人教版高中数学【选修1-1】[重点题型巩固练习]_全称量词与存在量词_提高

1．4全称量词与存在量词1．4.1全称量词1．4.2存在量词1．4.3含有一个量词的命题的否定双基达标（限时20分钟）1．下列命题中，不是全称命题的是()．A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是特称命题．答案 D2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()．A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使1 x>2解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为3＋(－3)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有1x<0，所以D是假命题．答案 B3．下列命题中的假命题是()．A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lg x0<1 D．∃x0∈R，tan x0＝2解析A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．答案 B4．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋4<0的否定綈p：________．解析特称命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“∀x∈M，綈p(x)”．故填∀x∈R，x2＋2x＋4≥0.答案∀x∈R，x2＋2x＋4≥05．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．解析对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.答案(－∞，3]6．判断下列命题的真假，并写出命题的否定：(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立；(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解(1)对于方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立，所以命题为假命题．它的否定为：对任意实数a，使x2－(a＋1)x＋a>0不恒成立．(2)当x＝1时，|x＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x，使|x＋2|>0.(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．综合提高（限时25分钟）7．下列命题的否定为假命题的是()．A．∀x∈R，－x2＋x－1<0B ．∀x ∈R ，|x |>xC ．∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12D ．∃x 0∈R ，sin 2x 0＋sin x 0＋1＝0解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A 中的命题为真命题，其余均为假命题，所以选A.答案 A8．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0，则实数a 的取值范围是( )．A ．a <1B ．a ≤1C ．－1<a <1D ．－1<a ≤1解析 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0；当a >0时，必需Δ＝4－4a 2>0，解得－1<a <1，故0<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是a <1.答案 A9．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．答案 有的向量与零向量不共线10．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析 依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0a 2－1<1⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案 (－2，－1)∪(1，2)11．已知命题“对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0”是假命题，求实数a 的取值范围．解因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x20＋ax0＋1<0”．由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式是真命题．由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．12．(创新拓展)若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1，1]．。

1.4 全称量词与存在量词1、命题“存在实数 x ,使1x >”的否定是( )A.对任意实数 x ,都有1x >B.不存在实数 x ,使1x ≤C.对任意实数 x ,都有1x ≤D.存在实数 x ,使1x ≤2、下列4个命题111:(0,),()()23x xp x ∃∈+∞< 21123:(0,1),log log p x x x ∃∈>3121p :(0,),()log 2x x x ∀∈+∞> 41311:(0,),()log 32x p x x ∀∈<真命题是（ ）A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p3、下列命题是全称命题,且为真命题的是( )A.对任意2,330x R x x ∈+-≠B.对任意整数x ,其平方的个位数不是8C.存在两条相交直线垂直于同一平面D.