湖北省荆州中学2016-2017学年高一(下)3月段测数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）5月段测数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知α，β是空间中两个不同的平面，l为平面β内的一条直线，则“l∥α”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为（）A．1 B．C．5 D．93．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人4．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.46．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞87．已知p：“∀x＞0，有lnx+1≤x＜e x成立”，q：“十进制数2017转化为八进制”，则下列命题为真的是（）数为1473（8）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）8．设函数f（x）=（x+a）n，其中n=6cosxdx，=﹣3，则f（x）的展开式中x4的系数为（）A．﹣360 B．360 C．﹣60 D．609．某人订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，他离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，则他离开家前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．10．给出下列四个结论：①若n组数据（x1，y1）…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1；②由直线x=，x=2，曲线y=及x轴围成的图形的面积是2ln2；③已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位．其中错误结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．411．椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B1、B2，F2为右焦点，延长B2F2与A2B1交于点P，若∠B2PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12．若函数f （x ）=x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）=x 2+ln （x +a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣） B ．（） C ．（） D ．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 13．= ．14．已知x ，y 满足约束条件，求z=（x +1）2+（y ﹣1）2的最小值是 ．15．过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线与双曲线x 2﹣=1的一条渐进线平行，并交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＞|BF |，且|AF |=2，则抛物线的方程为 ．16．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x ）+f （2﹣x ）=4，设f （x ）的导函数为f′（x ），∀x ∈R 总有f′（x ）＜f （x ）成立，则不等式f （x ）＞2e x +3的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知函数f （x ）=﹣x 3+3x 2+9x +a ． （Ⅰ）求f （x ）的单调递减区间；（Ⅱ）若f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 18．（12分）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列、数学期望以及方差．19．（12分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AD⊥平面PBC，其垂足D 落在直线PB上．（Ⅰ）求证：BC⊥PB；（Ⅱ）若AD=，AB=BC=2，Q为AC的中点，求PA的长度以及二面角Q﹣PB ﹣C的余弦值．20．（12分）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、B2（0，1），离心率e=，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P 和B2P分别与x轴相交于M，N两点，（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|•|ON|的值；（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN面积的最大值．21．（12分）已知f（x）=．（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=ax2﹣2lnx，则g（x）=1时有两个不同的根，求a的取值范围；（3）存在x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．2016-2017学年湖北省荆州中学高二（下）5月段测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知α，β是空间中两个不同的平面，l为平面β内的一条直线，则“l∥α”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：根据面面平行的性质，由α∥β，l为平面β内的一条直线，得到l ∥α，当l∥α，则α∥β或相交，故“l∥α”是“α∥β”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题考查充要条件的判断，涉及空间直线与平面的位置关系，属基础题．2．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则实数a的值为（）A．1 B．C．5 D．9【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】直接利用正态分布的对称性，列出方程求解即可．【解答】解：由题意可知随机变量ξ～N（2，4），满足正态分布，对称轴为μ=2，P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），则：，解得a=．故选：B．【点评】本题考查正态分布的基本性质是应用，考查计算能力．3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】设出男学生有x人，根据一共有8人得到女学生有8﹣x人，根据从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，得到关于x的等式C x2C8﹣x1A33=90，解出x即可．【解答】解：设男学生有x人，则女学生有8﹣x人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案∴C x2C8﹣x1A33=90，∴x（x﹣1）（8﹣x）=30=2×3×5，∴x=3故选B．【点评】本题考查排列组合数的实际应用，是一个综合题，解题时思考方法同一般的排列组合一样，根据题意列出等式，得到结果．4．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率为（）A．B．C．D．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】先计算抽样比f，再求出A类学校应该抽取多少人，由此能求出A类学校中的学生甲被抽到的概率．【解答】解：抽样比f==，∴A类学校应该抽取2000×=200，∴A类学校中的学生甲被抽到的概率为P==．故选：A．【点评】本题考查分层抽样的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，确定直观图是关键．6．若如图的框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=9 B．k≤8 C．k＜8 D．k＞8【考点】EF：程序框图．【分析】运行程序框图，确定条件．【解答】解：如图：可知，10，9时条件成立，8时不成立．故选D．【点评】本题考查了程序框图中条件的确定，属于基础题．7．已知p：“∀x＞0，有lnx+1≤x＜e x成立”，q：“十进制数2017转化为八进制”，则下列命题为真的是（）数为1473（8）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】p：令f（x）=x﹣lnx（x＞0），则f′（x）=，可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）≥f（1）=1＞0，可得x＞lnx．令g（x）=e x ﹣x，（x＞0），同理可得e x＞x．即可判断出真假．q：如图所示，“十进制数2017转化为八进制数为3741（8）”，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：p：令f（x）=x﹣lnx（x＞0），则f′（x）=1﹣=，可知：当x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（x）≥f（1）=1＞0，∴x＞lnx．令g（x）=e x﹣x，（x＞0），同理可得e x＞x．因此“∀x＞0，有lnx+1≤x＜e x成立”，是真命题．q：如图所示，“十进制数2017转化为八进制数为3741（8）”，因此为假命题．则下列命题为真的是p∨（￢q）．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、进位制、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．设函数f（x）=（x+a）n，其中n=6cosxdx，=﹣3，则f（x）的展开式中x4的系数为（）A．﹣360 B．360 C．﹣60 D．60【考点】DC：二项式定理的应用；69：定积分的简单应用．【分析】求出积分式的值得到n，利用=﹣3，求出a，然后求出二项式中所求项的系数．【解答】解：因为n=6cosxdx=6sinx=6，∵=﹣3，f（0）=a6，f′（0）=C65a5=6a5，所以，所以a=﹣2，所以f（x）=（x﹣2）6的展开式中x4的系数为：C6222=60．故选D．【点评】本题考查积分、导数、二项式定理的应用，考查计算能力．9．某人订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到他家，他离开家去工作的时间在早上7：00～8：00之间，则他离开家前能得到报纸的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案【解答】解：设送报人到达的时间为x，小明爸爸离家去工作的时间为y，记小明爸爸离家前能看到报纸为事件A；以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示小明爸爸离家时间，建立平面直角坐标系，小明爸爸离家前能得到报纸的事件构成区域如图示：由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．根据题意，只要点落到阴影部分，就表示小明爸爸在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P（A）=；故选：D【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键在于设出x、y，将（x，y）以及事件A在平面直角坐标系中表示出来，属于中档题．10．给出下列四个结论：①若n组数据（x1，y1）…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1；②由直线x=，x=2，曲线y=及x轴围成的图形的面积是2ln2；③已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；④设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2个单位．其中错误结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关系数的定义，即可判断是否正确；②利用定积分的几何意义将所求首先利用定积分表示，然后计算；③根据正态分布的对称性，可判断是否正确；④根据回归直线方程回归系数的意义，即可得出正确的结论．【解答】解：对于①，若n组数据（x1，y1）…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则x，y成负相关，且相关关系最强，此时相关系数r=﹣1，①正确；对于②，由直线x=，x=2，曲线y=及x轴围成的图形的面积是S=dx=lnx=2ln2，②正确；对于③，∵P（ξ≤4）=0.79，∴P（ξ≥4）=1﹣0.79=0.21，又∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴P（ξ≤﹣2）=（ξ≥4）=0.21，③正确；对于④，根据回归直线方程=2﹣2.5x知，当变量x增加一个单位时，平均减少2.5个单位，④错误；综上，其中错误结论有1个．故选：A．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用问题，是综合题．11．椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左右顶点分别为A1、A2，上下顶点分别为B1、B2，F2为右焦点，延长B2F2与A2B1交于点P，若∠B2PA2为钝角，则该椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】K4：椭圆的简单性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题意画出图形，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，再由∠B2PA2为钝角，可得与的夹角为锐角，利用数量积大于0，结合隐含条件可得椭圆离心率的取值范围．【解答】解：如图所示，∠B1PB2为与的夹角．设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c，=（﹣a，b），=（﹣c，﹣b），∵∠B2PA2为钝角，∴与的夹角为锐角，∴=ac﹣b2＞0，又∵b2=a2﹣c2，∴a2﹣ac﹣c2＜0．两边除以a2得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，解得e＜（舍）或e＞，又∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，解题时利用向量的数量积大于0建立不等式，求出正确的结论，是中档题．12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【考点】3O：函数的图象．【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln （﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．=．【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的计算法则和定积分的几何意义计算即可．【解答】解：dx表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的一半，即dx=，sinxdx=﹣cosx|=0，故=，故答案为：【点评】本题考查了定积分计算和定积分的几何意义，属于基础题．14．已知x，y满足约束条件，求z=（x+1）2+（y﹣1）2的最小值是．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义以及距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，1）的距离的平方，由图象知，D到直线AB：x﹣y+1=0的距离最小，此时d==，则z=d2=（）2=，故答案为：．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．15．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐进线平行，并交抛物线于A、B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为y2=2x．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】根据抛物线的定义和双曲线的定义，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0）得到|AF|=x0+，表示出x0，y0，代入到抛物线的解析式，求出p 的值，需要验证．【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），准线方程为x=﹣，双曲线x2﹣=1的渐近线方程为y=x，由于过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x2﹣=1的一条渐近线平行，并交抛物线于A，B两点，不妨设直线AB为y=（x﹣），设A（x0，y0），∴|AF|=x0+，∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，∴x0=2﹣，x0＞，∴0＜p＜2∴y0=（2﹣p），∴3（2﹣p）2=2p（2﹣），整理得p2﹣4p+3=0，解的p=1或p=3（舍去），故抛物线的方程为y2=2x，故答案为：y2=2x．【点评】本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线和双曲线的定义和性质，属于中档题．16．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）+f（2﹣x）=4，设f（x）的导函数为f′（x），∀x∈R总有f′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞2e x+3的解集为{x丨x＜﹣3} ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可知：根据函数的奇偶性求得f（x）=f（x+4），则函数f（x）为周期为4的函数，f（3）=f（﹣1），即可求得f（﹣3）=f（3）=2，构造辅助函数，求导，由题意可知：g（x）=单调递减，则不等式转化成＞2e3=，根据函数的单调性即可求得不等式的解集．【解答】解：f（x）+f（2﹣x）=4，则f（﹣1）+f（3）=4，由函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），则f（﹣x）+f（2﹣x）=4，∴f（x）+f（2+x）=4，，∴f（x）=f（x+4），∴函数f（x）为周期为4的函数，f（3）=f（﹣1），∴f（﹣3）=f（3）=2，设g（x）=，g′（x）=，由∀x∈R总有f′（x）＜f（x）成立，∴g′（x）=＜0恒成立，∴g（x）=单调递减，f（x）＞2e x+3，则＞2e3=，∴x＜﹣3，∴不等式f（x）＞2e x+3的解集{x丨x＜﹣3}，故答案为：{x丨x＜﹣3}．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期性以及构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2005•北京）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）先求出函数f（x）的导函数f′（x），然后令f′（x）＜0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；（II）先求出端点的函数值f（﹣2）与f（2），比较f（2）与f（﹣2）的大小，然后根据函数f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，得到f （2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．【解答】解：（I）f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（II）因为f（﹣2）=8+12﹣18+a=2+a，f（2）=﹣8+12+18+a=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因为在（﹣1，3）上f′（x）＞0，所以f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=﹣2．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，因此f（﹣1）=1+3﹣9﹣2=﹣7，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣7．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力．18．（12分）（2017春•荆州区校级月考）对某交通要道以往的日车流量（单位：万辆）进行统计，得到如下记录：将日车流量落入各组的频率视为概率，并假设每天的车流量相互独立．（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量低于5万辆的概率；（Ⅱ）用X表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X的分布列、数学期望以及方差．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）求出日车流量不低于10万辆和日车流量低于5万辆的概率，利用相互独立事件的概率公式计算；（II）根据二项分布的概率计算公式求出概率，得出分布列，代入公式计算数学期望和方差．【解答】解：（Ⅰ）设A1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A2表示事件“日车流量低于5万辆”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则P（A1）=0.35+0.25+0.10=0.70，P（A2）=0.05，所以P（B）=0.7×0.7×0.05×2=0.049．（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，则P（X=0）=（1﹣0.7）3=0.027，P（X=1）=•0.7•（1﹣0.7）2=0.189，P（X=2）=•0.72•（1﹣0.7）=0.441，P（X=3）=0.73=0.343．X的分布列为∵X～B（3，0.7），∴E（X）=3×0.7=2.1．D（X）=3×0.7×（1﹣0.7）=0.63．【点评】本题考查了二项分布，相互独立事件的概率计算，属于中档题．19．（12分）（2017春•荆州区校级月考）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上．（Ⅰ）求证：BC⊥PB；（Ⅱ）若AD=，AB=BC=2，Q为AC的中点，求PA的长度以及二面角Q﹣PB ﹣C的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（I）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，由AD⊥平面PBC得AD⊥BC，故而BC⊥平面PAB，于是BC⊥PB；（II）根据△PAB的面积即可得出PA的长，建立坐标系，求出平面PBQ的法向量和的坐标，即可得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AD⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC又PA⊂平面PAB，AD⊂平面PAB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB∵PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB．（Ⅱ）解：∵AD⊥平面PBC，其垂足D落在直线PB上，∴AD⊥PB，设PA=x，则PB=，==，∴S△PAB即=2x，解得x=2，即PA=2．由（1）知BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB，以，为x轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），Q（1，1，0），P（0，0，2），C（2，2，0），∴=（2，0，﹣2），=（1，1，﹣2），设平面PBQ的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1得=（，，1），在Rt△ABD中，AD=，AB=2，则BD=1，∴D（，0，），∴=（，0，），∵AD⊥平面PBC，∴是平面PBC的一个法向量．∴cos＜＞===．∴二面角Q﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，空间向量与空间角的计算，属于中档题．20．（12分）（2016秋•荆门期末）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴两端点为B1（0，﹣1）、B2（0，1），离心率e=，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线B1P和B2P分别与x轴相交于M，N两点，（Ⅰ）求椭圆C的方程和|OM|•|ON|的值；（Ⅱ）若点M坐标为（1，0），过M点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试求△ABN面积的最大值．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由b=1，离心率e==，则c2=a2，由a2﹣b2=c2，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程，设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y=x﹣1，y=0，得x M=，同理可得x N=，∴|OM|•|ON|=丨x M丨•丨x N丨==4；（Ⅱ）设直线AB的方程为x=ty+1，代入椭圆方程，由韦达定理求得丨y1﹣y2丨==，S=丨MN丨•丨y1﹣y2丨=，由函数的单调性即可求得△ABN面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，由B1（0，﹣1）、B2（0，1），知b=1，…（1分）由椭圆的离心率e==，则c2=a2，由a2﹣b2=c2，a2﹣1=a2，解得：a2=4，∴椭圆C的方程为：；…（3分）设点P（x0，y0），则直线B1P方程为y=x﹣1，令y=0，得x M=，同理可得x N=，∴|OM |•|ON |=丨x M 丨•丨x N 丨=丨丨•丨丨==4，|OM |•|ON |=4；… （Ⅱ）当点M 坐标为（1，0）时，点N （4，0），丨MN 丨=3，…（6分） 设直线AB 的方程为x=ty +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），，整理得（t 2+4）y 2+2ty ﹣3=0，则y 1+y 2=﹣，y 1•y 2=﹣，…（8分）丨y 1﹣y 2丨===，△ABN 面积S=丨MN 丨•丨y 1﹣y 2丨=•=，…（10分）∵t 2≥0，则+≥+=，∴S ≤，因此当t=0，即直线AB 的方程为x=1时，△ABN 面积的最大值是．…（12分） 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及三角形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016•平度市三模）已知f （x ）=．（1）求f （x ）的单调区间；（2）令g （x ）=ax 2﹣2lnx ，则g （x ）=1时有两个不同的根，求a 的取值范围； （3）存在x 1，x 2∈（1，+∞）且x 1≠x 2，使|f （x 1）﹣f （x 2）|≥k |lnx 1﹣lnx 2|成立，求k 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；3R ：函数恒成立问题．【分析】（1）求导f′（x ）=﹣=﹣，从而讨论导数的正负，以确定函数的单调性；（2）化简可得a==f（x），从而由（1）作函数的图象，从而解得；（3）不妨设x1＞x2＞1，从而化不等式为函数h（x）=f（x）+klnx在（1，+∞）上存在单调减区间，从而可得h′（x）=f′（x）+=﹣+=＜0在（1，+∞）上有解，从而解得．【解答】解：（1）∵f（x）=，f′（x）==﹣=﹣，故x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（2）∵g（x）=ax2﹣2lnx=1，∴a==f（x），作函数f（x）的图象如下，，∵f（1）==1，∴结合图象可知，a的取值范围为（0，1）；（3）不妨设x1＞x2＞1，∵f（x）在（1，+∞）上单调递减，y=lnx在（1，+∞）上单调递增；∴|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|可化为f（x2）﹣f（x1）≥k（lnx1﹣lnx2），∴f（x2）+klnx2≥f（x1）+klnx1，即函数h（x）=f（x）+klnx在（1，+∞）上存在单调减区间，即h′（x）=f′（x）+=﹣+=＜0在（1，+∞）上有解，即m（x）=kx2﹣4lnx＜0在（1，+∞）上有解，即k＜在（1，+∞）上有解，∵（）′=，当x=时，=0；故（）max=；∴k＜．【点评】本题考查了导数综合应用及数形结合的思想应用，同时考查了学生由繁化简的能力．22．（10分）（2016•包头二模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2．（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设圆心为P（a，b），半径为R，由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，由此能求出圆心P的轨迹方程．（Ⅱ）由题意知，由此能求出圆P的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆心为P（a，b），半径为R，∵圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2，∴由题意知R2﹣b2=2，R2﹣a2=3，∴b2﹣a2=1，∴圆心P的轨迹方程为为y2﹣x2=1．（Ⅱ）由题意知，解得a=0，b=1，R=或a=0，b=﹣1，R=，∴满足条件的圆P有两个：x2+（y﹣1）2=3或x2+（y+1）2=3．【点评】本题考查圆心的轨迹方程的求法，考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用和理解．。

