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第三章三角函数、解三角形错误!错误!错误!1。
了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．知识点一角的概念的推广角的特点角的分类从运动的角度看角可分为______、______和______从终边位置来看可分为________和轴线角α与β角的终边相同β＝______________（或α＋k·2π，k∈Z)正角负角零角象限角α＋k·360°,k∈Z1．若α是第二象限角，β是第三象限角,则角α，β的大小关系是________．解析:角α可以大于角β，也可以小于角β，但是不能等于角β.答案：不确定2．终边在直线y＝x上的角的集合是________．解析：终边在直线y＝x上，且在[0°,360°）内的角为45°，225°，写出与其终边相同的的角的集合,整合即得．答案:｛α|α＝k·180°＋45°，k∈Z｝知识点二弧度的概念与公式在半径为r的圆中:分类定义(公式）1弧度的角把长度等于______长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号1 rad表示角α的弧度数公式｜α｜＝______(弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°＝______ rad②1 rad＝________弧长公式弧长l＝______扇形面积公式S＝______＝__________答案半径错误!错误!错误!°r｜α| 错误!lr错误!r2｜α｜3．（必修④P10习题1.1A组第10题改编）单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（)A．10π B．9πC。
910π D。
错误!π解析：单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×错误!＝错误!π，由弧度数的定义得109π＝lr，所以l＝109π。
答案：D4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r,弧长为l,则错误!解得错误!或错误!从而α＝错误!＝错误!＝4或α＝错误!＝错误!＝1。
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数授课提示：对应学生用书第50页［基础梳理］1．任意角的概念（1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角．①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角:如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2）终边相同角：与α终边相同的角可表示为:｛β|β＝α＋2kπ，k∈Z｝．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角．（2）角α的弧度数公式:｜α｜＝错误!．(3）角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝错误!rad，1 rad＝（错误!)°≈57°18′。
(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l＝α·r．面积公式：S＝错误!l·r＝错误!α·r2.3．任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y),则sin α＝y，cos α＝x,tan α＝错误!(x≠0）．（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝sin__α,cos（α＋k·2π)＝cos__α,tan(α＋k·2π）＝tan__α（其中k∈Z），即终边相同的角的同一三角函数的值相等．1．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．两个关注点（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．3．三角函数定义的推广设点P（x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝｜OP｜,则sin α＝错误!，cos α＝错误!,tan α＝错误!.4．四种角的终边关系(1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ,k∈Z。
第三章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识能否忆起]1．任意角 (1)角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值lr 与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M .由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线.[小题能否全取]1．－870°的终边在第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三D ．四解析：选C 因－870°＝－2×360°－150°.－150°是第三象限角． 2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6D.3π4解析：选B ∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.3．(教材习题改编)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．4．若点P 在2π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于________．解析：因tan 2π3＝－3＝－y ，∴y ＝ 3.答案： 35．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________． 解析：弧长l ＝3π，圆心角α＝34π，由弧长公式l ＝α·r 得r ＝l α＝3π34π＝4，面积S ＝12lr ＝6π.答案：4 6π1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°～90°的 角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0° <α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°， k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同， 终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx .典题导入[例1] 已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；(2)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z ，判断两集合的关系． [自主解答] (1)所有与角α有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.(2)因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N .由题悟法1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα、π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．以题试法1．(1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四角限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限． 解析：(1)－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．(2)由已知π2＋2k π<α<π＋2k π(k ∈Z )，则－π－2k π<－α<－π2－2k π(k ∈Z )，即－π＋2k π<－α<－π2＋2k π(k ∈Z )，故2k π<π－α<π2＋2k π(k ∈Z )，所以π－α是第一象限角． 答案：(1)C (2)一典题导入[例2] (1)已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2(2)(2012·大庆模拟)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6[自主解答] (1)根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.(2)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.[答案] (1)B (2)D由题悟法定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．以题试法2．(1)(2012·东莞调研)已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33D ．±33(2)(2012·潍坊质检)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114 C ．－4D ．4解析：(1)选B 由|OP |2＝x 2＋34＝1，得x ＝±12，tan α＝±3.(2)选C 由题意可知，cos α＝m m 2＋9＝－45，又m <0，解得m ＝－4.典题导入[例3] (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？ [自主解答] (1)设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ， 则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r ) ＝－(r －10)2＋100 ≤100，当且仅当r ＝10时，S max ＝100.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．若本例(1)中条件变为：圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆半径为R ，则圆内接正方形的对角线长为2R ， ∴正方形边长为2R ，∴圆心角的弧度数是2RR＝ 2. 答案： 2由题悟法1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．2．记住下列公式：①l ＝αR ；②S ＝12lR ；③S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．以题试法3．若扇形的面积为定值，当扇形的圆心角为多少弧度时，该扇形的周长取到最小值？ 解：设扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，根据已知条件12lR ＝S 扇，则扇形的周长为：l ＋2R ＝2S 扇R ＋2R ≥4S 扇，当且仅当2S 扇R ＝2R ，即R ＝S 扇时等号成立，此时l ＝2S 扇，α＝lR＝2， 因此当扇形的圆心角为2弧度时，扇形的周长取到最小值．[典例] (2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐 标原点，始边为x 轴的正半轴.若P (4，y )是角θ终 边上一点，且sin θ＝25-y ＝ .[尝试解题] r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8.[答案] －8——————[易错提醒]——————————————————————————— 1.误认为点P 在单位圆上，而直接利用三角函数定义，从而得出错误结果.2.利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x ，y ，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论.—————————————————————————————————————— 针对训练已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．－32C.12D.32解析：选C 由点P (－8m ，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0 ，又cos α＝－8m(－8m )2＋9＝－45，所以m ＝12.1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4D ．8解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1. 