高考数学(理科)一轮复习课件：三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图象与性质
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高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理
解析
由s9i－n2xx2＞≥00，，
得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z， －3≤x≤3.
∴－
3≤x＜
－π或 2
0＜ x＜π2.∴ 函数
y＝ lg
sin2x＋
9－x2的定 义域为
－3，－π2∪0，π2.
12/8/2021
第二十一页，共六十页。
触类旁通 1求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式或等式. 2求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和 三角函数的图象，有时也利用数轴. 3对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式组分别 求解，然后利用数轴或三角函数线求交集.
12/8/2021
第三十页，共六十页。
(2)函数 y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最大值与最小值的差为 ________．
答案 2
12/8/2021
第三十一页，共六十页。
答案
解析 令 t＝sinx－cosx，又 x∈[0，π]，
∴t＝ 2sinx－π4，t∈[－1， 2]． 由 t＝sinx－cosx，得 t2＝1－2sinxcosx， 即 sinxcosx＝1－2 t2. ∴原函数变为 y＝t＋1－2 t2，t∈[－1， 2]．
答案 5 34π＋2kπ(k∈Z)
12/8/2021
第十五页，共六十页。
答案
解析 函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π4＝π＋2kπ(k ∈Z)，即 x＝34π＋2kπ(k∈Z)．
12/8/2021
第十六页，共六十页。
核心考向突破
12/8/2021
课前自主学习
课堂合作研究
12/8/2021
第五页，共六十页。
高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形第三节三角函数的图象与性质课件文
(2)函数 y＝sin(－3x＋ 4 )，x∈R 在什么区间上是增函数？
第九页，共18页。
(2015·重庆卷)已知函数 f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论 f(x)在π6 ，23π上的单调性．
第十页，共18页。
解：(1)f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x
答案：(1)A (2)B
第十五页，共18页。
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化 为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念与规律、三角函 数的周期公式求解．
2．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点 (x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行 判断．
第五页，共18页。
(2015·课标全国Ⅰ卷) 函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减 区间为( )
第六页，共18页。
A.kπ－41，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z 命题立意：本题考查余弦函数的图象与单调性；求函数解析式的 过程考查了推理论证能力，求单调区间则考查了运算求解能力．
)
A．2 或 0
B．－2 或 2
C．0
D．－2 或 0
第十四页，共18页。
解析：(1)y＝2cos2x－π4 －1＝cos2x－π2 ＝sin 2x 为奇函数， 最小正周期 T＝2π 2 ＝π.
(2)因为函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意 x 都有 fπ6 ＋x＝fπ6 －x， π
第九页，共18页。
(2015·重庆卷)已知函数 f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论 f(x)在π6 ，23π上的单调性．
第十页，共18页。
解：(1)f(x)＝sinπ2 －xsin x－ 3cos2x
答案：(1)A (2)B
第十五页，共18页。
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化 为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念与规律、三角函 数的周期公式求解．
2．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点 或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线 x＝x0 或点 (x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 f(x0)的值进行 判断．
第五页，共18页。
(2015·课标全国Ⅰ卷) 函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减 区间为( )
第六页，共18页。
A.kπ－41，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z 命题立意：本题考查余弦函数的图象与单调性；求函数解析式的 过程考查了推理论证能力，求单调区间则考查了运算求解能力．
)
A．2 或 0
B．－2 或 2
C．0
D．－2 或 0
第十四页，共18页。
解析：(1)y＝2cos2x－π4 －1＝cos2x－π2 ＝sin 2x 为奇函数， 最小正周期 T＝2π 2 ＝π.
(2)因为函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意 x 都有 fπ6 ＋x＝fπ6 －x， π
北师大版高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质课件
B．－2π，－53π和π3，2π D．π3，2π
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答案
解析 ∈Z)，
令 z＝12x＋π3，函数 y＝sinz 的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋2π(k
由 2kπ－π2≤12x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得 4kπ－53π≤x≤4kπ＋π3(k∈Z)，又
因为 x∈[－2π，2π]，
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1．函数 y＝tanπ4－x的定义域是(
)
A.x|x≠π4
B.x|x≠－π4
C.x|x≠kπ＋π4，k∈Z
D.x|x≠kπ＋34π，k∈Z
解析 y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，由 x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠kπ＋34π， k∈Z.故选 D.