湖北省荆州市2016-2017学年高一数学下学期第一次（3月）月考试题 理考试时间120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设B A ,是非空集合，定义A B ⊗={B A x x ∈且B A x ∉}，己知集合{}02A x x =<<，{}0≥=y y B ，则A B ⊗等于A ．{}()+∞,20B ．[)[)+∞,21,0C ．()()+∞,21,0D ．{}[)+∞,202.与图中曲线对应的函数是A. y=|sinx|；B. y=sin|x|；C. y=－sin|x|；D.y=－|sinx|3.等边三角形ABC 的边长为1，如果,,,BC a CA b AB c ===那么a b b c c a ⋅-⋅+⋅等于A ．12-B ．12C ．32-D ．324．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知3a =，c =cos A =，则b=( )ABC ．2D ．35. 已知α是锐角，3,sin ,cos4a b αα⎛⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝，且a ∥b ，则α为( ) A ．15oB ．30oC ．30o或60o D ．15o或75o6. 函数()()212log 23f x x x =--的单调递减区间是 （ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，－1）C ．（3，+∞）D ．（1，+∞）A.-1B.7 C. 7- D.1 8. 函数()32xf x x =+-的零点所在的区间是（ ）A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3) 9. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．以上三种都有可能 10. 已知数列{}n a 是等差数列，若12111a a <-，且它的前n 项和n s 有最大值，则使得0>n s 的n 的最大值为（ ）A. 11B. 12C.21D. 2211.在△ABC 中，A ＝︒60，b ＝1，这个三角形的面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++的值为（ ）A. 33B.3392 C.3326 D.239 12. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当[]0,2-∈x 时，1)22()(-=xx f ，若在区间)6,2(-内关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a )1,0(≠>a a ,恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.,1)41( B.(1,4) C. (4,8) D.)(8,+∞二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分 13. ()sin()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的部分图象如右图所示，则函数()f x 的解析式为___________14. 一艘海警船从港口A 出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40︒方向直线航行，30分钟后到达B 处，这时候接到从C 处发出的一求救信号，已知C 在B 的北偏东65︒，港口A 的东偏南20︒处，那么B ，C 两点的距离是 海里． 15.已知数列{}n a 的前五项依次为36,515,22,33,0，请参考前四项归纳猜想出一个通项公式，且第五项也满足猜想，你的猜想结果是_____________=n a16.设A()11,x y ，B ()22,x y 是函数()21l o g 21xf x x=+-的图象上任意两点，且()12OM OA OB =+，已知点M 的横坐标为12，则M 点的纵坐标为___________. 三、解答题：本题共6小题，共70分。

