湖北省武汉市乐其教育培训学校2017-2018学年八年级下册 一次函数讲义 第九讲 动点定线与动线定

课程主题：函数及一次函数的相关概念教学内容知识点一: 函数的概念:1、同步学校知识理解2、上次课作业分析与讲解一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.如果当x=a时，y二b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 【例题精讲】例1 -辆汽车油箱现有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y (L)随行驶里程x (km)的增加而减少，平均耗油量为0. lL/km.1 .写出表示y与x的函数关系式.2.指出自变量x的取值范围.3.汽车行驶200km时，油桶屮还有多少汽油？实际问题中的白变量取值范围问题：在上面所出现的各个函数关系式屮，白变量的取值有限制吗?如果有.各是什么样的限制？用数学式子表示的函数的自变量取值范围例2・求下列函数中自变量x的取值范围(l)y=3x-l (2)y = 2x2+7 (3) y=^ (4)随堂练习1.下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子.(1).改变正方形的边长x,正方形的面积S随之改变.(2)・秀水村的耕地面积是106m2,这个村人均占有耕地而积y随这个村人数n的变化而变化.2.校园里栽下一-棵小树高1. 8米，以后每年长0. 3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式15003.在男子1500米赛跑中，运动员的平均速度v二t ,则这个关系式中____________ 是自变量，________ 函数.4.已知2x-3尸1,若把y看成x的函数，则可以表示为______________ .5.Z\ABC中，AB二AC,设ZB二x° , ZA= y ° ,试写出y与x的函数关系 _________________ .6.到邮局投寄平信，每封信的重量不超过20克时付邮费0. 80元，超过20克而不超过40克时付邮费1.60元，依此类推，每增加20克须增加邮费0. 80元（信重虽在100克内）.如果某人所寄一封信的质量为78. 5克，则他应付邮费 _________________ 元.自我检测：1. ________________________________________ 函数□屮，自变量兀的取值范围是X +12.面积是S （cm2）的正方形地板砖边长为G（C加），则S与G的关系式是_____ ,其屮自变量是_________ , __________ 是_________ 的函数3.函数y = J的自变量兀的収值范围是.2兀一324.函数y =——x + 2 ,当yvO时，兀的取值范围是35. ________________________________________ 已知兰—丄=丄，用含兀的一次式表示严o2 3 46函数y = VZ的自变量兀的以值范围是___________ ox-1拓展提咼1、小明去商店为美术小组买宣纸和毛笔，宣纸每张3元，毛笔每支5元，商店正搞优惠活动，买一支毛笔赠一张宣纸.小明买了10支毛笔和x张宣纸，则小明用钱总数y （元）与宣纸数x Z间的函数关系是什么？2、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1・2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1・8元收费，该市某户居民5月份用水x吨（x >10）,应交水费y元，请用方程的知识来求有关x和y的关系式，并判断其中一个变量是否为另一个变量的函数？知识点二：正比例函数及一次函数相关概念：正比例函数：一般地，形如y = （k是常数，£工0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例。

一次函数分段函数：（1）分段函数的特征：不同的自变量区间所对应的函数解析式不同，其函数图象是一个折线.（2）分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求函数解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.探究类型之行程问题中的分段函数例：周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游，从家出发1时后达南亚所（景点），游玩一段时间后按原速前往湖光岩．小明离家1时50分后，妈妈驾车沿相同的路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．（1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间；（2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式．练习：1. 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5 h后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1 h 20 min后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多久后被妈妈追上？此时离家多远？2.小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了1200步，用时10分，到达学校的时间是7：55，为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步.（1）小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？（2）下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留.问：①小刚到家的时间是下午几时？②小刚回家过程中，离家的路程s（米）与时间t（分）之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式.探究类型之天然气（或水费）中的分段函数例：为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源.某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如下表所示：（1）若甲用户3月份的用气量为60 m3，则应缴费______元；（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3）,y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若乙用户2.3月份共用气175 m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2.3月份的用气量各是多少？练习：为响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的阶梯电价，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如折线图请根据图象回答下列问题：当用电量是180千瓦时时，电费是_________元；（2）第二档的用电量范围是______________；（3）“基本电价”是____________元/千瓦时；探究类型之检票口中的分段函数例：“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票.经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的.检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示.（1）求a的值．（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？(2)、主要知识点：一次函数的性质1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b（k≠0)（k 为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

