湖北省荆州中学2020-2021学年高一元月月考数学试题 含答案

荆州中学2020级9月考试高一年级数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．下列各式表述正确的是（ ） A ．20{0}x ∈=B ．0{(0,0)}∈C ．0N ∈D ．0φ∈2. 已知集合1{,}24k M x x k Z ==+∈，1{,}42k N x x k Z ==+∈，则（ ） A ．M N =B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M 与N 的关系不确定3. 设，则下列不等式中正确的是 （ ）A. 2a b a b ab +<<<B ． 2a ba ab b +<<< C ．2a ba ab b +<<<D ． 2a bab a b +<<< 4. 集合{}4,3,2,1=A ，{}0))(1(<--=a x x x B ，若集合{}32=B A ，则实数a 的范围是（ ） A.43<<aB.43≤<aC.43<≤aD.3>a5. 若数集{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|322B x x =≤≤，则能使B A ⊆成立的所有a 的集合是（ ） A ．{}|19a a ≤≤B ．{}|69a a ≤≤C ．{}|9a a ≤D ．∅6. 已知a ，∈b R +，12=+b a ，求ba 11+的最小值为（ ）A ．3+B ．3-C ．D ．47. 已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,B x y x A y A xy A =∈∈∈，则B 中所含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．108．若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．{}14a a -≤≤ B ．{}25a a a ≤-≥或 C. {}14a a a ≤-≥或 D ．{}25a a -≤≤二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分) 9．下面关于集合的表示正确的是( )①}{}{2,33,2≠；②}{}{(,)|1|1x y x y y x y +==+=； ③}{}{|1|1x x y y >=>；④}{}{|1|1x x y y x y +==+= A ．①B ．②C ．③D ．④10．下列四个命题中,是真命题的有( ) A ．没有一个无理数不是实数 B ．空集是任何一个集合的真子集C ．已知,m n ∈R ,则“1m n +>”是“1n <-”的必要不充分条件D ．命题“对任意x ∈R ,2220x x ++>”的否定是“存在x ∈R ,2220x x ++≤”11．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的有（ ）①1ab ≤≤；③222a b +≥；④112a b+≥A ．①B ．②C ．③D ．④12．设a b c >>，使不等式11ma b b c a c+≥---恒成立的充分条件是 ( ) A ．4m ≤ B ．3m ≤C ．4m ≥D ．5m ≤三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将答案填在题中横线上) 13.设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若AB B =，则实数a 组成的集合是 .14.不等式26x x <+的解集为 .15. 设集合}023|{2=+-=x ax x A ，若A 中至多只有一个元素，则实数a 的取值范围是 ．16.若非空集合G 关于运算⊕满足:(1)对任意,a b G ∈,都有a b G ⊕∈;(2)存在e G ∈,对任意a G ∈,都有a e e a a ⊕=⊕=,则称G 关于运算⊕为“融洽集”.现给出下列集合和运算： ①{}G =非负整数,⊕为整数的加法运算; ②G ={偶数},⊕为整数的乘法运算;③{}G =二次三项式,⊕为多项式的加法运算.其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是 (写出所有“融洽集”的序号) .四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)设命题p : 2,230x x x m ∃∈-+-=R ,命题q :()22,25190x x m x m ∀∈--++≠R .若p ,q 都为真命题,求实数m 的取值范围.18.(本小题满分12分)解关于x 的不等式：(1)(1)0ax x -->(0)a >.19.（本小题满分12分)已知集合},0)]13()[2(|{<+--=a x x x A B=},0)1(2|{2<+--a x ax x 其中.1≠a （1）当2=a 时，求B A ； （2）求使A B ⊆的实数a 的取值范围20.(本小题满分12分)某建筑工地决定建造一批简易房（房型为长方体状，房高2.5米），前后墙用2.5米高的彩色钢板，两侧用2.5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即：钢板的高均为2.5米，用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元．房顶用其它材料建造，每平方米材料费为200元．每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x 米，两侧墙的长为y 米，所用材料费为p 元，试用x ，y 表示p ； （2）简易房面积S 的最大值是多少？并求当S 最大时，前面墙的长度应设计为多少米？21.(本小题满分12分)已知集合{}22A x a x a =-≤≤+,{}14B x x x =≤≥或. (1)当3a =时,求A B ;(2)若“x A ∈”是“x B ∈R ”的充分不必要条件,且A ≠∅,求实数a 的取值范围.22.(本小题满分12分) 设0<a 45≤,若满足不等式22()x a b -<的一切实数x ，亦满足不等式221()4x a -<求正实数b 的取值范围。

数学试卷考试时间：120分钟；一、单选题（12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（ ） A ．{}0,2 B ．{}2,2-C ．2,0,2D ．{}2,1,0,1,2-- 2．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．()2f x x =()2f x x = B ．(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t = C ．21y x =-11y x x =+-D ．()1f x =与()0g x x = 3．已知函数()1f x +的定义域为[]2,1-，则函数()()122g x f x x =+--的定义域为 A ．[1,4] B ．[0,3] C ．[1,2)(2,4]⋃ D ．[1,2)(2,3]⋃4．已知函数1,2()(3),2x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则(1)(9)f f -=（ ） A ．1- B ．2- C ．6 D ．75．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）．A ．()3f x x =-B ．()23f x x x =-C ．()11f x x =-+D ．()f x x =-6．在映射f ：M N →中，(){},,,M x y x y x y R =<∈，(){},,N x y x y R =∈，M 中的元素(),x y 对应到N 中的元素(),xy x y +，则N 中的元素()4,5的原象为（ ） A ．()4,1 B ．()20,1C ．()1,4D ．()1,4和()4,1 7．已知全集U =R ，集合91A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个 8．函数24y x x -+ ）A ．(],4-∞B ．(],2-∞C ．[]0,2D ．[]0,49．已知函数()()()22,12136,(1)x ax x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨--+>⎪⎩，若()f x 在(),-∞+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2 B ．1(,)2+∞ C ．[1，)+∞ D ．[1，2]10．函数()f x 是奇函数，且在∞（0，+）内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．∞（-3,0）（3，+）B ．∞（-，-3）（0,3）C ．∞∞（-，-3）（3，+）D ．（-3,0）（0,3）11．已知函数24y x x =-+-的最小值为（ ）A ．6B ．2-C ．6-D ．212．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+.