2016-2017学年湖北省荆州中学高一（下）3月段测数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设A，B是非空集合，定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，己知集合A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}，则A⊗B等于（）A．{0}∪（2，+∞）B．[0，1）∪[2，+∞）C．（0，1）∪（2，+∞）D．{0}∪[2，+∞）2．如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x|D．y=﹣|sinx|3．等边三角形ABC的边长为1，如果，，，那么等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=3，，，则b=（）A．B．C．2 D．35．已知α是锐角，，且∥，则α为（）A．15o B．30o C．30o或60o D．15o或75o6．函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（3，+∞）D．（1，+∞）7．若，则tanβ=（）A．﹣1 B．C．D．18．函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）9．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形10．已知数列{a n}是等差数列，若，且它的前n项和s n有最大值，则使得s n＞0的n的最大值为（）A．11 B．12 C．21 D．2211．在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（）A．B．C．D．212．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0，a≠1），恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．（1，4） C．（4，8） D．（8，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为14．一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的东偏南20°处，那么B，C两点的距离是海里．15．已知数列{a n}的前五项依次为，请参考前四项归纳猜想出一个通项公式，且第五项也满足猜想，你的猜想结果是a n=．16．设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为，则M点的纵坐标为．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．（1）已知数列{a n}是等差数列，且，求的值；（2）已知数列{a n}是等差数列，且满足，求数列{a n}的通项公式．18．已知向量，，向量与夹角为θ；（1）求cosθ；（2）求在方向上的投影．19．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，g（x）=sin2x（1）试说明由函数y=g（x）的图象经过变换得到函数y=f（x）的图象的变换过程；（2）若h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的值域．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，（a﹣c）（a+c）=b（b﹣c），函数（1）求函数y=f（x）的周期和对称轴方程；（2）求f（B）的值．21．已知数列{a n}满足：是公差为1的等差数列，且．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设，求数列{b n}的前n项和；（3）设，．22．已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（1）若f（3）=3，求f（﹣3）的值；（2）若有且仅有一个实数x0满足f（x0）=x0’且函数的定义域为R，①求实数m的取值范围；②求f（m）的取值范围．2016-2017学年湖北省荆州中学高一（下）3月段测数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设A，B是非空集合，定义A⊗B={x|x∈A∪B且x∉A∩B}，己知集合A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}，则A⊗B等于（）A．{0}∪（2，+∞）B．[0，1）∪[2，+∞）C．（0，1）∪（2，+∞）D．{0}∪[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由集合A与集合B，找出既属于A又属于B的部分求出两集合的并集，找出两集合的公共部分求出两集合的交集，找出属于两集合并集但不属于两集合交集的部分，即可求出A⊗B．【解答】解：∵A={x|0＜x＜2}，B={y|y≥0}，∴A∪B={x|x≥0}，A∩B={x|0＜x＜2}，则A⊗B={0}∪[2，+∞）．故选D2．如图曲线对应的函数是（）A．y=|sinx| B．y=sin|x| C．y=﹣sin|x|D．y=﹣|sinx|【考点】35：函数的图象与图象变化．【分析】应用排除法解决本题，先从图象的右侧观察知它与正弦曲线一样，可排除一些选项，再从左侧观察又可排除一些，从而可选出答案．【解答】解：观察图象知：在y轴的右侧，它的图象与函数y=﹣sinx相同，排除A、B；又在y轴的左侧，它的图象与函数y=sinx相同，排除D；故选C．3．等边三角形ABC的边长为1，如果，，，那么等于（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得=0，把要求的式子化为﹣+，由两个平面向量数量积的定义，求出结果．【解答】解：由题意可得=0，∴=•（）+=﹣+=﹣1+1×1×cos120°=﹣，故选A．4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=3，，，则b=（）A．B．C．2 D．3【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求b2+2b﹣35=0，即可解得b的值．【解答】解：∵a=3，，，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：32=b2+（）2﹣2b••（﹣），整理可得：b2+2b﹣35=0，∴解得：b=，或﹣（舍去）．故选：A．5．已知α是锐角，，且∥，则α为（）A．15o B．30o C．30o或60o D．15o或75o【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由∥，结合向量平行的坐标表示公式可得sinαcosα=×=，由正弦的二倍角的公式可得sin2α=，又由α的范围可得2α=60°或120°，即可得答案．【解答】解：根据题意，，若∥，则有sinαcosα=×=，即有sin2α=，又由α是锐角，则有0°＜2α＜180°，即2α=60°或120°，则α=30o或60o，故选：C．6．函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（3，+∞）D．（1，+∞）【考点】3G：复合函数的单调性．【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f（x）的单调递减区间．【解答】解：要使函数有意义，则x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3，设t=x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数log0.5t在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是（3，+∞）．故选C．7．若，则tanβ=（）A．﹣1 B．C．D．1【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanα=2，进而利用两角差的正切函数公式即可化简已知等式得解．【解答】解：∵，可得：=1，可得：，即：tanα=2，∴由tan（α﹣β）=3==，解得：tan，故选：C．8．函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】有函数的解析式可得f（0）f（1）＜0，再根据函数的零点的判定定理可得函数f（x）的零点所在的一个区间．【解答】解：∵函数f（x）=3x+x﹣2，f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=2＞0，f（0）f（1）＜0．根据函数的零点的判定定理可得函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（0，1），故选C．9．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cosA，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】由已知结合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0从而有sinAcosB ＜0结合三角形的性质可求【解答】解：∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA∴sin（A+B）＜sinBcosA∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA∴sinAcosB＜0 又sinA＞0∴cosB＜0 即B为钝角故选：A10．已知数列{a n}是等差数列，若，且它的前n项和s n有最大值，则使得s n＞0的n的最大值为（）A．11 B．12 C．21 D．22【考点】8F：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由，它们的前n项和S n有最大可得a11＞0，a11+a12＜0，a12＜0，从而有a1+a21=2a11＞0，a1+a22=a11+a12＜0，从而可求满足条件的n的值．【解答】解：由，它们的前n项和S n有最大值，可得数列的d＜0，∴a11＞0，a11+a12＜0，a12＜0，∴a1+a21=2a11＞0，a1+a22=a11+a12＜0，使得S n＞0的n的最大值n=21，故选：C．11．在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC面积为，则的值为（）A．B．C．D．2【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】利用三角形面积公式求得c，进而利用余弦定理求得a，进而根据正弦定理求得===2R，进而推断出=答案可得．=bcsinA=×1×c×=【解答】解：∵S△ABC∴c=4根据余弦定理有：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×=13所以，a=根据正弦定理==，则：==故选A12．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0，a≠1），恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．（1，4） C．（4，8） D．（8，+∞）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f （x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=log a （x+2）的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（﹣2，6）上有3个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=log a（x+2），由题意可得，当x=6时的函数值小于1，即log a（6+2）＞1，log a（2+2）＜1由此解得：8＞a＞4，∴a的范围是（4，8）故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．【解答】解：由的部分图象，可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．故答案为：f（x）=．14．一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的东偏南20°处，那么B，C两点的距离是10海里．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．故答案为：；15．已知数列{a n}的前五项依次为，请参考前四项归纳猜想出一个通项公式，且第五项也满足猜想，你的猜想结果是a n=．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据题意，由数列{a n}的前四项，归纳分析可以推测a n=，验证n=5时是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}的前四项依次为，则有a1==0，a2===，a3===，a4===，则可以推测a n=，当n=5时，a5===，符合题意；故答案为：．16．设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上任意两点，且，已知点M 的横坐标为，则M 点的纵坐标为．【考点】9J ：平面向量的坐标运算．【分析】根据=（+）知M 为线段AB 的中点，利用中点坐标公式得出x 1+x 2=1，求出y 1+y 2的值，即可得出点M 的纵坐标．【解答】解：根据题意， =（+），∴M 为线段AB 的中点；又因为M 的横坐标为x=，且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴=，即x 1+x 2=1，∴y 1+y 2=（+log 2）+（+log 2）=1+log 2（•）=1+log 2=1+log 21=1，∴（y 1+y 2）=，∴点M 的纵坐标为y=．故答案为：．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．（1）已知数列{a n }是等差数列，且，求的值；（2）已知数列{a n }是等差数列，且满足，求数列{a n }的 通项公式．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式求出，从而求出=sin（）=cos，由此能求出结果．（2）由等差数列通项公式得到d2=2a1d，从而求出d=0或d=2a1，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵数列{a n}是等差数列，且，∴，解得，∴=sin（）=sin（）=cos=．（2）∵，∴d2=2a1d∴d=0或d=2a1…..当，此时，…．当d=2a1时，由a1+a2+a5=26得13a1=26，故a1=2，d=4，此时，a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2综上可知：或a n=2+4（n﹣1）=4n﹣2．18．已知向量，，向量与夹角为θ；（1）求cosθ；（2）求在方向上的投影．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）求出两向量的模长和数量积，代入夹角公式计算；（2）根据投影公式计算．【解答】解：（1）=﹣6+4=﹣2，||=，||==2，∴cosθ==．（2）在方向上的投影为．19．已知函数f（x）=sinx﹣cosx，g（x）=sin2x（1）试说明由函数y=g（x）的图象经过变换得到函数y=f（x）的图象的变换过程；（2）若h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的值域．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由已知可得，由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．（2）令sinx﹣cosx=t，则可求sin2x=1﹣t2，可得h（x）=f（x）+g（x）=φ（t）=﹣t2+t+1，由t的范围，结合二次函数的性质可求值域．【解答】（本题满分为12分）解：（1）…故先将y=sin2x的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍得到y=sinx 的图象，再将y=sinx的图象上所有点横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得到的图象，再把所得图象向左平移个单位，即得到的图象．…（2）令sinx﹣cosx=t，则1﹣2sinxcosx=t2故sin2x=1﹣t2故h（x）=f（x）+g（x）=φ（t）=﹣t2+t+1…由（1）知，，所以，故h（x）的值域为…．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，（a﹣c）（a+c）=b（b﹣c），函数（1）求函数y=f（x）的周期和对称轴方程；（2）求f（B）的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）利用诱导公式，二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质，可得对称轴方程（2）利用正余弦定理求解出A，B的角的大小即可求出f（B）的值．【解答】解：函数，化简可得：=，（1）∴函数f（x）的周期T═π．对称轴方程：令．故对称轴方程为．（2）∵，正弦定理，得：，化简得，∵0＜C＜π，∴，又∵（a﹣c）（a+c）=b（b﹣c），可得：a2=b2+c2﹣bc=b2+c2﹣2bccosA，∴cosA=，∵0＜A＜π，得：，故．∴．21．已知数列{a n}满足：是公差为1的等差数列，且．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设，求数列{b n}的前n项和；（3）设，．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）通过及公差可知首项=1，进而利用等差数列的通项公式可得结论；（2）通过（1）裂项可知，进而并项相加即得结论；（3）通过（1）放缩、并项相加可得结论．【解答】解：（1）因为是公差为1的等差数列，且，所以…所以，所以…（2）因为，所以…所以数列{b n}的前n项和…（3）因为…所以，当且仅当n=1时取等号…22．已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（1）若f（3）=3，求f（﹣3）的值；（2）若有且仅有一个实数x0满足f（x0）=x0’且函数的定义域为R，①求实数m的取值范围；②求f（m）的取值范围．【考点】3P：抽象函数及其应用；3T：函数的值．【分析】（1）根据题意，由f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x，将x=3代入，有f （f（3）﹣32+3）=f（3）﹣32+3=﹣3，整理可得f（﹣3）的值；（2）①根据题意，由于函数的定义域为R，分析可得，由基本不等式的性质分析可得答案；②根据题意，由于有且仅有一个实数x0满足f（x0）=x0成立，分析可得f（x）﹣x2+x=x0，分析可得f（x）的解析式，分析其解的情况，可得f（m）=m2﹣m+1，m∈（﹣4，+∞），由二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：（1）因为f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x，f（3）=3所以f（f（3）﹣32+3）=f（3）﹣32+3，又由f（3）=3，代入可得f（3﹣32+3）=﹣3，所以f（﹣3）=﹣3，（2）①因为函数的定义域为R，所以4x+m•2x+4≠0对任意实数成立所以所以﹣m＜4，所以m＞﹣4故m的取值范围是（﹣4，+∞），②因为f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x对x∈R恒成立又因为有且仅有一个实数x0满足f（x0）=x0所以对任意x∈R，有f（x）﹣x2+x=x0令所以由，所以f（x）﹣x2+x=0或f（x）﹣x2+x=1所以f（x）=x2﹣x或f（x）=x2﹣x+1而当f（x）=x2﹣x时，f（x）=x有两个解，舍去当f（x）=x2﹣x+1时，f（x）=x只有一个解，故f（x）=x2﹣x+1所以f（m）=m2﹣m+1，m∈（﹣4，+∞）所以f（m）的取值范围是．2017年6月10日。

