最新人教版高中数学选修1-1《导数在研究函数中的应用》自我小测

人教新课标A版选修1-1数学3.3导数在研究函数中的应用同步检测（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）曲线在x=1处的切线倾斜角是（）A .B .C .D .2. （2分）若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是（）A . 1<a<2B . 1<a<4C . 2<a<4D . a>4或a<13. （2分） (2017高二下·微山期中) 函数y=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）A . a=B . a=1C . a=2D . a≤04. （2分） (2018·辽宁模拟) 已知当时，关于的方程有唯一实数解，则值所在的范围是（）A .B .C .D .5. （2分）已知函数f（x）=ex﹣ax有两个零点x1＜x2 ，则下列说法错误的是（）A . a＞eB . x1+x2＞2C . x1x2＞1D . 有极小值点x0，且x1+x2＜2x06. （2分） (2017高二上·大连期末) 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=6x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，若t=ab，则t的最大值为（）A .B . 6C .D . 97. （2分） (2018高二下·定远期末) 若二次函数f（x）的图象与x轴有两个异号交点，它的导函数（x）的图象如右图所示，则函数f（x）图象的顶点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限8. （2分） (2017高二下·绵阳期中) 已知函数y=f（x）（x∈R）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式（x﹣1）f′（x）＜0的解集为（）A . （﹣∞，）∪（1，2）B . （﹣1，1）∪（1，3）C . （﹣1，）∪（3，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）9. （2分）已知函数上任一点处的切线斜率，则该函数的单调递减区间为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二下·鹤壁期末) 函数f（x）=2xlog2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A . （1，3）B . （1，2）C . （0，3）D . （0，2）11. （2分） (2016高三上·汕头模拟) 若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是（）A . （﹣∞，e）B . （e，+∞）C . （0，）D . （1，+∞）12. （2分） (2015高三上·驻马店期末) 若曲线C1：y=ax2（a＞0）与曲线C2：y=ex存在公共切线，则a 的取值范围为（）A .B .C . [ ，+∞）D .13. （2分）函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线,则的图象的顶点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限14. （2分） (2017高二·卢龙期末) 设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A .B .C .D .15. （2分） (2017高二下·汪清期末) 已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2015高二下·吕梁期中) 已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．17. （1分） (2018高二下·河北期末) 直线是曲线的一条切线，则实数________．18. （1分）已知对任意的恒成立，则实数的最大值为________．19. （1分） (2016高二下·信阳期末) 已知e是自然对数的底数，实数a，b满足eb=2a﹣3，则|2a﹣b﹣1|的最小值为________．20. （1分）若抛物线y= x2+1在点（2，3）处的切线与圆x2+（y﹣m）2=5（m＞0）相切，则m的值为________．三、解答题 (共5题；共40分)21. （10分）已知函数 .（1）求函数的单调递增区间；（2）证明：当时, .22. （10分） (2017高三上·陆川月考) 已知函数当时，（1）求函数的单调区间（2）求函数在上的最大值.23. （10分） (2018高二下·辽源月考) 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.（1）求a、b的值；（2）求函数f(x)的单调区间．24. （5分） (2019高三上·金华期末) 已知，，其中，为自然对数的底数．若函数的切线l经过点，求l的方程；Ⅱ 若函数在为递减函数，试判断函数零点的个数，并证明你的结论．25. （5分） (2018高二下·黑龙江期中) 已知函数，过点作曲线的切线，求切线的方程．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共40分) 21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、第11 页共13 页第12 页共13 页24-1、25-1、第13 页共13 页。

3.3.3 导数的实际应用自我小测1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )2．用边长为36 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成一个铁盒．要使所做的铁盒容积最大，在四个角截去的正方形的边长为( )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm3．容积为108 L 的底面为正方形的长方体无盖水箱，要使用料最省，它的高为( ) A ．2 dmB ．3 dmC ．4 dmD ．6 dm4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.3VB.32VC.34VD ．23V5．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x t 与每吨产品的价格p (元/t)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x t 的成本为R ＝50 000＋200x (元)，则该厂利润达到最大时的月产量为( )A ．100B ．20C ．400D ．2006．圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比为__________．7．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则该公司能获得的最大利润为__________万元．8．一张1.4 m 高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼1.8 m ，问观察者应站在距离墙__________处看图，才能最清晰(即视角最大)．9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？10．“过低碳生活，创造绿色家园”．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值．参考答案1. 答案：A2. 答案：A3. 解析：设水箱的底面边长为a dm ，高为h dm ，则V ＝a 2h ＝108，即h ＝108a2.用料最省，即表面积最小．S 表＝S 底＋S 侧＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ×108a 2＝a 2＋432a. S 表′＝2a －432a 2，令S 表′＝2a －432a2＝0，解得a ＝6，此时h ＝3(dm)．答案：B4. 解析：设底面边长为x ，则表面积S (x )＝32x 2＋43x V (x ＞0)，S ′(x )＝3x2(x 3－4V )，令S ′(x )＝0，得唯一极值点x ＝34V .答案：C5. 解析：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2·x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．令f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0得x 1＝200，x 2＝－200，舍去负值．f (x )在[0，＋∞)内有唯一的极大值点，也是最大值点．答案：D6. 解析：设圆柱形饮料罐的高为h ，底面半径为R ，则表面积S ＝2πRh ＋2πR 2. 由V ＝πR 2h ，得h ＝VπR2，则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2V R＋2πR 2.令S ′(R )＝－2VR2＋4πR ＝0，解得R ＝3V2π，从而h ＝V πR 2＝Vπ⎝⎛⎭⎪⎫3V 2π2＝34V π＝23V 2π，即h ＝2R .因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，即h ∶R ＝2∶1时所用材料最省． 答案：2∶17. 解析：设在甲地销售m 辆车，在乙地销售(15－m )辆车， 则总利润y ＝5.06m －0.15m 2＋2(15－m ) ＝－0.15m 2＋3.06m ＋30， 所以y ′＝－0.3m ＋3.06. 令y ′＝0，得m ＝10.2. 当0≤m ＜10.2时，y ′＞0； 当10.2＜m ≤15时，y ′＜0.故当m ＝10.2时，y 取得极大值，也就是最大值． 又由于m 为正整数，且当m ＝10时，y ＝45.6； 当m ＝11时，y ＝45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元． 答案：45.68. 解析：如图所示，设OD ＝x ，∠BOA ＝α，∠ADO ＝β，∠BDO ＝γ，则α＝γ－β，tan γ＝3.2x ，tan β＝1.8x，tan α＝tan(γ－β)＝tan γ－tan β1＋tan γtan β＝3.2x－1.8x1＋3.2×1.8x2＝ 1.4x x 2＋5.76(x ＞0)．令(tan α)′＝1.4(x 2＋5.76)－2x ×1.4x(x 2＋5.76)2＝0， 解得x ＝2.4.在x ＝2.4附近，导数值由正到负，在x ＝2.4 m 处，tan α取得最大值，即视角最大．答案：2.4 m9. 解：设速度为每小时v 千米时的燃料费为每小时p 元，由题意得p ＝k ·v 3，其中k 为比例常数，当v ＝10时，p ＝6，解得k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3. 设当速度为每小时v 千米时，行1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是(0.006v 3＋96)元，而行1千米所需时间为1v 小时，所以行1千米的总费用为q ＝1v(0.006v3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v2(v 3－8 000)，令q ′＝0，解得v ＝20.因当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0，所以当v ＝20时取得最小值． 即当速度为20千米/时时，航行1千米所需费用总和最小． 10. 解：(1)由题意知，C (0)＝k5＝8，解得k ＝40.故C (x )＝403x ＋5.所以f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0， 即6－2 400(3x ＋5)2＝0，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0＜x ＜5时，f ′(x )＜0； 当5＜x ＜10时，f ′(x )＞0.故当x ＝5时，有f (x )最小值＝f (5)＝6×5＋8003×5＋5＝70.所以当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．。

人教新课标A版选修1-1数学3.3导数在研究函数中的应用同步检测D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值，过点A（1，m）作曲线y=f（x）的切线，若﹣3＜m＜﹣2，则满足条件的切线条数是（）A . 1B . 2C . 3D . 1或22. （2分）下列函数中，x=0是其极值点的函数是（）A . f(x）=-x3B . f(x)=-cosxC . f(x)=sinx-xD .3. （2分）定义域为的可导函数满足且，则的解集为（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知函数的定义域为，且，为的导函数，函数的图象如图所示.若正数 ,满足 ,则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）函数的极大值为，那么的值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·鹤壁期末) 函数f（x）=2xlog2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A . （1，3）B . （1，2）C . （0，3）D . （0，2）7. （2分）已知函数满足，且当时，，则（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数则，，的大小关系为（）A .B .C .D .9. （2分）若直线y=mx是y=lnx+1的切线，则m=（）A . 1B . 2C . 0D . 410. （2分） (2018高三上·湖北月考) 在等比数列中是函数的极值点，则 =（）A .B .C . 或D . 或无意义11. （2分） (2017高二下·安阳期中) 曲线y= ﹣上一点P（4，﹣）处的切线方程是（）A . 5x+16y﹣8=0B . 5x﹣16y+8=0C . 5x+16y+8=0D . 5x﹣16y﹣8=012. （2分）已知函数的图像在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A . 10B . 9C . 8D .13. （2分）已知函数有两个极值点x1 ， x2且x1 ， x2满足﹣1＜x1＜1＜x2＜2，则直线bx﹣（a﹣1）y+3=0的斜率的取值范围是（）A . (-,)B . (-,)C . (-,)D . (-,-)(,+)14. （2分）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，2]B . （﹣∞，2）C . [0，+∞）D . （2，+∞）15. （2分）已知函数f（x）=x3+ax在[1，+∞）上是增函数，则a的最小值是（）A . ﹣3B . ﹣2C . 2D . 3二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分）若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是________．17. （1分） (2015高三上·天津期末) 曲线y= x2和它在点（2，1）处的切线与x轴围成的封闭图形的面积为________．18. （1分） (2015高三上·秦安期末) 已知函数f（x）=lnx﹣（m∈R）在区间[1，e]取得最小值4，则m=________．19. （1分）(2018·长宁模拟) 若不等式对任意满足的实数，恒成立，则实数的最大值为________．20. （1分）曲线y=x2-2x在点(1,-)处切线的倾斜角为________三、解答题 (共5题；共45分)21. （15分）(2018·安徽模拟) 已知函数（其中）在点处的切线斜率为1.（1）用表示；（2）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；（3）在（2）的前提下，如果，证明： .22. （10分）(2017·山南模拟) 已知函数．（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=﹣x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．23. （5分） (2018高二下·陆川期末) 已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2 .7万元，设该公司年内共生产该特许商品工x千件并全部销售完;每千件的销售收入为R(x)万元，且，(I)写出年利润W(万元〉关于该特许商品x(千件）的函数解析式；(II)年产量为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大?24. （5分） (2015高二下·九江期中) 已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．25. （10分） (2018高二下·辽源月考) 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.（1）求a、b的值；（2）求函数f(x)的单调区间．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共45分) 21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、24-1、25-1、25-2、。

测标导数在研究函数中的应用（）
本试卷满分分
一．选择题（每小题分，共分）
．已知函数()，∈，且当时，()存在极小值，则( )
．当∈(-∞)时，'()>；当∈(∞)时，'()<
．当∈(-∞)时，'()>；当∈(∞)时，'()>
．当∈(-∞)时，'()<；当∈(∞)时，'()>
．当∈(-∞)时，'()<；当∈(∞)时，'()<
．设∈,若函数∈有大于零的极值点，则
．< ．> ．< ．>
．函数()＝，则( )
．在－处取得极大值，在处取得极小值－．
．在－处取得极小值，在处取得极大值－．
．在－处取得极小值－，在处取得极大值．
．以上都不对．
．三次函数当时有极大值，当时有极小值，且函数图象过原点，则此函数解析式是( )
．．-
．--．-
．函数()的定义域为开区间()，导函数' ()
在()的图象如图所示，则函数()在开区间()内有
极小值点( )
．个．个
．个．个
二.填空题.（每小题分，共分）
．若()()有极大值，又有极小值，则的取值范围是．
．函数()在（）内有极小值，则实数的取值范围是.
．若函数()在处取极值，则
三.解答题（每小题分，共分）
．求函数的极值.
