椭圆知识点总结
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椭圆知识点总结表一、基本概念1. 椭圆的定义椭圆的定义是指平面上到两个固定点(焦点)的距离之和是常数,这个常数称为椭圆的长轴,而两个焦点到椭圆中心的距离之和称为短轴。
椭圆中心到端点的距离称为半长轴和半短轴。
2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为:$\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1$其中,$(h,k)$为椭圆中心的坐标,$2a$为椭圆的长轴长度,$2b$为椭圆的短轴长度。
3. 椭圆的离心率椭圆的离心率定义为:$e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$离心率是一个描述椭圆形状的重要参数,它越接近于0,椭圆的形状越趋近于圆形,离心率越接近于1,椭圆的形状越接近于长条形。
二、性质1. 椭圆的焦点椭圆有两个焦点,它们到椭圆上任意一点的距离之和是常数。
焦点的坐标可以用椭圆的长轴长度和离心率来确定。
2. 椭圆的直径椭圆的长轴和短轴是椭圆的直径,长轴的两个端点称为椭圆的顶点,短轴的两个端点称为椭圆的边缘点。
3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为:$x=h+a\cos t$,$y=k+b\sin t$参数$t$在$[0,2\pi]$范围内变化,当$t=0$时,$(x,y)$恰好为椭圆的右顶点,当$t=\pi$时,$(x,y)$恰好为椭圆的左顶点。
4. 椭圆的焦准线椭圆的焦准线是椭圆上任一点到两个焦点的连线,这个连线的长度是椭圆长轴的长度。
5. 椭圆的切线椭圆的切线与椭圆的长轴和短轴有一定的关系,具体的切线方程可以用椭圆的参数方程来推导得到。
6. 椭圆的曲率椭圆上的每一点都有一个曲率,曲率描述了椭圆在该点处的弯曲程度。
曲率与椭圆的离心率有关,离心率越大,椭圆的曲率越小。
7. 椭圆的对称性椭圆具有许多对称性,包括关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于椭圆轴的对称等。
三、应用1. 天体运动椭圆在天体运动中有广泛的应用,例如行星的轨道就是椭圆。
根据开普勒定律,行星绕太阳运动的轨道是一个椭圆,太阳在椭圆的一个焦点上。
椭圆的相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1、F2称为椭圆的焦点,常数2a称为椭圆的长轴,长轴的一半a称为椭圆的半长轴。
椭圆的短轴的长度为2b,短轴的一半b称为椭圆的半短轴。
椭圆上到焦点的距离等于常数2a的性质可以用数学语言表示为:|PF1|+|PF2|=2a。
椭圆的离心率e的定义是e=c/a,其中c是焦点到中心的距离。
显然,0<e<1,当e=0时,椭圆退化为一条线段;当e=1时,椭圆退化为一个圆。
二、椭圆的性质1. 焦点离心率椭圆的离心率大于0小于1。
2. 焦点公式椭圆长轴长度为2a,半短轴长度为b。
其中a、b分别是半长轴和半短轴的长度。
焦点坐标为(f1,0)和(-f1,0)。
其中f1=\sqrt{a^2-b^2}。
3. 针焦直线椭圆的焦点圆椭圆的大小只和a、b两轴有关,与焦点的远近无关。
4. 椭圆的直径垂直于直径的直线,称为轴;椭圆的两条轴相互垂直,且它们的交点是中心。
三、椭圆的方程1. 标准方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1,其中a、b分别为半长轴和半短轴的长度。
2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0,其中A、B、C、D、E为常数。
一般方程的椭圆可以通过平移和旋转变换为标准方程。
四、椭圆的焦点椭圆的焦点离中心的距离c=\sqrt{a^2-b^2}。
五、椭圆的参数方程设椭圆的焦点为(f,0)和(-f,0),半长轴为a,半短轴为b,则椭圆的参数方程为:x=a\cos t,y=b\sin t,其中0\leq t\leq 2\pi。
六、椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程可以表示为:r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta},其中e为椭圆的离心率。
七、椭圆的图形椭圆的图形是一种闭合的曲线,形状类似于椭子。
椭圆的长轴和短轴分别是轴、横轴。
椭圆是关于两条坐标轴对称的曲线。
椭圆的认识知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a(a>0)的点P的轨迹。
这两个固定点F1和F2称为椭圆的焦点,常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆上距离F1和F2的距离之差等于2b(b>0),其中b称为椭圆的短半轴。
椭圆的离心率e定义为e=c/a,其中c是焦距。
二、椭圆的性质1. 椭圆的长轴和短半轴椭圆的长轴是通过两个焦点的直线,而短半轴是垂直于长轴并且通过椭圆中心的直线。
椭圆的长轴和短半轴的长度分别为2a和2b。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率e决定了椭圆形状的“扁平程度”,e的取值范围是0<e<1。
当e=0时,椭圆的形状是一个圆;当e→1时,椭圆的形状趋近于一个长而狭窄的椭圆。
3. 椭圆的焦点和焦准线椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和是一个常数2a,这个定理称为定义定理。