3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B ∵θ是第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．5．(2012·宜春模拟)给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选C sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°) ＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0； sin7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0. 6．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1,1－2sin θcos θ>1，sin θcos θ<0，且sin θ>cos θ，因此sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)8．若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________. 解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限．所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－19.如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________. 解析：由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限，故cos α＝－45.∴cos α－sin α＝－75.答案：－7510．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度． ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．11.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解：(1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 12．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解：(1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5， 从而24x ＝x x 2＋5， 解得x ＝0或x ＝±3. ∵90°<α<180°， ∴x <0，因此x ＝－ 3.故r ＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)， ∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.1．(2012·聊城模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4解析：选B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin (90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.2．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP ―→的坐标为________．解析：设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧 PA 长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝1－cos 2，∴OP的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．答案：(2－sin 2,1－cos 2) 3．(1)确定tan (－3)cos 8·tan 5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号． 解：(1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan 5<0，cos 8<0，∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1. 若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 于是有sin α－cos α>0.1．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 由已知sin α－cos α>0，tan α>0故⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4. 2．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 解：∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ， sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t <0时，t ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.3．已知0<α<π2，求证：(1)sin α＋cos α>1； (2)sin α<α<tan α.证明：如图，设α的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过点A (1,0)作AT ⊥x 轴，交α的终边于T ，则sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT .(1)在△OMP 中，∵OM ＋MP >OP ， ∴cos α＋sin α>1.(2)连接P A ，则S △OP A <S 扇形OP A <S △OTA ， 即12OA ·MP <12OA ·α<12OA ·AT ， 即sin α<α<tan α.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式[知识能否忆起]1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式对于角“k π2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．[小题能否全取]1．sin 585°的值为( ) A ．－22 B.22 C ．－32D.32解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°) ＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45° ＝－22. 2．(教材习题改编)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3. ∵|θ|<π2，∴θ＝π3.3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D.23解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.4．(教材习题改编)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 答案：125．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________.解析：由题意知cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1， tan α＝sin αcos α＝－12.∴cos α＝－255.答案：－255应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意 角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期 —化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特 别注意判断符号．(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．典题导入[例1] (1)(2012·江西高考)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.14 C.13D.12(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________.[自主解答] (1)∵tan θ＋1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ＝4， ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.(2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α得tan α＝2. 原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16.法二：由已知得sin α＝2cos α. 原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.[答案] (1)D (2)－16在(2)的条件下，sin 2α＋sin 2α＝________.解析：原式＝sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.答案：85由题悟法1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二(参阅本节题型技法点拨)．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.以题试法1．(1)(2012·长沙模拟)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________. 解析：(1)由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β， ① tan 2α＝9tan 2β，② 由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1， ∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.答案：(1)B (2)±64典题导入[例2] (1)tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}[自主解答] (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.[答案] (1)－1 (2)C由题悟法利用诱导公式化简求值时的原则(1)“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．(2)“大化小”，利用k ·360°＋α(k ∈Z )的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数．(3)“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．(4)“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．以题试法2．(1)(2012·滨州模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32B.2C.3－12D.3＋12(2)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx －β)，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若f (2 012)＝－1，则f (2 013)等于________．解析：(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(720°－120°)＋tan(180°＋60°)＝－sin 120°＋tan 60°＝－32＋3＝32. (2)由诱导公式知f (2 012)＝a sin α＋b cos β＝－1，∴f (2 013)＝a sin(π＋α)＋b cos(π－β)＝－(a sin α＋b cos β)＝1. 答案：(1)B (2)1典题导入[例3] 在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，求△ABC 的三个内角．[自主解答] 由已知得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B 两式平方相加得2cos 2A ＝1， 即cos A ＝22或cos A ＝－22. (1)当cos A ＝22时，cos B ＝32，又角A 、B 是三角形的内角， ∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝7π12.