函数的图像知识点一 函数图像的定义对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的 ，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.【例1】已知点A （3，b ）在函数42-=x y 的图像上，求b 的值【例2】小明骑自行车上学，一开始以某一恒定的速度行驶，但行驶至途中自行车发生了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误了上课，他比修车前加快了骑车的速度，下面四幅图中最能反映小明这段行程的是（ ）【类题突破】1.下列各点：①（0，0）；②（1，-1）；③（-1，-1）；④（-1，1），其中在函数2xy x =+的图像上的点（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个2.下列给出的四个点中，在函数y=3x+1的图像上的是（ ） A ．（1，4） B.（0，-1） C.（2，-7） D.（-1，2）3..某蓄水池的横断面示意图如图，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出．下面的图象能大致表示水的深度h 和放水时间t 之间的关系的是（ ）4.某物体从上午7时至下午4时的温度M （℃）是时间t(h)的函数：35100m t t =-+ (其中t=0表示中午12时，t=-1表示上午11时，t=1表示13时)，则上午10时此物体的温度为℃ 知识点二 函数图像的应用【例3】小强骑自行车去郊游，如图表示他离家的距离 （千米）与所用的时间 （小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回家. 根据这个图象，请你回答下列问题：（1）小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）何时开始第一次休息？休息时间多长（3）小强何时距家21km?【类题突破】1.甲.乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地,已知乙比甲先出发,他们离出发地的距离S(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图1所示,给出下列说法:①他们都骑行了20km;②乙在途中停留了0.5h;③甲.乙两人同时到达目的地;④相遇后,甲的速度小于乙的速度.根据图象信息,以上说法正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.三军受命，我解放军各部奋力抗战在救灾一线.现有甲.乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇,甲队先出发,从部队基地到该小镇只有唯一通道,且路程为24km.如图是他们行走的路程关于时间的函数图象,四位同学观察此函数图象得出有关信息,其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.43..如图是甲.乙两个施工队修建某段高速公路的工程进展图，从图中可见施工队的工作效率更高.4.如图所示的函数图象反映的过程是：小红从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间，y表示小红离她家的距离，则小红从学校回家的平均速度为千米/小时.5．由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万立方米)与干旱的时间t(天)的关系如图，则下列说法正确的是( )A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万立方米B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万立方米C．干旱开始时，蓄水量为200万立方米D．干旱第50天时，蓄水量为1200万立方米第5题图第6题图第7题图第8题图6．一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点B，AB长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发，甲以15千米/时的速度匀速跑至点B，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是( )7．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图，那么这种汽油的单价是每升________元．8．如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生匀速跑步运动的函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间．根据图象判断跑步快者比慢者每秒快____m.9．小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售，在销售了一部分西瓜后，余下的每千克降价0.4元，全部售完，销售金额与所卖西瓜数量之间的关系如图，求小李一共赚了多少元钱？知识点三函数图像的画法【例4】画出函数2-=x y 的图像【类题突破】画出函数()3012<≤+=x x y 的图像知识点四 函数的三种表示方法函数的三种表示方法是_________.___________..【例5】在某次实验中，测得两个变量m 与v 之间的4组对应数据如下表，则m 与v 之间的关系最接近于下列各关系式中的( )A.v ＝2m －2 B ．v ＝m2－1C ．v ＝3m －3 D ．v ＝m ＋1【例6】．下表是丽丽往姥姥家打长途电话的几次收费记录：(1)如果用x 表示时间，y 表示电话费，上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是函数，请用式子表示它们的关系； (2)随x 的变化，y 的变化趋势是什么？(3)丽丽打了5分钟电话，那么电话费需付多少元？(4)你能帮丽丽预测一下，如果打10分钟的电话，需付多少元话费？【类题突破】1.弹簧挂上物体会自然伸长，已知某弹簧的自然长度是10cm，挂上1kg的物体，弹簧长15cm，挂上3kg的物体，弹簧长25cm。