且当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()11f x f x =--，那么表达式1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．654- B ．65- C ．1314- D ．1312-二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知幂函数()f x 的图象经过3,3)，则函数2)f =_____14．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：则满足f(g(x))＝g(f(x))的x 的值为________. x 1 23 4f(x)1 3 1 3 g(x)3 2 3 215．已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，则2m n +等于_______. 16．某同学在研究函数 f （x ）=1x x+（x ∈R ） 时，分别给出下面几个结论： ①等式f （-x ）=-f （x ）在x ∈R 时恒成立；②函数f （x ）的值域为（-1，1）；③若x 1≠x 2，则一定有f （x 1）≠f （x 2）；④方程f （x ）=x 在R 上有三个根．其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）三、解答题（共70分）17（10分）．已知集合{|121}A x a x a =-<<+，{}B 03x x =<≤，U =R . （1）若12a =，求A B ⋃；()U A C B ⋂． （2）若A B φ⋂=，求实数a 的取值范围. 18（12分）．设函数()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()()()42D x f x x =-.（1）写出x ∈R 时分段函数()f x 的解析式；（2）当()f x 的定义域为[]3,3-时，画出()f x 图象的简图并写出()f x 的单调区间.19（12分）．已知函数2()21f x x ax a =-++-，（1）若2a =，求()f x 在区间[0,3]上的最小值；（2）若()f x 在区间[0,1]上有最大值3，求实数a 的值.20（12分）．已知函数()m f x x x=+，()12f =. （1）判定函数()f x 在[)1,+∞的单调性，并用定义证明；（2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.21（12分）．已知函数()1f x x x =-（1）求()f x 单调区间（2）求[0,]x a ∈时，函数的最大值.22（12分）．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+. （1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围. 23（12分）．函数()f x 的定义域为R ,且对任意,x y R ∈,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时()()0,12f x f <=-.（1）证明:()f x 是奇函数;（2）证明:()f x 在R 上是减函数;（3）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小数学试卷参考答案1．C{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-. 故选：C.2．B选项A ：()f x =R ，()2f x =的定义域为[)0+，∞，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项B ：()00t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩和函数(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域、法则和值域都相同，故是同一函数.选项C ：y =(][)11+-∞-⋃∞，，，y =的定义域为[)1+∞，，两函数的定义域不同，故不是同一函数.选项D ：()1f x =的定义域为R ，()0g x x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，故不是同一函数.故选：B【点睛】本题考查判断两个函数是否是同一函数，属于基础题.3．C【解析】【分析】首先求得()f x 定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.【详解】()1f x +定义域为[]2,1- 112x ∴-≤+≤，即()f x 定义域为[]1,2-由题意得：20122x x -≠⎧⎨-≤-≤⎩，解得：12x ≤<或24x <≤ ()g x ∴定义域为：[)(]1,22,4本题正确选项：C本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定()f x 定义域，从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.4．A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式分别求得()()19,f f 的值，然后求解两者之差即可.【详解】由题意可得：()()1413f f ===，()914f ==， 则(1)(9)341f f -=-=-.故选A.【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．5．C【解析】【分析】A ，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用1y x =-以及平移的思路去判断；D 根据y x =-的图象的对称性判断.【详解】A ．()3f x x =-在R 上是减函数，不符合；B ．()23f x x x =-在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，不符合； C ．()11f x x =-+可认为是1y x=-向左平移一个单位所得，所以在()1,-+∞上是增函数，符合； D ．()f x x =-图象关于y 轴对称，且在(),0-∞上是增函数，在()0,∞+上是减函数，不符合；【点睛】（1）一次函数()0y kx b k =+≠、反比例函数()0k y k x=≠的单调性直接通过k 的正负判断； （2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.6．C【解析】【分析】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，再由x y <，能求出N 中元素()45，的原像. 【详解】由题意得4 5xy x y =⎧⎨+=⎩，解得1 4x y =⎧⎨=⎩或4 1x y =⎧⎨=⎩， ∵x y <，∴N 中元素()45，的原像为()1,4， 故选：C .【点睛】本题考查象的原象的求法，考查映射等基础知识，考运算求解能力，考查函数与方程思想. 7．B【解析】【分析】先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果.【详解】 因为91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---， 所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，故选B【点睛】 本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.【解析】【分析】配方即可得到()224=24x x x -+--+，从而得出≤2，即得出y 的范围，从而得出原函数的值域．【详解】∵()224=24x x x -+--+，∴0≤()224x --+≤4；∴≤2；∴函数y =的值域为[0,2].故选：C .【点睛】本题考查函数的值域，利用配方法即可，属于简单题.9．D【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质进行求解即可．【详解】∵当1x ≤时，函数f （x ）的对称轴为x a =，又()f x 在(),-∞+∞上为增函数， ∴ 1210125a a a a ≥⎧⎪-⎨⎪-+≤-⎩＞，即1122a a a ≥⎧⎪⎪>⎨⎪≤⎪⎩，得1≤a 2≤， 故选D ．【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键，注意分段处保证单调递增．10．D【解析】【分析】易判断f （x ）在（-∞，0）上的单调性及f （x ）图象所过特殊点，作出f （x ）的草图，根据图象可解不等式．