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32， 又角A 、B 是三角形的内角，∴A ＝3π4，B ＝5π6，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π12.由题悟法1．诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos A ＋B 2＝sin C2等； 2．求角时，通常是先求出该角的某一个三角函数值，再结合其范围，确定该角的大小．以题试法3．在三角形ABC 中， (1)求证：cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0，求证：三角形ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，则A ＋B 2＝π2－C2，所以cos A ＋B 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－C 2＝sin C2， 故cos 2A ＋B 2＋cos 2C2＝1.(2)若cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A sin ⎝⎛⎭⎫32π＋B tan (C －π)<0， 则(－sin A )(－cos B )tan C <0， 即sin A cos B tan C <0，∵在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，0<C <π，∴sin A >0，⎩⎪⎨⎪⎧ cos B <0，tan C >0或⎩⎪⎨⎪⎧tan C <0，cos B >0，∴B 为钝角或C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．[典例] 已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15则sin x －cos x ＝ .[常规解法] 由sin x ＋cos x ＝15，与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin 2x ＋cos 2x ＝1，解得⎩⎨⎧sin x ＝45，cos x ＝－35或⎩⎨⎧ sin x ＝－35，cos x ＝45，∵－π2<x <0，∴⎩⎨⎧sin x ＝－35，cos x ＝45，∴sin x －cos x ＝－75.[答案] －75——————[高手支招]—————————————————————————— 1．上述解法易理解掌握，但计算量较大，很容易出错．若利用sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α三者之间的关系，即(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，问题迎刃而解．2．对所求式子进行恒等变形时，注意式子正、负号的讨论与确定．—————————————————————————————————————— [巧思妙解] sin x ＋cos x ＝15，两边平方得，1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－sin 2x ＝4925，又∵－π2<x <0，∴sin x <0，cos x >0，∴sin x －cos x ＝－75.针对训练已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两根，则a ＝________. 解析：由题意知，原方程判别式Δ≥0， 即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴a 2－2a －1＝0，∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)． 答案：1－ 21．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( ) A ．sin θ<0，cos θ>0 B ．sin θ>0，cos θ<0 C ．sin θ>0，cos θ>0D ．sin θ<0，cos θ<0解析：选B sin(θ＋π)<0，∴－sin θ<0，sin θ>0. ∵cos(θ－π)>0，∴－cos θ>0.∴cos θ<0.2．(2012·安徽名校模拟)已知tan x ＝2，则sin 2x ＋1＝( ) A ．0 B.95 C.43D.53解析：选B sin 2x ＋1＝2sin 2x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x ＋1tan 2x ＋1＝95.3．(2012·江西高考)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B.34 C ．－43D.43解析：选B ∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝12，∴tan α＝－3.∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 4．(2012·淄博模拟)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( ) A ．－15B.15 C ．－75D.75解析：选B (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝125，又α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，sin α＋cos α>0，所以sin α＋cos α＝15.5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33B.33C ．－ 3D. 3解析：选D cos ⎝⎛⎭⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.6．已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12D ．－12解析：选B 由2tan α·sin α＝3得，2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－32. 7．cos ⎝⎛⎭⎫－17π4－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4的值是________． 解析：原式＝cos 17π4＋sin 17π4＝cos π4＋sin π4＝ 2.答案： 28．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝________. 解析：由sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝4(1－2sin θcos θ)，故sin θcos θ＝310，∴sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝sin θcos θ＝310. 答案：3109．(2012·中山模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 解析：sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 答案：－2310．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°. 解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 11．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z )．解：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12.又∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin [2π＋(－α)]＝sin(－α) ＝－sin α＝32； (2)sin [α＋(2n ＋1)π]＋sin [α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)·cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)·cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin (π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.12．(2012·信阳模拟)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值．解：(1)∵|OP |＝1， ∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α，由余弦函数的定义得cos α＝45.故所求式子的值为54.1．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos x sin x －1＝12. 2．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3解析：选C 依题意可知角α的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 3．已知A 、B 、C 是三角形的内角，3sin A ，－cos A 是方程x 2－x ＋2a ＝0的两根． (1)求角A ； (2)若1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，求tan B .解：(1)由已知可得，3sin A －cos A ＝1.① 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2A ＋(3sin A －1)2＝1，即4sin 2A －23sin A ＝0， 得sin A ＝0(舍去)或sin A ＝32， 则A ＝π3或2π3，将A ＝π3或2π3代入①知A ＝2π3时不成立，故A ＝π3.(2)由1＋2sin B cos Bcos 2B －sin 2B＝－3，得sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0， ∵cos B ≠0，∴tan 2B －tan B －2＝0， ∴tan B ＝2或tan B ＝－1.∵tan B ＝－1使cos 2B －sin 2B ＝0，舍去， 故tan B ＝2.1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．mB ．－m C.1－m 2D ．－1－m 2解析：选A ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 2．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ. 证明：左边＝sin θ⎝⎛⎭⎫1＋sin θcos θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋cos θsin θ ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋sin 2θcos θ ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边． 3．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π.求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α. 解：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23，① 将①两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79.又π2<α<π，∴sin α>0，cos α<0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)＝－43×⎝⎛⎭⎫1－718＝－2227. 第三节三角函数图象与性质[知识能否忆起]1．周期函数 (1)周期函数的定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[小题能否全取]1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4，x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π－3π4，k ∈Z ，x ∈R D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R 解析：选D ∵x －π4≠k π＋π2，∴x ≠k π＋3π4，k ∈Z .2．