人教版初二下册数学第19章《一次函数》讲义第21讲一次函数与方程不等式的应用直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。

求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，失掉方程b 0kx +=，解方程得x b k=-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，b k -就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标。

解一元一次方程0ax b +=⇐⇒事先0y =，求一次函数y ax b =+的x 值 〔数的角度〕0ax b +=⇐⇒一次函数y ax b =+图象与x 轴的交点坐标 〔形的角度〕任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的方式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大〔小〕于0时，求自变量相应的取值范围。

解一元一次不等式0kx b +>⇐⇒即一次函数y kx b =+在x 轴上方的局部图象所对应的x 值解一元一次不等式0kx b +<⇐⇒即一次函数y kx b =+在x 轴下方的局部图象所对应的x 值〔1〕、以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相反。

〔2〕、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b c x b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点。

〔3〕、一次函数的解析式y b k 0kx =+≠（）自身就是一个二元一次方程，直线y b k 0kx =+≠（）上有有数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y b k 0kx =+≠（），因此二元一次方程的解也就有有数个。

第二局部 考点精讲精练考点1、一元一次方程与一次函数的关系例1、假定方程x-3=0的解也是直线y=〔4k+1〕x －15与x 轴的交点的横坐标，那么k 的值为〔 〕A 、－1B 、0C 、1D 、±1例2、方程kx+b=0的解是x=3，那么函数y=kx+b 的图象能够是〔 〕A 、B 、C 、D 、例3、一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，那么a b +=______． 例4、画出函数y=2x+1的图象，应用图象求：〔1〕方程2x+1=0的根；〔2〕不等式2x+1≥0的解；〔3〕求图象与坐标轴的两个交点之间的距离。

八年级下册一次函数专题讲义（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量.常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数.判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应.3、确定函数自变量取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数自变量取值范围为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）实际问题中，函数自变量取值范围还要和实际情况相符合，使之有意义.4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式.例1.在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______.在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________. 例2.下列函数（1）y ²=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，y 是x 函数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个练习1.下列各图,y 是x 函数的是（ ）ABD C例3.下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（）C．．A．．中考链接：（2012昆明，12，3分）函数y=x的取值范围是.6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律.解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示.图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系.（二）一次函数 1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx (k 是常数，k≠0) 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1当k>0时，直线y=kx 经过一、三象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．（1）必过点：（0，0）、（1，k ）（2）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限（3）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小例1.下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A ．y=2x-1B ．y=3xC ．y=2x 2D ．y=-2x+1 练习1.若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是（ ） A.0 B.23 C.23- D.32- 练习2.若函数1)1(2-++=k x k y 是正比例函数，则k 的值为______练习3.已知32)12(--=mx m y 是正比例函数，且经过二、四象限，则m 的值为_______.练习4.正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而增大.练习5.东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是_____________．例2.若点（1，3）在正比例函数y=kx 的图象上，则此函数的解析式为______________．中考链接：（2013昆明，10，3分）已知正比例函数kx y =的图象经过点A （－1，2），则正比例函数 的解析式为__________。

