高中数学必备考试技能之二级结论提高速度(2020版)专题13 圆锥曲线中的一类定值问题(解析版)

结论

k=-，，解得21

1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2

2

e =，且与直线:3l y x =+相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上点(2,1)A 作椭圆的弦AP ，AQ ，若AP ，AQ 的中点分别为M ，N ，若MN 平行于l ，则OM ，ON 斜率之和是否为定值？

【答案】（1）22

163x y +=（2）OM ，ON 斜率之和是为定值0.

【解析】（1）根据题意知,2222

22

112

b a

c e a a -==-=，即222a b =， 由22

223

1

2y x x y b b =+???+=??，消去y 可得223121820x x b ++-=， 因为椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>与直线:3l y x =+相切，

所以判断式(

)2

144431820b ?=-?-=，

解得23b =，则26a =，

所以椭圆的标准方程为22

163

x y +=.

（2）因为AP ，AQ 的中点分别为M ，N ，直线MN 平行于l ，

所以，射线

102也为定值.