(教材习题改编)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝cos 2xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 解析：选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数，C 中函数的最小正周期为π2，故选B.3．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2，2π解析：选C 作出函数y ＝|sin x |的图象观察可知，函数y ＝|sin x |在⎝⎛⎭⎫π，3π2上递增． 4．比较大小，sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 解析：因为y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上为增函数且－π18>－π10，故sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10. 答案：>5．(教材习题改编)y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________．此时x ＝________. 解析：当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .答案：5 34π＋2k π，k ∈Z1.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间．应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内． 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－ωx . 2．周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义 域内的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的 常数．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕 只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x ) 的周期．典题导入[例1] (1)(2012·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________．(2)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－54，－1 C.⎣⎡⎦⎤－54，1D.⎣⎡⎦⎤－1，54 [自主解答] (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. [答案] (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，试求其值域． 解：令t ＝sin x ，则t ∈[0,1]． ∴y ＝t 2＋t －1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－54. ∴y ∈[－1,1]．∴函数的值域为[－1,1]．由题悟法1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法： (1)利用sin x 、cos x 的值域；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法1．(1)函数y ＝2＋log 12x ＋tan x 的定义域为________．(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332D.⎣⎡⎦⎤－332，3 解析：(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2，k ∈Z ⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ). 利用数轴可得函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2，或π≤x ≤4 (2)B典题导入[例2] (2012·华南师大附中模拟)已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．[自主解答] 由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 可化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以x ∈R 时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z . 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤－π，－7π12，⎣⎡⎦⎤－π12，0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )求得函数的增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k∈Z )求得函数的减区间．(2)形如y ＝A sin(－ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－A sin(ωx －φ)，由－π2＋2k π≤ωx －φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的减区间，由π2＋2k π≤ωx －φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得到函数的增区间．(3)对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)等，函数的单调区间求法与y ＝A sin(ωx ＋φ)类似．以题试法2．(1)函数y ＝|tan x |的增区间为________．(2)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析：(1)作出y ＝|tan x |的图象，观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z .(2)f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上单调递增，所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6，而c ＝f ⎝⎛⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫π7， 所以c <a <b .答案：(1)⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z (2)B典题导入[例3] (2012·广州调研)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2(x ∈R )，给出下面四个命题： ①函数f (x )的最小正周期为π；②函数f (x )是偶函数；③函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；④函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[自主解答] 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f (x )是偶函数，②正确；由f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，③错误；由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，故④正确．综上可知，选C. [答案] C由题悟法1．三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．2．求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义．(2)利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(3)利用图象． 3．三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．以题试法3．(1)(2012·青岛模拟)下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 (2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B ．(0,0) C.⎝⎛⎭⎫－18，0D.⎝⎛⎭⎫18，0解析：(1)选A 对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数．(2)选C 由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa ＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4.将x ＝－18代入得函数值为0.含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思 维问题，难度相对较大一些.正确利用三角函数的 性质求解此类问题，是以熟练掌握三角函数的各 条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合.下面就利用三角函数性质求解参 数问题进行策略性的分类解析. 1．根据三角函数的单调性求解参数[典例1] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )，则ω的值为________． [解析] 由题意，得⎝⎛⎭⎫k π＋7π12－⎝⎛⎭⎫k π－5π12＝π，即函数f (x )的周期为π，则ω＝2. [答案] 2[题后悟道] 解答此类问题时要注意单调区间的给出方式，如“函数f (x )在⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )上单调递增”与“函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )”，二者是不相同的．针对训练1．(2012·荆州模拟)若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12 C ．3D.13解析：选B 由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎫ω×2π3＝1， 即cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 2．根据三角函数的奇偶性求解参数[典例2] 已知f (x )＝cos ()3x ＋φ－3sin(3x ＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为( )A.π6B.π3 C ．－π6D ．－π3[解析]f (x )＝2⎣⎡⎦⎤12cos (3x ＋φ)－32sin (3x ＋φ)＝2cos ⎣⎡⎦⎤(3x ＋φ)＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤3x ＋⎝⎛⎭⎫φ＋π3，由f (x )为偶函数，知φ＋π3＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3(k ∈Z )，由所给选项。