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解析 答案
2．(2019·江西六校联考)下列函数中，最小正周期是 π 且在区间π2，π上 是增函数的是( )
y＝tanx
对称 对 中心
19 __(k_π_，__0_)_，__k_∈__Z___
20 _k_π_＋__π2_，__0__，__k∈__Z_ 21 __k2π_，__0__，__k_∈__Z__
称 性 对称 22 __直__线__x_＝__k_π_＋__π2_，_
轴 ___k_∈__Z___
23 __直__线___x＝ ___kπ_，____ ___k_∈__Z_________
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3．三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asinωx 或 y＝Atanωx 的形式，偶 函数一般可化为 y＝Acosωx＋b 的形式．
4．若 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则： (1)f(x)为偶函数的充要条件是 φ＝π2＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)为奇函数的充要条件是 φ＝kπ(k∈Z)．
高考数学一轮总复习 第3章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图象与性质课件 理 新人教版
考点一 三角函数的定义域与值域 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．函数 y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(
)
A．2－ 3
B．0
C．－1
D．－1－ 3
解析
2．(易错题)函数 y＝tan 1x－1的定义域为__________________． tan x－1≠0，
减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减
函数 答案：B
3．(教材习题改编)函数 y＝－tanx＋π6＋2 的定义域为 ________________．
答案：xx≠kπ＋π3
，k∈Z
1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调 性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．
[即时应用]
1．函数 f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为______． 解析：由已知函数为 y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减 区间，只需求 y＝sin2x－π3的单调增区间即可． 由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z， 得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，k∈Z. 故所给函数的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z)． 答案：kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z)
1．下列函数中，最小正周期为 π 的奇函数是
()
A．y＝cos 2x
B．y＝sin 2x
C．y＝tan 2x 答案：B
D．y＝sin2x－π2
2．(教材习题改编)函数 y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是 ()
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上都是
2020届高考数学一轮复习第三篇三角函数、解三角形第3节三角函数的图象与性质课件理新人教A版
(2)函数 y＝tan 1x－1的定义域为________．
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解析：(1)要使函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x有意义，
则21s－in2xc－os1x>≥0，0，
sin 即
cos
x>12， x≤12.
解之得 2kπ＋π3≤x<2kπ＋56π，k∈Z. 即函数的定义域为 2kπ＋π3，2kπ＋56π，k∈Z.
(C)32π
(D)53π
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(2)(2018 潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线
x＝π3对称的是( )
(A)y＝sin2x－π3
(B)y＝sin2x－π6
(C)y＝sin2x＋π6 答案：(1)C (2)B
(D)y＝sin2x＋π6
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【教材导读】 1．所有的周期函数都有最小正周期吗？ 提示：不是所有的周期函数都有最小正周期．如函数 f(x)＝c(c 为常 数)的周期为任意非零实数，但没有最小正周期． 2．正切函数 y＝tan x 在定义域是增函数吗？ 提示：不是，正切函数 y＝tan x 在每一个区间 kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z) 上都是增函数，但在定义域内不是单调函数．
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(2)要使函数有意义， tan x－1≠0，
必须有x≠π2＋kπ，k∈Z， 即xx≠≠π4π2＋＋kkππ，，kk∈∈ZZ，. 故函数的定义域为 xx≠π4＋kπ 且 x≠π2＋kπ，k∈Z.
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考点二 三角函数的值域或最值
________．
函数
f(x) ＝ sin2x ＋
Z)
周期
2π
2π
π
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【重要结论】 对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
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解析：(1)要使函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x有意义，
则21s－in2xc－os1x>≥0，0，
sin 即
cos
x>12， x≤12.
解之得 2kπ＋π3≤x<2kπ＋56π，k∈Z. 即函数的定义域为 2kπ＋π3，2kπ＋56π，k∈Z.