椭圆的长轴是两个焦点之间的直线,称为主轴。
两个焦点之间的直线称为焦准线。
4. 椭圆的轴线方程椭圆的长轴和短半轴分别平行于坐标轴,可以通过坐标轴和焦点的位置来确定椭圆的轴线方程,通常有(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1和(x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1两种形式。
5. 椭圆的参数方程和焦点方程椭圆的参数方程是一对参数方程x=a*cosθ,y=b*sinθ。
椭圆的焦点方程是通过焦点和参数θ来表示椭圆上的点的坐标方程。
6. 椭圆的面积椭圆的面积可以通过长轴和短半轴的长度计算得出,通常为πab。
7. 椭圆的周长椭圆的周长可以通过参数方程和积分计算得出,通常为4aE(e),其中E(e)是第二类椭圆积分。
8. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过焦点、焦准线、长轴和短轴的长度来表示,通常为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
三、椭圆的应用1. 天体运动椭圆的轨迹方程在天文学中有广泛的应用,例如行星的轨道运动就可以用椭圆轨迹方程描述。
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点,而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定,离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离,短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间,且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴,分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b,其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为:(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标,a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为:x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标,a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半,t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系:给定一条直线,椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系:双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系:抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用,例如:- 天体运动:行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器:在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件:如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结,希望能对你有所帮助。
数学选修椭圆知识点总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上一点到两个给定点(称为焦点)的距离之和等于定值(称为椭圆的半长轴)的所有点的轨迹。
这个定值等于椭圆的长度,两个焦点的距离等于椭圆的主轴。
2. 椭圆的方程椭圆的标准方程为:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中(a,0)和(-a,0)分别是椭圆的两个焦点,直线x=a和x=-a分别是椭圆的两个直径。
3. 椭圆的性质椭圆有很多性质,其中一些重要的性质包括:- 椭圆的离心率e < 1- 椭圆的直径是椭圆的最长直线段- 椭圆的焦点到椭圆上任意点的距离之和等于椭圆的半长轴4. 椭圆的焦点和焦距椭圆有两个焦点,它们位于椭圆的主轴上,并且满足焦距的性质。
椭圆的焦点和焦距的关系由以下公式给出:c = √(a^2-b^2)5. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为:x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t的范围为0 <= t <= 2π6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以用以下公式计算:S = πab其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的周长可以用以下公式计算:L = 4aE(e)其中E(e)是第二类完全椭圆积分。
7. 椭圆的变换椭圆可以通过一些线性变换转化为标准椭圆方程。
一般情况下,椭圆可以通过平移、旋转和缩放等变换转化为标准椭圆方程。
8. 椭圆的应用椭圆在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在几何学中,椭圆是圆锥曲线中的一个重要成员,它的性质和特征被广泛应用于曲线的研究和建模中。
在物理学中,椭圆的运动规律和能量转换规律被广泛应用于物体运动和动力学模型的建立。