第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考向预测1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 命题趋势本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.核心素养数学建模、数学抽象1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r角度与弧度的换算1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′弧长公式l＝α·r扇形面积公式S＝12l·r＝12α·r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦4.三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT．常用结论 1．象限角2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .常见误区1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等． 2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (5)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(多选)下列与角2π3的终边相同的角是()A.14π3B．2kπ－2π3(k∈Z)C．2kπ＋2π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)解析：选AC.与角2π3的终边相同的角为2kπ＋2π3(k∈Z)，k＝2时，4π＋2π3＝143π.3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为π3rad.答案：π35．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以r＝|OP|＝5.所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.所以2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－34＝920.答案：920象限角及终边相同的角[题组练透]1．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：选 A.因为－11π4＝－2π－3π4，所以－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选AC.因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选AC.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )．令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k<－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°(1)象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤①将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；②两边同除以n或乘以n；③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10，所以扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．1．(多选)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则下列选项正确的有( ) A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1D ．圆心角的弧度数是2解析：选ABC.设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，α＝4或⎩⎨⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518. 答案：518三角函数的定义 角度一 利用三角函数的定义求值(1)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13B ．±13 C ．－3 D ．±3(2)若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．【解析】 (1)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3. (2)由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，则cos αcos β＝－14.【答案】 (1)C (2)－14三角函数定义问题的解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度二 判断三角函数值的符号(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0【解析】 通解：由题意，知－π2＋2k π<α<2k π(k ∈Z )，所以－π＋4k π<2α<4k π(k ∈Z )，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.优解：当α＝－π4时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A ，B ，C ，故选D. 【答案】 D三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．角度三 三角函数线的应用函数y ＝lg(3－4sin 2 x )的定义域为________．【解析】 因为3－4sin 2x >0，所以sin 2x <34，所以－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin 10<0解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin10<0，故选D.2．已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P (－4，a )，且sin β cos β＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D ． 3解析：选 C.因为点P (－4，a )在角β的终边上且sin βcos β＝34，所以－4a （－4）2＋a 2＝34.解得a ＝－43或a ＝－43 3.故选C. 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________． 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：0[A 级 基础练]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D.因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α|α＝k π－π3，k ∈Z }．3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( ) A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角解析：选BD.对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，因为角α的终边在第二象限，所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ， 所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4<α2<2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4<α2<(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三角限角，故正确．4．(多选)(2020·山东师范大学附属中学第三次月考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点P (1，m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的是( )A.sin αtan α B ．cos α－sin α C ．sin αcos αD ．sin α＋cos α解析：选AB.由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0. 选项A ，sin αtan α>0；选项B ，cos α－sin α>0；选项C ，sin αcos α<0；选项D ，sin α＋cos α符号不确定．故选AB. 5．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 解析：设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π37．函数y ＝2sin x －1的定义域为________． 解析：因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )8．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.答案：11π69．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)α2是第几象限角？(3)2α是第几象限角？解：(1)因为α是第三象限角， 所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以－2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z . 所以π－α是第四象限角． (2)因为k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2是第二或第四象限角．(3)因为4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，所以2α是第一或第二象限角或y 轴非负半轴上的角．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 解：(1)由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34. (2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3， 故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪⎪β＝π3＋2k π，k ∈Z .[B 级 综合练]11．(多选)已知角α的终边过点P (－4m ，3m )(m ≠0)，则2sin α＋cos α的值可能是( )A ．1B ．25C ．－25D ．－1解析：选BC.因为角α的终边过点P (－4m ，3m )(m ≠0)，所以r ＝（－4m ）2＋（3m ）2＝5|m |，所以sin α＝y r ＝3m 5|m |，cos α＝x r ＝－4m5|m |. ①当m >0时，sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，2sin α＋cos α＝2×35－45＝25； ②当m <0时，sin α＝3m －5m ＝－35，cos α＝－4m －5m＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.综上知，2sin α＋cos α的值可能是25或－25.故答案为BC.12．(2020·四川乐山、峨眉山二模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π3，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．解析：由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4.在Rt △AOD 中，易得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12OA ＝12×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD ＝AO sin π3＝4×32＝23，可得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2.答案：43＋213．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0， 由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45， sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.14．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |， 当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15. 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos θ＝－45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos θ＝45∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·sin 45＞0.综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．[C 级 创新练]15．(2020·开封市模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝( )A ．－1B ．－79C ．429D ．79解析：选B.因为角α与角β均以Ox 为始边，且它们的终边关于y 轴对称，所以β＝π－α＋2k π，k ∈Z ，则cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π)＝cos(2α－π)＝cos(π－2α)＝－cos 2α，又sin α＝13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝79，所以cos(α－β)＝－79，故选B.16．