任何一个正数的倒数都比原数小4、下列命题中的假命题是( )A.R,30x x ∀∈>B.2R,(1)0x x ∀∈->C.3R,1x x ∃∈>D.1R,sin 2x x ∃∈=5、下列命题中是假命题的是( ) A. π(0,),sin 2x x x ∀∈> B. 00R,lg 0x x ∃∈=C. ,30x x R ∀∈>D. 000R,sin cos 2x x x ∃∈+=6、已知集合{}2|2A y y x ==+,集合{|B x y ==,则下列命题中真命题的个数是( )①,m A m B ∃∈∉②,m B m A ∃∈∉③,m A m B ∀∈∈④,m B m A ∀∈∈A.4B.3C.2D.17、下列命题中的假命题是( )A. ,lg 0x R x ∃∈=B. ,tan 1x R x ∃∈=C. 2",0"x R x ∀∈>D. ,30x x R ∀∈>8、设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则()A. :,2p x A x B ⌝∃∈∈B. :,2p x A x B ⌝∃∉∈C. :,2p x A x B ⌝∃∈∉D. :,2p x A x B ⌝∀∉∉9、命题“对任意R x ∈,都有20x ≥”,的否定为( )A.对任意R x ∈,都有20x <B.不存在R x ∈,使得20x <C.存在0R x ∈,使得200x ≥D.存在0R x ∈,使得 200x <10、命题“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-”的否定是( )A.()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞≠-B.()0000,,ln 1x x x ∃∉+∞=-C.()0,,ln 1x x x ∀∉+∞=-D.()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-11、下列命题中，正确的命题序号是__________．（请填上所有正确的序号）①已知R a ∈，两直线12:1,:2l ax y l x ay a +=+=，则“1a =-”是“12//l l ”的充分条件；②“22,0x x x >≥∀”的否定是“20002,0x x x ≤<∃”； ③“1sin 2α=”是“π2π,Z 6k k α=+∈”的必要条件； ④已知0,0a b >>，则“1ab >”的充要条件是“1a b >” 12、命题“2R,0x x ∀∈≥”的否定是___________13、已知以下四个命题①．“2m =”是“1:2(1)40l x m y +++=与2:320l mx y +-=平行”的充分条件 ②.“方程221Ax By +=表示椭圆”的充要条件是“A B ≠”③．命题“R x ∀∈，20x ≥”的否定是“0R x ∃∈，200x <” ④．命题“a b 、都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题为“a b +不是偶数，则a b 、都是奇数”正确的序号是________.14、命题:“(0,)x ∃∈+∞,210x x ++>”的否定是___________15、已知()22000p :x R,2x m x 1,q :x R,x 2x m 10,∀∈>+∃∈+--=且p q ∧为真,求实数m 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”,同时否定结论.2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：B解析：4答案及解析：答案：B解析：5答案及解析：答案：D解析：6答案及解析：答案：C解析：7答案及解析：答案：C解析：对四个选项,逐一举例子进行真假性的判断,由此得到正确选项.【详解】对于选项A,当1?x =时, lg10=故A 选项为真命题.对于B 选项,当4x π=时, tan 14π=,故选项B 为真命题.当0?x =时, 20x =,故C 选项为真命题. 根据指数函数的性质知D 选项为真命题.故选C.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题真假性的判断,考查指数函数、对数函数和正切函数有关的性质.属于基础题.8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：D解析：全称命题的否定是特称命题“对任意R x ∈,都有20x ≥”的否定为“存在0R x ∈,都有200x <”,故选D.10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：①③④解析：12答案及解析：答案：R x ∃∈,使20x <解析：13答案及解析：答案：①③解析：14答案及解析：答案：2(0,),10x x x ∀∈+∞++≤解析：15答案及解析：答案：()22x m x 1>+可化为2mx 2x m 0-+<. 若()2p :x R,2x m x 1∀∈>+为真,则2mx 2x m 0-+<对任意的x R ∈恒成立.当0m =时,不等式可化为2x 0-<,显然不恒成立; 当0m ≠时,有∴1m <-.若q :x0R,x 2x0m 10∃∈+--=为真, 则方程2x 2x m 10+--=有实根.∴()44m 10++≥,∴2m ≥-.又∵p q ∧为真,故,p q 均为真命题.∴m 1m 2<-⎧⎨≥-⎩∴21m -≤<-.解析：由Ruize收集整理。

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课时提升作业（七） 全称量词 存在量词 慕础叽固（15分钟30分）一、选择题（每小题4分，共12分） 1.下列命题为特称命题的是（ ）A. 偶函数的图象关于 y 轴对称B. 正四棱柱都是平行六面体C. 不相交的两条直线是平行直线D. 存在大于或等于3的实数【解析】选D.选项A, B, C 都是全称命题，选项 D 含有存在量词，是特称命题 2. （2015 •兰州高二检测）将a 2+b 2+2ab=（a+b ）2改写成全称命题是 （ ）A. ?B. ?2 2 2a>0, b>0, a +b +2ab=(a+b) 2 2 2a ,b € R , a +b +2ab=(a+b)【解析】选D.由于所给的等式对？ a , b € R 均成立，故选D. 3. 下列命题既是全称命题又是真命题的个数是（）① 所有的素数都是偶数； ②？ x € R, （x-1） 2+1> 1 ;③ 有的无理数的平方还是无理数C.?D.?A.0B.1C.2D.3a 。

