考点42__数列的极限、函数的极限与连续性

数学复习：极限 + 排列组合 两大类部分一：极限问题 考点1 数列的极限例1.数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则12lim()n n a a a →∞+++=A.12B.23C.32D.2例2．设常数0a >，42ax ⎛ ⎝展开式中3x 的系数为32，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_____.例3.把21(1)(1)(1)n x x x +++++++展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim 1n n n a a ∞-+→等于( )A ．14B ．12C ．1D ．2例4.设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．例5.设正数a , b 满足4)(22lim =-+→b ax x x 则=++--+∞→nn n n n b a ab a2111lim（ ）（A ）0（B ）41（C ）21（D ）1考点2 函数的极限例6． 1lim 231--→x x x x =( )A ．等于0B ．等于lC ．等于3D ．不存在 例7． =---→121lim 221x x x n ( )（A ）0 （B ）1（C ）21（D ）32例8.若f （x ）=11113-+-+x x 在点x =0处连续，则f （0）=__________________.思路启迪：利用逆向思维球解.例9.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1lim →x f （x ）=0,2lim -→x f （x ）=－3,求这一函数最大值..例10.设f （x ）是x 的三次多项式，已知ax 2lim →=ax x f 2)(-=ax 4lim→ax x f 4)(-=1. 求ax 3lim→ax x f 3)(-的值（a 为非零常数）. 例11 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,则a 的值是____________.. 考点3. 函数的连续性及极限的应用例12.f （x ）在x =x 0处连续是f （x ）在x =x 0处有定义的_________条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要 例13.f （x ）=xxπcosπcos的不连续点为( )A.x =0B.x =122+k （k =0,±1,±2,…） C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…） D.x =0和x =122+k （k =0,±1,±2,…）例14. 设f （x ）=⎩⎨⎧≥+<),0(),0(e x xa x x当a 为________时,函数f （x ）是连续的.部分二：排列组合一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？四.定序问题空位策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？引导：1.分类计数原理(加法原理)12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）2m ⨯⨯的方法．巩固习题：1.:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 202.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 303.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C 4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 425.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A 2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C。

函数的极限与连续性是微积分的基础内容，也是很多其他数学学科的基础。

在这篇文章中，我们将探讨函数的极限和连续性的概念，以及它们之间的关系。

一、函数的极限在介绍函数的极限之前，我们需要先了解一下数列的极限。

数列的极限是指当数列中的元素无限逼近于某个值时，这个值就是数列的极限。

例如，当数列{1,1/2,1/3,1/4,…}中的元素越来越接近于0时，0就是这个数列的极限。

函数的极限也是类似的概念。

当一个函数在自变量逐渐逼近某个值时，对应的因变量是否有一个确定的极限值，就是这个函数的极限。

数列中的极限是数列中的元素趋近于某个值，而函数的极限则是函数在这个值附近的趋势。

下面以函数y=f(x)为例，来解释函数的极限的定义。

当x趋近于a时，如果存在一个常数L，使得对于任意足够小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数在x=a处有极限，记为：lim f(x)=L (x→a)其中，L是函数的极限值，x→a表示x无限逼近于a的过程，lim表示函数的极限。

例如，当函数f(x)=1/x+1，x→0时，其极限为正无穷大。

我们可以用下面的方法证明：当x接近于0时，f(x)的值会越来越大，但是这个增长有一个上限。

具体来说，如果我们让f(x)的值大于1/M，那么x必须小于1/(M-1)，否则f(x)的值就会小于1/M。

因此，当x很小时，f(x)的值必须大于M，即：lim f(x)=正无穷(x→0)类似地，当f(x)=sinx/x，x→0时，其极限等于1。

这个结论可以用夹逼定理证明，不再赘述。

二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个点处存在极限，并且这个极限等于函数在该点处的函数值。

函数在某个点处连续，就意味着在这个点的左右两侧，函数的图像没有出现断层，如图所示：图1 一个连续函数示例形式上，给定函数f(x)和点a，如果f(x)在a的某个邻域内有定义，同时lim f(x)=f(a)，那么就可以说函数f(x)在点a连续。