．已知()(≠)在±时取得极值，且() -．
()求的值；
()试判断±时函数取得极小值还是极大值，并说明理由.。

数学选修1-1导数在研究函数中的应用练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数y=(3−x2)e x的单调递增区间是( )A.(−∞, 0)B.(0, +∞)C.(−∞, −3)D.(−3, 1)2. 若曲线y=ax−ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=3x，则a=( )A.1B.2C.3D.43. 已知f(x)=(e x−a)(eax+1)，若f(x)≥0(x∈R)恒成立，则满足条件的a的个数有( )A.1B.2C.3D.44. 若函数f(x)=ax3−2x2在x=−1时取得极值，则f(1)等于（）A.−103B.−23C.0D.135. 已知函数f(x)=13x3+12ax2−bx+a2−2(a,b∈R)，若f(x)在x=−1处有极值53，则a−b的值是()A.−4或3B.3C.−4D.−16. 函数f(x)＝ln x过点(0, 0)的切线方程为（）A.y＝xB.y=2e x C.y=12x D.y=1ex7. 设定义在(0, +∞)的函数f(x)的导函数是f′(x)，且x4f′(x)+3x3f(x)=e x，f(3)=e381，则x>0时，f(x)()A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既无极大值，又无极小值D.既有极大值，又有极小值8. 已知f(x)=x3−ax2+4x有两个极值点x1、x2，且f(x)在区间(0, 1)上有极大值，无极小值，则实数a的取值范围是（）A.a>72B.a≥72C.a<72D.a≤729. 已知函数f(x)＝−x 3+ax 2−4在x ＝2处取得极值，若m, n ∈[−1, 1]，则f(m)+f ′(n)的最小值为() A.−13 B.−15 C.10 D.1510. 已知函数f(x)=x ln x 的图象上有A 、B 两点，其横坐标为x 1，x 2(0<x 1<x 2<1)且满足f(x 1)=f(x 2)，若k =5(x 1+x 22+√x 1x 2)，且k 为整数时，则k 的值为（ ）（参考数据：e ≈2.72） A.1 B.2 C.3 D.411. 函数f(x)=12x −sin x 在[−π2,π2]上的最小值是________.12. 函数f(x)=ax 2−2x −9在x =1处取得极值，则实数a =________．13. 给出函数①y =x 3，②y =x 4+1，③y =|x|，④y =√x ，其中在x =0处取得极值的函数是________（填序号）．14. 函数f(x)＝e x cos x 的图象在x =π2处的切线斜率为________−e π2 ．15. 函数f(x)=12x −x 3在区间[−3, 3]的最小值是________．16. 已知函数f(x)=x 3−ax 2+3x ，a ∈R ．若x =3是f(x)的一个极值点，则f(x)在R 上的极大值是________．17. 定义在(0, +∞)上的函数f(x)，总有f′(x)>f(x)+ex −ln x 成立，且f(2)＝e 2−2，则不等式f(x)≥e x −2的解集为________．18. 若直线y =kx +b 是曲线y =e x−2的切线，也是曲线y =e x −1的切线，则b =________.19. 若函数f (x )={e x −a,x >1−x 3+3x 2,x ≤1有最小值，则实数a 的取值范围为________.20. 若直线y ＝12x +m 与曲线y ＝x 3−2相切，则m ＝________．21. 已知函数f(x)=ax3−x2+x−5在R上无极值，求a的取值范围．22. 已知函数f(x)=−x3+3x2+9x+a，求f(x)的单调递减区间．23. 已知函数f(x)=x3−x2+x+2.(1)求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)求经过点A(1,3)的曲线f(x)的切线方程．24. 已知函数f(x)=x2−2(a+1)x+2a ln x(a≠0).(1)当a=1时，求函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．25. 已知函数f(x)=x ln x−ae x+a，其中a∈R.(1)当a=0时，求函数在(e,f(e))处的切线方程；(2)若函数f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围．26. 已知f(x)=(3e x−2a)⋅√x，其中a∈R，e=2.718⋯为自然对数的底数．（Ⅰ）若x=1为函数f(x)的极值点，求a的值．（Ⅱ）若f(x)≤6e在x∈[0,2]上恒成立，求a的取值范围．27. 已知函数f(x)=ln x−ax2+(a−2)x.(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)求函数y=f(x)在[a2,a]上的最大值.28. 已知：函数f(x)=ln(x+a)+x2，当x=−1时，f(x)取得极值，求：实数a的值，并讨论f(x)的单调性．29. 已知函数f(x)=e ax ⋅(ax +a +1)，其中a ≥−1．(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．30. 已知函数f(x)=13x 3+ax +b ，(a, b ∈R)在x =2处取得极小值−43．求a +b 的值．31. 已知函数g(x)=x 2−(2a +1)x +a ln x . (1)当a =1时，求函数g(x)的单调增区间；(2)求函数g(x)在区间[1, e]上的最小值；32. 已知函数f (x )=x −a ln x +1(a ∈R ).(1)若a =1，求函数f(x)在点(1,f (1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．33. 已知函数f(x)=x(x −c)2（其中c 为常数，c ∈R ） （1）若函数f(x)在定义域内有极值，求实数c 的取值范围；（2）若函数f(x)在x =2处取得极大值，求实数c 的值．34. 已知函数f(x)＝x −ln x ． （1）求f(x)的最小值；（2）证明：对于任意正整数n ，(1+12)×(1+13)×⋯×(1+1n )<e ．35. 已知函数f(x)=x 3+3bx 2+3cx 的两个极值点为x 1，x 2，x 1∈[−1, 0]，x 2∈[1, 2]．证明：0≤f(x 1)≤72，−10≤f(x 2)≤−12．36. 已知函数f(x)=−x 2+ax −ln x(a ∈R)． (1)求函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件；(2)当函数f(x)在[12, 2]上单调时，求a的取值范围．37. 已知函数f(x)=x(x−a)2+b在x=2处有极大值．（1）当[−2, 4]时，函数y=f(x)的图象在抛物线y=1+45x−9x2的下方，求b的取值范围．（2）若过原点有三条直线与曲线y=f(x)相切，求b的取值范围．38. 已知函数f(x)=13ax3−12a2x2+2x+1，其中a∈R．（1）若f(x)在x∈R时存在极值，求a的取值范围；（2）若f(x)在[−1,12]上是增函数，求a的取值范围．39. （山东省济宁市2019届高三二模）已知函数f(x)=ln x−xe x+ax(a∈R)．若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；若a=1，求f(x)的最大值．40. 已知函数f(x)=x+1x+a ln x的图象上任意一点的切线中，斜率为2的切线有且仅有一条．（1）求实数a的值；（2）求函数g(x)=f(x)+2x的极值．参考答案与试题解析数学选修1-1导数在研究函数中的应用练习题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数的导数，令导函数大于0，求出函数的递增区间即可．【解答】解：y′=(3−x2)e x+(−2x)e x=−(x+3)(x−1)e x，令y′>0，解得：−3<x<1，故函数的单调递增区间是(−3, 1).故选D．2.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率,从而问题解决．【解答】解：∵y=ax−ln(x+1)，∴y′=a−1，x+1′=a−1=3，当x=0时，k=y x=0∴a=4.故选D．3.【答案】B【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】本题考查了利用导数研究函数的最值和不等式恒成立问题．【解答】解：∵ f(x)=(e x−a)(eax+1)，f(x)≥0(x∈R)恒成立，∴ (e x−a)(eax+1)≥0在R上恒成立．当a<0时，e x−a≥0恒成立，而eax+1≥0在R不成立，∴ a≥0，当a=0时，f(x)=e x≥0成立，当a >0时，由f (x )≥0恒成立，有{e x −a ≥0eax +1≥0或{e x −a ≤0eax +1≤0，由e x −a =0，得x =ln a ；由eax +1，得x =−1ea ， 设g (a )=ln a +1ea，则g ′(a )=1a−1e ⋅1a 2，∴ g(a)在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增，∴ g (x )min =g (1e )=ln 1e +1e⋅1e=0，∴ 方程ln a =−1ea 有一个解，即有一个a 值使得f (x )≥0恒成立， ∴ 满足条件的a 的解有2个． 故选B ． 4.【答案】 A【考点】函数在某点取得极值的条件 【解析】对函数求导，因为x =−1是极值点，则该处导数为0，故可求出a 的值，即可求出f(1)． 【解答】解：由已知得f′(x)=3ax 2−4x ， 又因为在x =−1处有极值， 所以f′(−1)=0，即3a +4=0，即a =−43， 所以f(1)=−43−2=−103． 故选：A ． 5.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】对函数f(x)求导，根据函数f(x)=13x 3+12ax 2−bx +a 2−2(a,b ∈R)在−1处有极值53，可知f′(−1)=0和f(−1)=53，得到{f′(−1)=0f(−1)=53，解方程组得到a 与b 的值，注意验证，可求得答案． 【解答】解：由函数f(x)=13x 3+12ax 2−bx +a 2−2(a,b ∈R )，由于f(x)在x =−1处有极值53，则f′(−1)=0和f(−1)=53， 故{f′(−1)=0，f(−1)=53，即{1−a −b =0，−13+12a +b +a 2−2=53，解得 {a =2，b =−1，或{a =−32,b =52,当a =2，b =−1时，f′(x)=x 2+2x +1=(x +1)2≥0， 故f(x)在R 上为增函数，不满足f(x)在x =−1处有极值53， 则a =−32，b =52，故a −b =−4． 故选C . 6.【答案】 D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】求出原函数的导函数，设出切点坐标，得到函数在切点处的切线方程，把原点代入，求出切点坐标，则答案可求． 【解答】由f(x)＝ln x ，得f′(x)=1x ， 设切点为(x 0, ln x 0)，则f′(x 0)=1x 0，∴ 过切点的切线方程为y −ln x 0=1x 0(x −x 0)，代入(0, 0)，可得ln x 0＝1，即x 0＝e ．∴ 函数f(x)＝ln x 过点(0, 0)的切线方程为y −1=1e (x −e)， 即y =1e x ．7.【答案】 C【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】求出函数的导数，根据函数的单调性判断函数的极值即可． 【解答】 解：f′(x)=e x −3x 3f(x)x 4，则ℎ′(x)=e x−3[f′(x)x3+3f(x)x2]=e x−3x[f′(x)x4+3f(x)x3]=e x−3x ⋅e x=e x⋅x−3x，所以ℎ(x)≥ℎ(3)=e3−81f(3)=0，即f′(x)≥0，因此f(x)在(0, +∞)递增，既无极大值，又无极小值，故选：C．8.【答案】A【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】求导函数，利用f(x)在区间(0, 1)上有极大值，无极小值，可得f′(x)=0的两个根中：x1∈(0, 1)，x2>1，由此可得结论．【解答】解：由题意，f′(x)=3x2−2ax+4∵f(x)在区间(0, 1)上有极大值，无极小值，∴f′(x)=0的两个根中：x1∈(0, 1)，x2>1∴f′(0)=4>0，f′(1)=7−2a<0，解得a>72故选A．9.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】试题分析：f(x)=−3x2+2ax函数f(x)=−x3+ax2−4在x=2处取得极值．−12+ 4a=0解得|a=3.f(x)=−3x2+6∴ n=[−1,1]时，f(n)=−3n2+6n当n=−时，f(n)最小，最小为−9当m∈[−1,1)时，f(m)=−m3+3m24,f(m)=−3m2+6m令f(m)=0得m=0,m=2所以m=0时，f(m)最小为−4，故f(m)+f(n)的最小值为−9+(−4)=−13，故选A．【解答】此题暂无解答10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】推导出f′(x)=1+ln x，x>0，由f′(x)=0，得x=1e，由x1ln x1=x2ln x2，得0<x1<1e <x2<1，由由x1+x22>1e，x2>2e−x1，得到x1+x22+√x1x2<2e，由此能求出k为整数时，k的值．【解答】解：∵f(x)=x ln x，∴f′(x)=1+ln x，x>0，由f′(x)=0，得x=1e，∵函数f(x)=x ln x的图象上有A、B两点，其横坐标为x1，x2(0<x1<x2<1)且满足f(x1)=f(x2)，∴x1ln x1=x2ln x2，(0<x1<1e<x2<1)，如图所示，由x1+x22>1e，x2>2e−x1，x1+x22+√x1x2<x1+(2e−x1)2+√x1(2e−x1)=1e+√2ex1−x12，∵t=1e +√2ex1−x12关于x1单调递减，0<x1<1e，∴x1+x22+√x1x2<2e，∴5(x1+x22+√x1x2)<10e≈3.7，∴k≤3．∴k为整数时，则k的值为3．故选：C．二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】π6−√32【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵f(x)=12x−sin x，∴f′(x)=12−cos x，x∈[−π2,π2].令f′(x)=0得，x=−π3或x=π3.当x∈[−π2,−π3)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈[−π3,π3]时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(π3,π2]时，f′(x)>0，f(x)单调递增.而f(−π2)=−π4+1，f(π3)=π6−√32.∵f(−π2)>f(π3)，∴函数的最小值为f(π3)=π6−√32.故答案为：π6−√32.12.【答案】1【考点】利用导数研究函数的极值【解析】先求导，令导数为0，可求出a的值．【解答】解：f′(x)=2ax−2；∵函数f(x)=ax2−2x−9在x=1处取得极值，∴f′(1)=2a−2=0∴a=1．故答案为：1．13.【答案】②③【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】由函数取极值的条件，逐个选项验证可得．【解答】解：选项①对y=x3求导数可得y′=3x2≥0，函数R上单调递增，故不能在x=0处取得极值，错误；选项②对y=x4+1求导数可得y′=4x3，函数在(−∞, 0)上单调递减，在(0, +∞)上单调递增，故在x=0处取得极小值，正确；选项④y=√x的定义域为[0, +∞)，不满足在x=0处取得极值，错误．故答案为：②③14.【答案】−e π2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出函数的导数，然后求解图象在x=π2处的切线斜率．【解答】函数f(x)＝e x cos x，可得f′(x)＝e x cos x−e x sin x，函数f(x)＝e x cos x的图象在x=π2处的切线斜率为：f′(π2)=−eπ2．15.【答案】−16【考点】利用导数研究函数的最值【解析】求出函数在该区间上的极值，函数在端点处的函数值，其中最小的即为最小值．【解答】解：由f′(x)=12−3x2=0，得x=−2或x=2，又f(−3)=−9，f(−2)=−16，f(2)=16，f(3)=9．所以函数f(x)在区间[−3, 3]上的最小值是−16．故答案为：−16．16.【答案】1327【考点】利用导数研究函数的极值【解析】f′(x)=3x2−2ax+3，当x=3时有极值，所以f′(3)=0，解得a=5，确定函数的单调性，由此能求出f(x)在R上的极大值【解答】解：f′(x)=3x2−2ax+3，∵当x=3时有极值，所以f′(3)=0，即27+3−2a×3=0，解得a=5．这时，f′(x)=3x2−10x+3，令f′(x)=3x2−10x+3=0，得x1=13，或x2=3．当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：由表可知：f(x)的极大值为f(13)=1327， 故答案为：1327． 17.【答案】 [2, +∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】由题意构造辅助函数g(x)＝ex −ln x −2，求导，g′(x)<0，函数单调递减，g′(x)>0，函数单调递增，求得g(x)的最小值，再构造辅助函数ℎ(x)=f(x)+2e x，求导，求得ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在(0, +∞)上递增，即f(x)≥e x −2，由f(2)＝e 2−2，得ℎ(x)≥ℎ(2)，即可求得不等式的解集． 【解答】令g(x)＝ex −ln x −2，则g′(x)＝e −1x ，∴ g(x)在(0, 1e)时，g′(x)<0；g(x)在(1e, +∞)时，g′(x)>0，∴ g(x)在(0, 1e )上单调递减，在(1e , +∞)上单调递增， ∴ x ∈(0, +∞)时，g(x)≥g(1e )＝0， 再令ℎ(x)=f(x)+2e x，则ℎ′(x)=f ′(x)−f(x)−2e x>ex−ln x−2e x=g(x)e x≥0，∴ ℎ(x)在(0, +∞)上递增， ∴ f(x)≥e x −2，即f(x)+2e ≥1，ℎ(x)≥ℎ(2)，∴ x ≥2，∴ 解集为：[2, +∞)， 18. 【答案】12ln 2−12 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：设直线 y =kx +b 与曲线 y =e x−2 切于点 P 1(x 1,e x 1−2) ,与曲线 y =e x −1 切于点 P 2(x 2,e x 2−1)，从而x1−2=x2，k=12,e x2=12,x2=−ln2，所以切线方程为y=12(x+ln2)+e x2−1=12x+12ln2−12,于是b=12ln2−12.故答案为：12ln2−12.19.【答案】a≤e【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：当x≤1时，f(x)=−x3+3x2，f′(x)=−3x2+6x,令f′(x)=0，得x=0或x=2，当x∈(−∞,0),f(x)单调递减，当x∈(0,1]，f(x)单调递增，又f(0)=0，则可得到f(x)图象如下：如图，x>1部分，是f(x)=e x−a的图象，x≤1部分，是f(x)=−x3+3x2的图象，当图中点A不在x轴下方时，函数f(x)有最小值，即e1−a≥0，解得a≤e.故答案为：a≤e.−18或14【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得y＝x3−2的导数，设切点为(s, t)，可得切线的斜率，由切线方程可得s，m的方程组，解方程可得m的值．【解答】y＝x3−2的导数为y′＝3x2，直线y＝12x+m与曲线y＝x3−2相切，设切点为(s, t)，可得3s2＝12，12s+m＝s3−2，即有s＝2，m＝−18；s＝−2，m＝14．三、解答题（本题共计 20 小题，每题 10 分，共计200分）21.【答案】解：f′(x)=3ax2−2x+1；∵函数f(x)=ax3−x2+x−5在R上无极值，∴{a≠0△=4−4×3a≤0，解得，a≥13．【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】由题意求导f′(x)=3ax2−2x+1，从而可得{a≠0△=4−4×3a≤0，从而求a的取值范围．【解答】解：f′(x)=3ax2−2x+1；∵函数f(x)=ax3−x2+x−5在R上无极值，∴{a≠0△=4−4×3a≤0，解得，a≥13．22.【答案】解：∵f(x)=−x3+3x2+9x+a，∴f′(x)=−3x2+6x+9，由f′(x)=−3x2+6x+9<0，即x2−2x−3>0，解得x>3或x<−1，即函数的单调递减区间为(3, +∞)，(−∞, −1)．【考点】利用导数研究函数的单调性解：∵f(x)=−x3+3x2+9x+a，∴f′(x)=−3x2+6x+9，由f′(x)=−3x2+6x+9<0，即x2−2x−3>0，解得x>3或x<−1，即函数的单调递减区间为(3, +∞)，(−∞, −1)．23.【答案】解：(1)函数f(x)=x3−x2+x+2的导数为f′(x)=3x2−2x+1，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3−2+1=2，切点为(1,3)，即有曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=2(x−1)，即为2x−y+1=0.(2)设切点为(m,n)，可得n=m3−m2+m+2，由f(x)的导数f′(x)=3x2−2x+1，可得切线的斜率为3m2−2m+1,切线的方程为y−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(x−m)，由切线经过点(1,3)，可得3−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(1−m)，化为m(m−1)2=0，解得m=0或m=1.则切线的方程为y−2=x或y−3=2(x−1)，即为y=x+2或y=2x+1.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得所求切线的方程；（2）设切点为（m，n），代入f（x），求得切线的斜率和方程，代入点A（1，3），解m的方程可得m=0或1，即可得到所求切线的方程．【解答】解：(1)函数f(x)=x3−x2+x+2的导数为f′(x)=3x2−2x+1，可得曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为3−2+1=2，切点为(1,3)，即有曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−3=2(x−1)，即为2x−y+1=0.(2)设切点为(m,n)，可得n=m3−m2+m+2，由f(x)的导数f′(x)=3x2−2x+1，可得切线的斜率为3m2−2m+1,切线的方程为y−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(x−m)，由切线经过点(1,3)，可得3−(m3−m2+m+2)=(3m2−2m+1)(1−m)，化为m(m−1)2=0，解得m=0或m=1.则切线的方程为y−2=x或y−3=2(x−1)，即为y=x+2或y=2x+1.则f′(x)=2x−4+2x，∴f(1)=−3，f′(1)=0，所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+3=0.(2)由已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2(a+1)+2ax =2[x2−(a+1)x+a]x=2(x−1)(x−a)x.当a<0时，由f′(x)<0得x∈(0,1)，由f′(x)>0得x∈(1,+∞)，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，当0<a<1时，由f′(x)<0得x∈(a,1)，由f′(x)>0得x∈(0,a)∪(1,+∞)，所以f(x)在(0,a),(1,+∞)单调递增，在(a,1)单调递减；当a=1时，f′(x)=2(x−1)2x≥0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>1时，由f′(x)<0得x∈(1,a)，由f′(x)>0得x∈(0,1)∪(a,+∞)，所以f(x)在(0,1),(a,+∞)单调递增，在(1,a)单调递减.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=x2−4x+2ln x，则f′(x)=2x−4+2x，∴f(1)=−3，f′(1)=0，所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为y+3=0.(2)由已知f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2x−2(a+1)+2ax =2[x2−(a+1)x+a]x=2(x−1)(x−a)x.当a<0时，由f′(x)<0得x∈(0,1)，由f′(x)>0得x∈(1,+∞)，所以f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，当0<a<1时，由f′(x)<0得x∈(a,1)，由f′(x)>0得x∈(0,a)∪(1,+∞)，所以f(x)在(0,a),(1,+∞)单调递增，在(a,1)单调递减；当a=1时，f′(x)=2(x−1)2x≥0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)单调递增；当a>1时，由f′(x)<0得x∈(1,a)，由f′(x)>0得x∈(0,1)∪(a,+∞)，所以f(x)在(0,1),(a,+∞)单调递增，在(1,a)单调递减.f ′(x )=ln x +1 ，f ′(e )=2 ，∴ 切线方程为：y −e =2(x −e )即2x −y −e =0 ． (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x )=ln x +1−ae x ，∵ f (x )在(0,+∞)内是减函数，∴ f ′(x )=ln x +1−ae x ≤0在(0,+∞)内恒成立， ∴ a ≥ln x+1e x在(0,+∞)内恒成立， 令g (x )=ln x+1e x，g ′(x )=1x−ln x−1e x，ℎ(x )=1x −ln x −1在(0,+∞)单调递减，且ℎ(1)=0， ∴ x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，x ∈(1,+∞)时，g ′(x )<0， g (x )在(0,1)单调递增，g (x )在(1,+∞)单调递减， g (x )max =g (1)=1e ， ∴ a ≥1e ，∴ 当f (x )在定义域内是减函数时，a 的取值范围为[1e ,+∞)． