全国100所名校最新高考模拟示范卷 理科数学(一)(教师版)

2023年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试（一）参考答案1．【答案】B 【命题意图】本题考查复数的四则运算，要求考生掌握复数代数表示式的四则运算． 【解析】i(1i)i 111i 1i+-==---． 2．【答案】D【命题意图】本题考查集合的运算，要求考生理解两个集合的交集的含义，能求两个集合的交集． 【解析】因为{|22,}{0,1,2}x B y y x x A ==-∈=，所以{0,1,2}A B = ．3．【答案】A 【命题意图】本题考查向量的数量积，要求考生会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，能用坐标表示平面向量的数量积．【解析】2(1,2)(4,2)(3,4)a b -=--=-- ，(2)1(3)(2)(4)5a a b ∴⋅-=⨯-+-⨯-=．4．【答案】C 【命题意图】本题考查椭圆，要求考生掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质． 【解析】依题意，甲：5a =．乙：4b =．丙：45c a =．丁：8a c +=．可知甲、乙、丁为真命题，丙为假命题． 5．【答案】B【命题意图】本题考查圆柱与球的表面积，要求考生认识圆柱与球及简单组合体的结构特征，知道球与圆柱的表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．【解析】由题意得222408122R -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得20cm R =，20164cm h =-=，所以两个球冠的表面积之和为224320cm ππS Rh ==，灯笼中间球面的表面积为2243201280cm R πππ-=．因为上下两个圆柱的侧面积之和为22244192cm ππ⨯⨯=，所以围成该灯笼所需布料的面积为212801921472cm πππ+=． 6．【答案】D【命题意图】本题以泊松分布为情境，考查离散型随机变量的概率分布，要求考生理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．主要考查考生获取信息、运用所学知识解决问题的能力，体现了逻辑推理与数学运算的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求． 【解析】由题可知(2)(3)P X P X ===，即232e 6e λλλλ=，解得3λ=，故33()e (0,1,2,)!k P X k k k -=== ，13333(1)e 1!eP X -===，故两个站台各有1个乘客候车的概率为23639e eP ⎛⎫== ⎪⎝⎭．7．【答案】C【命题意图】本题考查比较大小，要求考生知道两个数比较大小的常用方法，会利用构造法比较大小． 【解析】令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x-'=，当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，因为2e >73e >>， 所以2(e )(7)(3)f f f <<，22ln e ln 7ln 3e 73<<，即22ln 7ln 3e 73<<，故b c a <<． 8．【答案】C【命题意图】本题考查二面角的最值，要求考生能解决平面与平面的夹角的计算问题．【解析】如图，平面1D MN 平面ABCD PN =，过点D 作DG PN ⊥，垂足为G ，连接1D G ，则1D GD ∠即为平面1D MN 与平面ABCD 所成的锐二面角， 1tan D GD ∠=1D DDG，当DG 最大时，1D GD ∠最小，不妨设4AB =，因为5DG DN ===≤，所以4tan 5θ=，cos θ=． 9．【答案】ABC【命题意图】本题考查异面直线的夹角，要求考生在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．【解析】对于A ：因为SD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以SD AB ⊥， 因为ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥，因为SD AD D = ，,SD AD ⊂平面SAD ， 所以AB ⊥平面SAD ，因为SA ⊂平面SAD ，所以AB SA ⊥，故A 项正确；对于B ：因为,SD AC AC BD ⊥⊥，因为SD BD D = ，,SD BD ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD ，因为SB ⊂平面SBD ，所以AC SB ⊥，故B 项正确；对于C ：AD 与SB 所成的角为SBC ∠，CD 与SB 所成的角为SBA ∠，因为cos cos BC ABSBC SBA SB SB∠===∠，所以AD 与SB 所成的角等于CD 与SB 所成的角，故C 项正确； 对于D ：因为//AB CD ，所以CD SA ⊥，则DC 与SA 所成的角为90︒，因为AB 与SC 所成的角为90SCD ∠<︒，所以AB 与SC 所成的角不等于DC 与SA 所成的角，故D 项不正确． 10．【答案】BCD【命题意图】本题考查换底公式，要求考生理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．【解析】因为lg 2a =，lg 3b =，所以102a=，103b=，所以21012a b+=，A 项错误；2lg 4lg 3lg12a b +=+=，B 项正确；2lg(29)lg18a b +=⨯=，1811log 102lg18a b ==+，C 项正确；36lg 51lg 21log 5lg 362(lg 2lg 3)22aa b--===++，D 项正确． 11．【答案】ABC【命题意图】本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质，理解数形结合的思想．【解析】对于A ：由题意知(1,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0， 设其方程为(1)y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)M x y ，联立2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，216(1)0k ∆=+>，故21222(2)k x x k ++=，121x x =， 则122424x x kAF BF =++=++，1212122244(1)(1)11214x x x x x x k k AF BF =++=+++=+++=+⋅，所以AF BF AF BF +=⋅，故A 项正确．对于B ：过点A 作AD x ⊥轴，垂足为D ，因为(1,0)K -，所以11tan 1y AKF x ∠=+， 111cos cos sin 21y y MQF MFQ AFD AF x ⎛⎫∠=-∠=∠== ⎪+⎝⎭，所以tan cos AKF MQF ∠=∠，故B 项正确．对于C ：因为1222y y k +=，所以M 点的纵坐标为2k ，故21,N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，212NFk k k==--，1NF AB k k =-⋅，故NF AB ⊥，故//NF MQ ，故C 项正确．对于D ：2111212122224()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩，则121212042y y k x x y y y -===-+，所以MQ 的方程为000()2y y y x x -=--，令0y =，得0000()22yy x x x x -=--⇒=+，所以0(2,0)Q x +，所以00211FQ x x =+-=+，所以1202222AB x x x FQ =++=+=，故D 项错误．12．【答案】ABC【命题意图】本题考查抽象函数的性质，要求考生理解函数的奇偶性与周期性的含义． 