，b °€ R,2+2a o b o =(a o +b o )a o <O ,b >O , 2+2a o b o =(a o +b o )【解析】选B.命题②既是全称命题又是真命题；命题③是特称命题又是真命题；命题①是假命题.二、填空题（每小题4分，共8分）4. _________________________________ 下列命题中，是全称命题的是;是特称命题的是①正方形的四条边相等；②有两个角是45 °的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数.【解析】根据所含的量词可判断出①②③为全称命题，④为特称命题.答案：①②③④5. (2015 •苏州高二检测)已知命题p：“? x €, a> e x”，命题q :“? x o € R, X：+4x o+a=O” ,若命题“ p A q”是真命题，则实数a的取值范围是_______________ .【解析】由命题“ p A q”是真命题得命题p, q都是真命题. 因为x€,所以e x€,所以a> e; ? x o€ R, +4x o+a=O,即方程x2+4x+a=0有实数解，所以△ =42-4a > 0，解得a< 4,取交集得a€ .答案：【延伸探究】本题条件“若命题p A q是真命题”改为“若命题p A q是假命题”，其他条件不变，则实数a的取值范围是 __________ .【解析】若命题p A q是假命题，则有三种情形：p真q假，p假q真，p假q假，直接求解比较复杂，可求原题结果的补集即得，的补集是(-R, e) U(4 , +8).答案：(-^, e) U (4 , +8)三、解答题26. (10分)若？x € R,函数f(x)=m(x -1)+x-a有零点，求实数a的取值范围.【解析】⑴当m=0时，f(x)=x-a 与x轴相交，函数有零点.⑵当0时，f(x)=m(x -1)+x-a 有零点的充要条件是△ =1+4m(m+a)= 4n i+4am+1> 0 恒成立，. _ 2又因为4m+4am+1》0是一个关于m的二次不等式，此不等式恒成立的充要条件是△ ' =(4a) 2-16 < 0,解得-1 < a< 1.综上，当m=0时，a€ R；1一、选择题（每小题5分，共10分）21.（ 2015 •长沙高二检测）已知a>0,函数f （x ）=ax +bx+c ,若x o 满足关于x 的方程2ax+b=0, 则下列选项的命题中为假命题的是 （ ）A. ? x o € R, f(x) W f(x 0)B. ? x °€ R, f(x) >f(x 0)C. ? x € R, f(x) W f(x 0)D. ? x € R, f(x) > f(x 0)4ac-b 2+ (a>0),4ab因为 2ax 0+b=O ,所以 X 0=-.2a当X=X 0时，函数f （x ）取得最小值, 所以? x € R, f(x) >f(x 0). 从而A , B, D 为真命题，C 为假命题.P 1： ? (x , y) € D, x+2y > -2 ; P 2： ? (x 0, y °) € D, x °+2y 0》2; P 3： ? (x , y) € D, x+2y W 3; P 4：? (x 0, y 。

人教版高中数学选修1-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全称量词与存在量词【学习目标】1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“∀” “∃ ”来表述相关的教学内容；3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法；4. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“∀”表示，读作“对任意”.全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ∀∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“∃ ”表示，读作“存在 ”.特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ∃∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）.要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使sin()sin sin αβαβ+=+.（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述要点三、 含有量词的命题的否定对含有一个量词的全称命题的否定全称命题p ：x M ∀∈，()p xp 的否定p ⌝：0x M ∃∈，0()p x ⌝；从一般形式来看，全称命题“对M 中任意一个x ，有p （x ）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意,()x M p x ∈”的否定为“0x M ∃∈，0()p x ⌝”.对含有一个量词的特称命题的否定特称命题p ：0x M ∃∈，0()p xp 的否定p ⌝：x M ∀∈，()p x ⌝；从一般形式来看，特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”，它的否定并不是简单地对结论部分0()p x 进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“0x M ∃∈，0()p x ”的否定为“x M ∀∈，()p x ⌝”.要点诠释：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；(2)命题的否定与命题的否命题是不同的.（3）正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.要点四、全称命题和特称命题的真假判断①要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是真命题，必须对集合M 中的每一个元素x ，证明()p x 成立；要判定全称命题“x M ∀∈，()p x ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 不成立，即举一反例即可.②要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使得0()p x 成立即可；要判定特称命题“0x M ∃∈，0()p x ”是假命题，必须证明在集合M中，使 ()p x 成立得元素不存在.【典型例题】类型一：量词与全称命题、特称命题【全称量词与存在量词395491例1】例1. 判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）∀x ∈R ，x 2+1≥1；（2）所有素数都是奇数；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（4）有些整数只有两个正因数.【解析】（1）有全称量词“任意”，是全称命题；（2）有全称量词“所有”，是全称命题；（3）有存在量词“存在”，是特称命题；（4）有存在量词“有些”；是特称命题。