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ， 则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ， 所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ， 所以S 1＝S 2恒成立． 答案：S 1＝S 2第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲考向预测1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 命题趋势本部分内容高考较少直接考查，而是与三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质结合考查，难度较小.核心素养数学建模、数学抽象1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类按旋转方向正角按逆时针方向旋转而成的角负角按顺时针方向旋转而成的角零角射线没有旋转按终边位置前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合象限角角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角其他角的终边落在坐标轴上集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝l r角度与弧度的换算1°＝π180rad，1 rad＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°≈57°18′弧长公式l＝α·r扇形面积公式S＝12l·r＝12α·r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sin αx叫做α的余弦，记作cos αyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ正正正Ⅱ正负负Ⅲ负负正Ⅳ负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦4.三角函数线用单位圆中的有向线段表示三角函数．如图：sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT．常用结论 1．象限角2．轴线角3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝yx .常见误区1．相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等． 2．在同一个式子中，不能同时出现角度制与弧度制．3．已知三角函数值的符号求角的终边位置时，不要遗忘终边在坐标轴上的情况．4．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( ) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (5)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α＞sin α.( )(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√2．(多选)下列与角2π3的终边相同的角是()A.14π3B．2kπ－2π3(k∈Z)C．2kπ＋2π3(k∈Z) D．(2k＋1)π＋2π3(k∈Z)解析：选AC.与角2π3的终边相同的角为2kπ＋2π3(k∈Z)，k＝2时，4π＋2π3＝143π.3．若sin α＜0，且tan α＞0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选C.由sin α＜0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正半轴上；由tan α＞0知α的终边在第一或第三象限，故α是第三象限角．故选C.4．一条弦长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为________rad.解析：因为弦长等于半径，所以弦和与弦两端点相交的两条半径构成等边三角形，所以弦所对的圆心角为60°，即为π3rad.答案：π35．已知角α的终边过点P(－4，3)，则2sin α＋tan α的值为________．解析：因为角α的终边经过点P(－4，3)，所以r＝|OP|＝5.所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.所以2sin α＋tan α＝2×35＋⎝⎛⎭⎪⎫－34＝920.答案：920象限角及终边相同的角[题组练透]1．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．－3π4 B ．－π4 C.π4 D.3π4解析：选 A.因为－11π4＝－2π－3π4，所以－11π4与－3π4是终边相同的角，且此时⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3π4＝3π4是最小的．2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.3．(多选)已知角2α的终边在x 轴的上方，那么角α可能是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选AC.因为角2α的终边在x 轴的上方，所以k ·360°<2α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，则有k ·180°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z .故当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°<α<n ·360°＋90°，n ∈Z ，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋180°<α<n ·360°＋270°，n ∈Z ，α为第三角限角．故选AC.4．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为 β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )．令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )，解得－765360≤k<－45360(k∈Z)，从而k＝－2和k＝－1，代入得β＝－675°和β＝－315°. 答案：－675°和－315°(1)象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角(2)求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤①将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；②两边同除以n或乘以n；③对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．[注意]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解】(1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R，0<R<10，所以扇形的面积S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度．1．(多选)已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则下列选项正确的有( ) A ．扇形的半径为2 B ．扇形的半径为1 C ．圆心角的弧度数是1D ．圆心角的弧度数是2解析：选ABC.设扇形半径为r ，圆心角的弧度数为α，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，α＝4或⎩⎨⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1或2.2．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝ ⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527，所以α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518. 答案：518三角函数的定义 角度一 利用三角函数的定义求值(1)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ＝( )A ．－13B ．±13 C ．－3 D ．±3(2)若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．【解析】 (1)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，a 在函数y ＝log 3x 的图象上，所以a ＝log 313＝－1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，所以tan θ＝－113＝－3. (2)由角β的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角．记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，则cos αcos β＝－14.【答案】 (1)C (2)－14三角函数定义问题的解题策略(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．角度二 判断三角函数值的符号(2020·高考全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则( ) A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0【解析】 通解：由题意，知－π2＋2k π<α<2k π(k ∈Z )，所以－π＋4k π<2α<4k π(k ∈Z )，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.优解：当α＝－π4时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A ，B ，C ，故选D. 【答案】 D三角函数值符号的判断方法要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论求解．角度三 三角函数线的应用函数y ＝lg(3－4sin 2 x )的定义域为________．【解析】 因为3－4sin 2x >0，所以sin 2x <34，所以－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )三角函数线三角函数线是三角函数的几何表示，正弦线、正切线的方向同纵轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同横轴一致，向右为正，向左为负．1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0B ．cos(－305°)<0C ．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3>0D ．sin 10<0解析：选D.300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin10<0，故选D.2．已知角β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点P (－4，a )，且sin β cos β＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－43 3D ． 3解析：选 C.因为点P (－4，a )在角β的终边上且sin βcos β＝34，所以－4a （－4）2＋a 2＝34.解得a ＝－43或a ＝－43 3.故选C. 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________． 解析：因为角α的终边落在直线y ＝－x 上，所以角α的终边位于第二或第四象限．当角α的终边位于第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0；当角α的终边位于第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.所以sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：0[A 级 基础练]1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1，1)解析：选D.