【解析】令1x =，可得(1)(3)40f f -+=，所以(3)5f =，A 项正确； 令2x =，可得(0)(4)80f f -+=，因为(0)0f =，所以(4)8f =，B 项正确； 设()()2g x f x x =-，则()g x 为R 上的奇函数，又因为(2)(2)40f x f x x --++=，所以(2)2(2)(2)2(2)f x x f x x ---=+-+，则(2)(2)g x g x -=+，所以()g x 的图象关于直线2x =对称，因为(4)()()g x g x g x +=-=-，(8)(4)()g x g x g x +=-+=，所以()g x 的一个周期为8，因为(2023)(1)(1)1,(2023)(2023)220231g g g g f =-=-==-⨯=，所以(2023)4047f =，C 项正确；因为(2024)(0)0g g ==，则(2024)220240,(2024)4048f f -⨯==，D 项错误．13．【答案】160-【命题意图】本题考查二项式定理，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【解析】因为62x ⎛ ⎝的展开式的通项为36662166C (2)(1)C 2rr r r r r r r T x x---+⎛==- ⎝， 所以第四项的系数为3336(1)C 2160-=-．14．【答案】223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭【命题意图】本题考查圆的方程，要求考生掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程． 【解析】设圆心坐标为(,2)a a ，可得2(2)110a +=，解得32a =±，所以圆心坐标为3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故圆的标准方程为223(3)102x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭或223(3)102x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．15．【答案】53【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数sin()ωϕy A x =+中各参数对图象的影响．【解析】因为6855ππf f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可知725πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以72()562Z ωππππk k +=+∈，解得510()217Z ωk k =+∈．由图象可知862555283552ππππωππππωT T ⎧-=<=⎪⎪⎨⎪-=>=⎪⎩，可得512ω<<，所以1k =，53ω=．16．【答案】[0,e]【命题意图】本题考查函数的极值，要求考生能借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，能利用导数求某些函数的极大值、极小值，体会导数与极值的关系．【解析】()(1)(e )x f x x ax '=+-．令()e xg x ax =-，因为函数3211()e 32xf x x ax ax =--有唯一一个极值点，且(0)10g =>，所以()0g x ≥恒成立．当0a =时，符合题意；当0a <时，()e 0xg x a '=->，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，且当x →-∞时，()g x →-∞，不合题意，舍去；当0a >时，由()0g x '=，可得ln x a =，()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以min ()(ln )ln g x g a a a a ==-，由ln 0a a a -≥，解得0e a <≤．综上所述，实数a 的取值范围是[0,e]． 17．【命题意图】本题考查数列的通项公式与前n 项和，要求考生掌握数列的前n 项和的求法，能运用等差数列解决相应问题．【解析】（1）当1n =时，31248a =⨯=，12a =，··························································1分 当2n ≥时，3333221232(1)n a a a a n n ++++=+ ，33332212312(1)n a a a a n n -++++=- ，·······2分 两式相减得323248n a n n n =⨯=，即2n a n =，································································4分 当1n =时，也符合上式，故2n a n =．··········································································5分 （2）因为12211122(1)21n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⨯++⎝⎭，····················································7分 所以11111111122231222n S n n n ⎛⎫=-+-++-=- ⎪++⎝⎭ ．················································10分 18．【命题意图】本题考查解三角形，要求考生能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与几何计算有关的实际问题． 【解析】（1）因为cos cos 2cos bc A ab C ac B +=，由余弦定理可得2222222222222b c a a b c a c b bc ab acbc ab ac+-+-+-+=，·································2分 整理得2222a c b +=，································································································4分所以2a ，2b ，2c 成等差数列．····················································································5分 （2）因为sin 3sin A C =，所以3a c =．·······································································7分 又因为2222a c b +=，所以22292c c b +=，即b =．·················································9分由余弦定理可得222222955cos 2236a cbc c c B ac c c +-+-===⋅．··············································12分19．【命题意图】本题考查面面平行的性质定理与线面角，要求考生能运用面面平行的性质定理解决问题，能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．【解析】（1）在1BB 上取点M ，使得11B M =，连接1A M ，延长1CC 至点N ，使得11C N =，连接MN ，1A N ，则平面1A MN 与平面α重合．············································································1分理由如下：因为1//A D BM ，且1A D BM =，所以四边形1A DBM 是平行四边形，1//A M BD ，············2分 同理可得//MN BE ，所以平面1//A MN 平面BDE ，又平面α过点1A ，且平面//α平面BDE ，(3分) 所以平面1A MN 与平面α重合，则F 为MN 与11B C 的交点．又易知11FB M FC N ≅△△，所以11FB FC =，即F 为11B C 的中点，··································4分所以1A F ===．·································································5分（2）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，所以BA ，BC ，1BB 两两垂直．