂直，则有11m−=−，即1m =，所以“1m =”是“直线0x y −=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件，故选C ．6．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D ．7．依题意，有121222212||||2||||18||||4PF PF a PF PF PF PF c +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩i ，，，可得224364c a +=，即229a c −=，故有3b =，故选B ．8．11211211212++++++++=，故选C ．9．由题得：40A k A k +=⎧⎨−+=⎩，，解得：22A k =⎧⎨=⎩，，又函数sin()y A x k =++ωϕ的最小正周期为π2，∴2π4π2==ω，∴2sin(4)2y x =++ϕ，又直线π3x =是其图象的一条对称轴， ∴ππ4π32k ×+=+ϕ，∴5ππ6k k =−∈，ϕZ ，故可得：π2sin 426y x ⎛⎞=++⎜⎟⎝⎠符合条件，故选D ．文科数学参考答案·第2页（共7页）10．易知该几何体是一三棱锥，其体积11321332V Sh ==××=，故选C ．11．易知()f x 是以4为周期的函数，结合题意画出函数()f x 在(26)−，上的图象与log (2)a y x =+的图象如图1，结合图象分析可知，要使两个函数图象恰有一个交点，则有0114a a <<<<或，故选D ．12r R +=，解得：2)r R =，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．200∶400∶1400=1∶2∶7，所以应抽取中型超市20家．14．易知：圆心(43)，，5r =，所以圆的标准方程为22(4)(3)25x y −+−=． 15．由2(9)293f a a ===得，所以．16．以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，则10(11)(01)(00)2E C D A ⎛⎞⎜⎟⎝⎠，，，，，，，，设(cos sin )(11)P AC = ，，，θθ，向量AC DE AP =+ λμ，则有2sin 2cos 2cos sin −=+θθλθθ，32cos sin =+μθθ，所以+=λμ32sin 2cos 3sin 312cos sin 2cos sin +−+=−+++θθθθθθθ，由题意得，π0cos 12=≤≤，所以当，θθ1sin 02=+时，取最小值θλμ．图1文科数学参考答案·第3页（共7页）图2三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由21(2)8n n a S −−=，所以21(2)8n n a S +−=，所以22114()n n n n a a a a ++−=+，又0n a >，所以14n n a a +−=，即数列{}n a 是等差数列．………………………………………………………………………………（4分）又214a a −=，所以42n a n =−． ……………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）141111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎞===−⎜⎟−+−+⎝⎠， 所以21n nT n =+． …………………………………………………………………（12分）18.（本小题满分12分）解：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”．当00a b ≥，≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共有12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． ………（6分） （Ⅱ）试验的全部结果所构成的区域为{()|0302}a b a b ，≤≤，≤≤，构成事件A 的区域为{()|0302}a b a b a b ，≤≤，≤≤，≥，所以所求的概率为1322222()323P A ×−××==×．……………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：如图2所示，连接AC 交BD 于点O ，连接OF ， 在矩形ACEF 中，∵M 为EF 中点，∴CM OF ∥，………………………………………………（3分）∵CM BDF ⊄平面，OF BDF ⊂平面，文科数学参考答案·第4页（共7页）∴CM BDF ∥平面． …………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由题设和图形易知：BF DE BE DF EF =====CE ⊥平面ABCD ， ……………………（7分）∴1222DEF BEF S S ===i △△， ……………………………………………（8分）∵112ABF CDE S S ===i i △△111122ADF BCE S S ===i i △△=1S 矩形，……………………………………………………………………………（10分）∴=21S =表． ………………………………（12分）20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）把点12P ⎛⎜⎜⎝⎠，代入2221x y a +=，可得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=，椭圆C的离心率为e …………………………………………………………（4分） （Ⅱ）当APB ∠的平分线为PF 时，由12P ⎛⎜⎜⎝⎠，和(10)F ，知：PF x ⊥轴． 