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当a =0时，f (x )=x ln x ，f (e )=e ， f ′(x )=ln x +1 ，f ′(e )=2 ，∴ 切线方程为：y −e =2(x −e )即2x −y −e =0 ． (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞)， f ′(x )=ln x +1−ae x ，∵ f (x )在(0,+∞)内是减函数，∴ f ′(x )=ln x +1−ae x ≤0在(0,+∞)内恒成立， ∴ a ≥ln x+1e x在(0,+∞)内恒成立， 令g (x )=ln x+1e x，g ′(x )=1x−ln x−1e x，ℎ(x )=1x −ln x −1在(0,+∞)单调递减，且ℎ(1)=0， ∴ x ∈(0,1)时，g ′(x )>0，x ∈(1,+∞)时，g ′(x )<0， g (x )在(0,1)单调递增，g (x )在(1,+∞)单调递减， g (x )max =g (1)=1e ，∴ 当f (x )在定义域内是减函数时，a 的取值范围为[1e ,+∞)．26.【答案】 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 27.【答案】解：(1)∵ f(x)=ln x −ax 2+(a −2)x ， ∴ 函数的定义域为(0,+∞), ∴ f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x.∵ f(x)在x =1处取得极值， 即f ′(1)=−(2−1)(a +1)=0， ∴ a =−1.当a =−1，在(12,1)内f ′(x)<0，在(1,+∞)内f ′(x)>0,∴ x =1是函数y =f(x)的极小值点. ∴ a =−1.(2)∵ a 2<a, ∴ 0<a <1，f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x −1)(ax +1)x∵ x ∈(0,+∞), ∴ ax +1>0 , ∴ f(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，①当0<a ≤12时f(x)在[a 2,a ]单调递增， ∴ f max (x)=f(a)=ln a −a 3+a 2−2a ； ②当{a >12a 2<12，即12<a <√22,f(x)在(a 2,12)单调递增，在(12,a)单调递减， ∴ f max (x)=f (12)=−ln 2−a4+a−22=a4−1−ln 2 ；③当12≤a 2，即√22≤a <1时，f(x)在[a 2,a ]单调递减， ∴ f max (x)=f (a 2)=2ln a −a 5+a 3−2a 2，综上所述，当0<a ≤12时，函数y =f(x)在[a 2,a ]上最大值是ln a −a 3+a 2−2a ；当√22≤a <1时,函数y =f(x)在[a 2,a ]的最大值是2ln a −a 5+a 3−2a 2.【考点】利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的极值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)∵ f(x)=ln x −ax 2+(a −2)x ， ∴ 函数的定义域为(0,+∞), ∴ f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x−1)(ax+1)x.∵ f(x)在x =1处取得极值， 即f ′(1)=−(2−1)(a +1)=0， ∴ a =−1.当a =−1，在(12,1)内f ′(x)<0，在(1,+∞)内f ′(x)>0,∴ x =1是函数y =f(x)的极小值点. ∴ a =−1.(2)∵ a 2<a, ∴ 0<a <1，f ′(x)=1x −2ax +(a −2)=−(2x −1)(ax +1)x∵ x ∈(0,+∞), ∴ ax +1>0 , ∴ f(x)在(0,12)上单调递增，在(12,+∞)上单调递减，①当0<a ≤12时f(x)在[a 2,a ]单调递增，∴ f max (x)=f(a)=ln a −a 3+a 2−2a ； ②当{a >12a 2<12，即12<a <√22 ,f(x)在(a 2,12)单调递增，在(12,a)单调递减， ∴ f max (x)=f (12)=−ln 2−a4+a−22=a4−1−ln 2 ；③当12≤a 2，即√22≤a <1时，f(x)在[a 2,a ]单调递减，∴ f max (x)=f (a 2)=2ln a −a 5+a 3−2a 2，综上所述，当0<a ≤12时，函数y =f(x)在[a 2,a ]上最大值是ln a −a 3+a 2−2a ；当12<a <√22时，函数y =f(x)在[a 2,a ]的最大值是a4−1−ln 2.当√22≤a <1时,函数y =f(x)在[a 2,a ]的最大值是2ln a −a 5+a 3−2a 2. 28.解：由题意可得：f′(x)=1x+a+2x，因为当x=−1时，f(x)取得极值，所以有f′(−1)=0，解得：a=32，…可得f(x)=ln(x+32)+x2，定义域为(−32, +∞)，…所以f′(x)=2x 2+3x+1x+32=(2x+1)(x+1)x+32，…所以当−32<x<−1时，f′(x)>0；当−1<x<−12时，f′(x)<0；当x>−12时，f′(x)>0．所以可得下表：从而得到f(x)分别在区间(−32，−1)，(−12,+∞)单调递增，在区间(−1,−12)单调递减．【考点】函数在某点取得极值的条件利用导数研究函数的单调性【解析】先求函数定义域，然后对函数求导，由题意可得，f′(−1)=0，代入可求a，代入a的值，分别解f′(x)>0，f′(x)<0，即可得到答案．【解答】解：由题意可得：f′(x)=1x+a+2x，因为当x=−1时，f(x)取得极值，所以有f′(−1)=0，解得：a=32，…可得f(x)=ln(x+32)+x2，定义域为(−32, +∞)，…所以f′(x)=2x 2+3x+1x+32=(2x+1)(x+1)x+32，…所以当−32<x<−1时，f′(x)>0；当−1<x<−12时，f′(x)<0；当x>−12时，f′(x)>0．所以可得下表：从而得到f(x)分别在区间(−32，−1)，(−12,+∞)单调递增，在区间(−1,−12)单调递减．29.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x⋅(1x+2)，f′(x)=e x⋅(1x +2−1x2)．由于f(1)=3e，f′(1)=2e，所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex−y+e=0．(2)f′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x2，x≠0．①当a=−1时，令f′(x)=0，解得x=−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a≠−1时，令f′(x)=0，解得x=−1或x=1a+1.②当−1<a<0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a=0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间；④当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．（2）对字母a进行分类讨论，再令f′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间．【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x⋅(1x+2)，f′(x)=e x⋅(1x +2−1x2)．由于f(1)=3e，f′(1)=2e，所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex−y+e=0．(2)f′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x2，x≠0．①当a=−1时，令f′(x)=0，解得x=−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a≠−1时，令f′(x)=0，解得x=−1或x=1a+1.②当−1<a<0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a=0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间；④当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)．30.【答案】解：求导函数，可得f′(x)=x2+a∵函数在x=2处取得极小值−43∴f′(2)=0，f(2)=−43∴83+2a+b=−43，4+a=0∴a=−4，b=4∴a+b=0【考点】函数在某点取得极值的条件【解析】求导函数，利用函数在x=2处取得极小值−43，建立方程，可求a、b的值，从而可求a+b的值．【解答】解：求导函数，可得f′(x)=x2+a∵函数在x=2处取得极小值−43∴f′(2)=0，f(2)=−43∴83+2a+b=−43，4+a=0∴a=−4，b=4∴a+b=031.【答案】解：(1)当a=1时，g(x)=x2−3x+ln x，∴g′(x)=2x2−3x+1x>0，解得x>1或x<12．∴函数f(x)的单调增区间为(0, 12)，(1, +∞)．(2)g(x)=x2−(2a+1)x+a ln x，g′(x)=2x−(2a+1)+a x=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x.当a≤1时，x∈[1, e]，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min=−2a. 当1<a<e时，x∈(1, a)，则g′(x)<0，g(x)单调递减．x∈(a, e)，则g′(x)>0，g(x)单调递增．g(x)min=g(a)=−a2−a+a ln a，当a≥e时，x∈[1, e]，g′(x)≤0，g(x)单调递减，g(x)min=e2−(2a+1)e+a．∴g(x)min={−2a，a≤1，−a2−a+a ln a，1<a<e，e2−(2a+1)e+a，a≥e.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(1)由g′(x)=2x2−3x+1x>0，能求出函数f(x)的单调增区间．(2)g′(x)=2x−(2a+1)+ax =(2x−1)(x−a)x=0，由此根据a的取值范围分类讨论，能求出g(x)min．【解答】解：(1)当a=1时，g(x)=x2−3x+ln x，∴g′(x)=2x2−3x+1x>0，解得x>1或x<12．∴函数f(x)的单调增区间为(0, 12)，(1, +∞)．(2)g(x)=x2−(2a+1)x+a ln x，g′(x)=2x−(2a+1)+a x=2x2−(2a+1)x+ax=(2x−1)(x−a)x.当a≤1时，x∈[1, e]，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)min=−2a. 当1<a<e时，x∈(1, a)，则g′(x)<0，g(x)单调递减．x∈(a, e)，则g′(x)>0，g(x)单调递增．g(x)min=g(a)=−a2−a+a ln a，当a≥e时，x∈[1, e]，g′(x)≤0，g(x)单调递减，g(x)min=e2−(2a+1)e+a．∴g(x)min={−2a，a≤1，−a2−a+a ln a，1<a<e，e2−(2a+1)e+a，a≥e.32.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x−ln x+1，f(1)=2，∴f′(x)=1−1x，∴f′(1)=0，∴切线方程为y=2.(2)∵f′(x)=1−ax =x−ax，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>0时，令f′(x)=0⇒x=a，∴当x∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；当a>0时，f(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞).【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=x−ln x+1，f(1)=2，∴f′(x)=1−1x，∴f′(1)=0，∴切线方程为y=2.(2)∵f′(x)=1−ax =x−ax，当a≤0时，f′(x)>0，f(x)的单调递增区间为(0,+∞)，无单调递减区间；当a>0时，令f′(x)=0⇒x=a，∴当x∈(0,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增.∴f(x)的单调递减区间为(0,a)，单调递增区间为(a,+∞).综上所述：当a≤0时，f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；当a >0时，f(x)的减区间为(0,a)，增区间为(a,+∞). 33.【答案】 解：（1）依题意得f ′(x)=3x 2−4cx +c 2… 若f(x)有极值，则△=4c 2>0，∴ c ≠0… （2）f ′(x)=3x 2−4cx +c 2=0得x =c 或c3， 因为函数f(x)在x =2处取得了极大值，故 x =2是f ′(x)=0的一个实根，故c >0 ∴ c >c3…所以函数f(x)在(−∞,c3)上递增，在(c3,c)上递减，(c,+∞)上递增，f(x)在x =c3处取得极大值； … ∴ c3=2⇒c =6…【考点】函数在某点取得极值的条件 【解析】（1）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系求c 的取值范围． （2）利用函数f(x)在x =2处取得极大值，求实数c 的值． 【解答】 解：（1）依题意得f ′(x)=3x 2−4cx +c 2… 若f(x)有极值，则△=4c 2>0，∴ c ≠0… （2）f ′(x)=3x 2−4cx +c 2=0得x =c 或c3，因为函数f(x)在x =2处取得了极大值，故 x =2是f ′(x)=0的一个实根，故c >0 ∴ c >c3…所以函数f(x)在(−∞,c3)上递增，在(c3,c)上递减，(c,+∞)上递增， f(x)在x =c3处取得极大值； … ∴ c3=2⇒c =6… 34. 【答案】 f ′(x)=1−1x =x−1x，当x ∈(0, 1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0, 1)单调递减； 当x ∈(1, +∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)单调递增； 故f(x)≥f(1)＝1，故f(x)的最小值为1．由（1）可得，f(x)＝x −ln x ≥1即ln x ≤x −1，所以ln(1+1k )≤1k<1k(k−1)=1k−1−1k，k∈N∗，n≥2，则ln(1+122)+ln(1+132)+⋯+ln(1+1n2)<1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1，即ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<1，所以ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<e．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；（2）结合（1）对x进行赋值，然后结合数列的裂项求和及不等式的放缩法即可证明．【解答】f′(x)=1−1x =x−1x，当x∈(0, 1)时，f′(x)<0，故f(x)在(0, 1)单调递减；当x∈(1, +∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1, +∞)单调递增；故f(x)≥f(1)＝1，故f(x)的最小值为1．由（1）可得，f(x)＝x−ln x≥1即ln x≤x−1，所以ln(1+1k2)≤1k2<1k(k−1)=1k−1−1k，k∈N∗，n≥2，则ln(1+122)+ln(1+132)+⋯+ln(1+1n2)<1−12+12−13+⋯+1n−1−1n=1−1n<1，即ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<1，所以ln(1+122)(1+132)…(1+1n2)<e．35.【答案】证明：f′(x)=3x2+6bx+3c，由题意知方程f′(x)=0有两个根x1，x2，且x1∈[−1, 0]，x2∈[1, 2]，则有f′(−1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0．即满足下列条件2b−c−1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0∴有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点(b, c)的区域．∴−2≤c≤0由题设知f′(x1)=3x12+6bx1+3c=0，则bx1=−12x12−12c，∴f(x1)=−12x13+3c2x1，由于x1∈[−1, 0]，c≤0，∴0≤f(x1)≤12−3c2，∵−2≤c≤0，∴0≤f(x1)≤72．f′(x2)=3x22+6bx2+3c=0，bx2=−22x22−22c，∴f(x2)=−12x23+3c2x2，由于x2∈[1, 2]，c≤0，∴−4+3c≤f(x2)≤−12+32c．∵−2≤c≤0，∴−10≤f(x2)≤−12．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】f(x)得f′(x)=3x2+6bx+3c由题意知方程f′(x)=0有两个根x1，x2，且x1∈[−1, 0]，x2∈[1, 2]则由根的分布得有2b−c−1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0，可得−2≤c≤0，用消元法消去参数b，利用参数c表示出f(x1)和f(x1)的值域，再利用参数c的范围能证明0≤f(x1)≤72，−10≤f(x2)≤−12．【解答】证明：f′(x)=3x2+6bx+3c，由题意知方程f′(x)=0有两个根x1，x2，且x1∈[−1, 0]，x2∈[1, 2]，则有f′(−1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0．即满足下列条件2b−c−1≤0，c≤0，2b+c+1≤0且4b+c+4≥0∴有图中四边形ABCD即是满足这些条件的点(b, c)的区域．∴−2≤c≤0由题设知f′(x 1)=3x 12+6bx 1+3c =0，则bx 1=−12x 12−12c ， ∴ f(x 1)=−12x 13+3c 2x 1，由于x 1∈[−1, 0]，c ≤0， ∴ 0≤f(x 1)≤12−3c 2，∵ −2≤c ≤0， ∴ 0≤f(x 1)≤72．f′(x 2)=3x 22+6bx 2+3c =0， bx 2=−22x 22−22c ， ∴ f(x 2)=−12x 23+3c 2x 2，由于x 2∈[1, 2]，c ≤0， ∴ −4+3c ≤f(x 2)≤−12+32c ．∵ −2≤c ≤0， ∴ −10≤f(x 2)≤−12．36. 【答案】解：(1)∵ f′(x)=−2x +a −1x=−2x 2+ax−1x(x >0)，∴ f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x 2−ax +1=0有两个不等的正实数根x 1，x 2． ∴ {a2>0,Δ=a 2−4×2×1>0, ∴ a >2√2，∴ 函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a >2√2． （2）f′(x)=−2x +a −1x ，令g(x)=2x +1x (x >0)， 则g′(x)=2−1x 2，由g′(x)<0结合题意得：12<x <√22,∴ g(x)在[12, √22)上递减，由g′(x)>0结合题意得：g(x)在(√22, 2]上递增． 又g(12)=3，g(2)=92，g(√22)=2√2，∴ g(x)max =92，g(x)min =2√2．若f(x)在[12, 2]单调递增，则f′(x)≥0即a ≥g(x)， ∴ a ≥92．若f(x)在[12, 2]单调递减，则f′(x)≤0，即a ≤g(x)， ∴ a ≤2√2．所以f(x)在[12, 2]上单调时，则a ≤2√2或a ≥92．【考点】函数在某点取得极值的条件 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）f′(x)=−2x +a −1x=−2x 2+ax−1x(x >0)，由题意可得f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x 2−ax +1=0有两个不等的正实数根x 1，x 2；于是由{a 2>0△=a 2−4×2×1>0即可求得a 的取值范围；（2）f′(x)=−2x +a −1x ，令g(x)=2x +1x ，结合题意可得g(x)在[12, √22)上递减, g(x)在(√22, 2]上递增；从而可求得当x ∈[12, 2]时，g(x)max =92，g(x)min =2√2．于是得，若f(x)在[12, 2]单调递增，f′(x)≥0即a ≥g(x)，从而求得a 的取值范围；同理可求，若f(x)在[12, 2]单调递减时a 的取值范围．【解答】解：(1)∵ f′(x)=−2x +a −1x =−2x 2+ax−1x(x >0)，∴ f(x)既有极大值又有极小值⇔方程2x 2−ax +1=0有两个不等的正实数根x 1，x 2． ∴ {a2>0,Δ=a 2−4×2×1>0, ∴ a >2√2，∴ 函数f(x)既有极大值又有极小值的充要条件是a >2√2． （2）f′(x)=−2x +a −1x ，令g(x)=2x +1x (x >0)，则g′(x)=2−1x 2，由g′(x)<0结合题意得:g(x)在[12, √22)上递减，由g′(x)>0结合题意得：g(x)在(√22, 2]上递增． 又g(12)=3，g(2)=92，g(√22)=2√2，∴ g(x)max =92，g(x)min =2√2．若f(x)在[12, 2]单调递增，则f′(x)≥0即a ≥g(x)， ∴ a ≥92．若f(x)在[12, 2]单调递减，则f′(x)≤0，即a ≤g(x)， ∴ a ≤2√2．所以f(x)在[12, 2]上单调时，则a ≤2√2或a ≥92．37.【答案】 解：（1）f(x)=x(x −a)2+b =x 3−2ax 2+a 2x +b ⇒f ′(x)=3x 2−4ax +a 2，f ′(2)=12−8a +a 2=0⇒a =2或a =6， 当a =2时，函数在x =2处取得极小值，舍去；当a =6时，f ′(x)=3x 2−24x +36=3(x −2)(x −6)， 函数在x =2处取得极大值，符合题意，∴ a =6．∵ 当x ∈[−2, 4]时，函数y =f(x)的图象在抛物线y =1+45x −9x 2的下方， ∴ x 3−12x 2+36x +b <1+45x −9x 2在x ∈[−2, 4]时恒成立，即b <−x 3+3x 2+9x +1在x ∈[−2, 4]时恒成立，令ℎ(x)=−x 3+3x 2+9x +1， 则ℎ′(x)=−3x 2+6x +9=−3(x −3)(x +1)，由ℎ′(x)=0得，x 1=−1，x 2=3． ∵ ℎ(−2)=3，ℎ(−1)=−4，ℎ(3)=28，ℎ(4)=21， ∴ ℎ(x)在[−2, 4]上的最小值是−4，b <−4．（2）f(x)=x 3−12x 2+36x +b ，设切点为(x 0，x 03−12x 02+36x 0+b)，则切线斜率为f′(x)=3x 02−24x 0+36，切线方程为y −x 03+12x 02−36x 0−b =(3x 02−24x 0+36)(x −x 0)，即 y =(3x 02−24x 0+36)x −2x 03+12x 02+b ，∴ −2x 03+12x 02+b =0⇒b =2x 03−12x 02．令g(x)=2x 3−12x 2，则g ′(x)=6x 2−24x =6x(x −4)， 由g ′(x)=0得，x 1=0，x 2=4． 函数g(x)的单调性如下：y =f(x)相切．【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】（1）其中一个函数的图象在另一个函数图象的下方，转化为两个函数的“差函数”在相应区间内恒小于0的问题；（2）求切线主要还是抓住切点，因此既然有三条切线，因此应该有三个切点，也就是利用切点表示的方程将原点代入后，得到关于切点横坐标x的方程有三个不同的实数根．再结合导数研究函数的图象求解．【解答】解：（1）f(x)=x(x−a)2+b=x3−2ax2+a2x+b⇒f′(x)=3x2−4ax+a2，f′(2)=12−8a+a2=0⇒a=2或a=6，当a=2时，函数在x=2处取得极小值，舍去；当a=6时，f′(x)=3x2−24x+36=3(x−2)(x−6)，函数在x=2处取得极大值，符合题意，∴a=6．∵当x∈[−2, 4]时，函数y=f(x)的图象在抛物线y=1+45x−9x2的下方，∴x3−12x2+36x+b<1+45x−9x2在x∈[−2, 4]时恒成立，即b<−x3+3x2+9x+1在x∈[−2, 4]时恒成立，令ℎ(x)=−x3+3x2+9x+1，则ℎ′(x)=−3x2+6x+9=−3(x−3)(x+1)，由ℎ′(x)=0得，x1=−1，x2=3．∵ℎ(−2)=3，ℎ(−1)=−4，ℎ(3)=28，ℎ(4)=21，∴ℎ(x)在[−2, 4]上的最小值是−4，b<−4．（2）f(x)=x3−12x2+36x+b，设切点为(x0，x03−12x02+36x0+b)，则切线斜率为f′(x)=3x02−24x0+36，切线方程为y−x03+12x02−36x0−b=(3x02−24x0+36)(x−x0)，即y=(3x02−24x0+36)x−2x03+12x02+b，∴−2x03+12x02+b=0⇒b=2x03−12x02．令g(x)=2x3−12x2，则g′(x)=6x2−24x=6x(x−4)，由g′(x)=0得，x1=0，x2=4．函数g(x)的单调性如下：y= f(x)相切．38.【答案】解：由f(x)=13ax3−12a2x2+2x+1得：f′(x)=ax2−a2x+2(1)①当a=0时，f′(x)=2>0∴f(x)单调递增，∴f(x)不存在极值②当a≠0时，△=a4−8a≤0，即0<a≤2，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立∴f(x)不存在极值a的范围为0≤a≤2∴f(x)存在极值a的范围为a<0或a>2．（2）由题意f′(x)≥0在(−1, 12]恒成立①当a=0时f′(x)=2>0恒成立∴a=0合题意。