分别以BA ，BC ，1BB 的方向为x 轴、y 轴、z则(0,0,0)B ，(2,0,2)E ，(0,2,1)D ，(1,0,3)F ，·········6分所以(2,0,2)BE = ，(0,2,1)BD = ，(1,0,3)BF =，······7分设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，则0m BE ⋅= ，0m BD ⋅= ，即22020x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，得(2,1,2)m =- ．···············9分 设直线BF 与平面BDE 所成的角为θ，则sin |cos ,|BF m BF m BF mθ⋅=〈〉===⋅ ，······································11分 所以直线BF 与平面BDE ．·······················································12分 20．【命题意图】本题以二氧化碳的排放导致全球气候变暖为情境，要求考生运用所学回归分析与正态分布等必备知识解答相关问题，主要考查数学运算与数据分析的学科素养，突出综合性、应用性的考查要求．【解析】1(1)(141721273239)256x =⨯+++++=，····················································1分 1(0.20.30.50.8 1.0 1.4)0.76y =⨯+++++=，·····························································2分61126.6i i i x y ==∑==66?21.60.9970.7521.66i ix y x yr -∴==≈≈>∑，·································4分 故可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．·····································································5分（2）61621()621.6ˆ0.048450i ii ii x y xybx x ==-===-∑∑，······································································7分 ˆ0.70.048250.5a∴=-⨯=-，·····················································································8分 y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ0.0480.5yx =-．·····························································9分 （3）~(5,4)Z N ，1(5252)(7)0.158652P Z P Z --<+∴>==≤，···························11分∴该企业每天的二氧化碳排放量Z 超过7吨的概率为0.15865．···········································12 分 21．【命题意图】本题考查导数的几何意义与方程的根，要求考生通过函数图象直观理解导数的几何意义，能利用导数求某些函数的最大值、最小值，体会导数与最大 (小) 值的关系，掌握函数与方程的数学思想． 【解析】 （1）因为()lnx 1af xx =+-'，所以()ln f a a '=，又因为()1f a =-，所以曲线()y f x =在x a =处的切线方程为1()ln y x a a +=-，·············································································2分则1ln ln 1a ab a a -=⎧⎨=--⎩，易知1ln a a -≥，当且仅当1a =时取等号，·······································4分所以1a =，1b =-．·································································································6分 （2）当2a =时，由()f x mx =，可得(2)ln 1x x mx --=，(2)ln 1x x m x--=．令(2)ln 1()x x g x x --=，则22ln 1()x x g x x+-'=．························································8分 设函数()2ln 1h x x x =+-，易知函数()h x 为增函数，(1)0h =，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，············································································································10分 所以()g x 的最小值为(1)1g =-，故实数m 的取值范围是(1,)-+∞．···································12分 22．【命题意图】本题考查直线与双曲线的位置关系，要求考生了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质，通过圆雉曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．【解析】（1）由已知可得22b a =224a b +=，又0a >，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以双曲线C 的方程为2213x y -=．·············································································2分当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，则122x x ==，1221212()x y x y y y -=-成立； 当直线l 的斜率存在时，AF BF k k =，121222y y x x =--，整理得1221212()x y x y y y -=-．·········4分 综上所述，1221212()x y x y y y -=-成立．······································································5分 （2）设点M 的坐标为(,0)m ，222AMBM AB λ+-=．当l x ⊥轴时，直线l 的方程为2x =，不妨设A ⎛ ⎝⎭，2,B ⎛ ⎝⎭，则2221222(2)2833λm m m ⎡⎤=-+-=-+⎢⎥⎣⎦⎝⎭．当l y ⊥轴时，直线l 的方程为0y =，代入2213x y -=，得x =不妨设(A ，B ，则2222((26λm m m =++-=-． 令222228263m m m -+=-，得53m =，24269m λ=-=-．··········································7分当l 不与坐标轴垂直时，设直线l 的方程为2(x ty t =+≠，代入2213x y -=，得22(2)33ty y +-=，即22(3)410t y ty -++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122241,33t y y y y t t +=-=--． 对于点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22222211221255()()133x y x y y y t λ⎛⎫⎛⎫=-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222221212222222(1)826(1)822(1)()3933(3)93(3)9t t t t t t y y y y t t t ++-=++++=-+=+--- 226222243(3)9399t t -=+=-+=--．·················································································11分 综上所述，存在定点5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得222AMBM AB +-为定值49-．····························12分。