【详解】∵f （x ）在R 上是奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴f （x ）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f （-3）＝0，得f （﹣3）＝﹣f （3）＝0，即f （3）＝0，作出f （x ）的草图，如图所示：由图象，得()0xf x <()()0000x x f x f x ><⎧⎧⇔⎨⎨<>⎩⎩或 解得0＜x ＜3或﹣3＜x ＜0，∴xf （x ）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故选D ．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．11．D【解析】【分析】用绝对值三角不等式求得最小值．【详解】24(2)(4)2y x x x x =-+-≥---=，当且仅当(2)(4)0x x --≤，即24x ≤≤时取等号．所以min 2y =．故选：D ．【点睛】本题考查绝对值三角不等式，利用绝对值三角不等式可以很快求得其最值，本题也可以利用绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数性质求得最值．12．C【解析】【分析】由()f x 是定义在[1-，1]上的奇函数，且()1(1)f x f x =--，推出()1f ，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再结合当(0,1)x ∈时，2()()5xf f x =，推出1()5f ，1()25f ，4()5f ，4()25f ，由题意可得x 对任意的1x ，2[1x ∈-，1]，均有2121()(()())0x x f x f x --，进而得1903193201()()()2020202020204f f f =⋯===，再由奇函数的性质()()f x f x -=-算出最终结果．【详解】解：由()()11f x f x =--，令0x =，得()11f =，令12x =，则1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭﹐ 当[]0,1x ∈时，()25x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()152x f f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 即()1111522f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，111125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且4111552f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，414125254f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11903204252020202025<<<， 19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任意的1x ，[]21,1x ∈-，均有()()()()21210x x f x f x --≥，190120204f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，同理19031932012020202020204f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()f x 是奇函数， 1901913193202020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭19019131932013120202020202020204f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C 【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数值计算，属于中档题． 13．2 【解析】 【分析】设幂函数()f x x α=，将点代入求出α，即可求解.【详解】设()f x x α=，()f x 的图象经过，23,2,(),2f x x f αα=∴==∴=.故答案为:2. 【点睛】本题考查幂函数的定义以及函数值，属于基础题. 14．2或4 【解析】 【分析】对于x 的任一取值，分别计算()()f g x 和()()g f x 的值若两个值相等，则为正确的值. 【详解】当1x =时，()()()()()()131,113f g f g f g ====，不合题意.当2x =时，()()()()()()223,233f g f g f g ====，符合题意.当3x =时，()()()()()()331,313f g f g f g ====，不合题意.当4x =时，()()()()()()423,433f g f g f g ====，符合题意.故填2或4.【点睛】本小题主要考查函数的对应法则，考查复合函数求值.在计算这类型题目的过程中，往往先算出内部函数对应的函数值，再计算外部函数的函数值.属于基础题. 15．-6 【解析】 【分析】由函数是偶函数，则定义域关于原点对称、()()f x f x -=即可求出参数m 、n 的值； 【详解】解：已知32()(2)5f x m x nx =+++是定义在[,4]n n +上的偶函数，所以40n n ++=，解得2n =-，又()()f x f x -=，()3232(2)5(2)5m x nx m x nx ∴+-++=+++302(2)m x +=∴解得2m =-，所以26m n +=- 故答案为：6- 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．①②③ 【解析】 【分析】由奇偶性的定义判断①正确，由分类讨论结合反比例函数的单调性求解②；根据单调性，结合单调区间上的值域说明③正确；由1xx x=+只有0x =一个根说明④错误． 【详解】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x xf x f x x x--==-=-+-+，∴①正确；对于②，当0x >时，()()110,111x f x x x==-∈++， 根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()()1,0f x ∈-， 且0x =时，()()()0,1,1f x f x =∴∈-，②正确； 对于③，则当0x >时，()111f x x=-+， 由反比例函数的单调性以及复合函数知，()f x 在()1,-+∞上是增函数，且()1f x <；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(),1-∞-上也是增函数，且()1f x >12x x ∴≠时，一定有()()12f x f x ≠，③正确；对于④，因为1xx x=+只有0x =一个根， ∴方程()f x x =在R 上有一个根，④错误． 正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 17．（1）1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，()1|02U AC B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭；（2）1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【解析】 【分析】 （1）当12a =，求出集合A ，按交集、并集和补集定义，即可求解； （2）对A 是否为空集分类讨论，若A =∅，满足题意，若A ≠∅，由A B φ⋂=确定集合A 的端点位置，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】（1）若12a =时1|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|03B x x =<≤， ∴1|32AB x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭，由{|0U C B x x =≤或3}x >，所以()1|02U A C B x x ⎧⎫⋂=-<≤⎨⎬⎩⎭（2）由AB =∅知当A =∅时121a a -≥+∴2a ≤-当A ≠∅时21113a a a +>-⎧⎨-≥⎩或211210a a a +>-⎧⎨+≤⎩∴4a ≥或122a -<≤-综上：a 的取值范围是1|24a a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭≥或. 【点睛】本题考查集合间的运算，以及集合间的关系求参数范围，不要忽略了空集讨论，属于基础题.18．（1）()48,04,04,02x x f x x x x ⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩； （2）图见解析；单调递增区间为(]0,3，单调递减区间为[)3,0- 【解析】 【分析】(1)代入()1,00,01,0x D x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求解即可. (2)根据一次函数与分式函数的图像画图,再根据图像判断单调区间即可. 