(C)32π
(D)53π
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(2)(2018 潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线
x＝π3对称的是( )
(A)y＝sin2x－π3
(B)y＝sin2x－π6
(C)y＝sin2x＋π6 答案：(1)C (2)B
(D)y＝sin2x＋π6
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【教材导读】 1．所有的周期函数都有最小正周期吗？ 提示：不是所有的周期函数都有最小正周期．如函数 f(x)＝c(c 为常 数)的周期为任意非零实数，但没有最小正周期． 2．正切函数 y＝tan x 在定义域是增函数吗？ 提示：不是，正切函数 y＝tan x 在每一个区间 kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z) 上都是增函数，但在定义域内不是单调函数．
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(2)要使函数有意义， tan x－1≠0，
必须有x≠π2＋kπ，k∈Z， 即xx≠≠π4π2＋＋kkππ，，kk∈∈ZZ，. 故函数的定义域为 xx≠π4＋kπ 且 x≠π2＋kπ，k∈Z.
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考点二 三角函数的值域或最值
________．
函数
f(x) ＝ sin2x ＋
Z)
周期
2π
2π
π
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【重要结论】 对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数的图像与性质课件 文
9
课
前
自
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
主
回 顾
(1)函数y＝sin x的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称． (
)
课 后
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．
限
( )时
课 堂
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.
集
( )训
考
点
(4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数．
训
点
探
究
返 首 页
12/8/2021
第十页，共六十七页。
11
课
前
自
主
回 顾
D [由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠k2π＋π4，k∈Z，
课 后
限
课 堂
∴y＝tan 2x的定义域为xx≠k2π＋π4，k∈Z
.]
时 集 训
考
点
探
究
返 首 页
12/8/2021
第十一页，共六十七页。
12
课
前
自
主
回 顾
回
课
顾 距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．
后 限
时
课
2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
集 训
堂
考
3．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点
点
探
究 或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.
返 首 页
12/8/2021
第八页，共六十七页。
2．函数f(x)＝cos2x＋π4的最小正周期是________．
高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3.3三角函数的图象与性质课件理
第十五页，共49页。
2．函数 y＝tan3x 的定义域为(
A.xx≠32π＋3kπ，k∈Z
C.xx≠－π6＋kπ，k∈Z
)
B.xx≠6π＋kπ，k∈Z
D.xx≠π6＋k3π，k∈Z
解析：由 3x≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠π6＋k3π，k∈Z.故选 D. 答案：D
第十六页，共49页。
第四十三页，共49页。
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
第四十四页，共49页。
4．函数 y＝3－2cosx＋4π的最大值为________，此时 x＝________. 解析：函数 y＝3－2cosx＋4π的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)， 即 x＝34π＋2kπ(k∈Z)． 答案：5 34π＋2kπ(k∈Z)
第十九页，共49页。
3
考点疑难突破
第二十二页，共49页。
故函数的定义域为
xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z
.
(2)由s9i－n2xx2＞≥00，，
得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z， －3≤x≤3.
第二十三页，共49页。
∴－3≤x＜－π2或 0＜x＜π2. ∴函数 y＝lg(sin2x)＋ 9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.
[自 主 演 练]
求函数 y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．
解：令 t＝sinx，∵|x|≤π4，∴t∈－ 22， 22.
∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，
∴当 t＝12时，ymax＝54，当 t＝－ 22时，ymin＝1－2
2．函数 y＝tan3x 的定义域为(
A.xx≠32π＋3kπ，k∈Z
C.xx≠－π6＋kπ，k∈Z
)
B.xx≠6π＋kπ，k∈Z
D.xx≠π6＋k3π，k∈Z
解析：由 3x≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠π6＋k3π，k∈Z.故选 D. 答案：D
第十六页，共49页。
第四十三页，共49页。
2．求三角函数单调区间的 2 种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解． (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.
第四十四页，共49页。
4．函数 y＝3－2cosx＋4π的最大值为________，此时 x＝________. 解析：函数 y＝3－2cosx＋4π的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)， 即 x＝34π＋2kπ(k∈Z)． 答案：5 34π＋2kπ(k∈Z)
第十九页，共49页。
3
考点疑难突破
第二十二页，共49页。
故函数的定义域为
xx≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z
.
(2)由s9i－n2xx2＞≥00，，
得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z， －3≤x≤3.
第二十三页，共49页。
∴－3≤x＜－π2或 0＜x＜π2. ∴函数 y＝lg(sin2x)＋ 9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.
[自 主 演 练]
求函数 y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．
解：令 t＝sinx，∵|x|≤π4，∴t∈－ 22， 22.
