利用拉格朗日中值定理证明琴生不等式的一种形式

拉格朗日中值定理在高中数学不等式证明中的巧妙运用作者：左代丽来源：《新校园(下)》2016年第03期摘要：本文首先介绍了拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用形式和应用范围，对拉格朗日中值定理予以三种方式证明，并结合相关证明不等式例题，介绍了拉格朗日中值定理在高中不等式证明中的巧妙运用。

关键词：拉格朗日中值定理；不等式；证明；应用拉格朗日中值定理是微积分中值定理（包含罗尔定理、柯西定理以及拉格朗日定理）中的一种，对于微积分理论构造有重要的作用。

不等式的证明作为高中数学中较为常见的题型，也是高考中较为常见的题型。

对于不等式证明的解题方式有很多，利用中值定理解不等式是一种常见的方式。

但高中生并没有深入学习微积分，对此种方法的理解不够深入，应用起来稍显笨拙。

一、拉格朗日中值定理在高中数学中的主要应用1.极限问题的求解。

极限问题是高中数学中极限学习的考察重点，在高中数学教学中，许多教师都向学生介绍了洛必达法则、夹逼定理、泰勒公式等解题方式。

这些解题方式原理简单，解题思路顺畅，解题效果较好，极容易被学生吸收。

而利用拉格朗日中值定理来求解极限问题的教学比较少见，一方面，拉格朗日中值定理相对复杂，通常用来解决复杂的极限问题，另一方面，学生对于复杂的极限题目往往具有畏难心理，常常在解题过程中选择放弃。

实际上，利用拉格朗日中值定理来解决复杂的极限问题，其实质在于分解题目，实现对题型的转变，运用拉格朗日中值定理求极限的时候要把握好拉格朗日中值定理与极限问题之间的关联，寻找两者之间的连接点，做好式子的简化，这样才能快速解题。

2.不等式证明的求解。

不等式证明题是不等式教学中最基本的题型之一，解决不等式证明的常规方法有许多，例如：数形结合、导数法等。

利用拉格朗日中值定理来解决不等式证明题，其核心在于对函数的构建，以及进一步探索导数与构建的函数之间的关系，利用这种关系，进一步确定在特定条件下函数成立，继而证明不等式。

常规方法证明较复杂的不等式需要耗费大量的演算时间，且容易在求解过程中产生思维冲突，不利于正确解题，但直接运用拉格朗日中值定理非常简单，能够快速求解。

高等数学之微积分中不等式的证明方法总结
不等式的证明题作为微分的应用经常出现在考研题中。

利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的基本方法。

有时需要两次甚至三次连续使用该方法，其他方法可作为该方法的补充，辅助函数的构造仍是解决问题的关键。

证明方法总结：
（1）利用函数单调性证明不等式
若在（a,b）上总有f（x）的导数大于零，则函数f（x）在区间(a,b)上单调增加；若在（a,b）上总有f（x）的导数小于零，则函数f （x）在区间(a,b)上单调减少。

（2）利用拉格朗日中值定理证明不等式
对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可考虑用拉格朗日中值定理先处理一下。

（3）利用函数的最值证明不等式
若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上存在最大值M和最小值m.
（4）利用泰勒公式证明不等式
如果要证明的不等式中，含有函数的二阶或二阶以上的导数，一般通过泰勒公式证明不等式。

不等式证明的难点也是辅助函数的构造，一般可以通过要证明的不等式分析得出要构造的辅助函数。

题型一：利用函数的单调性证明不等式
分析：对要证明的不等式进行如下化简：
解：
备注：构造适当的辅助函数是解决问题的基础，有时需要两次利用函数的单调性证明不等式，有时需要对区间（a,b）进行分割，分别在小区间上讨论。

题型二：利用拉格朗日中值定理证明不等式
例2：
分析：
解：
备注：对于不等式中含有f（b）-f（a）的因子，可以考虑使用拉格朗日公式先处理一下。

中值定理证明不等式摘要：不等式是初等数学中最基本的内容之一。

中值定理是数学分析中最重要的定理之一，是研究数学问题的重要工具，并且它在数学解题中有着广泛的应用。

本文本文要介绍的是如何利用中值定理证明不等式，对各种不同特点的问题类型进行分析、总结，并结合典型例子给出恰当的方法，对提高证明题的能力有很大的帮助。

关键字：中值定理、证明、不等式。

The identification of inequality by adopting isovaluetheoremAbstracts:Inequality is that the elementary mathematics is hit by one of the most fundamental content.The isovalue theoremis one of the important theorems,which is an importanttool to study in mathematic problems,and has a greatapplication in solving mathematics problems.The paperfocuses on how to identify inequality,analying andsummariz ing the solutions according to problems withdifferent characteristics,combining typical examples toshow resonable solutions to them.It can improve theability of identification greatly.Key words:Isovalue theorem;identification;inequality.引言我们在日常教学中会常常遇到不等式的证明问题，不等式是初等数学中最基本的内容之一。