【详解】（1）()48,0 4,04,02x xf x xxx⎧⎪->⎪==⎨⎪⎪<-⎩；（2）()f x的图象如下图所示：单调递增区间为(]0,3,单调递减区间为[)3,0-.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用与一次函数、分式函数的图像与性质等.属于基础题. 19．（1）min()(0)1f x f==-；（2）2a=-或3a=.【解析】试题分析：（1）先求函数对称轴，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最小值取法（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值试题解析：解：（1）若2a=，则()()224123f x x x x=-+-=--+函数图像开口向下，对称轴为2x=，所以函数()f x在区间[]0,2上是单调递增的，在区间[]2,3上是单调递减的，有又()01f=-，()32f=()()min01f x f∴==-（2）对称轴为x a =当0a ≤时，函数在()f x 在区间[]0,1上是单调递减的，则 ()()max 013f x f a ==-=，即2a =-；当01a <<时，函数()f x 在区间[]0,a 上是单调递增的，在区间[],1a 上是单调递减的，则()()2max 13f x f a a a ==-+=，解得21a =-或，不符合；当1a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()()max 11213f x f a a ==-++-=，解得3a =；综上所述，2a =-或3a =点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于()f x 的方程，从而可得()f x 的值或解析式. 20．（1）单调递增,证明见解析.（2）3a ≤ 【解析】 【分析】（1）先根据()12f =求得m 的值,得函数解析式.进而利用作差法证明函数单调性即可. （2）构造函数()()g x f x x =+.根据（1）中函数单调性,结合y x =的单调性,可判断()g x 的单调性,求得()g x 最小值后即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）函数()mf x x x=+,()12f = 代入可得211m=+,则1m = 所以()1f x x x =+函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增.证明:任取12,x x 满足121x x ≤<,则()()21f x f x -212111x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111x x x x =-+- 122112x x x x x x -=-+()()2112121x x x x x x --=因为121x x ≤<,则21120,10x x x x ->->所以()()21121210x x x x x x -->,即()()210f x f x ->所以()()21f x f x > 函数()1f x x x=+在[)1,+∞上单调递增. （2）若()a f x x -<在()1,+∞恒成立 则()a f x x <+, 令()()g x f x x =+ 由（1）可知()1f x x x=+在()1,+∞上单调递增,y x =在()1,+∞上单调递增 所以()()g x f x x =+在()1,+∞上单调递增 所以()()13g x g >=所以3a ≤即可满足()a f x x -<在()1,+∞恒成立 即a 的取值范围为3a ≤ 【点睛】本题考查了利用定义证明函数单调性的方法,根据函数单调性解决恒成立问题,属于基础题.21．（1）单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）；（2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+.， 当112a 2+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当12a +≥时，函数的最大值为()2f a a a =-． 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 去绝对值，表示成分段函数模型并作出图像，由函数图像进行判断． （2）令()12f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1x >），解出122x +=，对实数a 的范围分类讨论求解． 【详解】（1）()22,1f x ,1x x x x x x ⎧-+≤=⎨->⎩， 由分段函数的图象知,函数的单调增区间是()11,2∞∞-+，和,单调减区间为112（，）. （2）当10a 2<<时，函数的最大值为()2f a a a =-+ 当112a 22+≤≤时，函数的最大值为11f 24⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当12a +>()2f a a a =-. 【点睛】（1）考查了分段函数单调性问题，结合分段函数图像可直接判断单调区间.（2）主要考查了分类讨论思想，结合分段函数图像，对区间端点的范围讨论，自变量的范围不同，对应的函数的最值也不同.22．（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：(1)利用奇函数的特性,定义在的奇函数必过原点,易得值；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.试题解析：（1）为上的奇函数，；（2）设，则，，又为奇函数，，即，.（3）在上为增函数，且，为上的奇函数，为上的增函数，原不等式可变形为：即，对任意恒成立，（分离参数法）另法：即，对任意恒成立，∴解得：，取值范围为.考点：函数的奇偶性；函数的解析式；解不等式. 【方法点晴】(1)由奇函数的特性,在时必有，，故定义在的奇函数必过原点；(2)当,则,根据函数为奇函数及当时,,可得函数在时的解析式,进而得到函数在上的解析式；(3)根据奇函数在对称区间上单调性相同,结合二次函数图象和性质,可分析出函数的单调性,进而将原不等式变形,解不等式可得实数的取值范围.23．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6. 【解析】 【分析】（1）令x ＝y ＝0，则可得f （0）＝0；y ＝﹣x ，即可证明f （x ）是奇函数，（2）设x 1＞x 2，由已知可得f （x 1﹣x 2）＜0，再利用f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），及减函数的定义即可证明．（3）由（2）的结论可知f （﹣3）、f （3）分别是函数y ＝f （x ）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f （﹣3）与f （3）就可得所求值域． 【详解】（1）因为()f x 的定义域为R ,且()()()f x y f x f y +=+,令y x =-得()()()f x x f x f x +-=+-⎡⎤⎣⎦,所以()()()0f x f x f +-=; 令0x y ==,则()()()0000f f f +=+,所以()00f =,从而有()()0f x f x +-=,所以()()f x f x -=-,所以()f x 是奇函数. （2）任取,x y R ∈,且12x x <,则()()()()121121f x f x f x f x x x -=-+-⎡⎤⎣⎦()()()()112121f x f x f x x f x x =-+-=--⎡⎤⎣⎦,因为12x x <,所以210x x ->,所以()210f x x -<,所以()210f x x -->, 所以()()12f x f x >,从而()f x 在R 上是减函数.（3）由于()f x 在R 上是减函数,故()f x 在区间[]3,3-上的最大值是()3f -,最小值是()3f ,由于12f ,所以()()()()()()()31212111f f f f f f f =+=+=++()()31326f ==⨯-=-,由于()f x 为奇函数知， ()()3-36f f -==,从而()f x 在区间[]3,3-上的最大值是6,最小值是-6.【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．。