∴y＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，
∴当 t＝12时，ymax＝54，当 t＝－ 22时，ymin＝1－2
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.3 三角函数的图象与性质课件 文
12/11/2021
第二十三页，共六十二页。
(2)形如 y＝asin2x＋bsinx＋k 的三角函数，可先设 sinx ＝t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)．见典例 2.
(3)形如 y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c 的三角函数，可 先设 t＝sinx±cosx，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)．
A．y＝sin2x＋π2 C．y＝sinx＋π2
B．y＝cos2x＋π2 D．y＝cosx＋π2
12/11/2021
第三十五页，共六十二页。
解析 对于选项 A，注意到 y＝sin2x＋π2＝cos2x 的周 期为 π，且在4π，π2上是减函数．故选 A.
12/11/2021
第三十六页，共六十二页。
12/11/2021
第二十七页，共六十二页。
∵y＝sin2α＋sin2β＝－12sin2α＋sinα＝－12(sinα－1)2＋21， 0≤sinα≤23，∴sinα＝0 时，ymin＝0；sinα＝23时，ymax＝49，
∴0≤sin2α＋sin2β≤49.
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第二十八页，共六十二页。
当 0≤x≤π2时，0≤cosx≤1. 若a2>1，即 a>2，则当 cosx＝1 时，ymax＝a＋58a－23＝1 ⇒a＝2103<2(舍去)，
12/11/2021
第二十一页，共六十二页。
若 0≤2a≤1，即 0≤a≤2，则当 cosx＝2a时，ymax＝a42＋ 58a－21＝1⇒a＝23或 a＝－4<0(舍去)．
kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．( × ) (3)由 sin6π＋23π＝sinπ6知，23π是正弦函数 y＝sinx(x∈R)
高三理科数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第三节 三角函数的图象与性质课件
=
2π 2��π
+
π 2
≤
2������
−
π 4
≤
2������π
+
3π 2
,
������
∈
������,
可得������π
+
3π 8
≤
������
≤
������π
+
78π,k∈Z,即为其单调递
减区间.
11
考点 1 三角函数的定义域、值域
典例 1 函数 y= sin������-cos������的定义域为
14
【变式训练】
1.函数 y=tan1������-1的定义域为
.
1.
������|������
≠
������π +
π 4
且������
≠
������π
+
π 2
,������∈Z
【解析】由 tan ������ − 1 ≠
0 得 tan ������ ≠ 1, 即������
������π
+
π 4
(3)×
(4)y=sin
������
+
3π 2
是奇函数.
(4)×
() () () ()
7
2.(2016·安徽六校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数
的是
()
A.y=x+sin 2x B.y=x2-cos x
C.y=2x+21������
D.y=x2+sin x
2.D 【解析】利用奇偶函数的判断方法易知 A,C 为奇函数,B 为
π 3
2025届高中数学一轮复习课件《三角函数的图象与性质》ppt
高考一轮总复习•数学
第28页
对点练 2(1)(2024·广东茂名模拟)下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的 是( )
A．f(x)＝cos2x＋sin xcos x B．f(x)＝21s－incxocso2sxx C．f(x)＝cosx＋π3＋cosx－π3 D．f(x)＝sinx＋π6cosx＋π6 (2)若 f(x)＝sin ωx(ω>0)在[0,1]上至少存在 50 个最小值点，则 ω 的取值范围是 ____1_92_9_π_，__＋__∞__ ______．
32π，0 ，(2π，1)．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
x∈R
x∈R
{x∣x∈R 且 x≠π2 ＋kπ，k∈Z}
高考一轮总复习•数学
第7页
函数
y＝sin x
值域
[－1,1]
y＝cos x [－1,1]
第22页
对点练 1 函数 y＝lg sin 2x＋ 9－x2的定义域为__－__3_，__－__π2_∪___0_，__π2__．
解析：由s9i－n 2xx2≥>00，，
得kπ<x<kπ＋π2，k∈Z， －3≤x≤3，
∴－3≤x<－2π或 0<x<π2.∴函数 y＝lg sin 2x＋
9－x2的定
义域为－3，－π2∪0，π2.