一、选择题1．已知关于x 的不等式32ln x ax x -≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）．A ．(,1]-∞B ．(0,1]C ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(,0]-∞2．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞3．若函数()3221f x x x mx =+++在()-∞+∞，内单调递增，则m 的取值范围是（ ） A ．43m ≥B ．43m >C ．43m ≤D ．43<m 4．现有橡皮泥制作的底面半径为4，高为3的圆锥一个.若将它重新制作成一个底面半径为r ，高为h 的圆柱(橡皮泥没有浪费)，则该圆柱表面积的最小值为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π5．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．已知函数()f x 的定义域为[)2-+∞，，部分对应值如下表；()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图所示.若实数a 满足()211f a +≤，则a 的取值范围是（ ） x2-0 4 ()f x11-1A ．33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 8．已知函数22(1)2,0()log 0x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则23423121()x x x x x +⋅+⋅的取值范围是（ ） A ．71(,]42-- B ．37[,]24--C ．71[,)42--D ．313(,]42-- 9．已知函数2()f x x m =+与函数1()ln3g x x x =--，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5ln )4[2,2+ B ．5[2ln 2,ln 2)4-+ C ．5(ln 2,2ln 2)4+-D ．(]2ln2,2-10．函数()327f x x kx x =+-在区间[]1,1-上单调递减，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞-B ．[]22-,C ．[)2,-+∞D ．[)2,+∞11．设函数()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(2)0f -=，当0x >时，()()03xf x f x '+>，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,2)(0,2)-∞-⋃ B ．(,2)(2,2)-∞--C ．(2,0)(2,)-+∞D ．(0,2)(2,)⋃+∞12．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题13．已知函数()2ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，则实数a 的取值范围为______．14．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．15．已知函数()()()x f x e x b b R =-∈．若存在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，使得()()0f x xf x '+>，则实数b 的取值范围是____．16．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，当0x >时，有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<的解集为________. 17．若函数()()32111562f x x mx n x =-++-+是[]0,1上的单调增函数，其中0m ≥，0n ≥，则()()2268m n +++的最小值为________．18．已知函数()f x 是定义在区间()0,∞+）上的可导函数，若对()0,x ∀∈+∞()()20xf x f x '+>恒成立，则不等式()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+的解集为______.19．已知函数()(1)2x f x e a x =---（e 为自然对数的底数），若0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则a 的取值范围为________.20．已知函数()xf x e x =-，()22g x x mx =-，若对任意1x ∈R ，存在[]21,2x ∈，满足()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______．三、解答题21．如图一边长为10cm 的正方形硬纸板，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体手工作品．所得作品的体积V （单位：cm 2）是关于截去的小正方形的边长x （单位：cm ）的函数．（1）写出体积V 关于x 的函数表达式()f x ．（2）截去的小正方形的边长为多少时，作品的体积最大？最大体积是多少？ 22．已知e 是自然对数的底数，函数()122x f x eax -=-，其中a R ∈.（1）当1a =时，若()()g x f x '=，求()g x 的单调区间; （2）若()f x 在R 上恰有三个零点，求a 的取值范围. 23．已知()ln ,(0,],R f x ax x x e a =-∈∈.（1）当1a =时，求()f x 的单调性和极值; （2）若()3f x ≤有解，求a 的取值范围.24．已知函数()e xaf x x =+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数. （1）当1a =-时，求函数()f x 在区间[)0,+∞上的零点个数； （2）若()2f x >对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围. 25．已知曲线3211()33f x x ax bx =+++在点()()1,1f 处的切线斜率为3，且2x =时()y f x =有极值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,3上的极值和最小值． 26．已知函数()()213ln 22f x x x ax a R =+-+∈． （1）若()f x 在1x =处的切线过点()2,2，求a 的值；（2）若()f x 恰有两个极值点1x ，()212x x x <，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】将不等式32ln x ax x -≥恒成立，转化为不等式2ln x xa x≤-在()0,∞+上恒成立，令()2ln xx xg x =-，用导数法求得其最小值即可. 【详解】因为不等式32ln x ax x -≥恒成立， 所以不等式2ln x xa x ≤- 在()0,∞+上恒成立， 令()2ln x x xg x =-， 则()3312ln x xg x x-+'=， 令()312ln h x x x =-+，则()2230h x x x'=+>， 所以()h x 在()0,∞+上是递增，又()10h =， 所以当01x <<时，()0h x <，即()0g x '<， 当1x >时，()0h x >，即()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得最小值()11g =， 所以 1a ≤， 故选：A 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<. 2．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()00g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】 构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．A解析：A 【分析】由于()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，利用参数分离求得参数范围. 【详解】因为()f x 在R 上递增得()0f x '≥恒成立，则()2340f x x x m '=++≥所以234m x x ≥--在R 上恒成立，令()234g x x x =--，则()max m g x ≥因为()g x 为二次函数且图像的对称轴为23x =-，所以()max 2433g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故43m ≥故选：A 【点睛】方法点晴：本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题，结合参数分离法求得参数范围.4．B解析：B 【分析】利用体积相等可得出216r h ，再将圆柱表面积表示出来将216h r =代入求导即可得最值. 【详解】由题意可得圆柱和圆锥的体积相等，底面半径为4，高为3的圆锥为2143163ππ⨯⨯⨯=， 底面半径为r ，高为h 的圆柱2r h π，所以216r h ππ=，可得216r h ，即216h r =圆柱的表面积为：2222163222222S r rh r rr r rππππππ=+=+=+， 322324324r S r r rππππ-'=-=， 令324320r S r ππ-'=>可得2r >，令324320r S rππ-'=<可得02r <<， 所以2r 时，表面积最小为23222242S πππ=⨯+=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用体积相等得出h 和r 的关系，再将圆柱表面积用r 表示利用导数求最值.5．B解析：B 【分析】 将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x ++=>， ()1k f x x ∴>+可化为()111ln x k x x ++>+ 即()()111ln x x k x+++>， 令()()()111ln x g x xx ++=+， 则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x--+= 令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.6．A解析：A 【分析】由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到()f x 的单调性，结合函数的单调性即可求得a 的取值范围. 【详解】由导函数的图象知：()2,0x ∈-时，()0f x '<，()0,x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()2,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 因为()211f a +≤，()21f -=，()41f =， 所以2214a -<+<，可得：3322a -<<， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导函数的符号判断原函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，属于中档题.7．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x1=，x223a-+=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值， ∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；8．D解析：D 【分析】画出图形，数形结合解答．注意到122x x +=-，2324log log x x -=，化简结论得32312x x -，311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，构造函数21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，利用导数判断出函数的单调性即可． 【详解】已知函数图象如下：方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<， 则122x x +=-，2324log log x x -=，所以341x x ⋅=，且311,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 所以234322312311()2x x x x x x x ⋅=+⋅+-， 令21()2f x x x =-，11,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则31()1f x x =+'在11,42⎛⎤⎥⎝⎦上恒大于0， 故()f x 在11,42x ⎛⎤∈⎥⎝⎦上单调递增， 所以313(),42f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 故选:D ． 【点评】本题考查了函数的图像运用，利用数形结合判断函数交点问题，属于中档题．9．A解析：A 【分析】将问题转化为()()f x g x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，令()()()h x f x g x =+，将问题转化为()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点的问题，利用导数可求得()h x 的单调性，进而确定区间端点值和最值，由此构造不等式求得结果. 【详解】()f x 与()g x 在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的图象上恰有两对关于x 轴对称的点，()()f x g x ∴=-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦恰有两个不同的解，即221ln 3ln 30x m x x x x m x +--=+-+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解，令()2ln 3h x x x x m =+-+，则()()()2211123123x x x x h x x x x x---+'=+-==， ∴当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<；当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x ∴在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增，又15ln 224h m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，()12h m =-，()2ln 22h m =-+， 原问题等价于()h x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，则5ln 2024m m --+≥>-，解得：5ln 224m +≤<，即m 的取值范围为5ln 2,24⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故选：A . 【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将两函数图象对称点个数的问题转化为方程根的个数的问题，进一步通过构造函数的方式将问题转化为函数零点个数的问题.10．B解析：B 【分析】由题意得出()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，由此得出()()1010f f ⎧-≤⎪⎨≤''⎪⎩，进而可求得实数k 的取值范围. 【详解】()327f x x kx x =+-，()2327f x x kx '∴=+-，由题意可知，不等式()0f x '≤对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，所以，()()12401240f k f k ⎧-='--≤⎪⎨='-≤⎪⎩，解得22k -≤≤.因此，实数k 的取值范围是[]22-,. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，考查运算求解能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】通过令3()()g x x f x =可知问题转化为解不等式()0>g x ，利用当0x >时32()3()0x f x x f x '+>及奇函数与偶函数的积函数仍为奇函数可知()g x 在(,0)-∞递减、在(0,)+∞上单调递增，进而可得结论．【详解】解：令3()()g x x f x =，则问题转化为解不等式()0>g x ， 当0x >时，()3()0xf x f x '+>，∴当0x >时，233()()0x f x x f x +'>，∴当0x >时()0g x '>，即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(2)0f -=，()()f x x R ∈是奇函数，()()()()()()()333g x x f x x f x x f x g x ∴-=--=--== 故()g x 为偶函数，f ∴（2）0=，g （2）0=，且()g x 在(,0)-∞上单调递减， ∴当0x >时，()0>g x 的解集为(2,)+∞，当0x <时，()0(2)g x g >=-的解集为(2,0)-，∴使得f ()0x >成立的x 的取值范围是(2-，0)(2⋃，)+∞，故选C ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，构造新函数是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．12．C解析：C 【分析】由导数与极值的关系知可转化为方程()0f x '=在R 上有两个不等根，结合函数的性质可求. 【详解】函数有两个不同极值点，()0x x f x e e a -'∴=--+=有2个不等的实数根,即x x a e e -=+有2个不等的实数根， 令()xxg x e e-=+，则()xxg x e e '-=-在R 上单调递增且(0)0g '=，当0?x <时 ()0,()g x g x '<单调递减，当0 x >时，()0,()'>g x g x 单调递增， 所以函数有极小值也是最小值(0)2g =，又当x →-∞时，()g x →+∞，x →+∞，()g x →+∞， 所以2a >即可， 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，转化思想，属于中档题.二、填空题13．【分析】先由题意得到关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实根令对其求导判定其单调性以及的取值情况即可得出结果【详解】因为函数的图象与x 轴交于不同两点所以关于的方程在上有两不等实根即在上有两不等实 解析：1a >【分析】先由题意，得到关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即2ln 1x x x a +=在()0,∞+上有两不等实根，令()2ln x x g x x +=，对其求导，判定其单调性，以及()g x 的取值情况，即可得出结果. 【详解】因为函数()2ln ()x ax a a x x R f =--∈的图象与x 轴交于不同两点，所以关于x 的方程2ln 0x ax a x --=在()0,∞+上有两不等实根，即2ln 1x x x a+=在()0,∞+上有两不等实根，令()2ln x x g x x +=，则()2ln x x g x x +=与直线1y a =有两个不同交点， 又()()24311ln 212ln x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-+⋅ ⎪--⎝⎭'==， 令()12ln h x x x =--，则()210h x x'=--<在()0,∞+上恒成立，则()12ln h x x x =--在()0,∞+上单调递减，又()10h =，所以当()0,1x ∈时，()0h x >，即()312ln 0x xg x x --'=>，则()g x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x <，即()312ln 0x xg x x --'=<，则()g x 单调递减； 所以()()max 110g x g ==>，又211101eg e e-⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g x =；因此当()00,x x ∈时，()0g x <；当()0,1x x ∈时，()0g x >； 又当1x >时，ln 0x >，所以()0g x >；因此，为使()2ln x x g x x +=与直线1y a =有两个不同交点，只需101a<<，解得1a >. 故答案为：1a >. 【点睛】 思路点睛：利用导数的方法处理由函数零点个数求参数问题时，一般需要根据函数零点个数，得到对应方程的根的个数，再分离参数，构造新的函数，对新函数求导，利用导数的方法判定其单调性，确定函数的取值情况，进而可求出结果.（也可利用数形结合的方法求解）14．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于 解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，所以()()22420a a ∆=+-+>， 即()()2240a a ++->， 解得：2a >或2a <-， 故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.15．【详解】解答：∵f(x)=ex(x−b)∴f′(x)=ex(x−b+1)若存在x ∈2使得f(x)+xf′(x)>0则若存在x ∈2使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0即存在x ∈2使得b<成立令解析：83b <【详解】 解答： ∵f(x)=e x (x−b)， ∴f′(x)=e x (x−b+1)， 若存在x ∈[12,2],使得f(x)+xf′(x)>0，则若存在x ∈[12,2],使得e x (x−b)+xe x (x−b+1)>0， 即存在x ∈[12,2],使得b<221x x x ++ 成立， 令()221,,212x x g x x x +⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦， 则()()222201x x g x x ++'=>+ ，g(x)在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，∴g(x)最大值=g(2)=83， 则实数b 的取值范围是83b <16．【分析】构造函数判断函数的单调性和奇偶性得到解得答案【详解】设函数当时函数单调递增为奇函数故为奇函数故函数在上单调递增即即解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式构造函数判断 解析：(),2019-∞-【分析】构造函数()()2g x x f x =，判断函数的单调性和奇偶性，得到()()20212g x g +<，解得答案. 【详解】设函数()()2g x x f x =，当0x >时，()()()()()23220g x xf x x f x x f x xf x x '''=+=+>>⎡⎤⎣⎦，函数单调递增，()f x 为奇函数，故()g x 为奇函数，故函数()g x 在R 上单调递增，22(2021)(2021)4(2)(2021)(2021)4(2)0x f x f x f x f +++-=++-<，即()()20212g x g +<，即20212x +<，解得2019x <-. 故答案为：(),2019-∞-. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造函数判断单调性和奇偶性是解题的关键.17．49【分析】求出函数的导数根据函数的单调性得到关于的不等式组根据两点间的距离公式求出其最小值即可【详解】若在上递增则故满足条件的平面区域如图示：的几何意义表示和阴影部分的点的距离故到阴影部分的最小值【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于m ，n 的不等式组，根据两点间的距离公式求出其最小值即可． 【详解】21()(1)2f x x mx n '=-++-，若()f x 在[0，1]上递增， 则(0)10f n '=-，()11102m n f =-++-'， 故满足条件001102m n n m n ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪-+⎪⎩的平面区域如图示：22(6)(8)m n -+-的几何意义表示(6,8)和阴影部分的点的距离，故(6,8)到阴影部分的最小值是自(6,8)向1n =作垂线， 故垂线段是7，故22(6)(8)m n -+-的最小值是49， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及简单的线性规划问题，考查了数学运算能力和数形结合思想.18．【分析】令求的导数根据条件可知从而判断单调递增将不等式化为即可求解【详解】令因为的定义域为所以函数的定义域也为则所以函数在上单调递增又可以化为即所以所以故不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查利用 解析：()2020,1--令()2()g x x f x =，求()g x 的导数'()g x ，根据条件可知'()0g x >，从而判断()g x 单调递增，将不等式化为()()20202019g x g +<即可求解. 【详解】令()2()g x x f x =，因为()f x 的定义域为()0,∞+，所以函数()g x 的定义域也为()0,∞+，则()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+可以化为()()()222020202020192019x f x f ++<，即()()20202019g x g +<，所以020202019x <+<， 所以20201x -<<-， 故不等式的解集为()2020,1--. 故答案为：()2020,1--. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，构造函数求导是解题的关键，属于中档题.19．【分析】可知从而根据条件可判断为减函数或存在极值点求导数从而可判断不可能为减函数只能存在极值点从而方程有解这样由指数函数的单调性即可得出的取值范围【详解】要满足使得成立则函数为减函数或存在极值点当时 解析：()1,+∞【分析】可知00lg x x <，从而根据条件可判断()f x 为减函数或存在极值点，求导数()1x f x e a '=-+，从而可判断()f x 不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程1x a e -=有解，这样由指数函数xy e =的单调性即可得出a 的取值范围.【详解】00lg x x <，∴要满足0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则函数()f x 为减函数或存在极值点，()1x f x e a '=-+，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤不恒成立，即函数()f x 不是减函数，∴只能()f x 存在极值点，()0f x '∴=有解，即方程1x a e -=有解，即11x a e =+>，()1,a ∴∈+∞，故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.20．