在工程学中,椭圆的形状和性质被广泛应用于建筑物、机械设备、电子设备等的设计和制造中。
总之,椭圆是一个非常有趣且重要的数学概念,它的定义、性质、方程、焦点、焦距、离心率、参数方程等内容都具有重要的理论和应用价值。
对椭圆进行深入的研究不仅可以帮助我们更好地理解数学知识,还可以帮助我们更好地应用数学知识解决实际问题。
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线,它的定义可以有多种方式。
在解析几何中,我们通常采用焦点-直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言,椭圆定义为到两个固定点(焦点)的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外,椭圆还有一个短轴,它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质:椭圆有两个焦点,它们位于长轴上,且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质:椭圆的直径是经过焦点的直线段,并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质:椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示,即2πb+4aE(e),其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度,E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质:椭圆的质心位于椭圆的中心,且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质:椭圆具有关于长轴和短轴的对称性,且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质:椭圆的离心率e是一个重要的参数,它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1,且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系:椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状,其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示,其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下,可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点,它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性,它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。
下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。
一、基本概念:1.椭圆的定义:椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。
2.椭圆的元素:椭圆的两个给定点叫做焦点,连接两焦点的线段长度叫做主轴;主轴的中点叫做椭圆的中心;主轴的一半长度叫做半轴长度;椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。
3.椭圆的方程:标准椭圆的方程形式为:(x/a)²+(y/b)²=1其中,a是椭圆的半长轴长度,b是椭圆的半短轴长度。
二、性质:1.对称性:椭圆是关于x轴和y轴对称的。
2.焦点性质:椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
3.离心率:椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。
离心率e的取值范围是0到1之间,当e=0时,椭圆退化成一个圆;当e=1时,椭圆退化成一个抛物线。
4.焦半径性质:椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P,以焦点为中心,过点P作圆的切线,切点和焦点之间的距离等于焦距。
5.弦长性质:椭圆上取一点P,过点P作两直线段与椭圆相交,分别与圆交于A、B两点,则线段AB的长度等于弦长。
6.空间对称性:椭圆的三维空间图形是椭球,具有空间对称性。
三、应用:1.天体运动:开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。
2.光学:反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。
3.通信:在无线通信中,椭圆是天线和信号传播路径的数学模型,用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。
4.机械工程:在机械零件的设计中,椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。
5.地理测量学:地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面,用于定位和测量地球上的位置。
6.统计学:椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形,如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。