全称量词和存在量词（简答题：容易）
1、设命题:实数满足,其中,
命题:实数满足．
（1）若且为真,求实数的取值范围;
（2）若是的充分不必要条件,求实数的取值范围．
2、已知，不等式恒成立，椭圆的焦点在轴上，若命题
为真命题，求实数的取值范围．
参考答案
1、（1）. （2）.
2、．
【解析】
1、试题分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集
试题解析：（1）当时，，，
又为真，所以真且真，由，得所以实数的取值范围为
（2）因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，
又，，所以，解得
所以实数的取值范围为
考点：充分条件；命题的真假判断与应用
2、试题分析：由命题解得，命题解得，再根据命题为真命题，即可求解实数的取值范围．
试题解析：,不等式恒成立，
即，解得：，
椭圆的焦点在轴上，，解得：，
由为真可知，都为真，解得．
考点：命题的真假判定与应用．。

►基础梳理1．全称量词与全称命题．短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词和特称命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”．3．全称命题的否定．一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．全称命题的否定是特称命题．4．特称命题的否定．一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．特称命题的否定是全称命题．,►自测自评1．命题“有理数的平方仍是有理数”，用符号“∀”写成全称命题为∀x∈{有理数}，x2∈{有理数}．2．给出下列命题：①所有的偶数都不是素数；②∀x>5且x∈R，都有x>3；③有的奇数不是素数；④存在x∈R，x既能被5整数也能被3整除．其中是全称命题的命题序号是①②．1．下列命题是特称命题的是(D)A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在无理数大于等于32．有下列命题：(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1)2＋1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数；(4)∃x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1＝0；(5)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(6)∃x 0∈R ，x 20≤0.其中是真命题的为________________(填序号)．答案：(2)(3)(6)3．给下列四个结论：①“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“∃x ∈R ，2x ＞0”；②“∀x ∈N ，(x －1)2＞0”的否定是“∃x ∈N ，(x －1)2≠0”；③“∃x ∈R ，lg x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，lg x ≥1”；④“∃x ∈R ，tan x ＝2”的否定是“∀x ∈R ，tan x ＞2或tan x ＜2”．其中正确结论的序号是______．答案：③④4．判断下列命题的真假．(1)有的正方形不是矩形；(2)有理数是实数；(3)存在一个数，它的相反数是它本身；(4)∀x ∈N ，x 2＞0；(5)∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥（a ＋b ）22； (6)∃x ∈R ，x 2＋1＜0.解析：(1)是假命题，所有的正方形都是矩形；(2)是真命题，所有的有理数都是实数；(3)是真命题，0的相反数就是它本身；(4)是假命题，自然数0的平方不大于0；(5)是真命题，因为对于任意实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ，从而有a 2＋b 2≥（a ＋b ）22恒成立；(6)是假命题，任何一个实数x 都不满足x 2＋1＜0.5．命题p ：∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0，若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围．解析：依题意，∀x ∈[－1，2]，4x －2x ＋1＋2－a ＜0恒成立．令t ＝2x ，由x ∈[－1，2]，得t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，则4x －2x ＋1＋2－a ＜0，可化为a ＞t 2－2t ＋2，即a ＞(t －1)2＋1，∴命题p 等价于∀t ∈⎣⎡⎦⎤12，4.a ＞(t －1)2＋1恒成立，令y ＝(t －1)2＋1.当t ∈⎣⎡⎦⎤12，4时，y max ＝(4－1)2＋1＝10，所以只须a ＞10，即可得p 为真命题，故所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)．1．下列是全称命题且是真命题的是(B)A ．∀x ∈R ，x 2＞0B ．∀x ∈Q ，x 2∈QC ．∃x ∈Z ，x 20＞1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2＞02．下列命题中，真命题是(A)A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )，∴f (x )是偶函数．又∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.3．(·广州二模)命题“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5≤0”的否定是(C )A ．∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5＞0B ．∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋5≤0 C ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5＞0D ．∀x ∈R ，x 2＋4x ＋5≤04．命题“原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称”的否定是(C )A ．原函数与反函数的图象关于直线y ＝－x 对称B ．原函数不与反函数的图象关于直线y ＝x 对称C ．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y ＝x 对称D ．存在原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称5．下列命题中的真命题是(D )A ．∃x 0∈R 使得sin x 0＋cos x 0＝1.5B ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos xC ．∃x 0∈R 使得x 20＋x 0＝－1D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x ＞x ＋16．已知a ＞0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是(C)A ．∃x 0∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x 0∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)7．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0的否定是________________________________________________________________________．答案：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0. 8．有以下三个命题：①∀α∈R ，在[α，α＋π]上函数y ＝sin x 都能取到最大值1；②若∃a ∈R ，且a ≠0，f (x＋a )＝－f (x )时∀x ∈R 成立，则f (x )为周期函数；③∃x ∈⎝⎛⎭⎫－74π，－34π，使sin x ＜cos x . 其中正确命题为______(填序号)．解析：①为假，如α＝π，ɑ∈[π，2π]时y ＝sin x 最大值为0；②为真，f (x ＋2a )－f (x ＋a )＝f (x )，x ∈R 恒成立，T ＝2a ；③为假，sin x ＞cos x .答案：②9．已知命题：“存在x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围________． 答案：[－8，＋∞)10．(·揭阳二模)已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0，1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为________．答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞11．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，判断否命题的真假：(1)直线与x 轴都有交点；(2)正方形都是菱形；(3)梯形的对角线相等；(4)存在一个三角形，它的内角和大于180°.答案：(1)全称命题，否命题为：有些直线与x 轴没有交点．真命题．(2)全称命题，否命题为：有些正方形不是菱形，假命题．(3)全称命题，否命题为：有些梯形对角线不相等．真命题．(4)特称命题，否命题为：所有三角形内角和小于或等于180°.真命题．12．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解析：命题p ：x 2－a ≥0，即a ≤x 2，∵x ∈[1，2]时，上式恒成立，而x 2∈[1，4]，∴a ≤1. 命题q ：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，即a ≥1或a ≤－2.∵p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题，∴a ＝1或a ≤－2.即实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－2}．►体验高考1．(·湖北卷)命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是(D )A ．∀x 0∉R ，x 20≠x 0B ．∀x 0∈R ，x 20＝x 0C ．∃x ∉R ，x 20≠x 0D ．∃x 0∈R ，x 20＝x 02．(·天津卷)已知命题p ：∀x ＞0，总有(x ＋1)e x ＞1，则綈p 为(B )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x ＞0，总有(x ＋1)e x 0≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x 0≤1解析：已知命题中含有“∀”，所以该命题是一个全称命题，由全称命题的否定形式可知，其否定是一个特称命题，把全称量词改为存在量词，然后把“(x ＋1)e x ＞1”改为“(x 0＋1)e x ≤1”即可得到该命题的否定为：“∃x 0＞0，使得(x 0＋1)e x 0≤1”，故选B.3．(·重庆卷)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为(A )A ．存在x 0∈R ，使得x 20＜0B ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．