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4.一元二次方程根的判别式※教学目标※【知识与技能】理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的探究过程，使学生能归纳出一元二次方程根的判别式.2.能运用一元二次方程根的判别式的知识在不解方程的情况下判断出一元二次方程根的情况，并能根据方程根的情况，探究所需的条件.【情感态度】学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强自主探究以及与他人交流的能力.【教学重点】理解并掌握一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式判断方程是否有实数根和两个根是否相等.【教学难点】一元二次方程根的判别式的探究与归纳.※教学过程※一、复习引入1.用公式法解下列方程：答案：(3)无解.2.探究一元二次方程的根.（1）当时，方程有两个不相等的实数根：(2)当时，方程有两个相等的实数根:;(3)当时，方程没有实数根.二、探索新知这里的叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根.【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：解：（1）原方程可变形为因为所以方程有两个不相等的实数根.（2）因为所以方程有两个相等的实数根.（3）原方程可变形为因为所以方程没有实数根.三、巩固练习不解方程，判断下列方程的根的情况：答案：（1）方程有两个不相等的实数根（2）方程没有实数根（3）方程有两个相等的实数根（4）方程没有实数根四、应用拓展【例2】已知关于x的方程(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根？(3)当k取何值时，方程没有实数根？分析：已知一元二次方程的根的情况，反过来可以确定根的判别式的值的符号：当一元二次方程有两个不相等的实数根时，当一元二次方程有两个相等的实数根时，当一元二次方程没有实数根时，解：因为所以(1)若方程有两个不相等的实数根，则Δ>0,即(2)若方程有两个相等的实数根，则Δ=0,即(3)若方程没有实数根，则Δ<0,即综上所述：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.五、归纳小结利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤:1.将方程化成的形式；2.判断a的值是否为零；3.若a≠0,则再考虑的取值.※课后作业※教材第36页习题22.2的第7、8、9题.。
一分耕耘 一分收获 1 一分耕耘 一分收获§22.2.4一元二次方程的解法—公式法【学习目标】1．掌握求根公式的概念及推导. 2．运用公式解一元二次方程.3. 能初步判断一元二次方程是否有根.【学习重难点】1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤．2.理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．3．熟练地用求根公式解一元二次方程． 【知识链接】用配方法解一元二次程的一般步骤:1.二次项系数化为１,２．移项：３．配方：４.当n 0≥时；用 法求解；当0 n 时，方程没有实数根。
【学习过程】：一． 创设情境，导入新课１. 思考：方程09822=--x x 用配方法如何解？二．合作交流２．用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的一元二次程 解：因为0≠a ，方程两边都除以ａ，得移项：得配方，得即 因为0≠a ，所以042a ，当042≥-ac b 时，直接开平方得所以x= 即=x 1 =x 2 由以上的研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式：：思考：这里为什么强调042≥-ac b ?如果042ac b -，会怎么样呢？用求公式根解一元二次方程的方法叫做总结：用求公式根解一元二次方程的步骤：1.一化：将方程化为一元二次方程的 ；2.二定：确定a,b,c 的值及 的值；3.三代：若 042≥-ac b ，则代入求根公式 ，求出方程的两个实数根；若042ac b -，则方程无实数根。
三．应用迁移，巩固提高例１.用公式法解方程122=-x x 步骤解：0122=--x x （ ） 因为a=1, b=-2，c=-1 （ ）ac b42-=()08114)2(2=-⨯⨯-- （ ）所以x=128)2(⨯±-- （ ）即211+=x ，212-=x （ ）课型：新授课 编号： 编写人：李春晖 审核组：数学组 审核人：谢晴 姓名 班级 编写日期：2013.8.6编号：16师生札记一分耕耘 一分收获 2 一分耕耘 一分收获练习：1. 042=+x x 2. 1252=x例2用公式法解方程0132=++x x总结：当042=-ac b 时，一元二次方程有两个相等的实数根。
22.2.4一元二次方程根的判别式基础知识1.一元二次方程根的判别式△=b 2-4ac 叫做一元二次方程02=++c bx ax （c b a a 、、,0≠是常数）的根的判别式。
2、△>0⇔有两个不相等的实数根; △=0⇔有两个相等的实数根; △<0⇔没有实数根; △≥0⇔有实数根.【提醒】应用根的判别式时,其前提条件为二次系数不为0.不解方程，判断方程根的情况时，须做到：(1)明确方程是常数系数方程还是字母系数；(2)确定二次方程中的a ，b ，c ；(3)求出b 2－4ac 的值，利用判别式的性质进行判断． 例题例1．已知：关于x 的方程2230x kx k ++-=．（1）试说明无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根： （2）若5k =，请解此方程． 【答案】见解析；（2）x 1＝12-，x 2=-2【分析】（1）由△=k 2-4×2（k -3）=k 2-8k +24=（k -4）2+8＞0可得结论； （2）将k =5代入方程得2x 2+5x +2=0，利用配方法解方程即可． 【详解】解：（1）∵△=k 2-4×2（k -3）=k 2-8k +24=（k -4）2+8＞0， ∴无论k 取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k =5时，原方程为：2x 2+5x +2=0， ∴（2x +1）（x +2）=0， ∴x 1=12-，x 2=-2．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根；也考查了配方法．例2．关于x 的一元二次方程2320mx x -+=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．【答案】（1）98m ≤且0m ≠；（2）11x =，22x =【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式组求解即可； （2）根据（1）得到m 的值，求出方程的解． 【详解】解：（1）∵2=(3)42m ∆--⨯=98m -，依题意，得0980m m ≠⎧⎨-≥⎩，解得98m ≤且0m ≠． （2）∵m 为正整数， ∴1m =．∴原方程为2320x x -+=． 解得11x =，22x =．