总结起来,椭圆是数学中一个重要的图形,具有许多特殊的性质和应用。
椭圆知识点总结一、椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1,其中a和b分别代表椭圆长轴和短轴的一半。
椭圆的焦点到中心的距离是c,满足c^2 = a^2 - b^2。
二、椭圆的性质1. 椭圆对称性:椭圆关于x轴和y轴对称。
2. 焦点性质:椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a。
3. 长短轴性质:椭圆的长轴和短轴互相垂直,长轴的长度是2a,短轴的长度是2b。
4. 离心率:椭圆的离心率e定义为c/a,表示椭圆拉伸的程度,离心率介于0到1之间。
5. 参数方程:椭圆的参数方程为x = a*cos(t),y = b*sin(t),其中t为参数。
6. 弦长:椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a,因此椭圆上任意一条弦的长度小于或等于2a。
7. 焦准线性质:椭圆上任意一点到两个准线的距离之差等于常数2a。
三、椭圆与圆的关系1. 圆是椭圆的特殊情况:当椭圆的长轴和短轴相等时,椭圆就变成了圆。
2. 椭圆的离心率介于0到1之间,当离心率等于0时,椭圆就是一个圆。
因此,椭圆和圆可以看作是同一种几何图形的不同特例。
四、椭圆的应用1. 天体运动:椭圆轨道是描述天体运动的重要数学工具,如行星绕太阳运动、卫星绕地球运动等。
2. 光学:椭圆镜片和椭圆抛物面反射器是光学领域常用的元件,用于聚焦和成像。
3. 工程设计:椭圆的性质在设计椭圆形建筑、椭圆形机械零件、椭圆形轨迹等方面有重要应用。
4. 地理测量:椭圆在地图投影和地理测量中有广泛应用,如椭球面测量、椭圆地图投影等。
五、椭圆的求解1. 椭圆的参数方程可以通过消除参数t来得到椭圆的标准方程。
2. 根据椭圆的焦点性质和准线性质,可以求解椭圆的焦点和准线方程。
3. 椭圆的面积可以通过积分求解,面积公式为S = πab。
4. 椭圆的周长可以通过椭圆的参数方程求解,周长公式为L = 4aE(e),其中E(e)为椭圆的第二类完全椭圆积分。
六、椭圆的变换1. 平移变换:椭圆的平移变换可以用矩阵形式表示,通过平移变换可以将椭圆移动到任意位置。
复习椭圆相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一条封闭曲线,其定义为到两个给定点的距离之和等于常数(椭圆的长轴)。
即设两点F1(-c, 0)、F2(c, 0)(c为常数),过F1、F2点分别作两条互相垂直的直线,这两条直线交于一点O,任意取一点M,连接M到两点的距离之和是常数,即|MF1| + |MF2| = 2a(常数),则点M的轨迹称为椭圆。
二、椭圆的性质1.椭圆的离心率椭圆的离心率是指椭圆焦点到中心点的距离与长轴之比,其数值范围在0到1之间。
2.椭圆的焦点和直径椭圆有两个焦点,分别位于椭圆的长轴上,并向短轴的对称位置。
而椭圆的长轴和短轴之间的距离称为椭圆的直径。
3.椭圆的参数方程椭圆的参数方程为:x = a * cos(t),y = b * sin(t)。
其中,a和b分别为椭圆的长短轴长度,t为参数。
4.椭圆的切线和法线椭圆上的切线与法线分别垂直于轨迹曲线,在切点处切线的斜率等于轨迹曲线的斜率,法线的斜率是切线斜率的相反数。
5.椭圆的焦点位置椭圆的焦点位置可以通过以下公式计算得出: c = sqrt(a^2 - b^2)。
三、椭圆的应用椭圆在数学和物理学中都有着广泛的应用,例如在天文学中,椭圆常用来描述行星、卫星和彗星的运动轨迹;在工程学中,椭圆常用来描述电子束的运动轨迹;在通信领域中,椭圆常用来描述无线信号的传播路径等。
四、椭圆的计算1.椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得出:S = π * a * b。
2.椭圆的周长椭圆的周长可以通过以下公式计算得出:C = 4a * E(e)。
其中,E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分,e是椭圆的离心率。
3.椭圆的焦距椭圆的焦距可以通过以下公式计算得出:f = 2a * e。
五、椭圆的变换椭圆可以通过平移、旋转、缩放等变换来得到新的椭圆,这些变换可以通过矩阵运算来表示,从而方便进行计算和分析。
综上所述,椭圆是一种经典的几何图形,在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆知识点归纳总结椭圆的定义可以用数学表达式表示为:\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中a和b分别表示椭圆的主轴长度和次轴长度,椭圆的标准方程为椭圆定点到F1、F2的距离之和等于常数2a的定点轨迹的数学描述。
椭圆是一种非常基本的几何图形,具有许多独特的性质和特点。
本文将对椭圆的性质、参数方程、焦点、直径、离心率、焦距、渐近线、面积等方面进行归纳总结。
第一部分:椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数1.2 椭圆的性质1.3 椭圆的对称性1.4 椭圆的离心率和焦点第二部分:椭圆的参数方程和一般方程2.1 参数方程和一般方程的含义2.2 椭圆的参数方程2.3 椭圆的一般方程第三部分:椭圆的焦点、直径和离心率3.1 椭圆的焦点特点3.2 椭圆的直径特点3.3 椭圆的离心率特点第四部分:椭圆的焦距和渐近线4.1 椭圆的焦距含义4.2 椭圆的渐近线含义4.3 椭圆的焦距和渐近线的性质第五部分:椭圆的面积和周长5.1 椭圆的面积公式5.2 椭圆的周长公式5.3 椭圆的面积和周长的计算方法第六部分:椭圆的相关定理和实例分析6.1 椭圆的凸性定理和实例分析6.2 椭圆的垂直切线定理和实例分析6.3 椭圆的切线与法线定理和实例分析结论部分:椭圆的应用和拓展7.1 椭圆在日常生活中的应用7.2 椭圆的拓展和推广第一部分:椭圆的基本性质1.1 椭圆的定义和参数椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点,常数2a称为椭圆的主轴长度。