不存在x ∈R ，使得x 20＜04．(·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A ，2x ∈B ，则(C )A ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∈BB ．綈p ：∃x ∉A ，2x ∈BC ．綈p ：∃x ∈A ，2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A ，2x ∉B5．(·新课标全国卷Ⅰ)已知命题綈p ：∀x ∈R ，2x ＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是(B )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q解析：对于命题p ，由于x ＝－1时，2－1＝12＞13＝3－1，所以是假命题，故綈p 是真命题；对于命题q ，设f (x )＝x 3＋x 2－1，由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝1＞0，所以f (x )＝0在区间(0，1)上有解，即存在x ∈R ，x 3＝1－x 2，故命题q 是真命题．综上，綈p ∧q 是真命题，故选B.。

第一章 常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词A 级 基础巩固一、选择题1．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x＞2 解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时，x 2＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0，所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ，都有1x＜0，所以D 是假命题． 答案：B2．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( )A ．∀x ∉R ，x 2≠xB ．∀x ∈R ，x 2＝xC ．∃x ∉R ，x 2≠xD ．∃x ∈R ，x 2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“∃x ∈R ，x2＝x ”．答案：D3．下列特称命题中假命题的个数是( )①有一条直线与两个平行平面垂直；②有一条直线与两个相交平面平行；③存在两条相交直线与同一个平面垂直．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①②都是真命题，③是假命题．答案：B4．设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R)，则下列命题中的真命题是( )A ．任意m ∈R，使y ＝f (x )都是奇函数B ．存在m ∈R，使y ＝f (x )是奇函数C ．任意m ∈R，使x ＝f (x )都是偶函数D ．存在m ∈R，使y ＝f (x )是偶函数解析：当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选D.答案：D5．若⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－2ax ＜33x ＋a 2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜1B ．a ＞34C ．0＜a ＜34D ．a ＜34 解析：由题意，得－x 2＋2ax ＜3x ＋a 2，即x 2＋(3－2a )x ＋a 2＞0恒成立，所以Δ＝(3－2a )2－4a 2＜0，解得a ＞34. 答案：B二、填空题6．命题“∃x 0，y 0∈Z ，3x 0－2y 0＝10”的否定是______________．解析：特称命题的否定是全称命题，则否定为∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠10.答案：∀x ，y ∈Z ，3x －2y ≠107．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．答案：①②③ ④8．下面四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2＞0恒成立；②∃x 0∈Q ，x 20＝2；③∃x 0∈R ，x 20＋1＝0；④∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．解析：x 2－3x ＋2＞0，Δ＝(－3)2－4×2＞0，所以当x ＞2或x ＜1时，x 2－3x ＋2＞0才成立，所以①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，所以不存在x ∈Q，使得x 2＝2，所以②为假命题．对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，所以③为假命题.4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，所以④为假命题．所以①②③④均为假命题．答案：0三、解答题9．判断下列各命题的真假，并写出命题的否定．(1)有一个实数a ，使不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0恒成立；(2)对任意实数x ，不等式|x ＋2|≤0恒成立；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．解：(1)方程x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0的判别式Δ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≥0，则不存在实数a ，使不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0恒成立，所以原命题为假命题． 它的否定：对任意实数a ，不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0不恒成立．