中考数学复习讲义(06-11)

第06讲 分式方程目 录一、考情分析 二、知识建构考点一 解分式方程题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值题型07 根据分式方程有解或无解求参数题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二 分式方程的应用题型01 列分式方程题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题考点一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根.1.分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据.2. 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项.3. 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根．5. 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤.6. 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.题型01 判断分式方程题型02 分式方程的一般解法解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解.题型03 分式方程的特殊解法类型一分组通分法方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解.类型二分离分式法方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解类型三列项相消法方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“1n(n+1)=1n−1n+1”化积为差，裂项相消，简化难度.类型四消元法方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一次项分别相同时,可考虑用换元法.题型04 错看或错解分式方程问题+1，其中x=先化简，再求值：3−xx−4⋅(x−4)+(x−4)解：原式=3−xx−4=3−x+x−4=−1题型05 解分式方程的运用（新定义运算）题型06 根据分式方程解的情况求值由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：①根据未知数的范围求出字母的范围；②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；③综合①②，求出字母系数的范围.题型07 根据分式方程有解或无解求参数已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x，再根据解的情况确定字母参数的取值. 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零.题型08 已知分式方程有增根求参数依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：1)先将分式方程转化为整式方程;2)由题意求出增根;3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.题型09 已知分式方程有整数解求参数考点二分式方程的应用用分式方程解决实际问题的步骤：审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解方程;验：考虑求出的解是否具有实际意义;+1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.2）检验所求的解是否符合实际意义.答：实际问题的答案.与分式方程有关应用题的常见类型：题型01 列分式方程【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该A．1.4−x=8 1.4+x=8 1.4−2x=8 1.4+2x=8题型02 利用分式方程解决实际问题类型一行程问题【例2】（2022·四川自贡·统考中考真题）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【变式2-1】（2023青岛市一模）小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？类型二工程问题【例3】（2023重庆市模拟预测）为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线600m，甲队比乙队少用4天．(1)求甲，乙两个工程队每天各修路多少米？(2)现计划再修建长度为3000m的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？【变式3-1】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）重庆市潼南区是中国西部绿色菜都，为全市人民提供了新鲜多样的蔬菜．今年，区政府着力打造一个新的蔬菜基地，计划修建灌溉水渠1920米，由甲、乙两，而乙施工队单独修建这个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度是甲施工队每天修建的长度的43项工程需要的天数比甲施工队单独修建这项工程需要的天数少4天．(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？(2)若甲施工队每天的修建费用为13万元，乙施工队每天的修建费用为15万元，实际修建时先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好12天完成修建任务，求共需修建费用多少万元？类型三和差倍分问题【例4】（2022·广东深圳·深圳中学校考一模）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．(1)求该商家第一次购进冰墩墩多少个？(2)若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？【变式4-1】（2022·河南·统考中考真题）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需倍，用300元在市场上要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的54购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．(2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【变式4-2】（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【变式4-3】（2022·山东烟台·统考中考真题）扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？类型四销售利润问题【例5】（2023梁山县三模）某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？【变式5-1】（2023银川市二模）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？。

专题06 分母有理化 1.分母有理化的概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.常见类型：常见类型一：aa b a a ab a b=⋅⋅=． 常见类型二：ba b a c b a b a b a c b a c--=-+-⋅=+)())(()(． 其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．3.有理化因式的概念：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。

4.熟记一些常见的有理化因式：a 的有理化因式是a ；b n a +的有理化因式是b n a -；b a +的有理化因式是b a -；b n a m +的有理化因式是b n a m -；33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。

专题知识点概述5.分母有理化十法分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。

通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。

【例题1】计算32123212++-+-【对点练习】计算)bb a a (ab a ab2b a b 2a b4a +÷+++--- 【例题2】将352-分母有理化【对点练习】已知5322y ,5322x ++=-+=，求2222y xy 2x y x ++的值。