高考一轮总复习•数学
第12页
1．判断下列结论是否正确． (1)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (2)已知 y＝ksin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( ) (3)y＝sin|x|是偶函数．( √ ) (4)若非零实数 T 是函数 f(x)的周期，则 kT(k 是非零整数)也是函数 f(x)的周期．( √ )
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基础梳理
考点突破
课时训练
第3节 三角函数的图象与性质
数学（人教A版 ·理科）(AH)
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考点突破
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基础梳理
数学（人教A版 ·理科）(AH)
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考点突破
课时训练
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域 R
R
xx≠π2＋kπ，k∈Z
2 2.
故选B.
答案：B
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4．函数y＝－tan2x＋π6＋2的定义域是________．
解析：由2x＋6π≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π6＋12kπ，k∈Z. 答案：{xx≠12kπ＋π6，k∈Z}
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考点突破
x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z. (2)∵x∈π6，76π，∴sin x∈－12，1. 又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝
2sin
x－142＋78.
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∴当sin x＝14时，ymin＝78， 当sin x＝－12或sin x＝1时，ymax＝2. [答案] (1)x2kπ＋4π≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
7 (2)8 2
数学（人教A版 ·理科）(AH)
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(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三 角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题 目：
①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ) ＋k的形式，再求最值(值域)；
考点突破
课时训练
3．(2013年高考天津卷)函数f(x)＝sin2x－
π 4
在区间0，
π 2
上
的最小值为( )
A．－1
B．－
2 2
2 C. 2
D．0
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解析：由x∈0，2π得2x－4π∈－π4，34π，
所以sin2x－4π∈－ 22，1.
即函数f(x)在0，π2上的最小值为－
A．x＝π4
B．x＝2π
C．x＝－4π
D．x＝－2π
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解析：∵f(x)＝sin
x－π4
的图象的对称轴是x－
π 4
＝kπ＋
π 2
(k
∈Z)，即x＝kπ＋34π(k∈Z)，
令k＝－1，则x＝－π4.
故选C.
答案：C
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对称轴l： x＝kπ(k∈Z)
周期
2π
2π
π
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1．下列说法正确的是( ) A．函数y＝cos x在第一象限内是减函数 B．函数y＝tan x在定义域内是增函数 C．函数y＝sin xcos x是R上的奇函数 D．所有周期函数都有最小正周期
数学（人教A版 ·理科）(AH)
调
性
在2kπ＋π2，2kπ＋23π
在[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上单调递减
(k∈Z)上 单调递增
(k∈Z)上单调递减；
x＝
x＝_2_k_π_(_k_∈__Z_)___
最 ____2_k_π_＋__π2_(k_∈__Z_)____
时，
值
时，
ymax＝1；
无最值
ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)
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解析：角α＝
π 3
，β＝
13π 6
都是第一象限角，且α＜β，但cos
α＝12＜ 23＝cos β，故选项A错；α＝3π，β＝54π，α＜β，但tan α
＞tan β，故选项B错；常数函数f(x)＝c是周期为任意非零实数
的周期函数，它没有最小正周期，故选项D错；设f(x)＝sin
x·cos x，因为f(－x)＝sin(－x)·cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，
所以f(x)＝sin x·cos x是R上的奇函数．故选C.
答案：C
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2．(2012年高考福建卷)函数f(x)＝sin x－4π 的图象的一条
对称轴是( )
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三角函数的定义域和值域
[例1] (1)函数y＝ sin x－cos x的定义域为________． (2)当x∈ π6，76π 时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是 ________，最大值是________．
数学（人教A版 ·理科）(AH)
值域 [_－____1_,_1__]__ [_－____1_,_1__]_
R
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函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
单
在2kπ－π2，2kπ＋π2 (k∈Z)上单调递增；
在[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)上单调递增
在kπ－π2，
kπ＋π2
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考点突破
课时训练
[解析] (1)要使函数有意义，必须有sin x－cos x≥0， 即sin x≥cos x，同一坐标系中作出y＝sin x，y＝cos x， x∈[0,2π]的图象如图所示．
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结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为
考点突破
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即时突破 1 (2014 浙江杭州模拟)定义运算 a※b 为 a※b ＝abaa≤ ＞bb， . 如 1※2＝1，则函数 f(x)＝sin x※cos x 的值域 为________．
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函数 奇偶性
y＝si__数___
y＝tan x _奇__函__数__
对称性
对称中心(kπ， 0)
(k∈Z)
对称中心kπ＋π2，0 (k∈Z)
对称中心k2π，0(k∈Z)
对称轴l： x＝kπ＋π2(k∈Z)
②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t， 化为关于t的二次函数求值域(最值)；
③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先 设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
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正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域 R
R
xx≠π2＋kπ，k∈Z
2 2.