极限与连续一、数列的极限定义：1、给定数列{x n }，如果当n A ，则称数列{x n }以A 为极限，记作：lim n→∞x n =A 或者x n →A (n →∞)2、当数列{x n }以实数A 为极限时，称数列{x n }收敛于A ，否则称数列{x n }发散。

二、数列极限的性质：1)极限的惟一性：若数列收敛，则其极限惟一，若 lim n→∞x n =a ，则lim n→∞x n+1=a2)有界性：收敛数列必有界. （数列有界是数列收敛的必要非充分条件）3）数列的极限：如数列： ,12,,432,322,212++n n则它的极限为3即：3121lim 2lim )12(lim =+=++=++∞→∞→∞→n nn n n n n三、几个需要记忆的常用数列的极限 01lim =∞→n n 11lim =+∞→n n n 0lim =∞→n n q )1(<q )(lim 为常数a a a n =∞→四、运算法则：如果 A a n =∞→lim B b n =∞→lim则： B A b a n ±=±∞→)(lim B A b a n ⋅=⋅∞→)(lim )0(,lim≠=∞→B BA b a n二、函数极限：▪函数极限lim x→∞f(x)=A 的充分必要条件是lim x→−∞f(x)=lim x→+∞f(x)=A▪函数极限lim x→x 0f(x)=A 的充分必要条件是lim x→x 0−f(x)=lim x→x 0+f(x)=A▪分段函数极限与该点有无定义无关，只与左右极限有关. 即 lim x→x 0f (x )存在⇌ lim x→x 0−f (x )= lim x→x 0+f (x )▪函数极限的性质：1)极限的惟一性：若函数f(x)当x →x 0（或x →∞）时有极限，则其极限惟一.▪极限运算法则： 设limf(x)=A,limg(x)=B,则 1)lim[f(x)±g(x)]=A ±B 2)lim[f(x)g(x)]=AB 3)当B ≠0时，lim f(x)g(x) =AB 4)lim[cf(x)]=climf(x) (c 为常数) 5）lim[f(x)]k = [limf(x)]k (k 为常数)▪小结．．：．当a 0≠0, b 0≠0时，有lim x→∞a 0x n +a 1x n−1+⋯+a nb 0x m +b 1x m−1+⋯+b m= {a 0b 0 当n =m 时 0 当 n <m 时 ∞ 当n >m 时▪复合函数运算法则：lim x→x 0f[φ(x )]=lim u→u 0f (u )▪数列的夹逼准则：设有3个数列{x n }{y n }{z n },满足条件： 1）y n ≤x n ≤z n （n=1,2,…）；2）lim n→∞y n =lim n→∞z n =a ，则数列{x n }收敛，且lim n→∞x n =a▪函数夹逼准则：设函数f(x),g(x),h(x)在点x 0的某去心邻域内有定义，且满足条件： 1）g(x) ≤f(x) ≤h(x);2) lim x→x 0g(x)=A, lim x→x 0h (x )=A . 则极限lim x→x 0f (x )存在且等于A.▪单调有界准则：单调有界数列必有极限.即单调增加有上界的数列必有极限；即单调减少有下界的数列必有极限.▪两个重要的极限： ▪重要极限Ⅰ：lim x→0sinx x=1▪重要极限Ⅱ：lim x→∞(1+1x )x=e , lim x→0(1+x )1x=e▪无穷小的性质：1)有限个无穷小的代数和为无穷小. 2)有界变量与无穷小的乘积为无穷小. 3)常量与无穷小的乘积为无穷小. 4)有极限的量无穷小的乘积为无穷小. 5)有限个无穷小的积为无穷小.▪在某个自变量变化过程中limf(x)=A 的充要条件是f(x)=A+α(x). 其中α(x)是该自变量变化过程中的无穷小量.▪无穷小的比较：设α=α(x) ，β=β(x)都是自变量同一变化过程中的无穷小. 1.若lim βα=c (c ≠0,是常数)，则称β与α是同阶无穷小. 2.若lim βα=1，则称β与α是等价无穷小，记作β~α. 3.若lim βα=0，则称β与α是高阶无穷小，记作β=o(α) 4.若lim βαk =c(c ≠0,k 是正整数), 则称β与α是k 阶无穷小.5.α~β的充要条件为α-β是α(或β)的高阶无穷小,即β−α=o (α)或β=α+o(α)6.α,β, α′,β′,都是自变量同一变化过程中的无穷小,且 α~α′,β~β′,lim β′α′存在，则有lim βα= lim β′α′ ▪常用等价无穷小：[相乘的无穷小因子可用等价无穷小替换，加、减的不能] x →0时，x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ e x −1; 1-cosx~x 22；(1+x )a -1~ax(a ≠0) ;a x-1~xlna(a >0,a ≠1);√1+x n- 1~ xn常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-√1+x - 1~ 12x~,(1)1~x x x αα+-．▪无穷大：函数无穷大 ⇀↚无界 x ⟶x 0时，若f(x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；x⟶x0时，若f(x)为无穷小，且在x0的某去心邻域内f(x) ≠0, 则1为无穷大.f(x)[注：分母极限为0，不能用商的运算法则]▪初等函数：连续函数经过四则运算所得到的函数仍是连续函数.一切初等函数在其定义区间内都是连续的.f(x)=f(x0).如果f(x)是初等函数，x0是其定义区间内的点，则limx→x0最值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上必有最值.有界性定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在[a,b]上有界.介值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a) ≠f(b),则对于f(a)与f(b)之间的任何数μ，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)= μ.零点定理(根的存在性定理)：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号(f(a)∙f(b)<0)，在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=01、0/0型：方法：将分子分母分解因式（消去公因子）或者将分子有理化（有理化），再求极限。