2016-2017学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A．0 B．C．1 D．2．若sinα＞0且tanα＜0，则的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第一象限或第三象限D．第三象限或第四象限3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A．4cm2B．2cm2C．4πcm2D．2πcm24．已知均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A．B． C．4 D．5．据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）f（x）=（m，c为常数），已知工人组装第4件产品所用的时间为30分钟，工人组装第m件产品所用的时间为15分钟，则m=（）A．49 B．25 C．16 D．96．已知函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，F（x）=f （x）+1，则F（x）最大值与最小值之和为（）A．1 B．2 C．3 D．07．已知x0是函数f（x）=e x+2x﹣4的一个零点，若x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞08．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．设，若与的夹角是钝角，则实数m的范围是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＜4且D．m＜4且10．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．411．函数的图象与函数y=3sinπx（﹣1≤x≤1）的图象所有交点的横坐标与纵坐标的和等于（）A．4 B．2 C．1 D．012．已知函数，若f（sinα+sinβ+sinr﹣1）=﹣1，f （cosα+cosβ+cosr+1）=3，则cos（α﹣β）+cos（β﹣r）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（）0.5+（）+（0.1）﹣2﹣（π）0+lg2+lg5=．14．已知sinα=，2π＜α＜3π，那么sin．15．y=f（x）为R上的偶函数，且满足f（x+4）=f（4﹣x），当x∈[0，4]时，f（x）=x且s inα=，则f[2016+sin（α﹣2π）•sin（π+α）﹣2cos2（﹣α）]=．16．给出下列结论：（1）函数f（x）=tanx有无数个零点；（2）集合A={x|y=2x+1}，集合B={x|y=x2+x+1}则A∩B={（0，1），（1，3）}；（3）函数的值域是[﹣1，1]；（4）函数的图象的一个对称中心为；（5）已知函数f（x）=2cosx，若存在实数x1，x2，使得对任意的实数x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为2π．其中结论正确的序号是（把你认为结论正确的序号都填上）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数在区间的最大值为6．（1）求常数m的值；（2）求函数g（x）在x∈R时的最小值并求出相应x的取值集合．（3）求函数y=g（﹣x）的递增区间．18．已知，是平面内两个不共线的非零向量，=2+，=﹣+λ，=﹣2+，且A，E，C三点共线．（1）求实数λ的值；若=（2，1），=（2，﹣2），求的坐标；（2）已知点D（3，5），在（1）的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．19．已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，（不需证明）（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．20．在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．（1）若，求的值；（2）若f（α）=﹣2cos2α﹣tsinα﹣t2+2在时有最小值﹣1，求常数t的值．21．已知函数f（x）=2x2﹣（m2+m+1）x+15，g（x）=m2x﹣m，其中m∈R．（1）若f（x）+g（x）+m≥0，对x∈[1，4）恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数①对任意的x1＞0，存在唯一的实数x2＜0，使其F（x1）=F（x2），求m的取值范围；②是否存在求实数m，对任意给定的非零实数x1，存在唯一非零实数x2（x1≠x2），使其F（x2）=F（x1），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P（﹣3，4）（1）求sinα和cosα的值；（2）求的值；（3）求的值．2016-2017学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若点（a，9）在函数y=3x的图象上，则tan的值为（）A．0 B．C．1 D．【考点】指数函数的图象与性质．【分析】先将点代入到解析式中，解出a的值，再根据特殊三角函数值进行解答．【解答】解：将（a，9）代入到y=3x中，得3a=9，解得a=2．∴=．故选D．2．若sinα＞0且tanα＜0，则的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第一象限或第三象限D．第三象限或第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】利用象限角的各三角函数的符号，将sinα＞0且tanα＜0，得出α所在的象限，进而得出结果．【解答】解；∵sinα＞0且tanα＜0，∴α位于第二象限．∴+2kπ＜α＜2kπ+π，k∈Z，则+kπ＜＜kπ+k∈Z当k为奇数时它是第三象限，当k为偶数时它是第一象限的角∴角的终边在第一象限或第三象限，故选：C．3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A．4cm2B．2cm2C．4πcm2D．2πcm2【考点】扇形面积公式．【分析】利用弧长公式，求出圆的半径，再利用扇形的面积公式，求出结果即可．【解答】解：∵弧度是2的圆心角所对的弧长为4，根据弧长公式，可得圆的半径为2，∴扇形的面积为：×4×2=4cm2，故选：A．4．已知均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A．B． C．4 D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量数量积的定义计算模长即可．【解答】解：均为单位向量，它们的夹角为，所以=+6•+9=12+6×1×1×cos+9×12=13，那么=．故选：D．5．据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）f（x）=（m，c为常数），已知工人组装第4件产品所用的时间为30分钟，工人组装第m件产品所用的时间为15分钟，则m=（）A．49 B．25 C．16 D．9【考点】分段函数的应用．【分析】首先，x=m的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=m的函数值不相等，说明求f（4）要用x＜m对应的表达式，将方程组联解，可以求出C、m的值．【解答】解：由题意可得：f（m）==15，所以c=15，而f（4）==30，可得出c=60，故可得A=16，从而c=15=60，即有m=16．故选C．6．已知函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，F（x）=f （x）+1，则F（x）最大值与最小值之和为（）A．1 B．2 C．3 D．0【考点】奇偶函数图象的对称性．【分析】由已知中函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，我们可以判断f（﹣A），f（A），进而求出F（x）的最大值与最小值，进而求出答案．【解答】解：∵函数f （x）是定义在闭区间[﹣a，a]（a＞0）上的奇函数，则函数的最大值和最小值，分别为f（﹣A），f（A），又∵F（x）=f （x）+1，∴F（x）最大值与最小值分别为f（﹣A）+1，f（A）+1，∴F（x）最大值与最小值之和为2故选B7．已知x0是函数f（x）=e x+2x﹣4的一个零点，若x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0【考点】函数零点的判定定理．【分析】先判断函数的单调性，再利用已知条件f（x0）=0即可判断出答案．【解答】解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4在R上单调递增，且f（x0）=0，∴由x1∈（﹣1，x0），x2∈（x0，2），可得f（x1）＜0，f（x2）＞0．故选B．8．已知函数f（x）=sin（ωx+）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由周期函数的周期计算公式：，算得ω=2．接下来将f（x）的表达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可．【解答】解：由题知ω=2，所以，故选择A．9．设，若与的夹角是钝角，则实数m的范围是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＜4且D．m＜4且【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据与的夹角是钝角时•＜0且与不平行，列出不等式组求出m 的取值范围即可．【解答】解：，当与的夹角是钝角时，•＜0…①且与不平行…②；由①得，﹣3×4+3m＜0，解得m＜4；由②得，﹣3×3﹣4m≠0，解得m≠﹣；综上，实数m的范围是m＜4且m≠﹣．故选：D．10．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】函数的图象．【分析】画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．【解答】解：解法一：画出y=2x，y=x+2，y=10﹣x的图象，观察图象可知，当0≤x≤2时，f（x）=2x，当2≤x≤4时，f（x）=x+2，当x＞4时，f（x）=10﹣x，f（x）的最大值在x=4时取得为6，故选B．解法二：由x+2﹣（10﹣x）=2x﹣8≥0，得x≥4．0＜x≤2时2^x﹣（x+2）≤0，2x≤2+x＜10﹣x，f（x）=2x；2＜x≤4时，x+2＜2x，x+2≤10﹣x，f（x）=x+2；由2x+x﹣10=0得x1≈2.84x＞x1时2x＞10﹣x，x＞4时x+2＞10﹣x，f（x）=10﹣x．综上，f（x）=∴f（x）max=f（4）=6．选B．11．函数的图象与函数y=3sinπx（﹣1≤x≤1）的图象所有交点的横坐标与纵坐标的和等于（）A．4 B．2 C．1 D．0【考点】函数的图象．【分析】设f（x）=﹣3sinπx，（﹣1≤x≤1），根据奇函数的定义可以判断为奇函数，问题得以解决．【解答】解：由的图象与函数y=3sinπx（﹣1≤x≤1），设f（x）=﹣3sinπx，（﹣1≤x≤1），∴f（﹣x）=﹣（﹣3sinπx）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，∴函数的图象与函数y=3sinπx（﹣1≤x≤1）的图象所有交点的横坐标与纵坐标的和等于0，故选：D12．已知函数，若f（sinα+sinβ+sinr﹣1）=﹣1，f （cosα+cosβ+cosr+1）=3，则cos（α﹣β）+cos（β﹣r）的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】根据题意，先判定x ≥0时f （x ）≥1，x ＜0时f （x ）＜1，结合条件代入解析式列出两个式子，利用平方关系化简后，由两角差的余弦函数求出cos （α﹣β）、cos （β﹣r ）的值，可得答案．【解答】解：由题意知，，∴x ≥0时，x 2+x +1≥1，x ＜0时，2x +1＜1；∵f （sinα+sinβ+sinr ﹣1）=﹣1，f （cosα+cosβ+cosr +1）=3， ∴2（sinα+sinβ+sinr ﹣1）+1=﹣1，即sinα+sinβ=﹣sinr ； ① （cosα+cosβ+sinr +1）2+（cosα+cosβ+cosr +1）+1=3， 得cosα+cosβ+cosr +1=1，即cosα+cosβ=﹣cosr ； ② ①2+②2得，2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1，∴cosαcosβ+sinαsinβ=，即cos （α﹣β）=，同理可求得，cos （β﹣r ）=，∴cos （α﹣β）+cos （β﹣r ）=﹣1， 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（）0.5+（）+（0.1）﹣2﹣（π）0+lg2+lg5= 101 ．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】根据指数与对数的运算法则，代入直接计算可得答案．【解答】解：（）0.5+（）+（0.1）﹣2﹣（π）0+lg2+lg5=++[（10）﹣1]﹣2﹣+lg （2×5）=++100﹣+1 =101故答案为：10114．已知sinα=，2π＜α＜3π，那么sin =﹣． ．【考点】二倍角的正弦．【分析】由（sin ）2=1+sinα=，又π＜，可得sin +cos ＜0，即可求sin+cos的值．【解答】解：∵（sin ）2=1+sinα=，∵2π＜α＜3π，∴π＜∴sin ＜0，cos ＜0∴sin +cos ＜0∴sin+cos=﹣．故答案为：﹣．15．y=f （x ）为R 上的偶函数，且满足f （x +4）=f （4﹣x ），当x ∈[0，4]时，f（x ）=x 且sinα=，则f [2016+sin （α﹣2π）•sin （π+α）﹣2cos 2（﹣α）]=．【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据y=f （x ）为R 上的偶函数，且满足f （x +4）=f （4﹣x ），得出函数为周期函数，周期是8，然后再利用函数的性质解答 【解答】解：∵y=f （x ）为R 上的偶函数， ∴f （﹣x ）=f （x ）， 又f （x +4）=f （4﹣x ），∴f （x +8）=f [（4﹣（4+x ）]=f （﹣x ）=f （x ）， ∴y=f （x ）的周期是8，又f [2016+sin （α﹣2π）•sin （π+α）﹣cos 2（﹣α）]=f [2016+sin 2α﹣cos 2α]=f=f=f（﹣）=f （）=，故答案为：．16．给出下列结论：（1）函数f（x）=tanx有无数个零点；（2）集合A={x|y=2x+1}，集合B={x|y=x2+x+1}则A∩B={（0，1），（1，3）}；（3）函数的值域是[﹣1，1]；（4）函数的图象的一个对称中心为；（5）已知函数f（x）=2cosx，若存在实数x1，x2，使得对任意的实数x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为2π．其中结论正确的序号是（1）（4）（把你认为结论正确的序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）求出正切函数的零点判断（1）；（2）化简两集合并取交集判断（2）；（3）写出分段函数求得值域判断（3）；（4）求出三角函数的对称中心判断（4）；（5）把已知存在实数x1，x2，使得对任意的实数x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立转化为求函数的周期判断（5）．【解答】解：（1）由tanx=0，得x=kπ，k∈Z，∴函数f（x）=tanx有无数个零点，故（1）正确；（2）集合A={x|y=2x+1}=R，集合B={x|y=x2+x+1}=R，则A∩B=R，故（2）错误；（3）函数=，其值域是[0，1]，故（3）错误；（4）由2x+，得x=，k∈Z，取k=1，得x=，∴函数的图象的一个对称中心为，故（4）正确；（5）∵函数f（x）=2cosx的周期为2π，存在实数x1，x2，使得对任意的实数x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，说明|x1﹣x2|的最小值为周期=π，故（5）错误．∴正确的命题是（1），（4）．故答案为：（1）（4）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数在区间的最大值为6．（1）求常数m的值；（2）求函数g（x）在x∈R时的最小值并求出相应x的取值集合．（3）求函数y=g（﹣x）的递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得g（x）=2sin（2x+）+m+1，由x的范围利用正弦函数的图象可求，即可解得m的值．（2）由（1）可得：，利用已知及正弦函数的图象可求g（x）的最小值，由，解得相应x的取值集合．（3）利用诱导公式可求g（﹣x）=，令，可求单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵=sin2x+cos2x+m+1=2sin（2x+）+m+1，∵，可得：，∴，∴m=3．…（2）由（1）可得：，当x∈R时，g（x）最小值为2，此时，即取得最小值，∴x的取值集合为：．…（3）=，由，可得：，∴增区间为：．…18．已知，是平面内两个不共线的非零向量，=2+，=﹣+λ，=﹣2+，且A，E，C三点共线．（1）求实数λ的值；若=（2，1），=（2，﹣2），求的坐标；（2）已知点D（3，5），在（1）的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】本题（1）通过几何法将向量转化为两向量的和，再将所得向量坐标化，即可得正确结论；（2）由已知几何条件得到向量间关系，再坐标化得到A点的坐标，即本题答案．【解答】解：（1）∵=，∵A，E，C三点共线，∴存在实数k，使得．即，得．∵，是平面内两个不共线的非零向量，∴，解得，．∴．（2）∵A、B、C、D四点构成平行四边形，∴．设A（x，y），则，又，∴，解得，∴点A（10，7）．19．已知函数是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，（不需证明）（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的单调性及单调区间．【分析】（1）由题意可得f（0）=0，解方程可得a=1，检验即可；（2）由f（x）=1﹣，可得函数f（x）在R上为单调递增函数；（3）由题意可得f（t2+2）＞﹣f（t2﹣tk）=f（﹣t2+tk），2t2﹣tk+2＞0对任意t ∈R恒成立，运用判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意：是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0即，∴a=1，当a=1时，，f（﹣x）===﹣f（x），故a=1满足题意…（2）函数f（x）在R上为单调递增函数…（3）由（2）得f（t2+2）+f（t2﹣tk）＞0等价于f（t2+2）＞﹣f（t2﹣tk）=f（﹣t2+tk），即t2+2＞﹣t2+tk∴2t2﹣tk+2＞0对任意t∈R恒成立，∴△=k2﹣16＜0即﹣4＜k＜4，故k的取值范围为（﹣4，4）…20．在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．（1）若，求的值；（2）若f（α）=﹣2cos2α﹣tsinα﹣t2+2在时有最小值﹣1，求常数t的值．【考点】三角函数的最值．【分析】（1）由已知点的坐标求出两个向量的坐标，结合数量积为﹣1求得sinαcosα的值，把化切为弦得答案；（2）化余弦为正弦，利用配方法分类求f（α）=﹣2cos2α﹣tsinα﹣t2+2得最小值，进一步求得t值得答案．【解答】解：（1），∵，∴cosα（cosα﹣3）+sinα（sinα﹣3）=﹣1，即1﹣3（cosα+sinα）=﹣1，得．平方得：∴，则，∴==2sinαcosα=；（2）f（x）=﹣2cos2α+tsinα﹣t2+2=，设sinα=m，∵，∴m∈（﹣1，1），∴．①当，即t≤﹣4时，无最小值；②当，即t≥4时，无最小值；③当，即﹣4＜t＜4时，时取最小值，最小值为，∴，，此时，综上所述，．21．已知函数f （x ）=2x 2﹣（m 2+m +1）x +15，g （x ）=m 2x ﹣m ，其中m ∈R ． （1）若f （x ）+g （x ）+m ≥0，对x ∈[1，4）恒成立，求实数m 的取值范围；（2）设函数①对任意的x 1＞0，存在唯一的实数x 2＜0，使其F （x 1）=F （x 2），求m 的取值范围；②是否存在求实数m ，对任意给定的非零实数x 1，存在唯一非零实数x 2（x 1≠x 2），使其F （x 2）=F （x 1），若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）由f （x ）+g （x ）+m ≥0对x ∈[1，4）恒成立，及对x ∈[1，4）恒成立解，求出的最小值即可．（2）当x ＞0时，F （x ）=m 2x ﹣m ∈（﹣m ，+∞）=A ，当x ＜0时，F （x ）∈（15，+∞）=B①由A ⊆B ，求出m 的范围；②假设存在实数m ，则即求出m 的值．【解答】解：（1）由f （x ）+g （x ）+m ≥0对x ∈[1，4）恒成立，及对x ∈[1，4）恒成立令在上递减，在递增∴∴…（2），m=0，不满足题意，∴m ≠0当x＞0时，F（x）=m2x﹣m∈（﹣m，+∞）=A，当x＜0时，F（x）∈（15，+∞）=B①依题意A⊆B，∴﹣m≥15即m≤﹣15…②假设存在实数m，则即故所求m存在为﹣15．…22．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P（﹣3，4）（1）求sinα和cosα的值；（2）求的值；（3）求的值．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值．【分析】（1）由题意和三角函数的定义求出sinα和cosα的值；（2）由题意和正切函数的定义求出tanα，由两角和的正切公式求出答案；（3）由平方关系将分式化为齐次时，由商的关系化简正切，将（2）中的值代入求值即可．【解答】解（1）由题意知，x=﹣3，y=4，则r=5，∴；…（2）∵角α的终边经过点P（﹣3，4），∴，∴；…（3）原式==…2017年3月5日。