【分析】首先对进行求导利用导数研究函数的最值问题根据题意对任意存在使只要的最小值大于等于在指定区间上有解【详解】由得当时当时∴在上单调递减在上单调递增∴在上有解在上有解函数在上单调增故答案为:【点睛 解析：[)0,+∞【分析】首先对()f x 进行求导，利用导数研究函数()f x 的最值问题，根据题意对任意1x R ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ，只要()f x 的最小值大于等于()g x 在指定区间上有解 . 【详解】由()x f x e x =-，得()1xf x e '=-，当()1,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,1x ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增， ∴()()min 01f x f ==()1g x ≤在[]1,2上有解，21212x mx m x x -≤⇔≥-在[]1,2上有解，函数1y x x =-在[]1,2上单调增，1101min y ∴=-=，20,0m m ≥≥.故答案为: [)0,+∞ 【点睛】不等恒成立与能成立的等价转换:任意1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12min min ()()f x g x f x g x ⇔≥ 任意1x A ∈，任意2x B ∈，使()()12min max ()()f x g x f x g x ⇔= 存在1x A ∈，存在2x B ∈，使()()12max min ()()f x g x f x g x ⇔⇔三、解答题21．（1）()()2102V f x x x ==-⋅，()0,5x ∈；（2）小正方形的边长为53cm 时，作品的体积最大，最大体积是200027cm 3． 【分析】（1）根据长方体的体积公式可得答案； （2）利用导数求()f x 单调区间及极值可得答案. 【详解】（1）由题意可得()()2102V f x x x ==-⋅，()0,5x ∈.（2）()()()()24320254355f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=得53x =，5x =，∴53x =时，()f x 的最大值为52000327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，截去的小正方形的边长为53cm 时，作品的体积最大，最大体积是()3200027cm ． 【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．22．（1）()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞；（2）2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）当1a =时()122x f x ex -=-，先对()f x 求导得()g x 的解析式，再对()g x 求导，由()0g x '<得单间区间，由()0g x '>得单增区间； （2）由题意可得方程()1202x f x eax --==有三个不等的实根，等价于方程122x e a x-=有三个不等的实根，即y a =与122()(0)x eh x x x-=≠两个函数图象有三个不同的交点，对()h x 求导判断其单调性，作出其图象，数形结合即可求解.【详解】（1）当1a =时，1()22x f x e x -'=-， 令()()g x f x '=，则1()22x g x e -'=-，当1x <时()0g x '<，()g x 在(,1)-∞上单调递减； 当1x >时()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增．所以()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞； （2）2(0)0f e=≠，0x ∴≠， 所以若()f x 在R 上恰有三个零点等价于()1202x f x eax --==有三个不等的实根，等价于方程122x e a x -=有三个不等的实根，设122()(0)x e h x x x -=≠，则y a =与122()(0)x eh x x x -=≠两个函数图象有三个不同的交点，因为1211432222(2)()x x x e x e x e x h x x x ---⋅-⋅-'==令()0h x '=，得2x =，且(2)2eh =当()x ∈∞-,0时，()0h x '>，()h x 单调递增且()()0,h x ∈+∞，当()0,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减且()+2e h x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，， 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增且()+2e h x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，作出其图象如图所示：当2x =时，2122(2)22e e h -==， 由图知当2e a >时，y a =与()y h x =的图象有三个交点， 即()f x 有三个不同的零点， 所以a 的取值范围是2e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.23．（1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；极小值为1，无极大值；（2）(2,e ⎤-∞⎦. 【分析】（1）求导得()11'1x f x x x -=-=，进而得函数的单调区间与极值； （2）根据题意3ln x a x x≤+在(]0,x e ∈时有解，设()3ln x g x x x =+，(]0,x e ∈，进而求函数()g x 的最大值即可得取值范围.【详解】解:(1)由题意，函数()ln f x x x =-，则()11'1x f x x x-=-=， 当01x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减;当1x e <≤时()'0f x >，()f x 单调递增.∴()f x 的极小值为()11f =，无极大值.(2)∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，∴ln 3ax x -≤在(]0,x e ∈时有解，即3ln x a x x≤+在(]0,x e ∈时有解， 令()3ln x g x x x =+，(]0,x e ∈，则()2231ln 'x g x x x -=-+22ln x x+=-. 令()'0g x =，得21x e =，当210x e<<时，()'0g x >，()g x 单调递增; 当21x e e <≤时，()'0g x <，()g x 单调递减. ∴()2222132max g x g e e e e ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， ∴实数a 的取值范围是(2,e ⎤-∞⎦. 【点睛】不等式恒成立或能成立，转化为函数的最值与参数的关系，设I 是定义域的子集，通常有：min ,()()x I a g x a g x ∀∈<⇔<，max ,()()x I a g x a g x ∀∈>⇔<，max ,()()x I a g x a g x ∃∈<⇔<，min ,()()x I a g x a g x ∃∈>⇔<.24．（1）有1个零点；（2）(,)e +∞.【分析】（1）求导得到函数的单调性，再利用零点存在性定理得解；（2）分离参变量，不等式恒成立转化为求函数的最值得解.【详解】（1）当1a =-时，()1e x f x x =-， 则()110e xf x =+>'， ∴()f x 在[)0,+∞上单调递增， 又(0)10f =-<，1(1)10e f =->， 故0(0,1)x ∃∈，使得()00f x =，∴函数()f x 在区间[0,)+∞上有1个零点；（2）若()2f x >对任意的实数x 恒成立，即e (2)xa x >-恒成立，令()e (2)x g x x =-，则()e (1)x g x x '=-，令()0g x '>，得1x <；令()0g x '<，得1x >.∴()g x 在(,1)-∞上递增，在(1,)+∞上递减，∴max [()](1)e g x g ==，∴a 的取值范围为(e,)+∞.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题解决思路：一般参变量分离、转化为最值问题.25．（1）3211()8333f x x x x -=++；（2）极大值为(2)7f =，无极小值；最小值为1(0)3f =. 【分析】 （1）求出导数，根据题意有(1)123(2)440f a b f a b =++=⎧⎨=++=''⎩，解出,a b 代入解析式即可； （2）根据导数求出函数的单调区间，判定函数在区间[]0,3上的单调性，根据极值定义求出函数的极值，比较端点函数值即可解出最小值.【详解】解：（1）函数()f x 求导得2()2f x x ax b '=++因为函数()f x 在点()()1,1f 处的切线斜率为3，且2x =时()y f x =有极值 所以(1)123(2)440f a b f a b =++=⎧⎨=++=''⎩解得38a b =-⎧⎨=⎩所以函数()f x 的解析式为3211()8333f x x x x -=++ （2）由（1）可知2()68(2)(4)f x x x x x '=-+=--所以当2x <或4x >时，()0,()f x f x '>单调递增;当24x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，则函数()f x 在[]0,3上有极大值为(2)7f =，无极小值 又因为119(0),(3),33f f == 所以(0)(3)f f < 则函数()f x 在[]0,3上的最小值为1(0)3f =. 【点睛】求函数的极值或极值点的步骤：（1）求导数()'f x ，不要忘记函数()f x 的定义域；（2）求方程()0f x '=的根；（3）检查在方程的根的左右两侧()'f x 的符号，确定极值点或函数的极值.26．（1）1；（2）()2,+∞.【分析】（1）利用在某点处切线方程的求法可表示出()f x 在1x =处的切线方程，代入()2,2即可求得结果；（2）求导后，令()21g x x ax =-+，分别在0∆≤和0∆>两种情况下，根据()0g x =根的情况，确定()g x 的正负，进而得到()f x 单调性，从而确定符合题意的范围.【详解】（1）()f x 定义域为()0,∞+，()1f x x a x'=+-， 则()12f a '=-，()12f a =-， ()f x ∴在1x =处的切线方程为()()()221y a a x --=--，又切线过()2,2，2a a ∴=-，解得：1a =.（2）由（1）知：()()2110x ax f x x a x x x-+'=+-=>， 令()21g x x ax =-+，则24a ∆=-， ①当0∆≤，即22a -≤≤时，()0g x ≥恒成立，()0f x '∴≥在()0,∞+上恒成立， 此时()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值，不合题意；②当0∆>，即2a <-或2a >时，令()0g x =，解得：1x =，2x = ⑴若2a <-，则10x <，20x <，()0g x ∴>在()0,∞+上恒成立，()0f x '∴≥在()0,∞+上恒成立，此时()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值，不合题意；⑵若2a >，则120x x <<，∴当()10,x x ∈和()2,x +∞时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；()f x ∴在()10,x 和()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，()f x ∴恰有两个极值点12,x x ，符合题意；综上所述：a 的取值范围为()2,+∞.【点睛】思路点睛：本题考查根据极值点个数求解参数范围的问题，求解此类问题的关键是将问题转化为导函数零点个数的讨论问题，需注意的是在导函数有零点的情况下，需结合定义域确定零点是否满足定义域要求.。

一、选择题1．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞2．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,01,-⋃+∞3．已知函数()2sin x m f x x +=-在30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,44ππ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．3,44ππ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4．已知函数()23ln f x x ax x =-+在其定义域内为增函数，则a 的最大值为（ ）A．4B ．C ．D ．65．已知函数()f x 定义域为R ，其导函数为f x ，且()()30f x f x '->在R 上恒成立，则下列不等式定成立的是（ ） A ．()()310f e f <B ．()()210f e f < C ．()()310f e f >D ．()()210f e f >6．已知函数()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R .若函数()f x 有三个零点，则（ ）A ．1a >，0b <B ．01a <<，0b >C ．0a <，0b >D ．01a <<，0b < 7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '<-，则下列式子成立的是（ ）A ．(2020)(2021)f ef >B ．(2020)(2021)f ef <C ．(2020)(2021)ef f >D ．(2020)(2021)ef f <8．已知函数()()()110ln x f x x x++=>，若()1kf x x >+恒成立，则整数k 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x k g x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩.若对函数()ln 22f x x x =-+，有()()g x f x =恒成立，则（ ）A ．k 的最大值为1ln2+B ．k 的最小值为1ln2+C ．k 的最大值为ln 2D ．k 的最小值为ln 210．甲乙两人进行乒乓球友谊赛，每局甲胜出概率是()01p p <<，三局两胜制，甲获胜概率是q ，则当q p -取得最大值时，p 的取值为（ ） A ．12B ．1326-C ．1326+ D ．2311．函数()212x f x x -=+的值域是（ ） A ．30,⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+C ．()0,3D ．)3,⎡+∞⎣12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是_________．14．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_______.15．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=的单调递减区间为___________．16．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.17．函数21f x x x 的极大值为_________.18．已知函数3223,01()21,1x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．19．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.20．已知函数()321f x x x =++，若对于x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，则实数a 的取值范围为：____________．三、解答题21．已知函数()2ln f x x a x x=--. （1）已知()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，求实数a 的值； （2）已知()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()xax f x e =． （1）当1a =时，判断函数()f x 的单调性； （2）若0a >，函数()()212g x f x x x =+-只有1个零点，求实数a 的取值范围． 23．已知函数32()691f x x x x =-++． （1）求曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程．（2）证明：()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 24．已知函数()()3f x alnx ax a R =--∈． （1）函数()f x 的单调区间；（2）当1a =-时，证明：当()1x ∈+∞，时，()20f x +>． 25．已知函数21()ln (1)12f x a x x a x =+-++. （I ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在1x =处取得极小值，求实数a 的取值范围.26．已知函数321()23f x x x ax =-++，21()42g x x =-. （1）若函数()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；（2）设()()()G x f x g x =-.若02a <<，()G x 在[]1,3上的最小值为13-，求()G x 在[]1,3上取得最大值时，对应的x 值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】通过分离参数变成ln x a x x=-，构造函数()ln x f x xx =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.2．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()00g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.3．A【分析】()0f x =有两解变形为2sin m xxe e =有两解， 设2sin ()xxg xe =，利用导数确定函数的单调性、极值，结合()g x 的大致图象可得结论． 【详解】 由()22sin x mf x e x +=-得2sin m xxe e =，设2sin ()xxg x e=，则2(cos sin )()x x g x -'=， 易知当04x π<<时，()0g x '>，()g x 递增，当344x ππ<<时，()0g x '<，()g x 递减，(0)0g =，414g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，34314g e ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，如图是()g x 的大致图象， 由2sin mx e =有两解得34411m e e eππ≤<，所以344m ππ-≤<-．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题关键是转化．函数的零点转化为方程的解，再用分离参数变形为2sin m xe =2sin ()x g x =my e =有两个交点，利用导数研究函数()g x 的单调性、极值后可得．4．B解析：B 【分析】求导，则由题意导函数在0,上恒大于等于0，分参求a 范围.【详解】由题意可得()160f x x a x'=-+≥对()0,x ∈+∞恒成立，即16a x x ≤+，对()0,x ∈+∞因为16x x +≥16x x =即x =时取最小值所以a ≤ 故选：B 【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．5．A解析：A 【分析】 构造函数()()3xf xg x e=，由()()30f x f x '->得0g x ，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式. 【详解】()()3x f x g x e=，则()()()()()()3323333x x x x f x e f x e f x f x g x e e ⋅--=='''， 因为()()30f x f x '->在R 上恒成立， 所以0g x在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以()()10g g <，即()()3010f f e e <，即()()310f e f <， 故选：A. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.6．B解析：B 【分析】首先求出函数的导函数，要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即可求出参数a 的取值范围，再求出函数的单调区间，从而得到()10f a ->，即可判断b 的范围； 【详解】解：因为()()()()221ln 10,,2a f x a x x a a xb x a b =-++--+>∈∈R R 所以()()()()()()()222111111ax a a x a a ax x a f x ax a a xxx+--+---+-'=++--==要使函数()f x 有三个零点，则()0f x '=必定有两个正实数根，即11x a=，21x a =-，所以1010a a->⎧⎪⎨>⎪⎩解得01a <<，此时111x a =>，211x a =-<，令()0f x '>，解得01x a <<-或1x a >，即函数在()0,1a -和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()0f x '<，解得11a x a -<<或1x a >，即函数在11,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在1x a =-处取得极大值，在1x a=处取得极小值； 因为当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，要使函数函数()f x 有三个零点，则()10f a ->，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭即()()()()()()2211ln 11112a f a a a a a a ab -=--+-+---+ ()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤=--++>⎢⎥⎣⎦且()()2211111ln 102a f a a a b a a a a ⎛⎫⎛⎫=-++--+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为01a <<，所以011a <-<，20a -<，所以()()2102a a -+<，()ln 10a -<，所以()()()()211ln 102a a a a -+⎡⎤--+<⎢⎥⎣⎦，又()()()()211ln 102a a a a b -+⎡⎤--++>⎢⎥⎣⎦，所以0b >故选：B 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．7．A解析：A 【分析】构造函数()()xg x e f x =，求导判定函数单调性，根据单调性得(2020)(2021)g g >化简即可. 【详解】解：依题意()()0f x f x '+<，令()()x g x e f x =，则()(()())0xg x f x f x e ''=+<在R 上恒成立，所以函数()()xg x e f x =在R 上单调递减， 所以(2020)(2021)g g >即20202021(2020)(2021)(2020)(2021)e e e f f f f >⇒>故选：A. 【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式()()0f x g x ''+> (或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =+． （2）对于不等式()()0f x g x ''->(或0<) ，构造函数()()()F x f x g x =-．（3）对于不等式()()0f x f x '+>(或0<) ，构造函数()()xF x e f x =．（4）对于不等式()()0f x f x '->(或0<) ，构造函数()()x f x F x e=． 8．B解析：B 【分析】 将不等式化为()()111ln x x k x +++>，令()()()111ln x g x xx ++=+，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得()02,3x ∃∈使()00g x '=，进而可得()()001()g x x x g ≥=+，即求.【详解】()()()1ln 10x f x x x ++=>， ()1k f x x ∴>+可化为()111ln x k x x ++>+即()()111ln x x k x+++>， 令()()()111ln x g x xx ++=+， 则()()()()21ln 11111x x x x ln x g x x +++---++⎡⎤⎣⎦'= ()211x ln x x--+=令()()11h x x ln x =--+， 则()111h x x '=-+，()0,x ∈+∞时， ()0h x '>，()g x '∴在()0,∞+单调递增.又()()1ln 32ln 420,30,49g g --''=<=> ()02,3x ∃∈使()00g x '=，即()0011ln x x +=-.当()00,x x ∈时，()()0,g x g x '<单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>单调递增，()()000001ln 1))1(()(1x x g x x x x g +∴≥==+++， ()02,3x ∈，()013,4x +∴∈，∴正整数k 的最大值为3.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在()02,3x ∈，使得()00g x '=，考查了分离参数法求范围.9．B解析：B 【分析】利用导数求出函数()f x 的最大值，由函数()g x 的定义结合()()g x f x =恒成立可知()f x k ≤，由此可得出k 的取值范围，进而可得出合适的选项.