·1·数学中不等式的证明方法王贵保一、利用拉格朗日中值定理1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得)()()(ξf ab a f b f '=--2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤ab a f b f --)()(≤M因此，欲证形如ab a f b f --)()(或构造成为ab a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。

例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为xe x1-＞1的形式，或改写为--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。

令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有--x e e x＝ξe ＞1所以，有不等式1-xe ＞x . 例2：证明不等式x+11＜x x ln )1ln(-+＜x1 （x ＞0）证明：x x ln )1ln(-+＝xx x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对tt f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理.令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得·2·ξξ1)()1()()1(=='=-+-+t t f xx x f x f （1）又因为x ＜ξ＜x +1，知有 x+11＜ξ1＜x1 （2）于是由（1）（2）可得x+11＜)()1(x f x f -+＜x1二、利用函数的单调性1．定义：设)(x f 在（a , b ）内有定义，任取),(,21b a x x ∈且1x ＜2x ，如有)(1x f ≤)(2x f 则称)(x f 在（a , b ）单调增加，如有)(1x f ≥)(2x f 则称)(x f 在（a , b ）内单调减少.2．判定单调性的方法：如)(x f 在（a , b ）内的导数)(x f '＞0，则)(x f 在（a , b ）内单调增加；如导数)(x f '＜0，则)(x f 在（a , b ）内单调减少. 3．从单调性的定义可以看出，若构造不成ab a f b f --)()(的形式，则可利用函数的单调性进行判定证明.例3：证明，x ＞0时有x e ＞1+x .证明：令x e x f x --=1)(，则1)(-='x e x f ＞0所以)(x f 单调增加，于是当x ＞0时有)(x f ＞)0(f ＝0，即有)(x f ＞0. 或 x e ＞1+x 例4：证明x ＞1时，有x ln ＞1)1(2+-x x证明：令-=x x f ln )(1)1(2+-x x ，则[]22)1(41)1()1()1(21)(+-=+--+-='x xx x x x x f2222)1()1()1(4)1(++=+-+=x x x x x x x ，由x ＞1知 )(x f '＞0，所以)(x f 单调增加，于是当x ＞1时有)(x f ＞)1(f ＝0，即得： x ln ＞1)1(2+-x x .三、利用闭区间上的连续函数可以取得最大值与最小值的方法1．定理：若)(x f 在闭区间[a , b ]上取得最大值M 与最小值m ，于是有m ≤)(x f ≤M.·3·2．因此，若在不等式的证明中，如有某一个变量受到限制时，可用该方法。

117科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION科 技 教 育DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.09.117拉格朗日中值定理在不等式证明中的应用①陈海伟(商丘工学院教务处 河南商丘 476000)摘 要：拉格朗日中值定理揭示了函数在某区间内的整体性质和在该区间内某一点的导数之间的关系，是微分中值定理的核心定理之一。

通过典型例题的解析分析说明利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤和辅助函数的构造方法。

关键词：拉格朗日中值定理 辅助函数 不等式证明中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(c)-0117-02①作者简介：陈海伟（1983—），男，汉族，河南商丘人，本科，讲师，中级经济师，研究方向：决策最优化。

1 预备知识拉格朗日中值定理[1]：如果函数()f x 满足：（1）在闭区间[a ,b ]上连续；（2）在开区间(a ,b )内可导，则在内至少存在一点ξ，使得'()()()f b f a f a bξ−=−。

2 利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤[2]利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法步骤可以总结为以下三步：（1）构造辅助函数()f x ；（2）选择恰当的应用区间(a ,b )；（3）考虑中值ξ的取值范围。

其关键点在于辅助函数的构造和应用区间的选择。

在实际应用中往往是根据需要证明的不等式来逐步逆推出需要构造辅助函数()f x 并选择恰当的应用区间(a ,b )。

下面通过典型例题的解析讲解来分析说明辅助函数的构造方法。

3 典型例题解析t例1 证明：当0x >时，ln(1)1xx x x<+<+。

分析：从ln(1)1x x x x<+<+逆推。

ln(1)1xx x x <+<+1ln(1)11x x x +⇒<<+ln(1)x x+，要逆推凑成()()f b f a a b−−，()()()f b f a f a bξ−=−、1()11f xξ<<+）（ξ选择合适的取值范围）。

凸函数与琴生不等式一．知识部分知识一、凸函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线 的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。

此定义说明函数在区间上的凸性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+的成立是等价的 推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ 推广2（琴生不等式） 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数知识二、凹函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。