2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={y|y=2x﹣5，x∈A}，则A∩B等于（）A．∅B．（0，3）C．（﹣5，4）D．（0，4）2．若复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，则共轭复数为（）A． +iB．﹣﹣i C．﹣+i D．﹣i3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，命题q：∃a∈（0，+∞），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）4．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则下列关于f（x）的表达式中正确的是（）A．f（x）= B．f（x）=（lnx）cos2x C．f（x）=（ln|x|）sin2x D．f（x）=（ln|x|）cosx5．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．906．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）A．B．C．D．7．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（）A．3 B． C． D．8．在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asinB+bcos（B+C）=0，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B．C．D．9．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（）A．B．C．D．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+16πB．24+8πC．16+8πD．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣3），则a=．14．（1﹣x2）4（）5的展开式中的系数为．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是．16．已知数列{a n}满足a1=﹣1，|a n﹣a n﹣1|=2n﹣1（n∈N，n≥2），且{a2n﹣1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则a2016=．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350，450），[550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 和B 分别是椭圆C 1： +=1（a ＞b ＞0）和C 2：+=1（m ＞n ＞0）上的动点，已知C 1的焦距为2，点T 在直线AB 上，且•=•=0，又当动点A 在x 轴上的射影为C 1的焦点时，点A 恰在双曲线2y 2﹣x 2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C 1的标准方程；（Ⅱ）若C 1与C 2共焦点，且C 1的长轴与C 2的短轴长度相等，求|AB |2的取值范围；（皿）若m ，n 是常数，且﹣=﹣．证明|OT |为定值．21．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣b ，其中a ，b ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数． （I ）当b=﹣a 时，求f （x ）的极小值；（Ⅱ）当f （x +1）+a ≥0时，对x ∈R 恒成立，求ab 的最大值；（Ⅲ）当a ＞0，b=﹣a 时，设f'（x ）为f （x ）的导函数，若函数f （x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：f （3lna ）＞f ′（）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC ，圆O 是△ABC 的外接圆，CD ⊥AB ，CE 是圆O 的直径．过点B 作圆O 的切线交AC 的延长线于点F ．（Ⅰ）求证：AB •CB=CD •CE ；（Ⅱ）若，，求△ABC 的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C 的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 的极坐标分别为A （2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x2﹣x|+|x2+|（x≠0）．（1）求证：f（x）≥2；（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省荆州市沙市中学高三（下）第三次半月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|x2﹣4x＜0}，B={y|y=2x﹣5，x∈A}，则A∩B等于（）A．∅B．（0，3）C．（﹣5，4）D．（0，4）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，进而求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣4）＜0，解得：0＜x＜4，即A=（0，4），由y=2x﹣5，得到x=，代入得：0＜＜4，即﹣5＜y＜3，∴B=（﹣5，3），则A∩B=（0，3），故选：B．2．若复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，则共轭复数为（）A． +iB．﹣﹣i C．﹣+i D．﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】直接利用复数的代数形式混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z满足（1+2i）2z=1﹣2i，可得z====+i．共轭复数为﹣﹣i．故选：B．3．设命题p：∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，命题q：∃a∈（0，+∞），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，那么，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】函数y=3x与函数y=2016﹣x的图象在第一象限有一个交点，即可判断出命题p的真假．若f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），解解得a=0，即可判断出命题q的真假，进而得出答案．【解答】解：∵函数y=3x与函数y=2016﹣x的图象在第一象限有一个交点，∴∃x0∈（0，+∞），3+x0=2016，因此命题p是真命题．若f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），解得a=0，∴命题q是假命题．因此只有p∧（￢q）是真命题．故选：C．4．已知函数f（x）的部分图象如图所示，则下列关于f（x）的表达式中正确的是（）A．f（x）= B．f（x）=（lnx）cos2x C．f（x）=（ln|x|）sin2x D．f（x）=（ln|x|）cosx【考点】函数的图象．【分析】由图象可知函数f（x）为偶函数，从而判断函数的奇偶性即可．【解答】解：由图象可知，函数f（x）为偶函数，故f（x）=为奇函数，故A不成立；f（x）=（lnx）cos2x为非奇非偶函数，故B不成立；f（x）=（ln|x|）sin2x为奇函数，故C不成立；故选：D．5．如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C6．已知3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解．【解答】解：∵3件次品和2件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，∴第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率为：p==．故选：B．7．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，经过点M（m，m）作圆的两条切线，切点分别为P，Q，则|PQ|=（）A．3 B． C． D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），从而得到m=﹣1．圆C半径r=2，当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，把x=﹣1代入圆C，得P （﹣1，2）；当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）﹣1，由圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）﹣1的距离d=r，求出切线方程，与圆联立，得Q（，），由此能求出|PQ|．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，∴直线l：x+my+1=0过圆心C（1，2），∴1+2m+1=0．解得m=﹣1．圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0的圆心（1，2），半径r==2，当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣1，圆心C（1，2）到x=﹣1的距离为2，成立，把x=﹣1代入圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，得y=2，∴P（﹣1，2），当过点M（﹣1，﹣1）的切线的斜率存在时，设切线方程为y=k（x+1）﹣1，圆心C（1，2）到切线y=k（x+1）﹣1的距离d==，解得k=，∴切线方程为y=（x+1）﹣1，即5x﹣12y﹣7=0，联立，得169x2﹣598x+529=0，解得x=，y=，∴Q（，），∴|PQ|==．故选：D．8．在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，asinB+bcos（B+C）=0，sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，且△ABC的面积为1，则a的值为（）A．2 B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由asinB+bcos（B+C）=0，利用正弦定理可得sinAsinB﹣sinBcosA=0，由sinB≠0，化为sinA=cosA，A∈（0，π），可得A=．由sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，利用和差公式、倍角公式展开可得sinB=2sinC，利用正弦定理可得b=2c．再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：在斜△ABC中，∵asinB+bcos（B+C）=0，∴sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴sinA=cosA，A∈（0，π），∴tanA=1，解得A=．∵sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC=2sin2C，∴2sinBcosC=4sinCcosC∵cosC≠0，∴sinB=2sinC，∴b=2c．由余弦定理可得：a2=﹣2×c2cos=5c2．∵△ABC的面积为1，∴=1，∴=1，解得c2=1．则a=．故选：B．9．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x2+x+1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx+φ=，得ωx=﹣φ②；把①代入②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x2+x+1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．8+16πB．24+8πC．16+8πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体下部分为半圆柱，上部分为长方体和四棱锥的组合体，代入体积公式计算．【解答】解：几何体为的下部分为半圆柱，底面半径为2，高为4，几何体的上部分为长方体ABCD﹣A1B1C1D1和四棱锥E﹣BB1A1A的组合体，长方体的棱长分别为4，2，2四棱锥的底面BB1A1A为矩形，边长为4，2棱锥的高为2，∴几何体的体积V=+4×2×2+×4×2×2=8π+．故选：D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得•2b•2c=a•4，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，﹣b），F1（﹣c，0），F2（c，0），且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为，由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，运用面积相等，可得•2b•2c=a•4，即为b2c2=a2（b2+c2），即有c4+a4﹣3a2c2=0，由e=，可得e4﹣3e2+1=0，解得e2=，可得e=，（舍去）．故选：A．12．已知f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），则k的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数的值．【分析】根据题意转化为：＞，对于x＞1恒成立，构造函数h（x）=x•求导数判断，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，y=x﹣2﹣lnx在x＞1单调递增，利用零点判断方法得出存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，即可选择答案．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），∴可得：＞，对于x＞1恒成立．设h（x）=x•，h′（x）=，且y=x﹣2﹣lnx，y′=1﹣＞0在x＞1成立，∴即3﹣2﹣ln3＜0，4﹣2﹣ln4＞0，故存在x0∈（3，4）使得f（x）≥f（x0）＞3，∴k的最大值为3．故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．已知函数f（x）=，若f（1）=f（﹣3），则a=3．【考点】函数的值．【分析】根据已知中函数f（x）=，f（1）=f（﹣3），构造关于a的方程，解得答案．【解答】解：∵函数f（x），∴f（1）=1+a﹣3=a﹣2，f（﹣3）=lg10=1，∵f（1）=f（﹣3），∴a﹣2=1，解得：a=3，故答案为：314．（1﹣x2）4（）5的展开式中的系数为﹣29．【考点】二项式系数的性质．【分析】化简（1﹣x2）4（）5=（1﹣x）4•（1+x）9•，求出（1﹣x）4（1+x）9展开式中含x4项，即可求出展开式中的系数．【解答】解：∵（1﹣x2）4（）5=（1﹣x）4•（1+x）9•，且（1﹣x）4（1+x）9展开式中x4项为：C40•C94x4+C41（﹣x）•C93x3+C42（﹣x）2•C92x2+C43（﹣x）3•C91x+C44（﹣x）4•C90；∴所求展开式中的系数为C40C94﹣C41C93+C42﹣C43C91+C44C90=﹣29．