2020-2021学年湖北省荆州市石首一中高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知向a ⃗ ，b ⃗ 满足：a ⃗ +b ⃗ =(1,3)，a ⃗ −b ⃗ =(3,−3)，则a ⃗ 、b ⃗ 的坐标分别为( )A. (4,0)、(−2,6)B. (−2,6)、(4,0)C. (2,0)、(1,−3)D. (−1,3)、(2,0)2. 函数y =cosx 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y =cosωx ，则ω的值为( )A. 2B. 12C. 4D. 143. z =5i1−2i (i 是虚数单位)则z 的共轭复数为( )A. 2−iB. 2+iC. −2−iD. −2+i4. 已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =30，c =20，C =30°，则符合条件的三角形的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 不确定5. 若点M(sin4π3,cos4π3)在角α的终边上，则cos2α=( )A. −12B. 12C. −√32 D. √326. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，若m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( ) A. 13 B. 19 C. 1 D. 27. 如图，在△ABC 中，B =45°，AC =8，D 是BC 边上一点，DC =5，DA =7，则AB 的长为( )A. 4√2B. 4√3C. 8D. 4√68. 已知O 为△ABC 内一点且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若△AOC 的面积为√33且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，则∠ABC =( )A. π3B. π4C. π6D. π129. 点P(−π6,2)是函数f(x)=sin(ωx +φ)+m(ω>0,|φ|<π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则( )A. f(x)的最小正周期是πB. f(x)的值域为[0,4]C. f(x)的初相φ为π3D. f(x)在[43π,2π]上单调递增二、多选题（本大题共3小题，共15.0分）10. 已知向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,2)，则下列结论正确的是( )A. a ⃗ +2b ⃗ =(5,4)B. |b ⃗ |=2C. a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为45°D. a ⃗ //(a ⃗ +2b ⃗ )11. 某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12√6nmile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8√3nmile.货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是( )A. A 处与D 处之间的距离是24nmileB. 灯塔C 与D 处之间的距离是16nmileC. 灯塔C 在D 处的西偏南60°D. D 在灯塔B 的北偏西30°12. 在△ABC 中，若B =π3，角B 的平分线BD 交AC 于D ，且BD =2，则下列说法正确的是( )A. 若BD =BC ，则△ABC 的面积是3+√32B. 若BD =BC ，△ABC 的外接圆半径是2√2C. 若BD =BC ，则AD DC =√3+12 D. AB +BC 的最小值是8√33三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知两个单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为60°，c ⃗ =t a ⃗ +(1−t)b ⃗ .若b ⃗ ⋅c ⃗ =0，则t =______． 14. 在△ABC 中，已知sin A ：sin B ：sinC =3：5：7，则此三角形的最大内角的度数等于______．15. 作用在同一点的三个力F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ ，F 3⃗⃗⃗⃗ 处于平衡状态，已知|F 1⃗⃗⃗ |=30N ，|F 2⃗⃗⃗⃗ |=50N ，F 1⃗⃗⃗ 与F 2⃗⃗⃗⃗ 之间的夹角是60°，则F 3⃗⃗⃗⃗ 与F 1⃗⃗⃗ 之间的夹角的正弦值为______ ． 四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acosB +2bcosA =0，则tanAtanB = (1) ，tan C 的最大值是 (2) ．五、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知复数z =(1+i)2+3(1−i)2+i(i 是虚数单位)．(1)求复数z 的模|z|；(2)若z 2+az +b =1+i(a,b ∈R)，求a +b 的值．18. 从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答①bsinA =√3acosB ；②(a +c +b)(a +c −b)=3ac ；③2cosB(acosC +ccosA)=b.在△ABC 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c ，满足条件______． (1)求角B 的大小；(2)若a =4，S △ABC =6√3，求b 的值．19. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (1)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x ，y 的值； (2)若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°时，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．20. 已知f(α)=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)．(1)化简f(α)，并求f(π3)；(2)求函数g(x)=2f 2(x)−f(π2+x)+1的值域．21. 已知函数f(x)=sin 2(x +π3)−sin 2(x −π6)，(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和单调增区间； (Ⅱ)若f(α)=513且α∈(−π12,π3)，求sin2α的值；22.在如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=2π3，∠ACD=π3，AD=√3．(1)若CD=√2，求△ACD的面积．(2)求BC的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵a⃗+b⃗ =(1,3)，a⃗−b⃗ =(3,−3)，∴把两个坐标相加得到2a⃗=(4,0)，∴a⃗=(2,0)把两个坐标相减得到b⃗ =(−1,3)故选：D．根据所给的两个向量的和与差的坐标，两个坐标相减和相加，得到要求的两个向量的坐标，得到结果．本题考查平面向量的坐标运算，本题解题的关键是利用向量的坐标的加减运算来解题，本题是一个基础题．2.【答案】B【解析】解：把函数y=cosx图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为y=cos12x，∴ω的值为12．故选：B．直接由函数图象的周期变化求得ω的值．本题考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的周期变化，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵z=5i1−2i =5i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=5i(1+2i)5=−2+i，∴z.=−2−i．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.【答案】C【解析】 【分析】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．直接利用正弦定理求出sin B ，再大边对大角确定角B 的情况，从而判断出答案． 【解答】解：根据正弦定理得：sinB =bsinC c=34<1，由于b >c ，所以B >C ，则B 可取锐角也可取钝角． 故选：C ．5.【答案】B【解析】解：∵点M(sin 4π3,cos4π3)=(−√32,−12)在角α的终边上， ∴r =|OM|=1， ∴sinα=y r=−12．∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×(−12)2=12． 故选：B ．由点M 的坐标求得点M 到坐标原点的距离，再由任意角的三角函数的定义求得sinα，然后利用二倍角公式求cos2α．本题考查三角函数值的求法，考查任意角的三角函数的定义及二倍角公式，是基础题．6.【答案】B【解析】解：依题意，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又B ，P ，N 三点共线， ∴3m +23=1，解得m =19． 