设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1，1)．2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π3，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D.因为直线y ＝－3x 的倾斜角是2π3，所以终边落在直线y ＝－3x 上的角的取值集合为{α|α＝k π－π3，k ∈Z }．3．(多选)关于角度，下列说法正确的是( ) A ．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B ．钝角大于锐角C ．三角形的内角必是第一或第二象限角D ．若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角解析：选BD.对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，因为角α的终边在第二象限，所以2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ， 所以k π＋π4<α2<k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4<α2<2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4<α2<(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三角限角，故正确．4．(多选)(2020·山东师范大学附属中学第三次月考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点P (1，m )(m <0)，则下列各式的值恒大于0的是( )A.sin αtan α B ．cos α－sin α C ．sin αcos αD ．sin α＋cos α解析：选AB.由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0. 选项A ，sin αtan α>0；选项B ，cos α－sin α>0；选项C ，sin αcos α<0；选项D ，sin α＋cos α符号不确定．故选AB. 5．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4. 6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________． 解析：设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案：π37．函数y ＝2sin x －1的定义域为________． 解析：因为2sin x －1≥0，所以sin x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )8．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6.答案：11π69．已知角α是第三象限角，试判断：(1)π－α是第几象限角？(2)α2是第几象限角？(3)2α是第几象限角？解：(1)因为α是第三象限角， 所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z . 所以－2k π－π2<π－α<－2k π，k ∈Z . 所以π－α是第四象限角． (2)因为k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z . 所以α2是第二或第四象限角．。
第三章三角函数、解三角形第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z ． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°．(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2．3．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α x 叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tan α三角函数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线[做一做]1．设角α终边上一点P (－4，3)，则sin α的值为________． 答案：352．若4π＜α＜6π且α与－23π终边相同，则α＝________．答案：163π1．辨明四个易误点(1)易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．(2)利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．(3)三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况． 2．会用两个方法(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． [做一做]3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴上B ．y 轴上C ．直线y ＝x 上D ．直线y ＝－x 上 解析：选A. |cos α|＝1，则角α的终边在x 轴上． 4．已知cos θ·tan θ＜0，那么角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 答案：C考点一__象限角及终边相同的角______________(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0，2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限． [解] (1)∵在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z .(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )．依题意0≤2π7＋2k π3<2π⇒－37≤k <187，k ∈Z .∴k ＝0，1，2，即在[0，2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)由α是第三象限角，得π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，∴2π＋4k π<2α<3π＋4k π(k ∈Z )．∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴．[规律方法] 1.表示区间角的三个步骤：(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．1.(1)在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．(2)在本例(3)的条件下，判断α2为第几象限角？(1)解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°<45°＋k ×360°<0°，得－765°<k ×360°<－45°，解得－765360<k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°(2)解：∵π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π2＋k π<α2<3π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π<α2<3π4＋2n π， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π<α2<7π4＋2n π，∴α2为第二或第四象限角．考点二__扇形的弧长、面积公式______________已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解] (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10(cm)，α＝2 rad. [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．2.已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解：设圆心角是θ，半径是r .则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12.故扇形圆心角为12 rad.考点三__三角函数的定义(高频考点)__________任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中以选择题、填空题的形式出现，高考对三角函数定义的考查主要有以下三种命题角度：(1)已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值； (2)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值； (3)判断三角函数值的符号．(1)若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D.45(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________．[解析] (1)∵tan α＞0，∴α∈⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z )是第一、三象限角．∴sin α，cos α都可正、可负，排除A ，B. 而2α∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z )， 结合正、余弦函数图象可知，C 正确．取α＝π4，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D 不正确．(2)取终边上一点(a ，2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义， 由tan θ＝2，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.(3)因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.[答案] (1)C (2)B (3)－35[规律方法] 用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．3.(1)设角α终边上一点P (－4a ，3a )(a <0)，则sin α的值为________．(2)已知角α的终边经过点P (－3，m )，且sin α＝34m (m ≠0)，判断角α是第几象限角，并求tan α的值． (1)解析：设点P 与原点间的距离为r ，∵P (－4a ，3a )，a <0，∴r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝|5a |＝－5a .∴sin α＝3a r ＝－35.答案：－35(2)解：依题意，点P 到原点O 的距离为r ＝（－3）2＋m 2＝3＋m 2，∴sin α＝m3＋m2， 又∵sin α＝34m ，m ≠0，∴m 3＋m2＝34m ，∴m 2＝73，∴m ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限．故角α 是第二象限角或第三象限角．当α是第二象限角时，m＝213，tanα＝213－3＝－73，当α是第三象限角时，m＝－213，tanα＝－213－3＝73.交汇创新——三角函数定义下的创新如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]的图象大致为()[解析]如图所示，当x∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，则P(cos x，sin x)，M(cos x，0)，作MM′⊥OP，M′为垂足，则||MM′|OM|＝sin x，∴f（x）cos x＝sin x，∴f(x)＝sin x cos x＝12sin 2x，则当x＝π4时，f(x)max＝12；当x∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，有f（x）|cos x|＝sin (π－x)，f(x)＝－sin x cos x＝－12sin 2x，当x＝3π4时，f(x)max＝12.只有B选项的图象符合．[答案] B[名师点评](1)本题是三角函数与圆的结合，利用三角函数定义首先写出P、M坐标，结合图形用x表示出f(x)，即可判断出结果，此类问题见证了数学中的“以静制动”．(2)近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式，运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )解析：选B.