【详解】对于正数k ，定义函数：()()()(),,f x f x kg x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，且()()g x f x =恒成立，则()f x k ≤.函数()ln 22f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=. 当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，()()max 11ln 2f x f ==+，1ln 2k ∴≥+. 因此，k 的最小值为1ln2+. 故选：B. 【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式()k f x ≥恒成立，从而将问题转化为求函数()f x 的最大值.10．C解析：C 【分析】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率，进而求得的最大值. 【详解】采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜： 甲净胜二局概率为2p ；前二局甲一胜一负，第三局甲胜概率为12(1)C p p p -⋅22(1)p p =-则22(1)q p p p =+-，得q p -222(1)p p p p =+--3223p p p =-+-(01)p <<， 设3223y p p p =-+-，(01)p <<，则2661y p p '=-+-6(p p =---则函数y 在单调递减，在单调递增，故函数在36p =+处取得极大值，也是最大值. 故选：C. 【点睛】本题考查了概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用，属于中档题.11．A解析：A 【分析】求出函数的定义域，然后求出导函数，确定单调性，得值域．【详解】由21020x x ⎧-≥⎨+≠⎩得11x -≤≤，()f x '==当112x -≤<-时，()0f x '>，()f x 递增，112x -<≤时，()0f x '<，()f x 递减， 所以12x =-时，max()22f x ==-+(1)(1)0f f -==， 所以()f x的值域是⎡⎢⎣⎦． 故选：A ． 【点睛】本题考查用导数求函数的值域，解题方法是由导数确定函数的单调性，得出最大值和最小值，得值域．12．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x1=，x2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴123a-＜2，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；二、填空题13．【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下： 极大值 极小值 所以函数的极大值点为 解析：()3,2--【分析】利用导数求出函数()f x 的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】()32133f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：所以，函数f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =， 由于函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值， 所以，230m m <-⎧⎨+>⎩，解得32m -<<-.因此，实数m 的取值范围是()3,2--. 故答案为：()3,2--.【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．14．【分析】首先求函数的导数由条件是函数的唯一极值点说明在无解或有唯一解求实数的取值【详解】∵∴∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点在上无解或有唯一解x=1①当x=1为其唯一解时k=e 令当时即h(x)的单 解析：(,]e -∞【分析】首先求函数的导数2(1)()()x x e kx f x x'--=，由条件1x =是函数()f x 的唯一极值点，说明0-=x e kx 在()0,x ∈+∞无解，或有唯一解1x =，求实数k 的取值. 【详解】∵()(ln )x e f x k x x x =+-，∴22(1)1(1)()()(1)x x x e x e kx f x k x x x'---=+-= ∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点，0x x e k ∴-=在(0,)x ∈+∞上无解，或有唯一解x =1，①当x =1为其唯一解时，k =e ，令()(0)x h x e ex x =->，()xh x e e '=-，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，即h (x )的单调递减区间为(0,1)， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()h x 在x =1处，取得极小值， ∴k =e 时，x =1是f (x )的唯一极值点；②当xe k x=在(0,)x ∈+∞上无解，设()x e g x x =则2(1)()x e x g x x'-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，即g (x )的单调递减区间为(0,1)，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()g x 在x =1处，取得极小值，也是其最小值，min ()(1)g x g e ==，又k xe x=在(0,)x ∈+∞上无解，e k ∴<，综上k e ≤ 故答案为：(,]e -∞. 【点睛】易错点睛：本题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，容易忽略k e =的情况，此时x e ex ≥恒成立.15．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()x f x g x e=的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间； （4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.16．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】 由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率， 因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内， 不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立， 由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立， 设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-， 故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.17．【分析】利用导数研究函数的单调性由此可求得该函数的极大值【详解】定义域为令可得或当或时此时函数单调递增；当时此时函数单调递减所以函数在处取得极大值且极大值为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求解函数 解析：427【分析】利用导数研究函数21f x x x 的单调性，由此可求得该函数的极大值.【详解】()()21f x x x =-，定义域为R ，()()()()()2121311f x x x x x x '=-+-=--.令()0f x '=，可得13x =或1x =. 当13x <或1x >时，()0f x '>，此时，函数21f x x x 单调递增；当113x <<时，()0f x '<，此时，函数21f x x x 单调递减.所以，函数21f xx x 在13x =处取得极大值，且极大值为21114133327f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：427. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意解析：1(0,)2【分析】利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】当01x ≤≤时，()()'26661fx x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为()0f m =，最小值为()11f m =-.当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增， 而2110m -⨯+>，所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.当0m =时，3223,01()1,1x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点()00f =，所以0m =不符合题意.当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则需0102110m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩，解得102m <<.综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：1(0,)2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题解析：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】因为函数2sin y x x =-， 所以12cos y x '=-， 令12cos 0y x '=-=，得3x π=或53x π=， 当533x ππ≤≤时，0y '>， 所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】根据在R 上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R 上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：10a e≤≤ 【分析】根据()f x 在R 上递增，结合()01f =，将x R ∀∈不等式()21xf ax e a -+≤恒成立，转化为()2xa x e +≤ ，x R ∀∈恒成立，然后分20x +≤和20x +>两种情况，利用导数法求解. 【详解】因为()321f x x x =++，所以()2320f x x '=+>成立，所以()f x 在R 上递增，又()()01,21xf f ax e a =-+≤x R ∀∈成立，所以20x ax e a -+≤，x R ∀∈ 恒成立，即()2xa x e +≤，x R ∀∈恒成立，当20x +>时，转化为2xe a x ≤+恒成立，令()2xg x ex =+，()()()212x x e g x x +'=+，当21x -<<-时，()0g x '<，()g x 单调递减， 当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以当1x =-时，()g x 求得最小值min 1()(1)g x g e=-=， 所以1a e≤， 当20x +≤时，转化为2xe a x ≥+恒成立，(),(,2)a g x x ≥∈-∞-上恒成立，(,2)x ∈-∞-时，()0,()g x g x '<单调递减，又(,2),()0x g x ∈-∞-<，所以0a ≥不等式恒成立， 综上：实数a 的取值范围为10a e≤≤ 故答案为：10a e≤≤ 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2a =；（2）(-∞. 【分析】（1）由题意可得出()11f '=，由此可求得实数a 的值；（2）求出函数()f x 的定义域为()0,∞+，由题意可知，()2210af x x x'=+-≥在()0,∞+上恒成立，利用参变量分离法得出min2a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求出2x x +在()0,∞+上的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】 （1）()2ln f x x a x x =--，()221af x x x'∴=+-，()13f a '∴=-，又()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =-，()131f a '∴=-=，解得2a =； （2）()f x 的定义域为()0,∞+，()f x 在定义域上为增函数，()2210af x x x'∴=+-≥在()0,∞+上恒成立， 2a x x ∴≤+在()0,∞+上恒成立，min 2a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，由基本不等式2x x +=≥x时等号成立，故min2x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 故a的取值范围为(-∞. 【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在异号零点； （4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立. 22．（1）当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增；在区间1,上单调递减；（2）当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）先对函数求导，然后分别由0f x 和0f x 可求出函数的增区间和减区间；（2）由0g x，得1x =，或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论，当ln 1a =可得()g x 只有1个零点，当ln 1a <时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，当ln 1a >时，求出()g x 的单调区间，然后讨论其零点，从而可求出实数a 的取值范围 【详解】解：（1）当1a =时，()xxf x e =，定义域为R ， 所以()1xxf x e -'=． 当1x <时，0f x，函数()f x 单调递增；当1x >时，0f x，函数()f x 单调递减．综上所述，当1a =时，函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增； 在区间1,上单调递减．（2）因为0a >，函数()212x ax g x e x x =+-， 所以()()()111x xx a x e a g x x x e e -⎛⎫-'=+-=- ⎪⎝⎭． 当0g x时，得1x =，或ln x a =．①若ln 1a =，即a e =，则0g x恒成立，函数()g x 在R 上单调递增，因为()00g =，所以函数()g x 只有1个零点． ②若ln 1a <，即0a e <<， 当ln x a <时，0g x，函数()g x 单调递增； 当ln 1a x <<时，0g x ，函数()g x 单调递减；当1x >时，0g x，函数()g x 单调递增．（Ⅰ）当ln 0a <，即01a <<时，()()()ln 001g a g g >=>， 又因为()2220ag e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意． （Ⅱ）当ln 0a =，即1a =时，()()()ln 001g a g g ==>， 又因为()2220g e =>，所以函数()g x 在区间1,2上有1个零点， 故函数()g x 在R 上至少有2个零点，不符合题意．（Ⅲ）当ln 0a >，即1a e <<时，()()()ln 001g a g g >=>， 若函数()g x 只有1个零点，需()1102a e g =->， 解得2ea e <<．③若ln 1a >，即a e >，当1x <时，0g x，函数()g x 单调递增；当1ln x a <<时，0g x ，函数()g x 单调递减； 当ln x a >时，0g x，函数()g x 单调递增．所以()()100g g >=，()21ln ln 02g a a =>所以函数()g x 在R 上只有1个零点．综上所述，当函数()g x 只有1个零点时，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的单调区间和求函数的零点，第二问解题的关键是由0g x求得1x =或ln x a =，然后分ln 1a =，ln 1a <和ln 1a >三种情况讨论函数的单调性，从而由零点的情况求出参数的取值范围，属于中档题 23．（1）91y x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数在0x =处的导数后可得切线方程.（2）设函数()1ln g x x x =+-，利用导数可证明在1(,)2+∞上有()()1,1f x g x ≥≥，但等号不同时成立，结合余弦函数的性质可证明()()1ln 2cos x x f x x +->在1()2,x ∈+∞恒成立.【详解】（1）解：2()3129f x x x -'=+，则()09f =，故曲线()y f x =在点()0,1处的切线方程为91y x =+． （2）证明：当1(,1)(3,)2x ∈⋃+∞时，()0f x '>， 则()f x 在1(,1),(3,)2+∞上单调递增；当()1,3x ∈时，()0f x '<，则()f x 在()1,3上单调递减． 因为133()(3)128f f =>=， 所以()f x 在1(,)2+∞上的最小值为()31f =．设函数()1ln g x x x =+-．则1()(0)x g x x x -'=>． 当1(,1)2x ∈时，()0g x '<，则()g x 在1(,1)2上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故()()12g x g ≥=．从而()()1ln 2x x f x +-≥，但由于()1f x ≥与()2g x ≥的取等条件不同， 所以()()1ln 2x x f x +->．因为2cos 2x ≤，所以()()1ln 2cos x x f x x +->对1()2,x ∈+∞恒成立． 【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立的问题，如果该不等式中含有三角函数，那么可以利用三角函数的有界性把前者转化为与三角函数无关的不等式，这样便于问题的讨论与处理. 24．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求导()()1'(0)a x f x x x-=>，0a >，0a <，0a =讨论，令()'0f x >求解.（2）结合（1）将问题转化为()min 2f x >-求解. 【详解】（1）根据题意知，()()1'(0)a x f x x x-=>，当0a >时，当()01x ∈，时，()'0f x >，当()1x ∈+∞，时，()'0f x <， 所以()f x 的单调递增区间为()01，，单调递减区间为()1+∞，； 同理，当0a <时，()f x 的单调递增区间为()1+∞，，单调递减区间为()01，；当0a =时，()3f x =-，不是单调函数，无单调区间． （2）证明：当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-， 所以12f ，由（1）知()ln 3f x x x =-+-在()1+∞，上单调递增， 所以当()1x ∈+∞，时，()()1f x f >． 即()2f x >-，所以()20f x +>． 【点睛】方法点睛：利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 25．（I ）1y x =-；（Ⅱ）1a <. 【分析】（Ⅰ）当0a =时，利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的导数，2(1)()10a x a x af x x a x x'-++=+--==时，11x =和2x a =，并讨论a 与0,1的大小关系，求实数a 的取值范围. 【详解】（I ）当0a =时，21()12f x x x =-+. 所以()1f x x '=-， 所以(2)1k f '==，因为21(2)22112f =⨯-+=. 所以切线方程为1y x =-.（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. 因为21()ln (1)12f x a x x a x =+-++ 所以2(1)()1a x a x af x x a x x'-++=+--=. 令()0f x '=，即2(1)0x a x a -++=，解得1x =或x a =.（1）当0a 时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以0a 成立.（2）当01a <<时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以01a <<成立.（3）当1a =时，()0f x '在(0,)+∞上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有板小值，不成立. （4）当1a >时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化状态如下表：所以1a >不成立. 综上所述，1a <. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求a 的取值范围，本题容易求出导函数的零点1和a ，但需讨论a 的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.26．（1）12a >-；（2）最大值点为36+.36x +=. 【分析】（1）根据()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间，由()2220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解求解.（2）由()0G x '=得1x =2x =，根据02a <<，易得10x <，213x <<，则()G x 在[]1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ，然后由()()143143G G a -=-+，分14403a -+<，14403a -+≥确定最小值进而求得a 即可 【详解】（1）∵()f x 在()0,∞+上存在单调递增区间， ∴()2220f x x x a =-++>'在()0,∞+上有解，即()max 0f x '>在()0,∞+上成立， 而()f x '的最大值为()112f a '=+， ∴120a +>， 解得：12a >-. （2）3211()()()2432G x f x g x x x ax =-=-+++， ∴()22G x x x a '=-++，由()0G x '=得：112x =，212x +=，则()G x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递减，在()12,x x 上单调递增， 又∵当02a <<时，10x <，213x <<，∴()G x 在[]1,3上的最大值点为2x ，最小值为()1G 或()3G ， 而()()143143G G a -=-+， 1︒当14403a -+<，即706a <<时，()113623G a =-=-，得136a =，此时，最大值点236x +=； 2︒ 当14403a -+≥，即726a ≤<时，()2511263G a =+=-，得94a =-（舍）.综上()G x 在[]1,3 【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得； (2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作导数在研究函数中的应用单元测试一、选择题1．下列函数在()-+，∞∞内为单调函数的是（）Ａ．2y x x=-Ｂ．y x=Ｃ．xy e-=Ｄ．siny x=答案：Ｃ2．函数lny x x=在区间(01)，上是（）Ａ．单调增函数Ｂ．单调减函数Ｃ．在1e⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调减函数，在11e⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调增函数Ｄ．在1e⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调增函数，在11e⎛⎫⎪⎝⎭，上是单调减函数答案：Ｃ3．函数23()(2)(1)f x x x=+-的极大值点是（）Ａ．45x=-Ｂ．1x=Ｃ．1x=-Ｄ．2x=-答案：Ｄ4．已知函数32()f x x px qx=--的图象与x轴相切于(10)，极大值为427，极小值为（）Ａ．极大值为427，极小值为0Ｂ．极大值为0，极小值为427-Ｃ．极大值为0，极小值为527-Ｄ．极大值为527，极小值为0答案：Ａ5．函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为（ ） Ａ．0 Ｂ．π6 Ｃ．π3 Ｄ．π2答案：Ｂ6．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）答案：Ｂ二、填空题7．函数22ln (0)y x x x =->的单调增区间为 ．答案：12⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞ 8．函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点为11x =，22x =，则a = ，b = ． 答案：122--，9．函数42()25f x x x =-+在[22]-，上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．答案：410．函数32()5f x ax x x =-+-在()-+，∞∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 答案：13⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞11．函数543()551f x x x x =-++在[12]-，上的值域为 ．答案：[102]-，12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当x 为 时，正三棱柱的体积最大，最大值是 ．答案：3654a a ，三、解答题13．已知0x >，证明不等式ln(1)x x >+．证明：原不等式等价于证明ln(1)0x x -+>．设()ln(1)f x x x =-+，则1()111x f x x x '=-=++． 0x >∵，()0f x '>∴．()f x ∴在(0)x ∈+，∞上是单调增函数．又(0)0ln10f =-=，()(0)0f x f >=∴即ln(1)0x x -+>，亦即ln(1)x x >+．14．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求a b ，的值，并求出()f x 的单调区间．解：由已知，可得(1)1321f a b =-+=-，又2()362f x x ax b '=-+， ①(1)3620f a b '=-+=∴， ② 由①，②，解得1132a b ==-，． 故函数的解析式为32()f x x x x =--．由此得2()321f x x x '=--，根据二次函数的性质，当13x <-或1x >时，()0f x '>； 当113x -<<，()0f x '<． 因此函数的单调增区间为13⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞和(1)+，∞，函数的单调减区间为113⎛⎫- ⎪⎝⎭，．15．已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）设平均成本为y 元，则2125000200250004020040x x x y x x ++==++，225000140y x -'=+，令0y '=得1000x =． 当在1000x =附近左侧时0y '<；在1000x =附近右侧时0y '>，故当1000x =时，y 取极小值，而函数只有一个点使0y '=，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．（2）利润函数为2250025000200300250004040x x S x x x ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭，30020x S '=-， 令0S '=，得6000x =，当在6000x =附近左侧时0S '>；在6000x =附近右侧时0S '<，故当6000x =时，S 取极大值，而函数只有一个点使0S '=，故函数在该点处取得最大值，因此，要使利润最大，应生产6000件产品．。