故选B.
答案：B
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4．函数y＝－tan2x＋π6＋2的定义域是________．
解析：由2x＋6π≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠π6＋12kπ，k∈Z. 答案：{xx≠12kπ＋π6，k∈Z}
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x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z. (2)∵x∈π6，76π，∴sin x∈－12，1. 又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)＝
2sin
x－142＋78.
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∴当sin x＝14时，ymin＝78， 当sin x＝－12或sin x＝1时，ymax＝2. [答案] (1)x2kπ＋4π≤x≤2kπ＋54π，k∈Z
7 (2)8 2
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(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三 角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题 目：
①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ) ＋k的形式，再求最值(值域)；
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3．(2013年高考天津卷)函数f(x)＝sin2x－
π 4
在区间0，
π 2
上
的最小值为( )
A．－1
B．－
2 2
2 C. 2
D．0
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解析：由x∈0，2π得2x－4π∈－π4，34π，
所以sin2x－4π∈－ 22，1.
即函数f(x)在0，π2上的最小值为－
A．x＝π4
B．x＝2π
C．x＝－4π
D．x＝－2π
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解析：∵f(x)＝sin
x－π4
的图象的对称轴是x－
π 4
＝kπ＋
π 2
(k
∈Z)，即x＝kπ＋34π(k∈Z)，
令k＝－1，则x＝－π4.
故选C.
答案：C
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2π
π
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1．下列说法正确的是( ) A．函数y＝cos x在第一象限内是减函数 B．函数y＝tan x在定义域内是增函数 C．函数y＝sin xcos x是R上的奇函数 D．所有周期函数都有最小正周期
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性
在2kπ＋π2，2kπ＋23π
在[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上单调递减
(k∈Z)上 单调递增
(k∈Z)上单调递减；
x＝
x＝_2_k_π_(_k_∈__Z_)___
最 ____2_k_π_＋__π2_(k_∈__Z_)____
时，
值
时，
ymax＝1；
无最值
ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)
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解析：角α＝
π 3
，β＝
13π 6
都是第一象限角，且α＜β，但cos
α＝12＜ 23＝cos β，故选项A错；α＝3π，β＝54π，α＜β，但tan α
＞tan β，故选项B错；常数函数f(x)＝c是周期为任意非零实数
的周期函数，它没有最小正周期，故选项D错；设f(x)＝sin
x·cos x，因为f(－x)＝sin(－x)·cos(－x)＝－sin xcos x＝－f(x)，
所以f(x)＝sin x·cos x是R上的奇函数．故选C.
答案：C
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2．(2012年高考福建卷)函数f(x)＝sin x－4π 的图象的一条
对称轴是( )
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三角函数的定义域和值域
[例1] (1)函数y＝ sin x－cos x的定义域为________． (2)当x∈ π6，76π 时，函数y＝3－sin x－2cos2x的最小值是 ________，最大值是________．
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R
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函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
单
在2kπ－π2，2kπ＋π2 (k∈Z)上单调递增；
在[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)上单调递增
在kπ－π2，
kπ＋π2
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[解析] (1)要使函数有意义，必须有sin x－cos x≥0， 即sin x≥cos x，同一坐标系中作出y＝sin x，y＝cos x， x∈[0,2π]的图象如图所示．
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结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为
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即时突破 1 (2014 浙江杭州模拟)定义运算 a※b 为 a※b ＝abaa≤ ＞bb， . 如 1※2＝1，则函数 f(x)＝sin x※cos x 的值域 为________．
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函数 奇偶性
y＝si__数___
y＝tan x _奇__函__数__
对称性
对称中心(kπ， 0)
(k∈Z)
对称中心kπ＋π2，0 (k∈Z)
对称中心k2π，0(k∈Z)
对称轴l： x＝kπ＋π2(k∈Z)
②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t， 化为关于t的二次函数求值域(最值)；
③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先 设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
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