(2)当x ＝1时，|x ＋2|＞0，所以原命题是假命题．它的否定：存在实数x ，使不等式|x ＋2|＞0成立．(3)由一元二次方程解的情况，知该命题为真命题．它的否定：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．10．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x ＞m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：令y ＝sin x ＋cos x ，则y ＝sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 因为－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥－ 2. 因为∀x ∈R ，sin x ＋cos x ＞m 恒成立，所以只要m ＜－2即可．故实数m 的取值范围是(－∞，－2)．B 级 能力提升1．若命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧qD ．p ∨(綈q )解析：命题p ：∀x ∈R ，log 2x >0为假命题，命题q ：∃x 0∈R ，2x 0<0为假命题，所以p ∨(綈q )为真命题，故选D.答案：D2．已知命题“∃x 0∈R ，2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意可得“对∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12＞0恒成立”是真命题，令Δ＝(a －1)2－4＜0，得－1＜a ＜3.答案：(－1，3)3．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ＋2＝0”，若命题“p 或q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：p⇔a≤(x2)min＝1.q⇔Δ＝4a2－4(a＋2)≥0⇔a≤－1或a≥2.因为“p或q”为真命题，所以p、q中至少有一个真命题．所以a≤1或a≤－1或a≥2，所以a≤1或a≥2.所以“p或q”是真命题时，实数a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．。

基础巩固强化一、选择题1．下列命题中，全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0 B．1C．2 D．3[答案] C[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1C．2 D．3[答案] D[解析]①②③都是真命题．3．(2013·四川文，4)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )A．綈p：∃x∈A,2x∈BB．綈p：∃x∉A,2x∈BC．綈p：∃x∈A,2x∉BD．綈p：∀x∉A,2x∉B[答案] C[解析]本题考查全称命题与特称命题的转化问题．由命题p：∀x∈A,2x∈B得綈p：∃x∈A,2x∉B.4．(2012～2013学年度安徽安庆市高二期末测试)已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则( )A．綈p：∀x∈R，sin x≥1B．綈p：∃x∈R，sin x≥1C．綈p：∀x∈R，sin x>1D．綈p：∃x∈R，sin x>1[答案] D[解析]将“∀”改为“∃”，将“≤”改为“>”即可．5．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数[答案] D[解析]A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.6．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为( )A．∀n∈N,2n≤1 000 B．∀n∈N,2n>1 000C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n<1 000[答案] A[解析]特称命题的否定为全称命题，“>”的否定为“≤”．二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．[答案]任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0[解析]特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________．[答案]过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内[解析]原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．若命题“∃x0∈R，使x20＋(a＋1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为________．[答案][－3,1][解析]原命题为特殊命题，其为假命题，故它的否定是“∀x ∈R，使得x2＋(a＋1)x＋1≥0”是真命题，故Δ＝(a＋1)2－4≤0，解得－3≤a≤1.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．[解析](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是綈p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－14时，一元二次方程没有实根，因此綈p是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题.。