湖北省武汉市乐其教育培训学校2017-2018学年八年级数学下册 19.2 一次函数讲义 第三讲 一次函数之正比例函数(word 版，无答案)第 三 讲 一次函数（正比例函数）【知识要点】1．若两个变量 x 、 y 之间的关系式可以表示成 y = kx + b （ k ， b 为常数， k ≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（ x 为自变量， y 是 x 的函数）．特别的：①当 b =0，一次函数 y = kx + b 就成为 y = kx （ k ≠0），这时 y 叫做 x 的正比例函数，正比例函数 y = kx （ k ≠0） 是一次函数 y = kx + b （ k ≠0）特例；②当 k =0 时，一次函数 y = kx + b 就成为 y = b ，这时， y 叫做常函数，它是函数但不是一次函数；2．一次函数 y = kx + b （ k ≠0）的图象是一条直线（倾斜）.（1）两点确定一条直线：确定两点，然后过这两个点作直线就可以作出一次函数的图象，它也称为直线 y = kx + b ；（2）一次函数 y = kx + b （ k ≠0）的图象是一条直线，但直线不一定只是一次函数的图象； （3）水平直线是常函数的图象，解析式为 y = m ；竖直直线不是函数，但有解析式 x = m ． 3．用待定系数法求一次函数（正比例）的解析式的步骤： （1）设出函数解析式：① y 是 x 的一次函数：设 y = kx + b ；② y 与 x 成正比例：设 y = kx ； ③ y 与 f ( x ) 成正比例：设 y = kf ( x ) ；（2）根据两对 x 、 y 的值或两个点的坐标，确定解析式中未知的系数； （3）写出解析式．4．（1）已知两点口算直线解析式：若 A （ x A ，y A ）、B （ x B ，y B ），则 k AB =A BA By y x x --，注意对应；（2）已知单点设解析式：直线过点（ a ， b ），可设直线解析式为： y = kx - ak + b ； 5．函数法（解析法）证明三点共线（或三角形）：已知两点求直线解析式，验证第三点是否在直线上； 6．斜三角形的面积问题：竖直分割. 【新知讲授】 例一、（1）当 m = 时，函数 y = (m 2 - 9)x 2 + (m - 3) x - 3 是一次函数； （2）当 m =时，函数 y = (m - 2) 23m x -- 1 是一次函数；（3）当 m = 时，函数 y = (m + 1) x + m 2 - 1 是正比例函数；（4）当 m， n时，一次函数 y = (2m - 4) x + (5 - n ) 的图象经过原点；（5）已知 y 与 x 成正比例，且当 x =1 时， y =2，那么当 x ＝3 时， y ＝ ；（6）已知 y 与 x + 1 成正比例，且当 x =1 时， y =4，则 y 与 x 的函数关系为 ；（7）已知 2 y - 3 与 3x + 1 成正比例，且 x =2， y =12，求 y 与 x 的函数解析式.