故答案为：﹣29．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．已知数列{a n }满足a 1=﹣1，|a n ﹣a n ﹣1|=2n ﹣1（n ∈N ，n ≥2），且{a 2n ﹣1}是递减数列，{a 2n }是递增数列，则a 2016=．【考点】数列递推式．【分析】由|a n ﹣a n ﹣1|=2n ﹣1，（n ∈N ，n ≥2），可得：|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=22n ﹣1，|a 2n +2﹣a 2n +1|=22n +1，根据：数列{a 2n ﹣1}是递减数列，且{a 2n }是递增数列，可得a 2n ﹣a 2n ﹣1＜a 2n +2﹣a 2n +1，可得：a 2n ﹣a 2n ﹣1=22n ﹣1，同理可得：a 2n +1﹣a 2n =﹣22n ，再利用“累加求和”即可得出． 【解答】解：由|a n ﹣a n ﹣1|=2n ﹣1，（n ∈N ，n ≥2）， 则|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=22n ﹣1，|a 2n +2﹣a 2n +1|=22n +1， ∵数列{a 2n ﹣1}是递减数列，且{a 2n }是递增数列， ∴a 2n ﹣a 2n ﹣1＜a 2n +2﹣a 2n +1，又∵|a 2n ﹣a 2n ﹣1|=22n ﹣1＜|a 2n +2﹣a 2n +1|=22n +1， ∴a 2n ﹣a 2n ﹣1＞0，即a 2n ﹣a 2n ﹣1=22n ﹣1， 同理可得：a 2n +3﹣a 2n +2＜a 2n +1﹣a 2n ， 又|a 2n +3﹣a 2n +2|＞|a 2n +1﹣a 2n |， 则a 2n +1﹣a 2n =﹣22n ，当数列{a n }的项数为偶数时，令n=2k （k ∈N *），∴a 2﹣a 1=2，a 3﹣a 2=﹣22，a 4﹣a 3=23，a 5﹣a 4=﹣24，…，a 2015﹣a 2014=﹣22014，a 2016﹣a 2015=22015． ∴a 2016﹣a 1=2﹣22+23﹣24+…﹣22014+22015==．∴a 2016=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD．（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】解三角形．【分析】（1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x；（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．【解答】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC==．在△ACD中，由余弦定理得cosA==，在△ABC中，由余弦定理得cosA==．∴=，解得x=5．∴AD=5．（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA==，∴sinA=．===．∴S△ABC18．某机构为了解某地区中学生在校月消费情况，随机抽取了100名中学生进行调查．右图是根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图：已知[350，450），[450，550），[550，650）三个金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[350，450），[550，650）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，由此能求出m，n的值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数．（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人，随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列及随机变量X的数学期望E（X）．【解答】解：（Ⅰ）由题意知100（m+n）=0.6且2m=n+0.0015，故m=0.0025，n=0.0035．…所求平均数为：（元）…（Ⅱ）由题意从[350，450）中抽取7人，从[550，650）中抽取3人…随机变量X的取值所有可能取值有0，1，2，3，…X随机变量X的数学期望E（X）=…19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1（Ⅰ）求证：AD⊥平面BFED；（Ⅱ）点P是线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE成锐角二面角为θ，试求θ的最小值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，DE⊥DB，从而DE⊥平面ABCD，进而DE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BFED．（Ⅱ）分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴AB=2．∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3．…∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD．∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，DE⊂平面BEFD，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，…∴DE⊥AD，又DE∩BD=D，∴AD⊥平面BFED．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可建立分别以直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的，如图所示的空间直角坐标系，令EP=λ（0≤λ≤），则D（0，0，0），A（1，0，0），，P（0，λ，1），∴，，…设为平面PAB的一个法向量，由，得，取y=1，则，…∵是平面ADE的一个法向量，∴．∵0≤λ≤，∴当λ=时，cosθ有最大值．∴θ的最小值为．…20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A和B分别是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）和C2： +=1（m＞n＞0）上的动点，已知C1的焦距为2，点T在直线AB上，且•=•=0，又当动点A在x轴上的射影为C1的焦点时，点A恰在双曲线2y2﹣x2=1的渐近线上．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）若C1与C2共焦点，且C1的长轴与C2的短轴长度相等，求|AB|2的取值范围；（皿）若m，n是常数，且﹣=﹣．证明|OT|为定值．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（Ⅰ）求得双曲线的渐近线方程，结合条件可得A的坐标，再由椭圆的a，b，c的关系，可得椭圆方程；（Ⅱ）结合条件，可得椭圆C2方程，设出OA，OB的方程，求得A，B的坐标，由=0，运用勾股定理，可得AB的平方，结合基本不等式可得范围；（Ⅲ）由T，A，B三点共线，•=•=0，可得=+，将y=﹣x代入椭圆+=1，求得B的坐标，化简整理可得|OT|定值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线2y2﹣x2=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得椭圆C1的焦距2c=2，c=1，A（﹣1，﹣），即有=，a2﹣b2=1，解得a=，b=1，即有椭圆C1的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）C1的长轴与C2的短轴等长，即n=a=，又C1，C2共焦点，可得m==，即有椭圆C2： +=1，①当OA的斜率存在且不为0，将y=kx代入椭圆x2+2y2=2，可得x2=，则|OA|2==1+，将y=﹣x代入椭圆2x2+3y2=6，可得x2=，则|OB|2==3﹣，由=0，可得|AB|2=|OA|2+|OB|2，则|AB|2=4+﹣=4﹣=4﹣＜4，又4k2+≥4，当且仅当k2=时取得等号，则有|AB|2≥4﹣=2+，即|AB|2∈[2+，4），②当OA的斜率不存在或为0，有|AB|2=4，综上可得，|AB|2的取值范围是[2+，4]；（Ⅲ）证明：由T，A，B三点共线，•=•=0，可得|OT|2==，即有=+，将y=﹣x代入椭圆+=1，得x2=，则|OB|2==，则=，又=，则有=+=+，由于﹣=﹣，则==1+，即|OT|=，容易验证当OA斜率不存在或为0，上述结论仍然成立，综上可得|OT|为定值．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣b，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（I）当b=﹣a时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）当f（x+1）+a≥0时，对x∈R恒成立，求ab的最大值；（Ⅲ）当a＞0，b=﹣a时，设f'（x）为f（x）的导函数，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（3lna）＞f′（）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）显然f'（x）=e x﹣a，分a≤0、a＞0两种情况讨论即可；（Ⅱ）原不等式等价于e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，分a≥0、a=0、a＞0三种情况讨论即可；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x﹣ax+a，从而f（3lna）=a（a2﹣3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，，t＞e4，易得p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而，所以f（3lna）＞0，a＞e2；而=﹣a＜﹣a，令T=﹣a，则可证明T＜0恒成立，从而＜0．所以有f（3lna）＞f′（）．【解答】解：（I）当b=﹣a时，由函数f（x）=e x﹣ax﹣b，知f（x）=e x﹣ax+a，所以f'（x）=e x﹣a，当a≤0时，f'（x）=e x﹣a＞0，此时函数f（x）无极值；当a＞0时，令f'（x）=e x﹣a=0，得x=lna．所以函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，从而f（x）min=f（lna）=2a﹣alna．（Ⅱ）f（x+1）+a≥0⇔e x+1≥ax+b对x∈R恒成立，显然a≥0，所以原不等式等价于b≤e x+1﹣ax对x∈R恒成立．若a=0，则ab=0；若a＞0，则ab≤ae x+1﹣a2x．设函数h（x）=ae x+1﹣a2x，则h′（x）=ae x+1﹣a2=a（e x+1﹣a）．由h′（x）＜0，解得x＜lna﹣1；由h′（x）＞0，解得x＞lna﹣1．所以函数h（x）在（﹣∞，lna﹣1）上单调递减，在（lna﹣1，+∞）上单调递增，故．设g（a）=（a＞0），则g′（a）=a（3﹣2lna），令g′（a）=0，解得a=，由g′（a）＜0，解得a＞，由g′（a）＜0，解得0＜a＜，故g（a）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．所以，即ab，综上，ab的最大值为．（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（x）=e x﹣ax+a，a＞0，且f'（x）=e x﹣a，且函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，=f（lna）=2a﹣alna＜0，此时f（x）极小值解得a＞e2．∵f（0）=a+1＞0，∴x2＞x1＞0，从而f（3lna）=a（a2﹣3lna+1）=，a＞e2，令t=a2，则t＞e4，所以，t＞e4，∵0，∴p（t）在（e4，+∞）上单调递增，从而，故p（t）＞0，所以f（3lna）＞0，a＞e2，而=﹣a＜﹣a，令T=﹣a，由可得，所以T=﹣a=﹣=﹣•，令，则λ＞0，所以T=（1﹣）=•，令φ（λ）=2λ﹣eλ+e﹣λ（λ＞0），则φ′（λ）=2﹣（eλ+e﹣λ）＜2﹣2=0，故φ（λ）在（0，+∞）上单调递减，所以φ（λ）＜φ（0）=0，则T＜0恒成立，从而=﹣a＜﹣a＜0，综上，有f（3lna）＞f′（）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，CD⊥AB，CE是圆O的直径．过点B 作圆O的切线交AC的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AE，证明Rt△CBD∽Rt△CEA，结合AB=AC，即可证明：AB•CB=CD•CE；（Ⅱ）证明△ABF～△BCF，可得AC=CF，利用切割线定理有FA•FC=FB2，求出AC，即可求△ABC的面积．【解答】证明：（Ⅰ）连接AE，∵CE是直径，∴∠CAE=90°，又CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠CBD=∠CEA，故Rt△CBD∽Rt△CEA，…∴，∴AC•CB=CD•CE又AB=AC，∴AB•CB=CD•CE．…（Ⅱ）∵FB是⊙O的切线，∴∠CBF=∠CAB．∴在△ABF和△BCF中，，∴△ABF～△BCF，∴，∴FA=2AB=2AC，∴AC=CF…设AC=x，则根据切割线定理有FA•FC=FB2∴x•2x=8，∴x=2，∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A，B的极坐标分别为A（2，π），．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C上的动点，求点M到直线AB距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得A，B的直角坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程可得直线方程；（Ⅱ）运用点到直线的距离公式，结合三角函数的辅助角公式，由正弦函数的值域，即可得到所求最大值．【解答】解：（Ⅰ）将A、B化为直角坐标为A（2cosπ，2sinπ）、，即A、B的直角坐标分别为A（﹣2，0）、，即有，可得直线AB的方程为，即为．（Ⅱ）设M（2cosθ，sinθ），它到直线AB距离=，（其中）当sin（θ+φ）=1时，d取得最大值，可得．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x2﹣x|+|x2+|（x≠0）．（1）求证：f（x）≥2；（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的性质证明即可；（2）问题等价于2x2﹣x≥a，求出2x2﹣x的范围，从而求出a的范围即可．【解答】证明：（1）f（x）=|x2﹣x|+|x2+|≥|x2﹣x﹣（x2+）|=|x+|=|x|+||≥2，当且仅当x=±1时取“=”，∴f（x）≥2；解：（2）当x∈[1，3]时，x2﹣x≥0，x2+＞0，∴f（x）=2x2﹣x+，∴f（x）≥等价于2x2﹣x≥a，当x∈[1，3]时，2x2﹣x∈[1，15]，若∃x∈[1，3]，使f（x）≥成立，则a≤15，故实数a的范围是（﹣∞，15]．2016年10月25日。