记PA PB 、的斜率分别为12k k 、， 所以，PA PB 、的斜率满足120k k +=， 设直线AB 的方程为(1)y k x =−，代入椭圆方程2212x y +=并整理可得，2222(12)42(1)0k x k x k +−+−=，211221224()()12k A x y B x y x x k +=+设，，，，则，21222(1)12k x x k −=+，………………（6分）所以121212121212121222211112()1y y y y x x k k x x x x x x x x −−+−+=+=+−×−−−−−++ ………（8分）文科数学参考答案·第5页（共7页）=2222224212222(1)4211212k k k k k k k k −+−×=−−+++ ……………………………………（11分）即20k =，所以k =……………………………………………………（12分） 21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当1a =−时，()ln f x x x =−， 得1()1f x x′=−， ……………………………………………………………………（2分）令()0f x ′>，即110x−>，解得1x >，所以函数()f x 在(1)+∞，上为增函数， 据此，函数()f x 在2[e e ]，上为增函数，………………………………………（4分）而(e)e 1f =−，22(e )e 2f =−，所以函数()f x 在2[e e ]，上的值域为2[e 1e 2]−−，．………………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）由()1a f x x′=+，令()0f x ′=，得10ax +=，即x a =−，当(0)x a ∈−，时，()0f x ′<，函数()f x 在(0)a −，上单调递减； 当()x a ∈−+∞，时，()0f x ′>，函数()f x 在()a −+∞，上单调递增；若1e a −≤≤，即e 1a −−≤≤，易得函数()f x 在2[e e ]，上为增函数，此时，2max ()(e )f x f =，要使()e 1f x −≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需2(e )e 1f −≤即可， 所以有2e 2e 1a +−≤，即2e e 12a −+−≤，而22e e 1(e 3e 1)(e)022−+−−−+−−=<，即2e e 1e 2−+−<−，所以此时无解． ……（9分） 若2e e a <−<，即2e e a −<<−，易知函数()f x 在[e ]a −，上为减函数，在2[e ]a −，上为增函数，要使()e 1f x −≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需2(e)e 1(e )e 1f f −⎧⎨−⎩≤，≤，即21e e 12a a −⎧⎪⎨−+−⎪⎩≤，≤，文科数学参考答案·第6页（共7页）由22e e 1e e 1(1)022−+−−++−−=<和222e e 1e e 1(e )022−+−+−−−=>， 得22e e 1e 2a −+−−<≤．若2e a −≥，即2e a −≤，易得函数()f x 在2[e e ]，上为减函数，此时，max ()(e)f x f =，要使()e 1f x −≤对任意2[e e ]x ∈，恒成立，只需(e)e 1f −≤即可， 所以有e e 1a +−≤，即1a −≤，又因为2e a −≤，所以2e a −≤．综上所述，实数a 的取值范围是2e e 12⎛⎤−+−−∞⎜⎥⎝⎦，．…………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵AC DE CDE DCA ∠=∠∥，∴， 又DBA DCA CDE DBA ∠=∠∠=∠∵，∴， ∵直线DE 为圆O 的切线，CDE DBC ∠=∠∴，故DBA DBC ∠=∠． …………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）解：CAB CDB ∠=∠∵且DBA DBC ∠=∠， AH ABABH DBC CD BD=∴△∽△，∴， 又EDC DAC DCA ∠=∠=∠，AD DC =∴， ……………………………………（8分）468AH ABAB AD BD AD BD====∴∵，，， 故3AH =．……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）由πcos 13⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠ρθ得1cos 122⎛⎞+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠ρθθ， 从而曲线C的直角坐标方程为1122x y +=，即2x =，0=θ时，2=ρ，所以(20)M ，，文科数学参考答案·第7页（共7页）π2=θ时，=ρ，所以N ⎝⎠． ……………………………………（5分）（Ⅱ）M 点的直角坐标为(20)，，N点的直角坐标为0,3⎛⎜⎜⎝⎠，所以P点的直角坐标为1,3⎛⎜⎜⎝⎠，则P 点的极坐标为π36⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠，， 所以直线OP 的极坐标方程为π()6=∈−∞+∞，，θρ． ………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）1231231231111111()a a a a a a m a a a ⎛⎞++=++++⎜⎟⎝⎠……………………（2分）3312212132311193(3222)a a a a a a m a a a a a a mm ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+++++++++=⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦≥， ………………（4分） 当且仅当1233ma a a ===时，等号成立． …………………………………………（5分） （Ⅱ）2222222222()()()ax by ax by a b a x b y ab x y +=++=+++222222()a x b y abxy ax by ++=+≥，当且仅当x y =时，等号成立． ……………（10分）。