1.将下列各式分母有理化(1)21； (2)121+。

2.计算631254129⨯÷之值为何( ) A.123 B.63 C.33 D.433 3. 下列何者是方程式(﹣1)x=12的解？( )例题解析与对点练习专题点对点强化训练A ．3B ．6C ．2﹣1D ．3+35.化简323)62(2++6.用配方法化简53262++ 7.用拆解法化简)23)(25(24335++++8.计算15310653++++9.计算4947474917557153351331++++++++10.化简2356102-++-11.计算)bb a a (ab a ab2b a b 2a b4a +÷+++---12.化简1325)13)(35(++++ 13.计算751)75)(53(37)53)(32(25++++--++-。

wenjianwenjian 1 专题06 整式方程（组）及应用 聚焦考点☆温习理解 一、一元一次方程de 概念1、方程含有未知数de 等式叫做方程。

2、方程de 解能使方程两边相等de 未知数de 值叫做方程de 解。

3、等式de 性质（1）等式de 两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式de 两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数de 最高次数是1de 整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程de 标准形式，a 是未知数xde 系数，b 是常数项。

二.一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数de 最高次数是2de 整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程de 一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它de 特征是：等式左边十一个关于未知数xde 二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

三、一元二次方程de 解法1、直接开平方法利用平方根de 定义直接开平方求一元二次方程de 解de 方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(de 一元二次方程。

根据平方根de 定义可知，a x +是bde 平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法配方法是一种重要de 数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学de 其他领域也有着广泛de 应用。

配方法de 理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中dea 看做未知数x ，。

热点06 全等三角形与特殊三角形中考数学中《全等三角形与特殊三角形》部分主要考向分为五类：一、三角形的重要定理（每年1~2道，3~7分）二、全等三角形（每年1道，4~8分）三、等腰三角形（每年1~2题，3~7分）四、直角三角形（每年1~2题，3~7分）五、三角形的综合（每年1~2题，3~9分）全等三角形与特殊三角形的基础知识是学习后续很多几何问题的基础，也可以在很多综合压轴问题中起到较强的辅助作用，所以，中考复习，掌握好全等三角形和特殊三角形的性质和判定至关重要。

首先，全等三角形是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系，所以在中考中，考察的几率也是比较大，小题、简单题均有可能出现。

而特殊三角形的考察，则更灵活多样，单独考察时，难度一般不大，准确掌握对应知识技巧后一半都能拿下。

而综合问题中，就需要大家更加注意各问题间的关联性，在合适的步骤用其性质或判定解决压轴题中重要的一步。

考向一：三角形的重要定理【题型1 三角形的三边关系】满分技巧1、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；实际操作时，只需要两较小边长之和大于最长边即可；2、在等腰三角形中考三边关系时，只需满足--两腰长之和大于底边长即可；3、做题时，注意看题目中是让求第三边的长还是求三角形的周长，不要因此失分。

1．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1B．5C．7D．92．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，63．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为（写出一个即可）．【题型2 三角形的内角和定理与外角的性质】满分技巧1、三角形三个内角的和=180°，三角形的一个外角=与之不相邻2个内角的和；2、三角形有关角的这两个定理通常可以交换着用，有时可用内角和又可用外角的题，可能外角用着更方便；3、等腰三角形顶角的外角=底角的2倍；4、在求角度的问题中，内角和定理和外角的性质是常用的等量关系，也是求任何角度都要首选的等量关系，这个思想要根深蒂固！1．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB 的度数为（）A．65°B．75°C．85°D．95°2．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B ＝1欘，则∠C＝度．3．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC ＝．【题型3 三角形中的“三线”】满分技巧三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：1、中线常见“用途”：平分线段、平分面积；辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；2、高线常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；3、角平分线常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；4、中垂线常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；5、辅助线类型：连接两点由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；1．（2023•巴中）如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD 相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm22．（2023•路北区二模）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（）A．B．C．D．3．（2022•长宁区模拟）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB＝10，则它的周长等于．考向二：全等三角形【题型4 全等三角形的性质与判定】满分技巧1、全等三角形的对应边相等，对应角相等；2、全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS＋Rt△的HL3、证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。