高中一年级数学试题(理)参考答案一、选择题1.B2.A3.B4. C5.A6.D7.D8.B9.D 10.C 11.B 12.D二、填空题13. 914. 错误！未找到引用源。

15. ②④16. 2三、解答题17. (1)由题意，知a+k c=(3+4k, 2+k), 2b-a=(-5,2).∵(a+k c)⊥(2b-a), ∴(3+4k)×(-5)+(2+k)×2=0, 解得错误！未找到引用源。

.(2)设d=(x,y)，由d∥c，得错误！未找到引用源。

. ①又| d |=错误！未找到引用源。

,∴错误！未找到引用源。

. ②解①②，得错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

所以，d =(错误！未找到引用源。

)或d=(错误！未找到引用源。

).18. （1）将错误！未找到引用源。

代入错误！未找到引用源。

中不等式，得错误！未找到引用源。

，解得错误！未找到引用源。

，即错误！未找到引用源。

.将错误！未找到引用源。

代入错误！未找到引用源。

中等式,得错误！未找到引用源。

∵错误！未找到引用源。

, ∴错误！未找到引用源。

, 即错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

(2)∵错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

,由错误！未找到引用源。

中y的范围为错误！未找到引用源。

, 即错误！未找到引用源。

.由错误！未找到引用源。

看不等式变形,得错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

整理得错误！未找到引用源。

∵错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

,当错误！未找到引用源。

时, 错误！未找到引用源。

, 满足题意;当错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

时, 错误！未找到引用源。

.∵错误！未找到引用源。

, ∴错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

; 当错误！未找到引用源。

, 即错误！未找到引用源。

时, 错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。

,∴错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

荆州中学2016～2017下学期高一年级三月阶段检测数 学 卷（文科）考试时间120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．cos1200=o ( )A.12 B. 12- C. 32 D. 32- 2．化简-+-=AB AC BD CD ( )A.0B.BCC.DAD. 03．已知集合{}1,0,1P =-,{}1Q x y x ==+,则P Q = ( )A. PB. QC.{}1,1-D.{}0,14．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知3a =，2c =，10cos 10A =-，则b=( ) A ．5 B ．6C ．2D ．35.若2παπ<<，则sin cos αα-的值与1的大小关系是（ ）A.sin cos 1αα->B.sin cos 1αα-=C.sin cos 1αα-<D.不能确定6.已知α是锐角，31,sin ,cos ,43a b αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且 a ∥ b ，则α为( )A ．15oB ．30oC ．30o 或60oD ．15o 或75o7．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是 （ ） A ．（－∞，1） B ．（－∞，－1） C ．（3，+∞） D ．（1，+∞） 8. 函数()32xf x x =+-的零点所在的区间是（ ）A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)9. ()sin()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的部分图象如右图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()2sin(2)6f x x π=- B. ()2sin()6f x x π=+ C. ()2sin(2)3f x x π=+ D. ()2sin(2)6f x x π=+ 10. 若()sin cos 1,tan 3cos 21αααβα=-=+，则tan β=（ ）A.-1B. 17C. 17- D.111. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cA b<，则ABC ∆为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形 C.锐角三角形 D ．以上三种都有可能 12. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()2(x f x f -=+，当[]0,2-∈x 时，1)22()(-=xx f ，若在区间)6,2(-内关于x 的方程0)2(log )(=+-x x f a )1,0(≠>a a ,恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A.,1)41( B.(1,4) C. (4,8) D.)(8,+∞二、填空题： 本题共4小题，每小题5分，共20分13．数列0,3,8,15,24, 的一个通项公式n a =14.已知a b ⊥ ，2,3a b ==，且32a b + 与a b λ- 垂直，则实数λ的值为 ；15. 一艘海警船从港口A 出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40︒方向直线航行，30分钟后到达B 处，这时候接到从C 处发出的一求救信号，已知C 在B 的北偏东65︒，港口A 的东偏南20︒处，那么B ，C 两点的距离是 海里．16.对于集合,M N 定义{}|M N x x M x N -=∈∉且，()()M N M N N M ⊕=-- 。

荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷〔理科〕命题人： 审题人：一、选择题:本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．设全集U=R ，A=}02|{2≤-x x x ，B=},cos |{R x x y y ∈=， 那么图中阴影局部表示的区间是〔 〕 A.[0,1]B.[-1,2]C.),2()1,(+∞--∞D.),2[]1,(+∞--∞ 2．假设0.5222,ln 2,log sin 5a b c π===，那么〔 〕 A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，3,6,3a b A π===，那么角B 等于〔 〕 A.4π B. 34π C. 4π或34πD. 以上都不对4．假设{}n a 是等差数列，那么以下数列中仍为等差数列的个数有 〔 〕① {}12+n a ， ② {}2n a ， ③ {}1n n a a +-， ④ {}2n a n +A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．假设3log 41x =，那么44xx-+=〔 〕A. 1B. 2C.83D.1036．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)===-a x b y c 且c b c a //,⊥，那么=a b +( )A.5B.25C.10D. 107．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,111a =- ,564a a +=-,n S 取得最小值时n =〔 〕A ．6B ．7C ．8D ．98．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆 正好处在坡度o15的看台的某一列的正前方， 从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的 仰角分别为o60和o30，第一排和最后一排的 距离为56米〔如下图〕，旗杆底部与第一排56ABU在同一个水平面上．假设国歌长度约为50秒，要使国歌完毕时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为( )〔米 /秒〕A ．110B ．310C ．12D ．7109．将函数()3cos sin f x x x =+的图像向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的函数图像关于y 轴对称，那么实数m 的最小值是〔 〕A ．12π B ．6π C ．3π D ．512π 10．在ABC 中,(cos18,cos72)AB =︒︒,(2cos63,2cos27)BC =︒︒,那么ABC 面积为〔 〕 A ．42 B ．22 C ．23 D ．211．函数()sin 6f x A x πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭0,02A πϕ⎛⎫><< ⎪⎝⎭的局部图象如下图，,P Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()2,A ，点R 坐标为()2,0.假设23PRQ π∠=，那么函数()y f x =的最大值及ϕ的值分别是( ) A ．3,6π B ．3,3πC ．23,6πD ．23,3π12．数列{}n a 是等差数列，且52a π=，假设函数2()sin 22cos2xf x x =+，记()n n y f a =，那么数列{}n y 的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．函数213log log y x=（）的定义域为 ． 14．在ABC △中,1,45a B ==︒,ABC △的面积=2S ,那么ABC △的外接圆的直径为 ．15.．在边长为1的等边ABC ∆中，点P 为边BC 上一动点，那么PA PB ⋅的最小值为 . 16．设奇函数()x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，假设函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-都成立，那么t 的取值范围是 ．三、解答题:本大题共6个小题，共70分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．〔本小题总分值10分 〕|a |=1，|b |=2，|a -b ,求:(1)a ⋅b ；(2) a -b 与a +b 的夹角的余弦值；18．〔本小题总分值12分〕等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. 〔Ⅰ〕求等差数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设{}n a 满足2312a a a =，求数列{||}n a 的前10项的和10S .19．〔本小题总分值12分〕在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，且满足c =cos (2)cos 0c B b a C +-=〔1〕求角C 的大小; 〔2〕求△ABC 面积的最大值.20．(此题总分值12分)函数f(x)=x x x 22cos 2)cos (sin -+(R x ∈)． (1)求函数f(x)的周期和递增区间； (2)假设函数m x f x g -=)()(在[0，2π]上有两个不同的零点x 1、x 2，求实数m 的取值范围． 并计算tan(x 1＋x 2)的值．21．〔本小题总分值12分〕数列{}n a 的前n 项和为S n ，点, n S n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线4+=x y 上．数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=*()n N ∈，且84=b ，前11项和为154.〔1〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；〔2〕设⎪⎩⎪⎨⎧∈=∈-==).,2(,),,12(,)(**N l l n b N l l n a n f n n 是否存在*m N ∈，使得)(3)9(m f m f =+成立？假设存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由．22．〔本小题总分值12分〕 函数⎪⎭⎫⎝⎛--=x mx x f 11lg )(为奇函数.(1)求m 的值，并求f (x)的定义域；(2)判断函数)(x f 的单调性，不需要证明； (3)假设对于任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ,是否存在实数λ,使得不等式恒成立03lg )31sin (cos 2>--+θλθf .假设存在,求出实数λ的取值范围;假设不存在,请说明理由.荆州中学高一年级下学期第一次质量检测数学卷〔理科〕参考答案二、填空题：13、(0,1) 14、 15、116-16、220t t t ≥≤-=或或三、解答题;17、解、〔1〕由题意：222727a b a a b b -=⇒-⋅+=212471a b a b-⋅+=⇒⋅=- ……………………4分〔2〕22()()143a b a b a b -+=-=-=-2221(a b a a b b +=+⋅+=+=……………………7分设a b -与a b +的夹角为α，那么是()()cos 7a b a b a b a bα-+===⋅-⋅+10分18、解：〔Ⅰ〕设等差数列{}n a 的公差为d ，那么21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-. ……………………６分〔Ⅱ〕当35n a n =-+时，2a ，3a 不满足1a 2312a a a =；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 满足1a 2312a a a =.故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时，234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+.所以10105S = ……………………12分19．解：〔1〕 由正弦定理得：∴ sin cos sin cos 2sin cos 0C B B C A C +-= ……………2分 ∴ sin 2sin cos 0A A C -= ∵ sin 0A ≠∴ 1cos 2C = ………………………………………………… 4分 ∴ 3C π=…………………………………………………………………… 6分〔2〕由正弦定理得sin sin sin sin 3a b c A B C π===得， 4sin ,4sin ,a A b B ==又23A B π+=，23B A π=-，…………………………… 8分 ∴△ABC面积12sin sin sin()23S ab C A B A A π===-，化简得：)6S A π=-………………………………………………… 10分当3A π=时，S有最大值，max S =。

荆州中学2016-2017学年度高一年级第二次月考数学试卷命题人:李祥知 审题人：冯启安本试题卷共4页，三大题22小题．全卷满分150分，考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

集合{|ln 1},{|2}A x x B x x =≥=<,则A B = A ．(,4)e B ．[,4)e C ．[1,)+∞ D ．[1,4)2。

设角α的终边经过点(),4P x ,且cos 5x α=，则sin α的值为A ．35B ．45±C ．45D ．45- 3。

若点（16， a )在函数14y x =的图象上，则tan 3a π的值为 A 。

3 B 。

33 C.3- D. 33- 4.下列命题中的真命题是A ．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等B ．角α是第四象限角，则:2k π－2π＜α＜2k π （k ∈Z ） C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．第一象限的角是锐角5。

如右图,函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中点A B C ，，的坐标分别为)4,6(),0,2(),4,0(，则[]{}(2)f f f =A ．0B ．2C ．4D ．6621cos )223αα-=，则sin α的值为 A ．3 B ．13- C ．29 D ．79 7.要得到sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像, 只需将sin 2x y =的图像上的所有点 A 。

向右平移π2 B 。

向左平移π2 C 。

向左平移4π D. 向右平移4π 8。

在以下区间中,存在函数f （x ）＝x 3＋3x －3的零点的是A ．B ．C ．D ．9.定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =与5tan y x =的图像交点为P ()00,x y ，则0sin x 的值为A 。

23B 。

5 C. 34 D 。

710。

恩施高中郧阳中学 三校联合体2016级高一年级第一次联考理数试卷 沙市中学命题学校：沙市中学考试时间：2017年5月31日 上午10:30-12:00 试卷满分：100分一、选择题（每题5分，共60分）1．已知集合{}2230A x x x =--<，集合{}121x B x =>+，则BC A =（ ）A ．()3+∞，B ．[)3+∞，C ．()[)--13+∞∞U ，，D ．()()--13+∞∞U ，， 2．已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是( )A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a bc c>，则a b > C ．若33a b >，且0ab <，则11a b > D ．若22a b >，且0ab >，则11a b< 3．在ABC ∆中，22tan tan a B b A =，则角A 与角B 的关系为（ ）A.A B =B. 90A B +=︒C. 90A B A B =+=︒或D. 90A B A B =+=︒且4．若不等式22(34)(4)10a a x a x -----<的解集为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]0,4B ．()0,4C ．[)0,4D ．(]0,45．下列命题中正确的个数是（ ）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等；（2）若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的直线平行或异面；（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等；（4）垂直于同一条直线的两条直线平行.A ．0B ．1C ．2D ． 3 6．已知数列{}n a 满足221221,2,(1cos )sin 22n n n n a a a a ππ+===++，则该数列的前12项和为（ ）A.211B.212C.126D.1477．如图，一个正四棱锥P -ABCD 底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，若163P ABCD V -=，则球O 的表面积是（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π8．.在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，当钝角三角形的三边,,a b c 是三个连续整数时，则ABC ∆外接圆的半径为（ ） A ．52 B ．877C ．161515 D ．815159．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15︒的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30︒，第一排和最后一排的距离为106m （如图所示），则旗杆的高度为（ ）A ．10mB ．30mC ．103mD ．203m10．一个几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而成，它的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6 11．若0,0a b >>，且11112a a b+=++，则2a b +的最小值为（ ）A ．2B ．52 C ．423+ D ．132+ 12．正方形ABCD 边长为2，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于M ，交CD于N ，P 为平面上一点，且2(1),OP OB OC λλ=+-u u u r u u u r u u u r则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最小值是（ ） A ．34-B ．1-C ．74- D ．2- 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13．已知1a =r ，6b =r ，()2a b a ⋅-=r r r ，则a r 与b r的夹角为 .14．已知2sin cos 3αα+=，则cos2α=_________. 15．若()1,1x e -∈，ln a x =，ln x b e =，ln 12xc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为_______.16．已知数列}{n a 与}{n b 满足*1122()n n n n a b b a n N +++=+∈，若*19,3()n n a b n N ==∈且336(3)3nn a n λλ>+-+对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是 ．三、解答题(本大题共6小题，满分70分.)17．（本小题满分10分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是∠A 、∠B 、∠C的对边，且cos cos Ac=. （1）求C ∠的值； （2）若6B π∠=，AC边上中线BM =ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8. （1）求等差数列{}n a 的通项公式;（2）若231,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的前n 项和. 19．（本小题满分12分）若)0(cos sin cos 3)(2>-=a ax ax ax x f 的图像与直线)0(>=m m y 相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列.（1）求a 和m 的值；（2）ABC ∆中,,a b c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边.若点)232，（A 是函数)(x f 图象的一个对称中心，且=4a ，求ABC ∆周长的取值范围。