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(32)(1)0},{|2,10}xM x x x N y y x =-+<==-≤≤，则M N 等于（ ）A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(1,1]-D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭1．答案：C解析：211,,,132M N ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以(1,1]MN =-．2．已知i z a =+，若2z <，则实数a 不可能为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．02．答案：A 解析：2212,3z a a =+<∴<，故四个选项中，只有3不可能为实数a 的值．3．已知某市2011~2017年全社会固定资产投资额以及增长率如下图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．从2011年到2017年全社会固定资产的投资额处于不断增长的状态B ．从2011年到2017年全社会固定资产投资额的平均值为713.6亿元C ．该市全社会固定资产投资额增长率最高的年份为2012年D ．从2014年到2015年全社会固定资产投资额的增长率为0 3．答案：D解析：因为从2011年到2017年全社会固定资产的投资额分别为415.8,506.1,590.8,687.7,800.8，939.9,1054.1，所以A 选项正确；因为415.8506.1590.8687.7800.8939.91054.1713.67++++++=，所以B 选项正确；2012年的全社会固定资产投资额增长率为21.7%，为2011年到2017年的最大值，故C 项正确； 2014年和2015年全社会固定资产投资额的增长率均为16.4%，均呈现增长趋势，故D 项错误． 4．若ABC △的面积2sin sin S BC B C =⋅，则ABC △的外接圆半径R 为（ ） A ．1 B ．2CD．4．答案：B 解析：1sin 2sin sin ,4sin ,24,22sin b S ab C a B C b B R R B==∴====． 5．若抛物线22(0)y px p =>上到其焦点F 的距离为2的点有且仅有一个，则p 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．85．答案：C解析：根据题意，抛物线的顶点到焦点的距离为2,42pp ==． 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A ．1B ．512 C ．724D ．11126．答案： B解析：第一次循环，1,1,42S a n ==-=；第二次循环，111,1,6244S an =-===； 第三次循环，115,1,874612S a n =+==-=>，输出512S =．7．以P 为顶点的某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E ，则PE 的长为（ ） A ． BC ．3D 7．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，6,PA AE PE ==∴==正视图侧视图俯视图PA BCDE8．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于原点对称，且当0x ≥时，31()log 211x f x x =-++，则不等式(1)(32)0f x f x -+++>的解集为（ ）A ．(,4)-∞-B ．(,1)-∞-C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭8．答案：A解析：当0x ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，又因为函数()f x 是奇函数，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，由(1)(32)0f x f x -+++>，得(1)(32)f x f x -+>-+，(1)(32)f x f x ∴-+>--，132x x ∴-+<--，解得4x <-．9．已知函数()sin()(0,0,)2f x M x M πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，其图象的一个最高点是4,29A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且7,09B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．3πϕ=-B ．直线23x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．219f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减9．答案：C解析：1742,4993M T πππ==-=，则423,32T T ππω=∴==， 当49x π=时，342,292x k k Z πωϕπϕπ+=⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=-∈，又因为2πϕ<，6πϕ∴=-，所以A 错误，当23x π=-时，2373266x πππωϕ+=-⨯-=-，所以B 错误；2322sin 2sin 192966f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；。

100所名校高考模拟金典卷（一）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数232ii --等于A ．4755i -B ．7455i -C ．7455i +D ．4755i +2．已知集合{}22|log (32)A x y x x ==-+，2{|0}3x B x x +=<-，则A B I 等于A ．{|21x x -<<或23}x <<B ．{}|23x x -<<C ．{}|3x x >D ．{}|2x x <-3．向量a b ⋅=-r r ||a =rb r 在向量a r 方向上的投影为 A ．6B ．3C ．－3D ．－64．下列函数()f x 中，满足：对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >，且其图像关于原点中心对称的是A ．2()f x x =B ．3()f x x =C ．1()f x x=D ．()xf x e =5．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +等于A ．7B ．5C ．－5D ．－76．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A B C D ．7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．28．已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于A ．135B ．270C ．10809．设函数2()sin()2cos 1(0)62f x x x πωωω=--+>，直线y =()y f x =图像相邻两交点的距离为π，则函数()y f x =在区间[]0,π上的单调增区间为A ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是双曲线右支上一点，12F F u u u u r 在1F P u u u r 方向上的投影的大小恰好为1||F P u u u r ，且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 是 ABC1D111．设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12，则2294a b +的最小值为 A ．12B ．1C ．2D ．5212．已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3,4N =，定义函数:f M N →．