例二、特殊直线方程（直线解析式）：x 轴: 直线解析式为；y 轴: 直线解析式为 ；一、三象限的角平分线的直线解析式为； 二、四象限的角平分线的直线解析式为 ；过点 P （ m ， n ）且与 x 轴平行的直线解析式为 ； 过点 P （ m ， n ）且与 y 轴平行的直线解析式为 ； 过点 P （ m ， n ）且经过原点的直线解析式为 .例三、已知直线 y = (1 - 3k ) x + 2k - 1 .（1）当 k = 时，该直线恰好经过原点； （2）当 k = 时，直线与 y 轴交点的纵坐标是-5； （3）当 k = 时，直线与 x 轴交于(1，0)；（4）当 k =时，点 P （3，-5）在该直线上.例四、（1）已知 A 点坐标为（-3，5），B 点的坐标为（-1，1），求直线 AB 的函数解析式；（2）已知 A （ x A ，y A ），B （ x B ，y B ）是函数 y = kx + b 图象上的两点，求证： k =A BA By y x x --（3）直接写出经过两点的直线解析式（口算）：①已知 M （3，1）、N （5，-5），则 MN 的直线解式为： ； ②已知 M （6，-3）、N （4，-1），则 MN 的直线解式为： ； ③已知 M （3，0）、N （0，4），则 MN 的直线解式为： ； ④已知 M （1，7）、N （4，3），则 MN 的直线解式为： ； ⑤已知 M （4，1）、N （1，0），则 MN 的直线解式为： ； ⑥已知 M （-1，-7）、N （4，3），则 MN 的直线解式为： ； ⑦已知 M （-3，5）、N （-4，3），则 MN 的直线解式为： ； ⑧已知 M （4，2）、N （6，-4），则 MN 的直线解式为： ； ⑨已知 M （-3，9）、N （1，-3），则 MN 的直线解式为： ；⑩已知 M （3，-2），则 MO 的直线解式为：.例五、先阅读，再解答：我们在判断点（-7，20）是否在直线y = 2 x + 6 上时，常用的方法：把x =-7 代入y = 2 x + 6 中，由y = 2 ⨯ (-7) + 6 =-8 ≠ 20，判断出点（-7，20）不在直线y = 2 x + 6 上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A（3，-4）、点B（-2，6）、点C（1，-6）三点可以确定一个三角形．你认为他的推断正确吗？请你利用上述方法说明理由．例六、已知一次函数y = 2 x- 4 的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A、B，点P 是该函数图象上的一个动点，过点P 作PC⊥x 轴，PD⊥y 轴.（1）当P 点在线段AB 上运动时（不包括A、B 两点），求PC+2PD（2）若PC+PD=3 时，求点P 的坐标.（3）求线段CD 的最小值.例七、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过 P （3，3）的直线分别交两轴正半轴于 A ( m ，0)、B (0， n )两点，求11m n+的值例八、如图，已知点 A （2，2），B （-4，4），C （-6，-2），求△ABC 的面积.例九、如图，已知点 A （﹣8，0），B （2，0），点 C 在直线 y = -34x + 4 上，且△ABC 是直角三角形，求点 C 的坐标.。