圆半径为1，设弧长x 所对的圆心角为α，则α＝x ，如图所示，cosα2＝1－t ，即cos x2＝1－t ，则y ＝cos x ＝2cos 2x2－1＝2(1－t )2－1＝2(t －1)2－1(0≤t ≤1)．其图象为开口向上，在[0，1]上的一段抛物线．1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A.π3 B.π6 C ．－π3 D ．－π6 解析：选C.将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确， 又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.2．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2 解析：选B.∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．3．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 解析：选B.由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1.4．已知角α的终边经过一点P (x ，x 2＋1)(x >0)，则tan α的最小值为( )A ．1B ．2 C.12 D. 2解析：选B.tan α＝x 2＋1x ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2. 5．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析：选D.因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.6．若α是第三象限角，则180°－α是第________象限角．解析：∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°， ∴－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°，－(k ＋1)·360°＋270°＜180°－α＜－(k ＋1)·360°＋360°，其中k ∈Z ，所以180°－α是第四象限角． 答案：四7．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．解析：因为角α的终边上有一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π38．满足cos α≤－12的角α的集合为________．解析：作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z9．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．解：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x .又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，即x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22.因此sin θ＋cos θ＝0； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2. 10．已知sin α<0，tan α>0.(1)求角α的集合；(2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的非正半轴上； 由tan α>0，知α的终边在第一、三象限，故角α的终边在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪（2k ＋1）π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(2k ＋1)π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2的终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此tan α2sinα2cosα2取正号．。
2021年高考数学一轮复习 第三章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数资料（艺术班）一、必记3个知识点 1．角的概念(1)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线． 二、必明3个易误区1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. 三、必会2个方法1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦；2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．1.①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，那么( ) A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ，故选B.法二：由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．答案：{α|α＝k π＋π3，k ∈Z } 4．在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315° [类题通法]1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出k α，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．考点二 三角函数的定义[典例] (1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 3，cos 3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6(2)(xx·临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.[解析] (1)由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k∈Z )，所以α的最小正值为11π6.(2)由题意得cos α＝x5＋x2＝24x ，解得x ＝0或x ＝3或x ＝－ 3. 又α是第二象限角，∴x ＝－ 3.即cos α＝－64，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝－64. [答案] (1)D (2)－64[类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解； (2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[针对训练]：已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )，则r ＝k 2＋－3k 2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ，∴sin α＝－3k10k＝－310，1cos α＝10 k k ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k＝310，1cos α＝－10kk ＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.考点三扇形的弧长及面积公式[典例] [解]：设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故扇形圆心角为12. [类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形． [针对训练]：已知扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，求弧长l .解：设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π(cm)．课后作业[试一试]1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( A ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限2．已知角α的终边经过点(3，－1)，则sin α＝________.答案：－12[练一练]：若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．[做一做]1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( ) A ．(cos θ，sin θ) B ．(－cos θ，sin θ) C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数的定义知P (cos θ，sin θ)，选A.2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1或4 B ．1 C ．4D ．8解析：选A 设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.3．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.故选A.4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________． 解析：2 010°＝676π＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6.答案：5π65．(xx·辽源模拟)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 解析：∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角．∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角． 故此三角形为钝角三角形．答案：钝角三角形6．已知角α的终边过点P (－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求α的三角函数值．解：∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴－1<cos θ<0，∴r ＝9cos 2θ＋16cos 2θ＝－5cos θ，故sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43. 7．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角 解析：选C 易知sin θ<0，且cos θ≠0，∴θ是第三或第四象限角．8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析：选D 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.9．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：选A 由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 10．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9，其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选 C sin(－1 000°)＝sin 80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝cos 40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin7π10cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0.11．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． 解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3) 12.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－3513．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．25732 6484 撄y28411 6EFB 滻23330 5B22 嬢377039347 鍇33153 8181 膁32707 7FC3 翃 YD`40744 9F28 鼨k-。