【点睛】此题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握本章知识并应用解决问题是解题的关键． 练习1．下列一元二次方程中,没有实数根的是（ ） A ．2210x x -+= B ．2210x x -+= C ．2210x x --=D ．220x x -=2．已知关于x 的方程2230ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．13a >-B ．13a <-C ．13a >-且0a ≠D ．13a ≥-且0a ≠3．如果关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．14k >-B ．14k >-且0k ≠C ．14k <-D ．14k ≥-且0k ≠4．一元二次方程4x 2＋1＝﹣4x 的根的情况是（ ） A ．只有一个实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根5．关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根6．一元二次方程2414x x +=的根的情况是______．7．如果关于x 的一元二次方程()21230k x kx k -+++=有实数根，则k 的取值范围是______________．8．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x 的方程260x x n -+=的两个根，则n 的值为______．9．已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程2620x x k -++=的两个根，则k 的值等于______________．10．若关于x 的方程221(56)(3)04m m x m x -+--+=无解，则m 的取值范围是______． 11．已知关于x 的一元二次方程210x x m -+-=有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若此方程的一个实数根为1，求m 的值及方程的另一个实数根．12．已知关于x 的一元二次方程0222=++-k x x ． （1）若6k =-，求此方程的解；（2）若该方程无实数根，求k 的取值范围．13．已知：关于x 的一元二次方程2(1)210(1)m x mx m m --++=>． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根．（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数．14．已知关于x 的方程x 2﹣2mx +m 2﹣1＝0．（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x ＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m 2+12m +2021的值．15．已知正方形ABCD 的对角线AC ，BD 的长是关于x 的方程202m x mx的两个实数根．（1）求m 的值； （2）求正方形的面积．参考答案1．A 【分析】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 逐个求解即可． 【详解】A ､224(1)42170b ac ∆=-=--⨯⨯=-<,没有实数根,故A 正确;B ､224(2)4110b ac ∆=-=--⨯⨯=,有两个相等的实数根,故B 不正确;C ､224(1)42(1)90b ac ∆=-=--⨯⨯-=>,有两个不相等的实数根,故C 不正确;D ､224(2)41040b ac ∆=-=--⨯⨯=>,有两个不相等的实数根,故D 不正确． 故选:A ． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况． 2．C 【分析】根据一元二次方程解的情况利用根的判别式可求出a 的取值范围，同时必须考虑0a ≠的情况． 【详解】解：关于x 的方程2230ax x +-= 有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，即224(3)0a -⨯⨯->， 解得：13a >-，又a 是二次项系数，0a ∴≠，综上：a 的取值范围为：13a >-且0a ≠，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况运用根的判别式求参，熟知（1）240b ac ->，方程有两个不相等的实数根；（2）24=0b ac -，方程有两个相等的实数根；（3）24＜0b ac ，方程无根，是解题关键．3．B 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围． 【详解】解：关于x 的一元二次方程()222110k x k x -++=有两个不相等的实数根，∴△＞0，△=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1＞0．又∵方程是一元二次方程， ∴k ≠0，∴k ＞14-且k ≠0．故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 4．C 【分析】把方程化为一般形式，计算其判别式，即可求得答案． 【详解】解：方程4x 2+1=-4x 化为一般形式为4x 2+4x +1=0， ∴Δ=42-4×4×1=0， ∴该方程有两个相等的实数根， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键． 5．C 【分析】先计算根的判别式得到△＝[﹣（p +2）]2﹣4×2p ＝（p ﹣2）2，再利用非负数的性质得到△≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：△＝[﹣（p +2）]2﹣4×2p ＝（p ﹣2）2， ∵（p ﹣2）2≥0， 即△≥0，∴方程有两个实数根． 故选：C ． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 6．有两个相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：由一元二次方程2414x x +=可得：24410x x -+=， ∴24164410b ac ∆=-=-⨯⨯=，∴一元二次方程2414x x +=的根的情况是有两个相等的实数根； 故答案为：有两个相等的实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．32k ≤且1k ≠ 【分析】当0≥时，一元二次方程有实数根，结合二次项系数不为0，列出不等式求解即可． 【详解】由题意得2(2)4(1)(3)010k k k k ⎧--+≥⎨-≠⎩，解得32k ≤且1k ≠， 故填：32k ≤且1k ≠． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数取值范围，熟记0≥时，一元二次方程有实数根是解题的关键，注意一元二次方程的二次项系数不等于0． 8．