若点(1,(1))A f ，(2,(2))B f ，(3,(3))C f ，△ABC 的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．正视图二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．边长为2的正方体内切球的表面积为 ．14．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知：y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方 程为$y bx a =+，其中已知 1.23b =，请估计使用年限 为20年时，维修费用约为 万元．15．如图是一个长为4、宽为2的长方形，图中阴影部分是由曲线y =1(1)3y x =-，4x =及x 轴围成的图形．随机的向长方形内投入一点，则该点落入阴影部分的概率为： ． 16．（20XX 年·福建）数列{}n a 的通项公式为cos12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S ＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r．（1）当a r ∥b r 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a =2b =，sin 3B =，求()4cos(2)(0,)63f x A x ππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的取值范围． 18．（本小题满分12分）为缓解某路段交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：（1（2）若从年龄在[)15,25，[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1BC =，12BB =，190BCC ∠=o ，AB ⊥平面11BB C C ．（1）在棱1CC （不包含端点1,C C ）上确定一点E ，使得1EA EB ⊥（要求说明理由）；（2）在（1）的条件下，若AB =求二面角11A EB A --的大小．20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，离心率12e =，在x 轴负半轴上有一点B 且212BF BF =u u u u r u u u r ．（1）若过A 、B 、2F三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （2）在（1）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l '与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =． （1）求()f x 的最小值；（2）当0,0a b >>，求证：()()()()ln 2f a f b f a b a b +≥+-+．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，AB AC =，直线MN 切圆O 于点C ，BD∥MN ，AC 与BD 相交于点E ． （1）求证：AE AD =；（2）若6,4AB BC ==，求AE 的长．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴正半轴重合．直线l 的参数方程为AA 1B 1C 1B CE1,1,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交于点P 、Q 两点，求||PQ 的值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()|1|2f x x =-+，()|2|3g x x =-++． （1）解不等式()2g x ≥-；（2）当x R ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13．4π 14．24.6815．234816．3018三、解答题 17．。

全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|(32)(1)0},{|2,10}x M x x x N y y x =-+<==-≤≤，则M N 等于（ ）A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(1,1]-D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭1．答案：C解析：211,,,132M N ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以(1,1]MN =-．2．已知i z a =+，若2z <，则实数a 不可能为（ ）A BC ．1D ．02．答案：A解析：22,3z a =<∴<a 的值．3．已知某市2011~2017年全社会固定资产投资额以及增长率如下图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．从2011年到2017年全社会固定资产的投资额处于不断增长的状态B ．从2011年到2017年全社会固定资产投资额的平均值为713.6亿元C ．该市全社会固定资产投资额增长率最高的年份为2012年D ．从2014年到2015年全社会固定资产投资额的增长率为0 3．答案：D解析：因为从2011年到2017年全社会固定资产的投资额分别为415.8,506.1,590.8,687.7,800.8，939.9,1054.1，所以A 选项正确；因为415.8506.1590.8687.7800.8939.91054.1713.67++++++=，所以B 选项正确；2012年的全社会固定资产投资额增长率为21.7%，为2011年到2017年的最大值，故C 项正确； 2014年和2015年全社会固定资产投资额的增长率均为16.4%，均呈现增长趋势，故D 项错误．4．若ABC △的面积2sin sin S BC B C =⋅，则ABC △的外接圆半径R 为（ ） A ．1 B ．2CD．4．答案：B 解析：1sin 2sin sin ,4sin ,24,22sin b S ab C a B C b B R R B==∴====． 5．若抛物线22(0)y px p =>上到其焦点F 的距离为2的点有且仅有一个，则p 的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．85．答案：C解析：根据题意，抛物线的顶点到焦点的距离为2,42pp ==． 6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ） A ．1B ．512 C ．724D ．11126．答案： B解析：第一次循环，1,1,42S a n ==-=；第二次循环，111,1,6244Sa n =-===； 第三次循环，115,1,874612S a n =+==-=>，输出512S =． 7．以P 为顶点的某几何体的三视图如图所示，记底面的中心为E ，则PE 的长为（ ） A ． BC ．3D 7．答案：A解析：该几何体的直观图如图所示，6,PA AE PE ==∴==正视图侧视图俯视图PA BCDE8．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于原点对称，且当0x ≥时，31()log 211x f x x =-++，则不等式(1)(32)0f x f x -+++>的解集为（ ）A ．(,4)-∞-B ．(,1)-∞-C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭8．答案：A解析：当0x ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，又因为函数()f x 是奇函数，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，由(1)(32)0f x f x -+++>，得(1)(32)f x f x -+>-+，(1)(32)f x f x ∴-+>--，132x x ∴-+<--，解得4x <-．9．已知函数()sin()(0,0,)2f x M x M πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，其图象的一个最高点是4,29A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且7,09B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（ ） A ．