2017新人教版数学八年级下册《一次函数》综合复习讲义一次函数 综合复习【内容回顾】 一、函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。

常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 6、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

7、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

【知识梳理】1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。

当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。

2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大； 当k<0时，直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小3、一次函数及其图象性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（kb-0）⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>0b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 （3）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小. （4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （5）图像性质：一次 函数()0k kx b k =+≠k ，b符号0k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <0b =图象Ox y yx OOx yyx OOx yyxO性质 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。

第六讲图象变换与一次函数【知识要点】1．已知点在图象变换中的坐标规律：（1）平移：左右平移只改变横坐标（右加左减）；上下平移只改变纵坐标（上加下减）；（2）翻折（轴对称）：关于x轴对称（上下翻折）只改变纵坐标（相反）；关于y轴对称（左右翻折）只改变横坐标（相反）；（3）绕定点P旋转180°：中点公式的逆用（已知中点和一个端点，求另一个端点）；绕定点P旋转90°：直接是以定点P为直角顶点的等腰直角三角形（已知两点求第三点）；绕定点P旋转45°：以已知点为直角顶点构造等腰直角三角形（已知两点求第三点）；2．直线与图象变换（用函数的手法研究直线的图象变换）：平移、翻折（轴对称）、旋转.【新知讲授】例一、【直线与平移】填空与解答：（1）将点（2，3）向左平移3个单位再向上平移4个单位得到的点的坐标是；（2）求．直线y = 2x + 4 经过向左平移 3 个单位再向上平移 4 个单位得到的直线解析式.例二、【直线与轴对称】填空与解答：（1）点（2，3）关于x轴对称点的坐标是，关于y 轴对称点的坐标是；（2）求．直线y= 2x + 4 关于x轴对称得到的直线解析式（请写出你的过程）；（3）请直接写出：直线y= 2x + 4 关于y轴对称得到的直线解析式为；（4）请直接写出：直线y=kx +b 关于x轴对称得到的直线解析式为；（5）请直接写出：直线y=kx +b 关于y轴对称得到的直线解析式为.例三、【直线与绕原点旋转180°（中心对称）】填空与解答：（1）将点（2，3）绕原点O旋转180°后得到的点的坐标是；（2）求．将直线y = 2x + 4 绕原点O 旋转 180°后得到的直线解析式；（3）请直接写出：直线y=kx +b 绕原点O旋转180°后得到的直线解析式为. 例四、【直线与绕任意点旋转180°（中心对称）】填空与解答：（1）将点（2，3）绕点P（-2，1）旋转180°后得到的点的坐标是；（2）求．将直线y = 2x + 4 绕点P（-2，1）旋转 180°后得到的直线解析式. 例五、【直线与旋转90°或45°，需要作图分析，作图时一定要注意旋转的时针方向】如图，已知直线l ：y =1 x + 2 ．2（1）将直线l 绕原点O 顺．时．针．旋转 90°得到直线l1 ，求直线l1 的解析式；（2）直线l 交y 轴于点A，将直线l 绕A 点旋转 90°得到直线l2 ，求直线l2 的解析式；（3）若A（2，3）为直线l 上一点，将直线l 绕A 点旋转 90°得到直线l3 ，求直线l3 的解析式；（4）直线l 交x 轴于点A，将直线l 绕A 点逆．时．针．旋转 45°得到直线l4 ，求直线l4 的解析式.例六、定义：若两个函数的图象关于直线 y =x 对称，则称这两个函数互为反函数．求出函数 y =2x +1 的反函数的解析式．例七、在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为 A （3，2），B （1，5）. （1）若 P 为 y 轴上一点，试求当△PAB 的周长最短时 P 点的坐标； （2）若点 C 在 y 轴上一点，点 D 为 x 轴上一点，若四边形ABCD 的周长最短，求 C 、D 两点的坐标. x x 例八、如图，直线l ： y = -x + 2 与l ： y = 1 x + 1 ，直线l 交 x 轴于P ，将P 向上平移到直线l 上的 1 2 2 2 1 1 1 2 点Q 1 ，再将点Q 1 向左平移到直线l 1 上的点 P 2 ，再将点 P 2 向下平移到直线l 2 上的点Q 2 ，再将点Q 2 向右平移到直线l 1 上的点 P 3 ，…，这样一直下去 ，可在直线l 1 上继续得到点 P 4 ，P 5 ，…，P n ，…．（1）请直接写出P 1 、Q 1 、 P 2 、Q 2 、 P 3 、Q 3 的坐标；（2）设点 P n 的横坐标为a ，点 P n +1 的横坐标为b ，试问： b 与a 的数量关系，写出结论并证明．y B A O y B A O例九、如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A、B，将△AOB 沿直线AB 翻折，得到△ACB. 若C 点的坐标为(8，4)，求该一次幽数的解析式. 例十、【建立模型】如图1，已知在等腰Rt△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，顶点C 在直线l 上．若A点的坐标为（-5，2），B 点的坐标为（3，4），请直接写出C点的坐标；【模型拓展】如图2，在直角坐标系中，直线l1 : y =4x + 8 与y 轴交于点A，与x 轴交于点B，将3直线l1 绕着点A 顺时针旋转45°得到l2，求l2 的函数表达式．【模型应用】如图3，在平面直角坐标系中，点B（10，8），作B A⊥y 轴于点A，作B C⊥x 轴于点C，P 是线段BC 上的一个动点，点Q 在OC 上，且∠APQ=45°，求Q 点的坐标．。