故选：B ．依题意，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3m AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又B ，P ，N 三点共线，则3m +23=1，解出即可求得实数m 的值．本题主要考查平面向量基本定理的运用，属于基础题．7.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理，属基础题．先根据余弦定理求出C ，最后根据正弦定理可得答案． 【解答】解：在△ADC 中，AD =7，AC =8，DC =5， 由余弦定理得cosC =AC 2+DC 2−AD 22AC⋅DC=82+52−722×8×5=12，因为C 是三角形内角， ∴C =60°，在△ABC 中，AC =8，B =45°，C =60°， 由正弦定理ACsinB =ABsinC 得：AB =AC⋅sinC sinB=4√6．故选：D ．8.【答案】A【解析】解：因为O 为△ABC 内一点且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以O 为△ABC 的重心， 又△AOC 的面积为√33，所以△ABC 的面积为√3，即12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠ABC =√3，① 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(π−∠ABC)=−2， 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠ABC =2，② ①÷②得： tan∠ABC =√3， 又∠ABC ∈(0,π)，所以∠ABC =π3， 故选：A ．由三角形的重心的性质及平面向量数量积的运算得：△AOC 的面积为√33，所以△ABC 的面积为√3，即12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin∠ABC =√3，①又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2，所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠ABC =2，②所以tan∠ABC =√3，又∠ABC ∈(0,π)，所以∠ABC =π3，得解．本题考查了三角形的重心的性质及平面向量数量积的运算，属中档题．9.【答案】D【解析】 【分析】点P(−π6,2)是函数f(x)=sin(ωx +φ)+m 的图象的一个对称中心，根据函数对称性可得，m =2，sin(−π6ω+φ)=0，又点P 到该图象的对称轴的距离的最小值π2，T4=π2，所以 T =2π，ω=1可求f(x)=sin(x +φ)+2，利用排除法找出正确选项即可本题主要考查了由函数部分图象的性质求解函数解析式，然后由所求函数的解析式再进行求解函数的周期、函数的值域、函数的初相及函数的单调区间． 【解答】解：因为点P(−π6,2)是函数f(x)=sin(ωx +φ)+m(ω>0,|φ|<π2)的图象的一个对称中心，根据函数对称性可得，m =2，sin(−π6ω+φ)=0又点P 到该图象的对称轴的距离的最小值π2，T4=π2所以 T =2π，ω=1 所以f(x)=sin(x +φ)+2，把已知点(−π6,2)代入可得sin( −π6+φ)=0由已知|φ|<π2可得 φ=π6 所以f(x)=sin(x +π6)+2．A ：函数的最小正周期为：2π，故错误;B ：函数的值域为：[1,3]，故错误;C ：函数的初相为：φ=π6，故错误; 故选D ．10.【答案】AC【解析】解：由向量a ⃗ =(1,0)，b ⃗ =(2,2)， 所以a ⃗ +2b ⃗ =(1,0)+2(2,2)=(5,4)，所以A 正确． 又|b ⃗ |=√22+22=2√2，所以B 错误． 又a ⃗ ⋅b ⃗ =1×2+2×0=2， 所以cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |×|b⃗ |=21×2√2=√22； 又θ∈[0°,180°]，所以θ=45°，C 正确． a ⃗ +2b ⃗ =(5,4)，a ⃗ =(1,0)， 且1×4−5×0=4≠0， 所以a ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 不平行，D 错误． 故选：AC ．由平面向量的坐标运算，计算a ⃗ +2b ⃗ ，判断选项A 正确； 计算|b ⃗ |，判断选项B 错误； 计算a ⃗ 与b ⃗ 的夹角，判断选项C 正确；利用共线定理判断a ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 不平行，得出选项D 错误． 本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，是基础题．11.【答案】AC【解析】解：如图，在△ABD 中，∠ADB =60°，B =45°，AB =12√6， 由正弦定理得AD =ABsin∠Bsin∠ADB =12√6×√22√32=24，∴A 处与D 处的距离为24 n mile ，故A 正确； 在△ADC 中，由余弦定理得：CD 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅AC ⋅cos 30°=242+(8√3)2−2×24×8√3×√32，解得：CD =8√3，∴灯塔C 与D 处的距离为8√3n mile ，故B 错误；由AC =CD ，可得∠CAD =∠CDA =30°，则灯塔C 在D 处的西偏南60°，故C 正确； 由图可知，D 在灯塔B 的北偏西60°，故D 错误．由已知利用正弦定理求AD判断选项A；在△ADC中，由余弦定理求得CD判断B，进一步判断C；由图可直接判断D．本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的实际应用，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】ACD【解析】解：因为BD为B的平分线，B=π3，所以∠ABD=∠CBD=π6，BD=BC=2，则∠C=∠BDC=5π12，由正弦定理得BCsinA =ABsinC=2√2，所以AB=2√2×sin5π12=2√2×√2+√64=√3+1，S△ABC=12AB⋅BCsin∠ABC=12×(1+√3)×2×√32=3+√32，A正确；若BD=BC=2，A=π4，由正弦定理得2R=asinA=2√22=2√2，所以△ABC的外接圆半径√2，B错误；若BD=BC=2，由正弦定理得ADsinπ6=ABsin∠ADB，CDsinπ6=BCsin∠CBD，因为∠ADB与∠BDC互补，所以sin∠ADB=sin∠BDC，ADDC =ABBC=1+√32，C正确；设∠A=θ，则∠C=2π3−θ，∠BDC=π6+θ，因为BDsinA =AB sin∠ADB，BDsinC=BCsin∠ADB，所以AB+BC=2sin(θ+π6)sinθ+2sin(θ+π6)sin(2π3−θ)=√3sinθ+cosθsinθ+√3sinθ+cosθ12sinθ+√32cosθ，令t=1tanθ，则t∈(−√33,0)∪(0,+∞)，所以AB+BC=√3+t+2(√3+t)1+√3t =√33(√3t+1)+4√331+√3t+4√33≥2√√33×4√33+4√33=8√33，当且仅当√33(1+√3t)=4√331+√3t，即t=√33或−√3时取等号，所以θ=π3或θ=5π6(舍)，故AB+BC有最小值时，为8√33，D正确．由已知结合正弦定理，和差角公式及同角基本关系进行变形，分别检验各选项即可判断．本题综合考查了正弦定理，三角形的面积公式，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵c⃗=t a⃗+(1−t)b⃗ ，c⃗⋅b⃗ =0，∴c⃗⋅b⃗ =t a⃗⋅b⃗ +(1−t)b⃗ 2=0，∴tcos60°+1−t=0，∴1−12t=0，解得t=2．故答案为2．由于b⃗ ⋅c⃗=0，对式子c⃗=t a⃗+(1−t)b⃗ 两边与b⃗ 作数量积可得c⃗⋅b⃗ =t a⃗⋅b⃗ +(1−t)b⃗ 2=0，经过化简即可得出．熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14.【答案】2π3【解析】解：∵sinA：sin B：sinC=3：5：7，∴由正弦定理可得：a：b：c=3：5：7，∴C为最大角，a=3c7，b=5c7，∴由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =9c249+25c249−c22×3c7×5c7=−12，∵C∈(0,π)，∴C=2π3．故答案为：2π3．直接利用正弦定理，转化角为边的关系，利用大边对大角，余弦定理可求cos C的值，结合C的范围即可得解．本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的解法，考查计算能力，属于基础题．15.