椭圆的主轴长度决定了椭圆的大小和形状。
椭圆的参数包括主轴长度a、次轴长度b、焦距2c、离心率e等。
其中焦距2c和主轴长度a之间有关系:c^2 = a^2 - b^2。
离心率e的计算公式为:e = c/a。
主轴长度a和次轴长度b决定了椭圆的形状,焦距2c和离心率e描述了椭圆与焦点之间的距离关系。
1.2 椭圆的性质椭圆具有许多特殊的性质,如平行轴定理、离心角定理、矩形椭圆定理等。
椭圆知识点总结
1. 椭圆的定义:1,2
(1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+b
y a x (222
a b c =+)⇔{
cos sin x a y b ϕϕ==(参数方程,其中ϕ为参数),焦点在y 轴
上时2222b
x a y +=1(0a b >>)。
方程22
Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B )。
2. 椭圆的几何性质:
(1)椭圆(以122
22=+b
y a x (0a b >>)为例):①范围:,a x a b y b -≤≤-≤≤;②焦点:两个焦点(,0)c ±;③
对称性:两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心(0,0),四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ;④准线:两条准线2a x c
=±
; ⑤离心率:c e a =,椭圆⇔01e <<,e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁。
⑥通径
2
2b a
2.点与椭圆的位置关系:(1)点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200
221x y a b
+>;
(2)点00(,)P x y 在椭圆上⇔220
220b y a x +=1;
(3)点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200
221x y a b
+<
3.直线与圆锥曲线的位置关系: (1)相交:0∆
>⇔直线与椭圆相交;(2)相切:0∆=⇔直线与椭圆相切; (3)相离:0∆<⇔直线与椭圆相离; 如:直线y ―kx ―1=0与椭圆22
15x y m
+=恒有公共点,则m 的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞)); 4、焦半径(圆锥曲线上的点P 到焦点F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径
0r ed a ex ==±,其中d
表示P 到与F 所对应的准线的距离。
如(1)已知椭圆116
2522=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3,则点P 到右准线的距离为____(答:10/3);
(2)椭圆13
422=+y x 内有一点)1,1(-P ,F 为右焦点,在椭圆上有一点M ,使MF
MP 2+ 之值最小,则点M 的坐标
为_______(答:)1,3
6
2(-)
; 5、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:20tan
||2
S b c y θ
==,当0||y b =即P 为短
轴端点时,max S 的最大值为bc ;
6、弦长公式:若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、
B ,且12,x x 分别为A 、B 的横坐标,则AB 12
x -,若
12,y y 分别为
A 、
B 的纵坐标,则
AB
=
212
1
1y y k -+
,若弦AB 所在直线方程设为
x ky b =+,则AB
=
12
y y -。
特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦
半径之和后,利用第二定义求解。
7、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆122
22=+b
y a x 中,以00(,)P x y 为
中点的弦所在直线的斜率k=-020
2y a x b ;
如(1)如果椭圆22
1369x y +=弦被点A (4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答:280x y +-=);(2)已知直线y=-x+1与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在直线L :x -2y=0上,则此椭圆的离
心率为_______2);(3)试确定m 的取值范围,使得椭圆13
42
2=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称(答:
1313⎛- ⎝⎭
)
; 特别提醒:因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0∆>!。