【知识要点】一、“直线簇”第 九 讲 动点定线与动线定点（拔高） 区间交点与参数范围对于直线 y = kx + b .1．平行线簇： k 一定， b 含参，动直线沿 y 轴上下平行移动； 2．旋转线簇： k 含参，动线过定点：如何求定点坐标；（1）若k 一定， b 变化时（如 y = 2x + b ），它是一组平行于直线 y = kx 的“平行直线簇”，或说是将直线 y = kx 任意平移的“平行直线簇” ，如图 1；（2）若b 一定， k 变化时（如 y = kx + 2 ），如图 2，它是一组绕点（0，2）任意旋转的“旋转直线簇”，该“旋转直线簇”中包含平行于 x 轴的直线 y = 2 ，但不包含 y 轴；（3）注意隐藏定点的“旋转直线簇”，例如：直线 y = kx - 4k - 2 是一组绕定点（4，-2）任意旋转的“旋转直线簇”（不含直线 x = 4 ），如图 3.y Ox图 1图 2图 3二、一次函数 y = kx + b 解析式中的 k 与直线与 x 轴的夹角之间的关系1．若 k为时，直线与 x 轴的夹角是； 若 k 为-1 时，直线与 x 轴的夹角是；若 k为3时，直线与 x 轴的夹角是 ； 3若 k 为 0 时，直线与 x 轴的夹角是 ； 若 k 为 3时，直线与 x 轴的夹角是； 3若 k 为 1 时，直线与 x 轴的夹角是 ；若 k 为 时，直线与 x 轴的夹角是；2．直线绕原点旋转过程中， k 的变化趋势，如图； 三、交点个数与参数取值范围：1．根据平移过程中与线段有交点，求参数b 的范围； 2．根据旋转过程中与线段有交点，求参数k 的范围； 四、含绝对值函数图象的画法及交点个数问题； 五、分段函数图象的画法及交点个数问题.【新知讲授】例一、画图并完成下列各题1. 如图，△ABC 的顶点分别是 A (1，1)，B (3，1)，C (2，2)，当直线 y = 1x + b 与△ABC 有交点时，b2的取值范围是( ).(A)－1≤b ≤1 (B)- 1≤ b ≤12(C)- 1 ≤ b ≤ 1 (D)-1≤ b ≤1 2 2 22．如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的边长为 2，A 点的坐标为（1，1）.（1）如图 1，若直线 y = 2x + b 与正方形有交点时， b 的取值范围是； （2）如图 1，若直线 y = - 1x + b 与正方形有交点时， b 的取值范围是； 2 （3）如图 2，若直线 y = kx + 5 与正方形有交点时， k 的取值范围是 ； （4）如图 3，若直线 y = kx -1与正方形有交点时， k 的取值范围是 ； （5）如图 4，若直线 y = kx + 2 与正方形有交点时， k 的取值范围是 ；（6）如图 4，若直线 y = kx - 2k 与正方形有交点时， k 的取值范围是.y图 1图 2图 3图 4⎧2x + 8(x ＜ 3)例二、在同一平面直角坐标系中，直线 y ＝kx 与函数 y = ⎪2(-3≤x ≤3）的图象恰好有三个不同的交⎪2x - 4(x ＞3）点，求 k 的取值范围.例三、在平面直角坐标系中，点A、B、C 的坐标分别为（2，0）、（1，2）、（3，4），直线l的解析式为：y =kx + 4 - 3k （k≠0）．（1）通过计算说明：无论k 为何值，直线l 一定经过A、B、C 三点中的哪一个？（2）若线段AB 与直线l 有交点，求k 的取值范围．例四、如图，A（0，-2），B（2，2），C（-5，3）是坐标平面上的三点.（1）过点A作直线l1: y =kx +b ，若直线l1与线段B C 有公共点（包括B、C 两点），求k的取值范围；（2）直线l2:y=2x+b与线段B C 有公共点（包括B、C 两点），求k的取值范围.例五、绝对值函数1．一次函数y＝kx＋k 的图象与函数y =x - 1 的图象有两个交点，求k 的取值范围.2.（2019 年武汉市中考）将函数y = 2x +b （b为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y = 2x +b （b为常数）的图象.若该图象在直线y = 2 的下方的点的横坐标x 满足 0＜x ＜3，求b 的取值范围.3. 函数y = 3x -b（b为常数）的图象位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折后，所得的折线是函数y = 3x -b（b为常数）的图象.若该图象在直线y =5 的下方的点的横坐标x 满足-4＜x ＜0，求b 的取值范围.4将函数y = 2x +b （b为常数）的图象位于x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得的折线是函数y =-2x +b （b为常数）的图象.若该图象在直线y =-4 的上方的点的横坐标x 满足 0＜x＜5，求b 的取值范围.y。