一、选择题1．已知函数32()22sin 524x f x x x π⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，且()22(34)12f t t f t -+-+<，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(1,4) B ．(,1)(4,)-∞⋃+∞ C ．(4,1)-D ．(,4)(1,)-∞-+∞2．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-3．已知函数21()ln 2f x x x a =--，若0x ∃>，()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],1-∞D ．(],e -∞ 4．已知函数()()ln 1xxf x x e e -=-++，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．()(),11,-∞-+∞B ．()2,1--C ．()1,1,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．()(),21,-∞-⋃+∞5．已知函数2()sin f x x x x =+，,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则下列式子成立的是（ ） A ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫-<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．31(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．已知函数()sin f x x x =+，若存在[0,]x π∈使不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．27．已知函数()()221x g x x e ax a =--+在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(0,C ．(,-∞D ．(0,8．已知实数2343a e =，4565b e =，6787c e =，那么a ，b ，c 大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>9．已知函数,0(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（其中e 为自然对数的底数），若函数2()y f x ax =-恰有三个零点，则（ ）A ．24e a >B ．24e aC ．22e a >D ．2e a >10．函数()()()()22ln 00x x x f x x e x -⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()2240f x af x a a -+-=有四个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4 B ．()(),44,-∞⋃+∞C ．(){}4,04- D ．(){},44-∞-11．已知函数()()()0ln 10xe xf x x x ax x -⎧-<⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．[)1,e -+∞D ．(],1e -∞-12．已知函数()221,02,0k x f x x x k x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-≥⎩，若函数()()()g x f x f x =-+有且只有四个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k 0<B ．0k >C ．27k <D ．27k >二、填空题13．已知函数()4,0,0x x e x f x e x x+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若存在10x ≤，20x >，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围是______.14．对于任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，恒有2121(ln ln )2()a x x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是___________.15．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．16．已知函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，且当2x ≠，其导数()f x '满足()()2xf x f x ''<，若()30f =，则不等式()0xf x >的解集为__________.17．若不等式224x x ax b lnx -++对任意的[]1,x e ∈恒成立，则实数b 的最大值为______.18．已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，当0x >时，有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2021)(2021)4(2)0x f x f +++-<的解集为________.19．已知函数()()()3ln 06x f x a x x x a =-->，当0x >时，()0f x '≥（()f x '为函数()f x 的导函数），则实数a 的取值范围为______.20．已知函数()(1)2x f x e a x =---（e 为自然对数的底数），若0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则a 的取值范围为________. 三、解答题21．如图所示，某风景区在一个直径AB 为200m 的半圆形花园中设计一条观光路线，在点A 与圆弧上一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿圆弧BC 的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)（1）设BAC θ∠=(弧度)，将绿化带总长度()S θ表示为θ的函数； （2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大. 22．已知函数()21x f x ae x =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）函数()()ln g x f x x x =+，当0a >时，讨论()g x 零点的个数. 23．已知a 为实数，()()()24f x x x a =--.（1）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在(],2-∞-和[)2,+∞上都是递增的，求a 的取值范围. 24．已知e 是自然对数的底数，函数()122x f x eax -=-，其中a R ∈.（1）当1a =时，若()()g x f x '=，求()g x 的单调区间; （2）若()f x 在R 上恰有三个零点，求a 的取值范围. 25．已知函数()ln af x x x x=--. （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若()2f x x x >-在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数1()(0,1)xxf x a a a a =->≠． （I ）若1a >，不等式()2(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围； （II ）若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用二倍角公式和诱导公式化简函数，构造()()6g x f x =-为R 上单调递增的奇函数，再转化不等式为()22(34)g t t g t -<-，利用单调性解不等式即得结果. 【详解】解：33()26cos 2sin 62f x x x x x x x π⎛⎫=++-+=+++⎪⎝⎭令3()()62sin g x f x x x x =-=++，则2()32cos 0g x x x '=++>，()()g x g x -=-， 故()g x 在R 上单调递增，且()g x 为奇函数.不等式()22(34)12f t t f t -+-+<，即()226(34)60f t t f t --+-+-<， 即()22(34)0g t t g t -+-+<，则()22(34)g t t g t -<- 故2234t t t -<-，即2540t t -+<，所以14t <<． 故选：A. 【点睛】 方法点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式问题：（1）()f x 是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可；（2）()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，利用偶函数性质将不等式()()12f g x f g x ⎡⎤⎡⎤<⎣⎦⎣⎦形式，再利用单调性得到()1g x 和()2g x 的大小关系，再解不等式即可.2．B解析：B 【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．A解析：A 【分析】由()f x 得21ln 2a x x ≤-，设21()ln 2g x x x =-，利用导数求()g x 的最大值可得答案. 【详解】 由21()ln 2f x x x a =--，得21ln 2a x x ≤-．设21()ln 2g x x x =-，则211()x g x x x x-'=-=．令()0g x '>，得01x <<；令()0g x '<，得1x >， 则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而1()(1)2g x g ≤=-， 故12a ≤-． 故选：A. 【点睛】本题考查了能成立求参数的问题，关键点是构造函数利用导数求最值，考查了分析问题、解决问题的能力.4．D解析：D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，从而可得关于x 的不等式，求出其解后可得正确的选项. 【详解】()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞，且()()()ln 1x x f x x e e f x --=--++=，又当1x >时，()()ln 1xxf x x e e -=-++，()11001x x f x e e e x e-'=+->+->-，故()f x 在()1,+∞为增函数， 故()()12f x f x +<即为11211112121x xx x x x ⎧<+<⎪+-+⎨⎪-⎩或或，解得2x <-或1x >，故选：D. 【点睛】方法点睛：解函数不等式，往往需要考虑函数的奇偶性和单调性，前者依据定义，后者可利用导数，注意定义域的要求.5．B解析：B 【分析】由奇偶性的定义得到函数()f x 为偶函数，求导数得到函数()f x 在(0,)2π上为增函数，则函数在(,0)2π-上为减函数．结合单调性和奇偶性即可判断出答案．【详解】函数2()sin f x x x x =+， 22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，定义域关于原点对称，且()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=-+--=+=．所以函数()f x 为偶函数，所以()()11f f -= 又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2sin cos 0f x x x x x '=++>． ()f x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，则()f x 在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数．13π1222<<<，所以()13122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()13122f f f ⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：B ． 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，解答本题的关键是先得出函数为偶函数，再由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2sin cos 0f x x x x x '=++>利用单数判断出单调性，属于中档题.6．A解析：A 【分析】先对()f x 求导可得()1cos 0f x x '=+≥，()f x 单调递增，原不等式可化为存在[0,]x π∈ 使得sin cos x x m x ≤-有解，即sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解，只需()min m g x ≥，利用导数判断()g x 的单调性求最小值即可. 【详解】由()sin f x x x =+可得()1cos 0f x x '=+≥， 所以()sin f x x x =+在[0,]x π∈单调递增，所以不等式(sin )(cos )f x x f m x ≤-成立等价于sin cos x x m x ≤-， 所以sin cos m x x x ≥+对于[0,]x π∈有解， 令()sin cos g x x x x =+，只需()min m g x ≥， 则()sin cos sin cos g x x x x x x x '=+-=， 当02x π≤≤时，()cos 0g x x x '=≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，当2x ππ<≤时，()cos 0g x x x '=<，()g x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， ()0cos01g ==，()sin cos 1g ππππ=+=-，所以()()min 1g x g π==-， 所以1m ≥-， 整数m 的最小值为1-， 故选：A. 【点睛】方法点睛：若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）有解，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈有解，进而转化为()max g x λ≤或()()min g x x D λ≥∈，求()g x 的最值即可.7．A解析：A 【分析】先求导数，利用单调性转化为()()2120xg x x e ax '=+-≥，构造新函数()()21x xf x x e +=求解()f x 的最小值即可. 【详解】()()212x g x x e ax '=+-，由题意可知()()2120x g x x e ax '=+-≥在()0,∞+恒成立，即()212x x e a x+≥恒成立，设()()21x xf x x e +=，()()()()22221211x x xx e x x e x x f x +--+='=10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数； 1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数； ()f x的最小值为12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a ≤故选：A. 【点睛】利用函数单调性求解参数时，通常转化为恒成立问题求解：（1）()f x 在区间D 上单调递增等价于()0f x '≥在区间D 上恒成立； （2）()f x 在区间D 上单调递减等价于()0f x '≤在区间D 上恒成立.8．C解析：C 【分析】根据所给实数的表达式进行构造函数，然后利用导数判断出函数的单调性，最后利用函数的单调性进行判断即可. 【详解】构造函数'()(2)()(1)xxf x x e f x x e =-⇒=-，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当1x <时，'()0,()f x f x >单调递增.因为2342()33a e f ==，4564()55b e f ==，6786()77c e f ==，246357<<， 所以642()()()753f f f >>，即c b a >>.故选：C 【点睛】关键点睛：根据几个实数的特征构造函数，利用导数判断其单调性是解决此类问题的关键.9．A解析：A 【分析】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)f x a x x =≠，令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点，利用导数研究函数()y g x =的性质并作出示意图可求得答案. 【详解】由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2()0f x ax -=，得2()(0)f x a x x=≠， 令2()()f x g x x =2,01,0xe x x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点， 当0x >时，2()x e g x x =，则4(2)()x xe x g x x-'=， 则()g x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x =时，()g x 有最小值为2(2)4e g =，当0x →时，()g x →+∞，作出()y g x =的示意图如图所示：由图知，若函数()2y f x ax =-恰有三个零点，则24e a >. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 的零点个数的方法如下： 直接解方程()0f x =，求出零点可得零点个数.； 数形结合法：转化为两个函数的交点；参变分离法：将参数分离出来，再作函数的图像进而转化为y a =与()y g x =（分离后的函数）的交点问题.10．C解析：C 【分析】作出函数()f x 的大致图象，令()t f x =，则原问题可转为关于t 的方程2240t at a a -+-=有2个不等实根1t 和2t ，结合()f x 的图象可确定1t 和2t 符合两种情形：10t =，24t =或()10,4t ∈，()()2,04,t ∈-∞+∞，最后分两类讨论即可求得a 的取值范围. 【详解】当0x ≥时，()22xf x x e-=，∴()()222xf x x xe-'=-，∴当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减， 函数()f x 的大致图象如图所示：令()t f x =， 当0t =或4时，方程()t f x =有2个实根； 当()(),04,t ∈-∞+∞，方程()t f x =有1个实根.当t ∈（0，4）时，方程t ＝f （x ）有3个实根； 则关于x 的方程()()2240fx af x a a -+-=有四个不等的实数根可等价于关于t 的方程2240t at a a -+-=有2个不等实根1t 和2t .∴1t 和2t 可符合两种情形：10t =,24t =或1t ∈（0，4），()()2,04,t ∈-∞+∞.若10t =，24t =，则124a t t =+=；若1t ∈（0，4），()()2,04,t ∈-∞+∞，设g （t ）＝t 2﹣at +4a ﹣a 2，则g （0）•g （4）＜0，∴()()22416440a a a a a -⋅-+-<，解得40a .综上，实数a 的取值范围为(){}4,04-.故选：C .【点睛】本题考查方程根的问题，利用导数研究函数的单调性与最值，考查学生的数形结合思想、转化与化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11．C解析：C【分析】转化条件为当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解，令()ln 1,0x e x x g x x x --=>，通过导数确定()g x 的取值范围即可得解.【详解】若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则当0x >时，()()ln 1x e x x ax ----=++有解，即当0x >时，ln 1x e x x ax =++有解，所以当0x >时，ln 1x e x x a x--=有解， 令()ln 1,0x e x x g x x x--=>， 则()()()2ln 1ln 1x x e x x e x x g x x -----'=()()()221111x x x e x e x x x ----+==， 当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()min 11g x g e ==-，()[)1,g x e ∈-+∞，所以[)1,a e ∈-+∞.故选：C.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用及利用导数研究方程有解问题，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.12．D解析：D【分析】表示出函数()g x ，分0k =，k 0<及0k =讨论，易知当0k =及k 0<时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为22()(0)k g x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数()g x 在(0,)+∞上的最小值小于0即可．【详解】 解：依题意，222,0()4,02,0k x k x x g x k x k x k x x ⎧+->⎪⎪=-=⎨⎪⎪--<⎩，当0k =时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故0k ≠；观察解析式，易知函数()g x 为偶函数，则函数()g x 有且仅有四个不同的零点，可转化为22()(0)k g x x k x x=+->有且仅有两个不同的零点， 当k 0<时，函数()g x 在(0,)+∞上递增，最多一个零点，不合题意；当0k >时，322()()x k g x x -'=，0x >， 令()0g x '>，解得13x k >，令()0g x '<，解得130x k <<，故函数()g x 在13(0,)k 上递减，在13(k ，)+∞上递增，要使()g x 在(0,)+∞上有且仅有两个不同的零点， 则1233132()()0min k g x g k k k k ==+-<，解得27k >．故选：D ．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系以及利用导数研究函数的单调性，最值等，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题． 二、填空题13．【分析】由得根据的范围得利用导数得可得令将化为关于的二次函数根据二次函数知识可求得结果【详解】因为所以所以因为所以当时由得由得所以在上递减在上递增所以在处取得最小值所以所以令则所以所以当时取得最小值解析：24,0e ⎡⎤-⎣⎦【分析】由()()12f x f x =得2124x e x e x =-，根据1x 的范围得224x e e x ≤，利用导数得22x e e x ≥，可得224x e e e x ≤≤，令22x e t x =，将()12x f x 化为关于t 的二次函数，根据二次函数知识可求得结果.【详解】因为()()12f x f x =，所以2124x e x e x +=，所以2124x e x e x =-， 因为10x ≤，所以224x e e x ≤， 当0x >时，()x e f x x =，22(1)()x x x e x e e x f x x x'--==， 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<，所以()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 在1x =处取得最小值e ，所以224x e e e x ≤≤， 所以()12x f x 22224x x e e e x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭222224x x e e e x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 令22x e t x =，则4e t e ≤≤， 所以()12x f x 24t et =-()2224t e e =--， 所以当2t e =时，12()x f x 取得最小值24e -，当4t e =时，12()x f x 取得最大值0， 所以12()x f x 的取值范围是24,0e ⎡⎤-⎣⎦.