3πϕ=-B ．直线23x π=-是函数()f x 图象的一条对称轴 C ．219f π⎛⎫=⎪⎝⎭D ．函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减9．答案：C解析：1742,4993M T πππ==-=，则423,32T T ππω=∴==， 当49x π=时，342,292x k k Z πωϕπϕπ+=⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=-∈，又因为2πϕ<，6πϕ∴=-，所以A 错误，当23x π=-时，2373266x πππωϕ+=-⨯-=-，所以B 错误；2322sin 2sin 192966f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，3511,26312x x πππωϕ⎡⎤+=-∈--⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以D 错误．10．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于虚数，将其绘成图2，若E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，在图2中随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ） A ．1126B ．713C ．12D ．1124BCF图1图210．答案：B解析：设正方形ABCD 的边长为4，因为E 是AB 的中点，所以4,2AB BE ==，由题可得2,1AE BE FK DG DK DJ CJ AL LK HI IJ ===========，所以整个图形的面积21144122522622S =⨯+⨯⨯++⨯⨯=， 阴影部分的面积1111441224(12)214222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯+⨯=，由几何概型的概率计算公式得所求事件的概率11472613S P S ===． 11．已知12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点．若双曲线C 与圆222:O x y a +=2b +的一个交点为0000(,)(0,0)A x y x y <>，且双曲线C 的渐近线为y =±，则21cos AF F ∠=（ ）AB ．35C ．45D 11．答案：C解析：因为双曲线C 的渐近线为y =±，所以ba=1a =，则5b c ==，圆22:25O x y +=过点12,F F ，则12AF AF ⊥，则222121221100,22AF AF FF AF AF a +==-==，） ．(4,)+∞12．答案：D 解析：令1()(2)ln 32f x mx x x x x =-+-+，因为()(1)ln ,0f x m x x x '=-+>且0m >，令()0f x '=，得1x =，当01x <<时，()0,()f x f x '<单调递减；当1x >时，()0,()f x f x '>单调递增，所以min ()f x =(1)22m f =-+，由题意可知202m-+<，解得4m >，故正实数m 的取值范围是(4,)+∞． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知x y 、满足不等式组2103260x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+的最大值为 ．13．答案：9解析：作可行域为如图所示的ABC △，平移直线30x y +=，当其经过点B 时，目标函数3z x y =+取得最大值，由210x xy =⎧⎨-+=⎩，得23x y =⎧⎨=⎩，即(2,3)B ，所以max 3239z =⨯+=．3x14．已知向量(sin ,2),(cos ,1)m n θθ==，若//m n ，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 14．答案：3-解析：tan tan214//,sin 2cos ,tan 2,tan 34121tan tan 4m n πθπθθθθπθ++⎛⎫∴==+===- ⎪-⎝⎭-． 15．某汽车销售公司对4辆合资品牌与3辆自主品牌的汽车按一定顺序进行性能检测，则检测中自主品牌汽车不相邻，合资品牌汽车甲与乙必须相邻的不同检测顺序有 种． 15．答案：288解析：合资品牌汽车有4辆，其中甲与乙相邻，共有2323A A 种检测顺序，又因为自主品牌汽车不相邻，所以共有34A 种检测顺序，所以自主品牌汽车不相邻，合资品牌汽车甲与乙必须相邻的不同检测顺序有 233234288A A A =种．16．已知,,,A B C D 四点都在半径为2的球O的表面上，2,,AC BC AC BC BD CD ==⊥==则三棱锥A BCD -的体积为 ． 16．答案：2解析：由题可知4AB =，故AB 为球O 的直径，AB 的中点为球心O ．取BC 中点M ，连接OM，则22211,,2OM AC BD CD BD CD BC BD CD ====∴+=∴⊥，则BC D △为直角三角形，M 为BCD △的外心，故OM ⊥平面BCD ．又因为O 为AB 的中点，所以点A 到平面BCD 的距离等于 22OM =，故三棱锥A BCD -的体积为112232⎛⨯⨯= ⎝．BACODM三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分） 已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且3116,41(2,)n n a S S n n N *-==+∈≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1221,421,4log log nn n n n a n b n a a -+⎧⎪⎪=⎨⎪>⋅⎪⎩≤，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．解析：（1）设{}n a 的公比为q ，则由题意可知213241,41S S S S =+=+，两式相减可得324a a =，所以324a q a ==，所以33131644n n n n a a q ---=⋅=⨯=．…………………………5分 （2）由（1）可得12,41,44(1)n n n b n n n-⎧⎪=⎨>⎪-⎩≤， 当4n ≤时，1(12)2112n n n T ⨯-==--； 当4n >时，11114(1)41n b n n n n ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，45611111111124111515445561164164n n T T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯-+-++-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．综上，21,42411,4164n n n T n n⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤．…………………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）根据以往经验，大闸蟹在10月份开铺．而近几年从9月份开始，大闸蟹的销售市场就先热了起来，各大商家运用“礼品经济”的促销活动，先让顾客交钱买卷，等大闸蟹上式再去提货．某经销商为吸引顾客，推出购劵优惠活动，该经销商销售的都是面额为500元的蟹卷，对蟹卷逐张购买给予相应优惠，其标准如下表所示：已知该经销商每500元蟹卷的成本为300元，根据所给数据，解答下列问题： （1）估计某顾客购买蟹卷不低于1000元的概率；（2）若某顾客购买了100元的蟹卷，求该经销商获得的每张蟹卷的平均利润；（3）假设每个顾客最多购劵2000元，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该经销商从每位顾客的消费中获得的平均利润． 18．（1）在50位顾客中，购买蟹卷不低于1000元的有1510530++=人，所以某顾客购买蟹卷不低于1000元的概率303505P ==．……………………………………2分 （2）顾客购买的第1张蟹卷，该经销商获得的利润为5000.98300190⨯-=元；顾客购买的第2张蟹卷，该经销商获得的利润为5000.96300180⨯-=元．