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课时提升作业七全称量词存在量词一、选择题(每小题4分,共12分)1.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是( )A.存在一个α0,使tan(90°-α0)=tanα0B.存在实数x0,使sinx0=C.对一切α,sin(180°-α)=sinαD.sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ【解析】选A.由命题是特称命题,排除C,D;在A中,当α0=45°时,结论正确;B中,>1,所以不存在x0,使sinx0=.2.(2016·龙岩高二检测)下列命题中的假命题是( )A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x0∈R,lgx0<1D.∃x0∈R,tanx0=2【解析】选B.A中命题是全称命题,易知2x-1>0恒成立,故是真命题;B中命题是全称命题,当x=1时,(x-1)2=0,故是假命题;C中命题是特称命题,当x0=1时,lgx0=0,故是真命题;D中命题是特称命题,依据正切函数定义,可知是真命题.【补偿训练】(2016·天津模拟)有四个关于三角函数的命题:p1:∃A0∈R,sin2+cos2=;p2:∃A0,B0∈R,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0;p3:∀x∈,=sinx,p4:sinx=cosy→x+y=.其中假命题是( )A.p1,p4B.p2,p4C.p1,p3D.p2,p3【解析】选A.因为sin2+cos2=1恒成立,所以命题p1为假命题.因为当A0=0,B0=0时,sin(A0-B0)=sinA0-sinB0,所以命题p2为真命题.因为==|sinx|,而x∈,所以sinx≥0,所以=sinx,所以命题p3为真命题.因为sin=cos0,而+0≠,所以命题p4为假命题.3.(2016·金华高二检测)命题p:∃x0∈N,<;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=log a(x-1)的图象过点(2,0).则( )A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真【解析】选A.因为x3<x2,所以x2(x-1)<0,所以x<0或0<x<1,在这个范围内没有自然数,命题p为假命题.因为f(x)的图象过点(2,0),所以log a1=0,对∀a∈(0,1)∪(1,+∞)的值均成立,命题q为真命题.二、填空题(每小题4分,共8分)4.下列命题是真命题的是(填序号).①所有的实数x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一个实数x0,使不等式-3x0+6<0成立;③存在一个实数x0,使-3x0+6=0.【解析】因为x2-3x+6=0中,Δ=(-3)2-4×6=-15<0,所以x2-3x+6=0无解,x2-3x+6>0恒成立.所以①正确,②③错误.答案:①5.当命题(1)∀x∈R,sinx+cosx>m,(2)∃x0∈R,sinx0+cosx0>m分别为真命题时,m的范围分别是(1),(2). 【解析】(1)令y=sinx+cosx,x∈R.因为y=sinx+cosx=sin≥-,又因为∀x∈R,sinx+cosx>m为真命题,所以只要m<-即可.所以所求m的取值范围是(-∞,-).(2)令y=sinx+cosx,x∈R.因为y=sinx+cosx=sin∈,又因为∃x0∈R,sinx0+cosx0>m为真命题,所以只要m<即可,所以所求m的取值范围是(-∞,).答案:(1)(-∞, -) (2)(-∞,)三、解答题6.(10分)(教材P28T5改编)判断下列命题的真假:(1)∀x∈N,x2>0.(2)圆x2+y2=r2(r>0)上存在一点到圆心的距离是r.(3)存在一对实数x0,y0满足2x0+4y0=3.(4)方程2x+4y=3的所有解都不是整数解.【解析】(1)假命题:当x=0时,x2=0.(2)真命题:由圆的定义知圆上的每一个点到圆心的距离都是r.(3)真命题:满足方程2x+4y=3.(4)真命题:当x,y∈Z时,左边是偶数,右边3是奇数,不可能相等.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·佛山高二检测)下列命题中,真命题是( )A.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是偶函数B.∃m0∈R,使函数f(x)=x2+m0x(x∈R)是奇函数C.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数D.∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数【解析】选A.只有当m=0时,f(x)=x2(x∈R)是偶函数,故A正确,C,D不正确;又二次函数不可能为奇函数,故B不正确.2.(2016·衡阳高二检测)设命题p:∃x0∈R,使+2ax0+2-a=0;命题q:不等式ax2-ax+2>0对任意x∈R恒成立.若p为真,且p或q为真,则a的取值范围是( )A.(-2,1)B.(-2,0)C.,x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,+2ax0+2-a=0”.(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围.(2)若命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.【解题指南】(1)命题p为真命题只需a≤(x2)min即可.(2)命题“p∧q”为假命题,则p为假命题或q为假命题.p为假命题时a的取值集合与p为真命题时a的取值集合互补,从而由(1)可得p为假命题时a的范围.q为假命题此方程无根,即判别式小于0.【解析】(1)由命题p为真命题,a≤(x2)min,a≤1.(2)由命题“p∧q”为假命题,所以p为假命题或q为假命题.p为假命题时,由(1)得a>1.q为假命题时,Δ=4a2-4(2-a)<0,解得-2<a<1.综上,a∈(-2,1)∪(1,+∞).【补偿训练】已知命题p:“存在a0>0,使函数f(x)=a0x2-4x在(-∞, 2]上单调递减”,命题q:“存在a0∈R,使∀x∈R,16x2-16(a0-1)x+1≠0”.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.【解析】若p为真,则对称轴x=-=≥2,所以0<a≤1.若q为真,则方程16x2-16(a-1)x+1=0无实数根,所以Δ=2-4×16<0,所以<a<.因为命题“p∧q”为真命题,所以所以<a≤1.故实数a的取值范围为.关闭Word文档返回原板块。