【答案】5√314【解析】解：根据题意，设F 3⃗⃗⃗⃗ 与F 1⃗⃗⃗ 之间的夹角为θ，同一点的三个力F 1⃗⃗⃗ ，F 2⃗⃗⃗⃗ ，F 3⃗⃗⃗⃗ 处于平衡状态，则F 3⃗⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ =0，则|F 3⃗⃗⃗⃗ |2=|F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ |2=F 1⃗⃗⃗ 2+F 2⃗⃗⃗⃗ 2+2F 1⃗⃗⃗ ⋅F 2⃗⃗⃗⃗ =900+2500+1500=4900，则|F 3⃗⃗⃗⃗ |=70，又由−F 2⃗⃗⃗⃗ =F 3⃗⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ ，则有|−F 2⃗⃗⃗⃗ |2=|F 1⃗⃗⃗ +F 3⃗⃗⃗⃗ |2=F 1⃗⃗⃗ 2+F 3⃗⃗⃗⃗ 2+2F 1⃗⃗⃗ ⋅F 3⃗⃗⃗⃗ ，即2500=900+4900+4200cosθ， 解可得：cosθ=1114， 则sinθ=√1−cos 2θ=5√314， 故答案为：5√314． 解：根据题意，设F 3⃗⃗⃗⃗ 与F 1⃗⃗⃗ 之间的夹角为θ，由物理知识可得F 3⃗⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ =0，则有|F 3⃗⃗⃗⃗ |2=|F 1⃗⃗⃗ +F 2⃗⃗⃗⃗ |2，计算可得|F 3⃗⃗⃗⃗ |的值，又由−F 2⃗⃗⃗⃗ =F 3⃗⃗⃗⃗ +F 1⃗⃗⃗ ，则有|−F 2⃗⃗⃗⃗ |2=|F 1⃗⃗⃗ +F 3⃗⃗⃗⃗ |2=F 1⃗⃗⃗ 2+F 3⃗⃗⃗⃗ 2+2F 1⃗⃗⃗ ⋅F 3⃗⃗⃗⃗ ，变形计算可得cosθ的值，由同角三角函数的基本关系式计算可得答案． 本题考查向量的物理应用，涉及向量数量积的计算，属于基础题．16.【答案】−2√24【解析】解：因为acosB +2bcosA =0， 由正弦定理可得，sinAcosB +2sinBcosA =0， 则tanA tanB =sinAcosBsinBcosA =−2， 所以tanA =−2tanB ，∴tanC =−tan(A +B)=tanA+tanB tanAtanB−1=tanB1+2tan 2B ， 故tan C ，tan B 同号，即B 为锐角，tanC =−tan(A +B)=tanA+tanBtanAtanB−1=tanB1+2tan 2B =12tanB+1tanB≤2√2=√24，当且仅当2tanB =1tanB 即tanB =√22时取等号，故答案为：−2，√24．由已知结合正弦定理及同角基本关系即可求解；然后利用同角基本关系进行化简可得tanC=tanB1+2tan2B，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了正弦定理及同角基本关系的应用，还考查了利用基本不等式求解三角最值中的应用，属于中档试题．17.【答案】解：(1)z=(1+i)2+3(1−i)2+i=1−i，∴|z|=√2；(2)∵z2+az+b=1+i，∴(1−i)2+a(1−i)+b=1+i，∴(a+b−1)−(a+3)i=0，∴a+b=1．【解析】(1)将z的分母实数化，化简得到z=1−i，从而求出z的模即可；(2)将z=1−i 代入等式，求出a+b即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的化简计算，熟练掌握复数的运算性质是解题的关键，本题是一道基础题．18.【答案】解：选①bsinA=√3acosB，由正弦定理得sinBsinA=√3sinAcosB，因为sinA≠0，所以sinB=√3cosB，故tanB=√3，因为B为三角形内角，所以B=π3，选②：(a+c+b)(a+c−b)=3ac，所以(a+c)2−b2=3ac，整理得a2+c2−b2=ac，由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac =12，因为B为三角形内角，所以B =π3，选③：2cosB(acosC +ccosA)=b ，由正弦定理得2cosB(sinAcosC +sinCcosA)=sinB ， 即2cosBsin(A +C)=sinB ， 所以2cosBsinB =sinB ， 因为sinB >0， 所以cosB =12， 因为B 为三角形内角， 所以B =π3，(2)若a =4，S △ABC =12acsinB =6√3， 则12×4c ×√32=6√3， c =6，由余弦定理得cosB =12=a 2+c 2−b 22ac=16+36−b 22×4×6，解得b =2√7．【解析】选①：由正弦定理化简可求tan B ，进而可求B ； 选②：由已知整理后利用余弦定理可求cos B ，进而可求B ；选③：由正弦定理及两角和的正切公式进行化简可求cos B ，进而可求B ， (2)由S △ABC =12acsinB =6√3可求c ，然后结合余弦定理可求b ．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =12，y =12；(2)由BP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗=23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； 又|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−23OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−23×42+13×22+13×4×2×cos60°=−8．【解析】(1)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可； (2)由BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )，求出OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是中档题．20.【答案】解：(1)f(α)=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)=−sinα⋅(−sinα)sinα⋅tanα=cosα，故f(π3)=12；(2)g(x)=2f 2(x)−f(π2+x)+1=2cos 2x +sinx +1=−2sin 2x +sinx +3=−2(sinx −14)2+258，因为−1≤sinx ≤1，所以当sinx =14时，函数取得最大值258，当sinx =−1时取得最小值0． 故函数的值域[0,258].【解析】(1)利用诱导公式及同角基本关系即可直接求解；(2)先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数及二次函数的性质即可求解． 本题主要考查了诱导公式，正弦函数的性质及二次函数的性质，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=sin 2(x +π3)−sin 2(x −π6)=cos 2(x −π6)−sin 2(x −π6)=cos(2x −π3)，f(x)的最小正周期T =π； 由−π+2kπ≤2x −π3≤2kπ(k ∈Z )得： −π3+kπ≤x ≤π6+kπ(k ∈Z )．即f(x)单调增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k∈Z)．(Ⅱ)∵α∈(−π12,π3 )，∴2α−π3∈(−π2,π3)，∵f(α)=cos(2α−π3)=513<12，∴2α−π3∈(−π2,−π3)，∴sin(2α−π3)=−1213，∴sin2α=sin[(2α−π3)+π3]=sin(2α−π3)⋅cosπ3+cos(2α−π3)⋅sinπ3=5√3−1226．【解析】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．(Ⅰ)先用三角变换公式得到f(x)=cos(2x−π3)，再根据余弦函数的周期公式和单调性可得；(Ⅱ)先得sin(2α−π3)=−1213，再根据2α=(2α−π3)+π3以及和角的正弦公式可得．22.【答案】解：(1)∵AB⊥AD，∠ABC=2π3，∠ACD=π3，AD=√3．若CD=√2，则CDsin∠CAD =ADsin∠ACD⇒sin∠CAD=√2×sin∠ACD√3=√22；∴∠CAD=π4或(3π4舍)；∴∠ADC=π−π4−π3=5π12；sin5π12=sin(π4+π3)=√2+√64∴△ACD的面积S=12×AD×CD×sin∠ADC=12×√2×√3×√2+√64=√3+34(2)设∠CAD=α(0<α<π2)，则∠D=2π3−α，∠BAC=π2−α在ΔACD中ADsin∠ACD =ACsin∠D，AC=2sin(2π3−α)在ΔABC中BCsin∠BAC =ACsin∠B，BC=ACsin∠BACsin∠B∴BC=2sin(2π3−α)cosαsin2π3=2√3cos2α+2sinαcosα√3=√3+√3cos2α+sin2α√3=√3+2sin(2α+π3)√3=1+2√33sin(2α+π3)∵0<α<π2，∴π3<2α+π3<4π3∴1+2√33sin(2α+π3)≤1+2√33BC的最大值为1+2√33．【解析】(1)根据题意，利用正弦定求解∠CAD=π4，在由△ACD的面积S=12×AD×CD×sin∠ADC可得答案．(2)设∠CAD=α(0<α<π2)，分别在ΔACD和ΔABC用正弦定理表示出AC=2sin(2π3−α)，BC=1+2√33sin(2α+π3)，从而可得BC最大值本题考查了正弦定理的灵活应用和计算能力，三角形的内角和定理的计算．属于中档题．。