若某顾客购买了1000元的蟹卷，则该经销商获得的每张蟹卷的平均利润为1901801852+=元．……5分 （3）由（2）知某顾客购买蟹卷500元，则该经销商获得的利润为190元，其概率1202505P ==； 某顾客购买蟹卷1000元，则该经销商获得的利润为370元，其概率21535010P ==； 某顾客购买蟹卷1500元，则该经销商获得的利润为3705000.91300525+⨯-=元，其概率3101505P ==； 某顾客购买蟹卷2000元，则该经销商获得的利润为5255000.83300640+⨯-=元，其概率4515010P ==． 该经销商从每位顾客的消费中获得的平均利润为2311190370525640356510510⨯+⨯+⨯+⨯=元…12分 19．（本小题满分12分）ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,2O AC =，把ABC △沿AC 折起得到PAC △，记点P 在底面ACD 的投影为点G ．（1）求证：点G 在直线OD 上．（2）若二面角P AC D --的余弦值为13，点E 是PD 的中点，求AE 与CG 所成角的余弦值．ABCDOO A PECG19．（1）连接GA ，PG ⊥平面,,ACD PG GA PG GC ∴⊥⊥，又,PA PC PG PG ==，,PGA PGC GA GC ∴∴=△≌△，故点G 在线段AC 的垂直平分线上．,DA DC ACD =∴△为等腰三角形，由等腰三角形的三线合一可知线段AC 的垂直平分线即为直线OD ，故点G 在直线OD 上．………………………………………………………………………………5分（2）,,PO AC DO AC POD ⊥⊥∴∠为二面角P AC D --的平面角．1PA PC AO OC ====，13,cos 313PO OD OG PO POG ==∴=∠=⨯=，GC PG ====过G 作平行于AC 的直线，并将其作为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(2,0,0),(1G A C P D E ---，(2,1,2),(1,1,0)AE GC =-=．设AE 与CG 所成的角为θ，则cos 4AE GC AE GCθ⋅===⋅12分20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为e ，且22b a与e 为方程22730x x -+=的两根．（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于不同的两点0,,M N l 与l 关于x 轴对称，Q 是0l 与y 轴的交点，若22QM QN QM QN +=-，求2k 的值．20．解析：（1）因为方程22730x x -+=的根为1,32，因为01e <<，所以21223c e a b a⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又222a b c =+，解得2,1b a c ==，故椭圆C 的方程为22143x y +=．……………………5分 （2）由（1）可知右焦点2(1,0)F ．设直线l 的方程为(1)y k x =-，则0:(1)l y kx =--．令0x =，得Q y k =，故(0,)Q k ．联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(43)84120k x k x k +-+-=， 设1122(,),(,)M x y N x y ，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++．22,0QM QN QM QN QM QN +=-∴⋅=．又因为1122(,),(,)QM x y k QN x y k =-=-，2222121212121212()()(2)(2)(1)2()40QM QN x x y k y k x x k x x k x x k x x k ∴⋅=+--=+--=+-++=即2222222(1)(412)28404343k k k k k k k +-⋅-+=++，整理得4230k k +-=，解得2k =或2k =．故2k =．……………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数()2ln ()f x x ax a =-∈R ． （1）若()f x 的最大值为2-，求a 的值；（2）若存在实数1,,42m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且2m n -≥，使得()()f m f n =，求证：8ln 2ln 23a ≤≤． 21．解析：（1）22()ax f x a x x-'=-=， 若0a ≤，则()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，()f x 无最值，不合题意；若0a >，当20x a <<时，()0f x '>，当2x a >时，()0f x '<，所以函数()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的最大值为2222ln 2f a a a a ⎛⎫=-⋅=- ⎪⎝⎭，解得2a =，符合题意．综上，2a =．………………………………………………………………………………………………5分 （2）若()()f m f n =，则由（1）知0a >，所以函数()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，若存在实数1,,42m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f m f n =，则2a 介于,m n 之间，不妨设1242m n a <<≤≤，因为()f x 在2,m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()()f m f n =，所以当m x n ≤≤时， ()()()f x f m f n =≥，由14,22m n m n <-≤≤≥，可得2[,]m n ∈，故(2)()()f f m f n =≥，又()f x 在2,m a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且122m a <≤，所以1()2f m f ⎛⎫⎪⎝⎭≥，所以1(2)2f f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，同理(4)(2)f f ≥．所以112ln 2ln 22222ln 442ln 22a a a a⎧--⎪⎨⎪--⎩≤≤，解得8ln 2ln 23a ≤≤，不等式得证．……12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线l 的参数方程为212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点(,)P ρθ (0,02)ρθπ><≤是曲线C 上任意一点．（1）求证：cos 4ρθ=．（2）若(0,1)A ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,M N ，求11AM AN+的值． 22．（1）依题意，曲线22:(2)4C x y -+=，故2240x y x +-=，即24cos 0ρρθ-=，即4cos ,cos 4ρρθθ==．………………………………………………………5分（2）将直线l的参数方程21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2240x y x +-=中，化简可得210t ++=，设,M N 所对应的参数分别为12,t t ，则12121t t t t +=-=，故121211AM AN t t AM AN AM AN t t +++===⋅．……………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 设函数()2421f x x a x =++-．（1）当12a =时，解不等式()4f x <； （2）若41,()a f x -<<-的图象与坐标轴的三个交点构成的三角形面积为103，求实数a 的值．23．解析：（1）当12a =时，73,22191()24,2222713,22x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪+>⎪⎩≤≤， 当2x <-时，原不等式可化为7342x --<，解得52x >-，故522x -<<-； 当122x -≤≤时，原不等式可化为942x +<，解得12x <-，故122x -<-≤； 当12x >时，原不等式可化为7342x +<，解得16x <，此时不等式无解． 综上所述，不等式()4f x <的解集为5122x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭．…………………………………………5分 （2）()2421f x x a x =++-，令0x =，得(0)4f a =+，令()0f x =，得422a x a +=-或422a x a -=+，所以()f x 的图象与坐标轴的三个交点构成的三角形面积为 21445(4)10(4)22222213a a a a S a a a a -++⎛⎫=-+== ⎪++-⎝⎭． 25(4)1041,2(1)3a a a S a +-<<-∴==-，化简得271240a a +-=， 解得2a =-或27a =（舍去），故2a =-．……………………………………………………………10分。