故答案为：24,0e ⎡⎤-⎣⎦【点睛】 关键点点睛：令22x e t x =，将()12x f x 化为关于t 的二次函数，根据二次函数知识求解是解题关键.14．【分析】构造函数求得的取值范围化简不等式求得的取值范围【详解】构造函数依题意任意当时表示函数在区间上任意两点连线的斜率故当时对于任意当时不等式成立当时对于任意当时不等式恒成立可转化为恒成立故综上所述 解析：(,2]-∞【分析】构造函数()()ln 1f x x x =≥，求得()'f x 的取值范围，化简不等式2121(ln ln )2()a x x x x -<-求得a 的取值范围.【详解】构造函数()()ln 1f x x x =≥，()(]'10,1f x x=∈， 依题意任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，2121ln ln 0,0x x x x ->->，2121ln ln x x x x --表示函数()f x 在区间[1,)+∞上任意两点连线的斜率， 故()2121ln ln 0,1x x x x -∈-. 当0a ≤时，对于任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，不等式2121(ln ln )2()a x x x x -<-成立.当0a >时，对于任意12,[1,)x x ∈+∞，当21x x >时，不等式2121(ln ln )2()a x x x x -<-恒成立可转化为2121ln ln 2x x x x a -<-恒成立，故(]21,0,2a a≥∈. 综上所述，实数a 的取值范围是(,2]-∞.故答案为：(,2]-∞【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，结合导数来求解..15．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于 解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22x f x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即 ()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根， 也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，所以()()22420a a ∆=+-+>，即()()2240a a ++->，解得：2a >或2a <-，故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题. 16．【分析】由可得对称轴是由可得从而得出判断的单调区间再结合即可得不等式的解集【详解】因为函数对定义域内内的任意都有所以对称轴是因为满足即所以当时单调递增当时单调递减又因为所以时时时当与同号时所以的解集 解析：()(),01,3-∞⋃【分析】由()()4f x f x =-，可得()f x 对称轴是2x =，由()()2xf x f x ''<可得()()20x f x '-<，从而得出判断()f x 的单调区间，再结合()30f =，即可得不等式()0xf x >的解集.【详解】因为函数()f x 对定义域内R 内的任意x 都有()()4f x f x =-，所以()f x 对称轴是2x =，因为()f x '满足()()2xf x f x ''<，即()()20x f x '-<，所以当2x <时()0f x '>，()f x 单调递增，当2x >时()0f x '<，()f x 单调递减，又因为()()130f f ==，所以1x <时，()0f x <，13,x <<时，()0f x >，3x >时，()0f x <，当x 与()f x 同号时，()0xf x >，所以()0xf x >的解集为：()(),01,3-∞⋃，故答案为：()(),01,3-∞⋃【点睛】本题主要考查了函数的对称性和单调性，导数的符号决定原函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.17．2【分析】由对任意的恒成立得对任意的恒成立令利用导数研究函数的单调性在同一坐标平面内作出两个函数的图象求出过且与函数相切的直线在轴上的截距数形结合得答案【详解】解：由对任意的恒成立得对任意的恒成立令 解析：2【分析】由224x x ax b lnx -++对任意的[1x ∈，]e 恒成立，得2224x x ax b lnx x -+-+-对任意的[1x ∈，]e 恒成立，令2()2f x x x =-+-，2()4g x lnx x =-．利用导数研究函数()g x 的单调性，在同一坐标平面内作出两个函数的图象，求出过(1,1)-且与函数2()2f x x x =-+-相切的直线在y 轴上的截距，数形结合得答案．【详解】解：由224x x ax b lnx -++对任意的[1x ∈，]e 恒成立，得2224x x ax b lnx x -+-+-对任意的[1x ∈，]e 恒成立，令2()2f x x x =-+-，2()4g x lnx x =-．由2()4g x lnx x =-，得2442()2(1)x g x x x e x x -'=-=． 当(1,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(2,)x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减．在同一平面直角坐标系内，作出函数()y f x =与()y g x =的图象如图：设过(1,1)-与2()2f x x x =-+-相切的直线方程为1(1)y k x +=-， 联立2(1)12y k x y x x =--⎧⎨=-+-⎩，消去y 得2(1)10x k x k +-+-=． 由2(1)4(1)0k k ∆=---=，解得3k =-或1k =．当3k =-时，直线方程为32y x =-+．由图可知，满足不等式224x x ax b lnx -++对任意的[1x ∈，]e 恒成立的实数b 的最大值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题．18．【分析】构造函数判断函数的单调性和奇偶性得到解得答案【详解】设函数当时函数单调递增为奇函数故为奇函数故函数在上单调递增即即解得故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式构造函数判断 解析：(),2019-∞-【分析】构造函数()()2g x x f x =，判断函数的单调性和奇偶性，得到()()20212g x g +<，解得答案.【详解】设函数()()2g x x f x =， 当0x >时，()()()()()23220g x xf x x f x x f x xf x x '''=+=+>>⎡⎤⎣⎦，函数单调递增，()f x 为奇函数，故()g x 为奇函数，故函数()g x 在R 上单调递增，22(2021)(2021)4(2)(2021)(2021)4(2)0x f x f x f x f +++-=++-<， 即()()20212g x g +<，即20212x +<，解得2019x <-.故答案为：(),2019-∞-.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，构造函数判断单调性和奇偶性是解题的关键.19．【分析】转化条件得设求导后求出函数的最小值令即可得解【详解】由题意得由于时故设则由于所以当时单调递减；当时单调递增于是所以即故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题 解析：(]0,e【分析】转化条件得()min 0f x '≥，设()()g x f x '=，求导后求出函数()g x 的最小值()min g x ，令()min 0g x ≥即可得解.【详解】由题意得()2ln 2x f x a x '=-. 由于0x >时，()0f x '≥，故()min 0f x '≥.设()()g x f x '=，则()(2x x x a g x x x +-'==. 由于0x >，所以当(x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增.于是()()()min min 1ln 022a a f x g x g a a '===-=-≥， 所以ln 1a ≤即0a e <≤，故实数a 的取值范围是(]0,e .故答案为：(]0,e【点睛】本题考查了利用导数解决不等式恒成立问题，考查了推理能力，属于中档题.20．【分析】可知从而根据条件可判断为减函数或存在极值点求导数从而可判断不可能为减函数只能存在极值点从而方程有解这样由指数函数的单调性即可得出的取值范围【详解】要满足使得成立则函数为减函数或存在极值点当时 解析：()1,+∞【分析】可知00lg x x <，从而根据条件可判断()f x 为减函数或存在极值点，求导数()1x f x e a '=-+，从而可判断()f x 不可能为减函数，只能存在极值点，从而方程1x a e -=有解，这样由指数函数x y e =的单调性即可得出a 的取值范围.【详解】00lg x x <，∴要满足0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00lg f x f x >成立，则函数()f x 为减函数或存在极值点，()1x f x e a '=-+，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤不恒成立，即函数()f x 不是减函数，∴只能()f x 存在极值点，()0f x '∴=有解，即方程1x a e -=有解，即11x a e =+>，()1,a ∴∈+∞，故答案为：()1,+∞【点睛】本题考查了导数研究不等式能成立问题，考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了转化与化归的思想，解题的关键是求出导数，属于中档题.三、解答题21．（1）()400cos 200S θθθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6πθ=.【分析】（1）在直角三角形ABC 中，100AB =，BAC θ∠=，可得AC 的长．由于22BOC BAC θ∠=∠=，可得弧BC 的长；（2）利用导数求()s θ最大值可得答案．【详解】（1）如图，连结OC ，BC ，在直角三角形ABC 中，CAB θ∠=，200AB =（m ），所以200cos AC θ=（m ），由于22COB CAB θ∠=∠=，所以弧BC 的长为1002200θθ⨯=（m ），所以()2200cos 200400cos 200S θθθθθ=⨯+=+（m ），0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，（2）由（1）得()400cos 200S θθθ=+0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()()2002sin 1S θθ'=-+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当06πθ<<时，()0S θ'>，当6πθ=时，()0S θ'=，当62ππθ<<时，()0S θ'<， 所以()S θ在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 当6πθ=时，()S θ有最大值100400cos 20020036663S ππππ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭， 所以当6πθ=时，绿化带总长度最大.【点睛】 本题考查解实际问题的应用，关键正确理解题意，正确列出等量关系或函数关系式，考查了分析问题、解决问题的能力.22．（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）讨论0a ≤，0a >两种情况，确定()'f x 的正负，利用导数求()f x 的单调性；（2）设()()g x h x x=，利用导数得出()h x 的单调性，进而得出最小值，讨论最小值大于、小于、等于0的情况结合零点存在性定理确定()h x 的零点个数，即()g x 零点的个数.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()2x f x ae '=-.①当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '=得2lnx a =. 若2,lnx a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，()0f x '<； 若2ln ,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>； 所以()f x 在2,lna ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减；()f x 在2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）()ln 21x g x ae x x x =+-+ 设函数()1()ln 2x g x ae h x x x x x==++- ()2221(1)(1)11()x x ae x ae x h x x x x x +--'=+-= 因为0a >，所以()0h x '=得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 在(0,1)上单调递减.当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在(1,)+∞上单调递增.所以当1x =时，()h x 取最小值，最小值为(1)1h ae =-. 若1a e =时，(1)0h =，所以函数()h x 只有1个零点； 若1a e>时，()(1)0h x h ≥>，所以函数()h x 无零点； 若10a e <<时，(1)0h <，()222222240e e h e a e e e---=-+->->， ()22221220e e h e a e e =++->，故()2(1)0h h e -<，()2(1)0h h e <； 所以函数()h x 在()21,e -和()21,e 各有一个零点，所以函数()h x 有两个零点. 综上所述，当1a e =时，函数()g x 只有1个零点；当1a e >时，函数()g x 无零点；当10a e<<时，函数()g x 有两个零点 【点睛】方法点睛：研究含参函数()g x 的零点问题，即方程()0g x =的实根问题，通常选择参变分离,得到()ag x 的形式，后借助数形结合(几何法)思想求解；若无法参变分离，则整体含参讨论函数()g x 的单调性、极值符号，由数形结合可知函数()g x 的图象与x 轴的交点情况即函数()g x 的零点情况. 23．（1）最大值为92，最小值为5027-；（2）[]2,2-.【分析】（1）求出导数，由()10f '-=求出参数值，代入导函数中，求出极值点.比较极值点处函数值与区间端点函数值的大小，得出最值.（2）由导函数为二次函数，且在(],2-∞和[)2,+∞函数值恒大于等于零，结合二次函数图像求解. 【详解】解：（1）由原式的()3244f x x ax x a =--+，∴()2324f x x ax '=--；由()10f '-=，得12a =，此时有()234f x x x '=--； ()10f '-=得43x =或1x =-，故极值点为43x =和1x =- 又450327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()912f -=，()20f -=，()20f =， 所以()f x 在[]2,2-上的最大值为92，最小值为5027-. （2）()2324f x x ax '=--的图像为开口向上且过点()0,4-的二次函数， 由条件知，()2324f x x ax '=--在(],2-∞-和[)2,+∞上恒大于等于零故仅须满足()20f '-≥，()20f '≥， ∴22a -≤≤.所以a 的取值范围为[]2,2-. 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．24．（1）()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞；（2）2e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. 【分析】（1）当1a =时()122x f x ex -=-，先对()f x 求导得()g x 的解析式，再对()g x 求导，由()0g x '<得单间区间，由()0g x '>得单增区间； （2）由题意可得方程()1202x f x eax --==有三个不等的实根，等价于方程122x e a x-=有三个不等的实根，即y a =与122()(0)x eh x x x -=≠两个函数图象有三个不同的交点，对()h x 求导判断其单调性，作出其图象，数形结合即可求解.【详解】（1）当1a =时，1()22x f x e x -'=-， 令()()g x f x '=，则1()22x g x e -'=-，当1x <时()0g x '<，()g x 在(,1)-∞上单调递减； 当1x >时()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增．所以()g x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞； （2）2(0)0f e=≠，0x ∴≠， 所以若()f x 在R 上恰有三个零点等价于()1202x f x eax --==有三个不等的实根，等价于方程122x e a x -=有三个不等的实根， 设122()(0)x e h x x x-=≠， 则y a =与122()(0)x eh x x x-=≠两个函数图象有三个不同的交点， 因为1211432222(2)()x x x e x e x e x h x x x---⋅-⋅-'== 令()0h x '=，得2x =，且(2)2eh =当()x ∈∞-,0时，()0h x '>，()h x 单调递增且()()0,h x ∈+∞，当()0,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减且()+2e h x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，， 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增且()+2e h x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，作出其图象如图所示：当2x =时，2122(2)22e eh -==， 由图知当2ea >时，y a =与()y h x =的图象有三个交点， 即()f x 有三个不同的零点，所以a 的取值范围是2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.25．（1）极小值为3ln 2-，无极大值；（2）(],1-∞. 【分析】（1）对函数求导，因式分解求得()0f x '=的根，列表判断单调性与极值；（2）将()2f x x x >-转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，令新的函数()g x ，然后求导以及二次求导以后判断单调性与极值，求出()g x 的最小值即可. 【详解】解：（1） 由2a =-，得()2ln f x x x x=+-，定义域为()0,∞+， ()()()2222212121x x x x f x x x x x-+--'=--==， 令()0f x '=，得2x =（或1x =-舍去），列表：x()0,22()2,+∞()f x '-+所以f x 的极小值为23ln 2=-f ，无极大值. （2）由2ln a x x x x x -->-，得2ln ax x x<-， 问题转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，记()()3ln ,1,g x x x x x =-∈+∞，即min ()a g x <在()1,+∞上恒成立，则()()2231ln 3ln 1g x x x x x '=-+=--，令()23ln 1h x x x =--，则()21616x h x x x x-'=-=，由1x >，知2610x ->，即()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，()()120h x h >=>，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()11g x g >=， 由()a g x <在()1,+∞上恒成立，所以1a ≤. 【点睛】方法点睛：导函数中两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 26．（I ）()3,5-;（II ）2m = 【分析】（Ⅰ）判断出()1xx f x a a=-是R 上的单调递增和()f x 为定义域为R 的奇函数，进而转化为()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而可求解（Ⅱ）利用()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()122xxu f x ==-，则()222g u u mu =-+，进而利用导数求最值即可求出m 的值 【详解】解:（Ⅰ） ()1(0,1)xxf x a a a a =->≠，因为()10f >，所以10a a->，又0a >且1a ≠，所以1a >，所以，()1x x f x a a=-是R 上的单调递增， 又()f x 是定义域为R 的函数，满足()()f x f x -=-，所以，()f x 为定义域为R 的奇函数，所以，()()()()2224044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立， 所以()21160b ∆=--<，即35b -<<， 所以实数b 的取值范围为()3,5-. （Ⅱ）因为()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()122xxu f x ==-，则()222g u u mu =-+， 因为()122xxf x =-在R 上为增函数，且1≥x ，所以()312u f ≥=， 因为()()221222xx h x mf x =+-在[)1,+∞上的最小值为2-， 所以()222g u u mu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为2-，因为()()222222g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m = 所以当32m ≥时， ()()2min 22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去）， 当32m <时， ()min 3173224g u g m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>， 综上可知：2m = 【点睛】关键点睛：解题关键：（Ⅰ）利用函数的奇偶性和单调性得到()()()()22404f x bx f x f x bx f x ++->⇒+>-，进而转化求解即可；（Ⅱ）求出a ，构造函数()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，然后令()122xxu f x ==-，构造出()222g u u mu =-+，进而求解。

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1.下列说法正确的是A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=02.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2xA.①②B.②③C.③④D.①③3.函数y =216xx +的极大值为 A.3 B.4 C.2 D.54.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为A.0B.1C.2D.45.1．函数3)1(+=x y ，当x=-1时（）A ．有极大值B ．有极小值C ．既无极大值也无极小值D ．无法断定6.y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于A.6B.0C.5D.1二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.8.曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值.9.函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________. 10.函数f (x )=x －3223x 的极大值是___________，极小值是___________. 11.若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a =___________,b =___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.13.函数f (x )=x +xa +b 有极小值2，求a 、b 应满足的条件.14.设y =f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x =21时，f (x )的极小值为－1，求函数的解析式.函数的极值1.D2.B3.A4.A5.C6.A7. 7 8.两 9.125 －131 10. 0 －21 11.－3 －9 12.解：f ′(x )=3x 2+2ax +b .据题意，－1，3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根，由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231ba ∴a =－3,b =－9，∴f (x )=x 3－3x 2－9x +c ∵f (－1)=7,∴c =2，极小值f (3)=33－3×32－9×3+2=－25∴极小值为－25，a =－3,b =－9,c =2.13.解：f ′(x )=22x a x - 由题意可知f ′(x )=0有实根，即x 2－a =0有实根∴a >0，∴x =a 或x =－a ，∴f ′(x )=2))((x a x a x -+ 令f ′(x )>0,得x <－a 或x >a ; 令f ′(x )<0,得－a <x <a 且x ≠0. ∴f (x )在x =－a 时取得极大值；f (x )在x =a 时取得极小值2. ∴a +aa +b =2，即2a +b =2 ∴a 、b 应满足的条件为a >0,b =2(1－a ).14.解：设函数解析式为f (x )=ax 3+bx ，f ′(x )=3ax 2+b∵f ′(21)=0,f (21)=－1 得⎩⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+34128043b a b a b a 解得 ∴f (x )=4x 3－3x。