用拉格朗日中值定理证明不等式拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它通常用于证明不等式。

下面我们将介绍如何用拉格朗日中值定理证明不等式。

首先，让我们回顾一下拉格朗日中值定理的表述：设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上具有一阶和二阶导数，则存在一个$xiin(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(xi)(b-a)$，或者写成$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，其中$c$介于$a$和$b$之间。

现在，我们来考虑如何用拉格朗日中值定理证明不等式。

假设我们要证明一个形如$a<b$的不等式，我们可以先将不等式化简为$f(b)-f(a)>0$的形式，其中$f(x)$是某个函数。

然后，我们可以找到一阶导数$f'(x)$和二阶导数$f''(x)$，并使用拉格朗日中值定理来得到：$f(b)-f(a)=f'(xi)(b-a)$由于$a<b$，所以$b-a>0$，因此我们可以将式子改写为：$frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(xi)>0$由此可见，不等式成立当且仅当$f'(xi)>0$，即函数$f(x)$在$(a,b)$上单调递增。

因此，我们可以通过证明函数$f(x)$在$(a,b)$上单调递增来证明不等式。

例如，考虑证明$x^2+1>2x$。

我们可以定义$f(x)=x^2-2x+1$，则不等式可以写成$f(x)>0$的形式。

我们发现$f'(x)=2x-2$和$f''(x)=2$都存在，因此我们可以使用拉格朗日中值定理得到：$f(x)-f(0)=f'(xi)x$当$x>0$时，由于$f'(x)=2x-2>0$，因此$f(x)>f(0)$，即$f(x)-f(0)>0$。

当$x<0$时，由于$f'(x)=2x-2<0$，因此$f(x)<f(0)$，即$f(x)-f(0)<0$。

拉格朗日证明不等式的方法拉格朗日乘数法是一种用于求解约束条件下的最优化问题的方法。

拉格朗日证明不等式的方法可以分为以下几个步骤：第一步：建立拉格朗日函数将不等式的左边和右边分别看作函数的两个元素，然后将它们相减得到一个新的函数。

以要证明的不等式为例，假设左边为f(x)，右边为g(x)，那么可以定义一个函数h(x)=f(x)-g(x)。

第二步：引入拉格朗日乘数为了将h(x)转化为一个更容易处理的形式，需要引入一个拉格朗日乘数λ。

将h(x)和λ相乘，得到L(x,λ)=h(x)λ。

第三步：求导数求解L(x,λ)的驻点条件（即导数等于0的点）。

对L(x,λ)关于x 求导得到L’(x,λ)，对L(x,λ)关于λ求导得到L’(x,λ)。

将这两个方程联立解得x的值。

第四步：验证驻点将求得的x的值代入不等式中，验证是否满足。

以下是一个详细的例子，用来证明不等式x^2-4x≤0：首先建立拉格朗日函数h(x)=x^2-4x。

然后引入拉格朗日乘数λ，得到L(x,λ)=(x^2-4x)λ。

接着对L(x,λ)分别求导：L’(x,λ)=2xλ-4λ,L’(x,λ)=x^2-4x。

将两个方程联立，得到：2xλ-4λ=x^2-4x。

整理化简得到：x^2-4x-2xλ+4λ=0。

解这个方程得到x=2λ，代入不等式x^2-4x≤0中得到：(2λ)^2-4(2λ)≤04λ^2-8λ≤04λ(λ-2)≤0。

这是一个一元二次不等式，根据一元二次不等式的解法可得：λ≤0或λ≥2因此，取λ=0时，不等式成立，即当x=0时，x^2-4x≤0。

同理，取λ=2时，不等式也成立，即当x=4时，x^2-4x≤0。

综上所述，不等式x^2-4x≤0在x=0和x=4时成立。

通过拉格朗日证明不等式的方法，可以很方便地求解约束条件下的最优化问题，并验证不等式在哪些点上成立。

两个重要的中值定理证明不等式的方法
刘皓春晓
【期刊名称】《读写算（教研版）》
【年(卷),期】2014(000)019
【摘要】本文着重阐述利用高等数学中两个重要的中值定理来研究不等式的证明，详尽的说明这种方法的适用场合，最后给出相应的例题并对每个例题给出具体的证明方法。

【总页数】1页(P356-356)
【作者】刘皓春晓
【作者单位】山东大学数学与统计学院山东济南 250100
【正文语种】中文
【中图分类】G642
【相关文献】
1.浅谈利用拉格朗日中值定理证明不等式的方法
2.利用中值定理证明积分不等式
3.利用微分中值定理证明不等式
4.参数变异法在两个微分中值定理证明中的应用
grange中值定理证明数学不等式
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