100所名校高考模拟金典卷（一）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数232ii --等于A ．4755i -B ．7455i -C ．7455i +D ．4755i +2．已知集合{}22|log (32)A x y x x ==-+，2{|0}3x B x x +=<-，则A B I 等于A ．{|21x x -<<或23}x <<B ．{}|23x x -<<C ．{}|3x x >D ．{}|2x x <-3．向量a b ⋅=-r r ||a =rb r 在向量a r 方向上的投影为 A ．6B ．3C ．－3D ．－64．下列函数()f x 中，满足：对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >，且其图像关于原点中心对称的是A ．2()f x x =B ．3()f x x =C ．1()f x x=D ．()xf x e =5．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +等于A ．7B ．5C ．－5D ．－76．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A B C D ．7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出a 的值为A ．－1B ．0C ．1D ．28．已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于A ．135B ．270C ．9．设函数2()sin()2cos 1(0)62f x x x πωωω=--+>，直线y =()y f x =图像相邻两交点的距离为π，则函数()y f x =在区间[]0,π上的单调增区间为A ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是双曲线右支上一点，12F F u u u u r 在1F P u u u r 方向上的投影的大小恰好为1||F P u u u r ，且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 是 AB C 1D 111．设,x y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12，则2294a b +的最小值为 A ．12B ．1C ．2D ．5212．已知集合{}1,2,3M =，{}1,2,3,4N =，定义函数:f M N →．若点(1,(1))A f ，(2,(2))B f ，(3,(3))C f ，△ABC 的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈u u u r u u u r u u u r，则满足条件的函数()f x 有正视图A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．边长为2的正方体内切球的表面积为 ．14．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知：y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方 程为$y bx a =+，其中已知 1.23b =，请估计使用年限 为20年时，维修费用约为 万元．15．如图是一个长为4、宽为2的长方形，图中阴影部分是由曲线y =1(1)3y x =-，4x =及x 轴围成的图形．随机的向长方形内投入一点，则该点落入阴影部分的概率为： ． 16．（2012年·福建）数列{}n a 的通项公式为cos12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量3(sin ,)4ax =r ，(cos ,1)b x =-r ．（1）当a r ∥b r 时，求2cos sin 2x x -的值；（2）设函数()2()f x a b b =+⋅r r r，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a =2b =，sin B =，求()4cos(2)(0,)63f x A x ππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦的取值范围． 18．（本小题满分12分）为缓解某路段交通压力，计划将该路段实施“交通限行”．在该路段随机抽查了50人，了解公众对“该路段限行”的态度，将调查情况进行整理，制成下表：（1）作出被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在[)15,25，[)25,35的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“交通限行”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知1BC =，12BB =，190BCC ∠=o ，AB ⊥平面11BB C C ．（1）在棱1CC （不包含端点1,C C ）上确定一点E ，使得1EA EB ⊥（要求说明理由）；（2）在（1）的条件下，若AB =求二面角11A EB A --的大小．20．（本小题满分12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，离心率12e =，在x 轴负半轴上有一点B 且212BF BF =u u u u r u u u r ．（1）若过A 、B 、2F 三点的圆恰好与直线:30l x --=相切，求椭圆C 的方程； （2）在（1）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l '与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(,0)P m ，使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =． （1）求()f x 的最小值；（2）当0,0a b >>，求证：()()()()ln 2f a f b f a b a b +≥+-+．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，△ABC 内接于圆O ，AB AC =，直线MN 切圆O 于点C ，BD ∥MN ，AC 与BD 相交于点E ．（1）求证：AE AD =；AA 1B 1C 1B CE（2）若6,4AB BC ==，求AE 的长．23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴正半轴重合．直线l的参数方程为1,1,2x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交于点P 、Q 两点，求||PQ 的值． 24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()|1|2f x x =-+，()|2|3g x x =-++． （1）解不等式()2g x ≥-；（2）当x R ∈时，()()2f x g x m -≥+恒成立，求实数m 的取值范围．数学试题参考答案一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力13．4 14．24.6815．234816．3018三、解答题17．。