高二数学选修三知识点梳理数学作为一门基础学科，对于高中学生来说，尤为重要。

在高二阶段，数学选修三是一个重要的学习内容。

本文将针对高二数学选修三的知识点进行梳理，为同学们提供一个清晰的学习导引。

一、数列与数列的极限1. 数列的概念和性质数列是指按照一定规律排列的一组数。

数列可以用通项公式或递推公式来表示。

常见的数列有等差数列和等比数列。

2. 数列的极限数列的极限是指当数列的项趋向于无穷大时，数列的极限值。

常用的数列极限有无穷大极限、无穷小极限和常数极限。

二、函数的极限与连续性1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一点时，函数取得的极限值。

常用的函数极限有无穷大极限、无穷小极限和常数极限。

2. 函数的连续性函数在某一点连续是指函数在该点的极限存在且等于函数在该点的取值。

常用的函数连续性有左连续、右连续和间断点等。

三、导数与微分1. 导数的定义及性质导数是函数在某一点上的变化率，表示函数在某一点附近的切线斜率。

常用的导数性质有可导性、导数存在条件和导数与函数的关系等。

2. 微分的定义及应用微分是函数在某一点上的线性近似值，表示函数在该点的微小变化量。

常用的微分应用包括切线方程、极值问题和曲线图形等。

四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与性质不定积分是函数的反导数，表示函数在一定区间上的积分。

常用的不定积分性质有线性性质、分部积分法和换元积分法等。

2. 定积分的概念与性质定积分是函数在一定区间上的面积，表示函数与坐标轴所围成的图形的面积。

常用的定积分性质有线性性质、区间可加性和换元积分法等。

五、向量与空间几何1. 向量的概念与运算向量是有大小和方向的量，可以表示为箭头上带有一定长度和方向的标志。

常用的向量运算有加减运算、数量积和向量积等。

2. 空间中的直线和平面空间中的直线由点和向量决定，平面由点和法向量决定。

常用的直线和平面性质有共面条件、夹角关系和点、直线、平面的位置关系等。

六、三角函数与三角方程1. 三角函数的基本关系与性质三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。