8或9 【分析】分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况：（1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于x 的方程260x x n -+=的一个根， 因此有24640-⨯+=n ， 解得8n =，则方程为2680x x -+=，解得另一个根为2x =，此时等腰三角形的三边长分别为2,4,4，满足三角形的三边关系定理；（2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于x 的方程260x x n -+=有两个相等的实数根，因此，根的判别式3640n ∆=-=， 解得9n =，则方程为2690x x -+=，解得方程的根为123x x ==，此时等腰三角形的三边长分别为3,3,4，满足三角形的三边关系定理； 综上，n 的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 9．6或7． 【分析】当m ＝4或n ＝4时，即x ＝4，代入方程即可得到结论，当m ＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k +2）＝0，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当m ＝4或n ＝4时，即x ＝4， ∴方程为42﹣6×4+k +2＝0， 解得：k ＝6，此时该方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝4，x 2＝2，此时三角形的三边为4，4，2，符合题意； 当m ＝n 时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k +2）＝0， 解得：k ＝7，此时该方程为x 2﹣6x +9＝0， 解得：x 1＝x 2＝3，此时三角形的三边为3，3，4，符合题意， 综上所述，k 的值等于6或7， 故答案为：6或7． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的定义以及三角形的三边关系，正确的理解题意是解题的关键． 10．3m ≥ 【分析】根据题意，可分为两种情况进行分析：①2560m m -+=时，有(3)0m --=此时方程无解，可求出m 的值；②2560m m -+≠时，由根的判别式∆<0，即可求出m 的取值范围． 【详解】 解：根据题意，∵关于x 的方程221(56)(3)04m m x m x -+--+=无解， ①当2560m m -+=时，则原方程是一元一次方程，即1(3)04m x --+=； 则有：2560(3)0m m m ⎧-+=⎨--=⎩，解得：3m =；②当2560m m -+≠时，则原方程为一元二次方程， ∴3m ≠，2m ≠，∴221[(3)]4(56)04m m m ∆=---⨯-+⨯<，解得：3m >；综合上述，m 的取值范围是3m ≥； 故答案为：3m ≥．【点睛】本题考查了方程无解问题，根的判别式求参数的取值范围，以及解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握方程无解问题，注意运用分类讨论的思想进行解题． 11．（1）54m ≤；（2）1m =，0x = 【分析】（1）根据判别式的意义得到△2(1)4(1)0m =--->，然后解不等式即可；（2）先根据方程的解的定义把1x =代入原方程求出m 的值，则可确定原方程变为20x x -=，然后利用因式分解法解方程得到方程的另一根．【详解】解：（1）根据题意得△2(1)4(1)0m =---≥， 解得54m ≤； （2）把1x =代入原方程得10m -=， 解得1m =，∴原方程变为20x x -=解方程得10x =，21x =， ∴方程的另一个根为0x =．【点睛】本题考查了一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根的判别式△=-24b ac ：当△0>，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0<，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．12．（1）121,1x x ==；（2）1k >- 【分析】（1）把6k =-代入方程得2240x x --=，然后求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：（1）把6k =-代入方程得2240x x --=， ∴2215x x -+=，即()215x -=，解得：121,1x x = （2）∵该方程无实数根，∴()244420b ac k ∆=-=-+<，解得：1k >-．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解题的关键．13．（1）见解析；（2）m =2或m =3【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可；（2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m 的值．【详解】解：（1）∵△=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△=（-2m ）2-4（m +1）（m -1）=4＞0，m -1≠0，∴x =()2221m m ±-，∴()1221212111m m x m m m ++===+---，()221221m x m -==-， ∵方程的两个实数根都为正整数，且m ＞1， ∴21m -是正整数， ∴m =2或m =3．【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．（1）见详解；（2）2030【分析】（1）根据a ＝1，b ＝-2m ，c ＝m 2−1，求出△＝b 2−4ac 的值，进而作出判断； （2）把x ＝2代入方程列出m 的一元二次方程，再整体代入求值，即可．【详解】（1）证明：∵a ＝1，b ＝-2m ，c ＝m 2−1，∴△＝b 2−4ac ＝（-2m ）2−4（m 2−1）×1＝4＞0， ∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x ＝2是该方程的一个根，∴22﹣2×2m +m 2﹣1＝0，即： m 2-4m =-3， ∴﹣3m 2+12m +2021=-3 (m 2-4m )+2021=9+2021=2030．【点睛】本题主要考查了根的判别式以及代数式求值，解答本题的关键是掌握根的判别式与根个数的关系以及整体代入思想方法，此题难度不大．15．（1）2；（2）12．【分析】（1）先根据正方形的性质可得AC BD =，再利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）先解一元二次方程可得1AC BD ==，再利用正方形的面积公式即可得．【详解】解：（1）在正方形ABCD 中，AC BD =，由题意得：关于x 的方程202m xmx 的根的判别式等于0，即220m m -=，解得122,0m m ==，0AC BD =>， 20m ∴=舍去，故m 的值为2；（2）由（1）得：方程为2210x x -+=，解得121x x ==，1AC BD ∴==，则正方形的面积为11111222AC BD ⋅=⨯⨯=． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的几何应用、正方形的性质等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．。