荆州中学 2020 级十月月考高一数学测试卷一、选择题（共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项）1．设集合 U={1,2,3,4,5}，A={2,4}，B={1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. {4}B. {2,4}C. {4,5}D.{1,3,4}UABA {(x, y ) | y f (x),x D} B {(x , y ) | x a} ，2．已知集合 ，则 A B 为中元素的个数为 A ．1 个B ．2 个C ．无数个D ．至多 1 个3.已知 为非零实数，且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ） a,b 1 1 1 1A ． 2 2B ．C ．D ． a b a a b b3 3a b aa bax 1x 4.若函数 是 R 上的减函数，则实数a 的取值范围是(2 3a)x 1 x 1 3 2 2 2 3( , ] 3 4[ ,1) ( ,1) ( ,)A. B. C. D.4331 y xx 5.函数的图象只可能是6.某公司 2020 一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底一次性发放). 方案 1：奖金 10 万元方案 2：前半年的半年奖金 4.5 万元,后半年的半年奖金为前半年的半年奖金的 1.2 倍 方案 3：第一个季度奖金 2 万元,以后每一个季度的奖金均在上一季度的基础上增加5000 元 方案 4：第n 个月的奖金 基本奖金 7000 元 200n 元 如果你是该公司员工,你选择的奖金方案是 A.方案 1B.方案 2C.方案 3D.方案 4min{a,b} ,a b.已知 aa,b , min{a ,b} a ,b 中较小的那个数,即7.对于任意的实数 表示b ,a b (x) 3 x 2, g(x) 1 x. ( ) min{ ( ), ( )}, R h x函数 f A. h (x)的单调递减区间是(2,)C. h(0) 3设 f x g x x ,下列说法正确的是h(x) h(x)B. D. 的最大值是 2，无最小值y 的图像关于 轴对称x 12 f (x) 1 x 2 f (2x) f (1 x)的 x 的取值范围是 8.已知函数 2，则满足不等式 x 111 1 1{x| 0 x } 3A.{x| x 1} {x| 1 x } {x | x }C.或 x B. D. 333 2 二、多项选择题（共4 小题，每小题5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对得 3 分） 9．下列说法中正确的有()．． 1的递增区间是(,1) (1,)A ．函数 y 1 x p:x [2,3], aa 3p，若命题 为真命题，则B ． 使得 xf (x )对任意实数a,b都有f (a b ) f (a) f (b) 成立，则 f (x )是奇函数C ．若D ．已知 f( x) x 1，则 f (x ) 的解析式为 f (x ) x 12 11 (x) x , g(x) x 10．已知函数 f 则下列结论中正确的是 2x x 2A. f (x) g (x) 是奇函数 C. f(x) g (x)的最小值为B.D.f (x)g (x)是偶函数 f (x) g (x)的最小值为241 ( 为有理数) xf (x)0 (x 为无理数)11.函数 ， 则下列结论正确的是 ()A ． f(x)是偶函数B ．f (x) 的值域是{0,1}C ．方程 ( f (x ))x 的解为 f ( f (x )) f (x )的解为x 1x 1D ．方程ff (x )I 是定义在区间 上的函数，若对区间 中的任意两个实数 I , x ，都有x 1 12.设函数 2 x xf (x ) f (x ) f (x ) I为区间 上的下凸函数.下列函数中是区间f ( ) , 则称 21 2 12 2 (1,3)上的下凸函数的是2x 1(x ) 2x 1 ( ) 2f (x)D.(x) x 5 A. f B. f x x C. f 3x 1 二．填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在题中横线上）{1,0,1} B {a 1,2a}，若A B {0}，13.集合A ，则实数a 的值为 ．(x) (2m m)x 在(0,)是增函数，则函数 f (2x x )2的单调递减14.已知幂函数 f 2 m区间是．4 1,b15.已知正实数a 满足a 2,b 则 的最小值为 ．b a (x) xbx c 16.已知函数 f 2（1）若 f(x)恒满足 f (2 x) f (x) ，则b．f (x ) f (x ) 1 x x 2, 12 2则实数b 的取值范围是 （2）若对于任意 都有 ．xx 1 2 12三、解答题（共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）x| 3 x 417．(本小题满分 10 分) 设集合 A ， B x m x m{ |1 3 2}A x B的充分不必要条件，求实数 的取值范围；m（1）若 x 是 B （2）若 A B ，求实数 的取值范围.m18. (本小题满分 12 分)(a 0)在x[2,3]时有最大值 4 和最小值 1．(x) ax2ax 1 b 已知函数g 2 ,b（1）求实数a 的值；g(x)(2)设 f(x).若不等式f (x ) k 0在x(2,5]上恒成立,求实数k 的取值范围．x 219.(本小题满分 12 分)2x 已知函数 f(x)x (x R 且2) x 2 f (x)在区间(,2)(1)判断并证明 上的单调性；g(x)(1 2b )x 5b ,b 1,x [0,1] [0,1], 总存在x 1(2) 函数 2 ，若对任意的 (x ) g(x ) x[0,1], 使得 f 2成立，求b 的取值范围.1220.（本小题满分 12 分）f (x ) 0 () 2 . f xx x 已知函数 是 R 上的奇函数，当 x 时， 2 f (x ) (1)求 的解析式；(2)是否存在实数a,b(a b ).使函数 f (x )[a ,b ]上的值域为[2a ,2b]在？若存在，求出实数a,b的值；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分 12 分)(x) ax bx c (a ,b ,c R) 1( ) 时，函数 f x 的设二次函数 f 2 满足两个条件：①当 x 2 y 2A, B AB 4.的长度等于最小值为 ；②函数图像与直线 交于 两点，且线段 (x) （1）求 f 的解析式.（2）设函数h(x) f (x) 2tx , x [1,1]的最小值为g(t)g(t)，求的解析式，并求g(t) 3的解集.22.(本小题满分 12 分)据百度百科,罗伯特 纳维利斯是一位意大利教师,他的主要成就是于 1905 年发明了家庭作业.对于数学学科来说,家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成,据某位 专家量化研究发现,适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升,过少或过多的家庭作业均不 利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0,一个填空题约量化为 1.2,一个解答题约量化为 3.3, 于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.2x 0 x 10,20, 10 x 20, 40 x ,20 x 30,已知家庭作业量 x 对应的关联函数 h (x) 当家庭作业量为10, x 30.(m)可以表达为坐标轴 x 轴,直线 x m 以及关联函数 m 时对应的学习成绩提升效果 f S(m)h(x) S(m) m (m) 所围成的封闭多边形的面积 与 的比值 (即 f ).通常家庭作业量m使得f(m)15认为是最佳家庭作业量.m(1)求(2)求S(10),f(10)的值；f(m)的解析式；(3)荆州中学高一年级的数学学科家庭作业通常是《课时跟踪检测》一个课时对应练习题(7个选择题、4个填空题及4个解答题),问这个年级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量?荆州中学 2020 级高一 10 月月考数学答案一、选择题 1-8：ADCDCBBC 9-12：BC BC二、填空题 ABC A CD,69213. 114. 1,2（区间开闭都可以） 15. 16.2三、解答题17.(1)由题意知 A B1 3m 等号不同时成立得 m 42 43m ∴实数 m 的取值范围为 m 4 （2）由题意知 B A …………………4 分 …………………5 分 3当 B ,1 m 3m 2,m…………………7 分41 3m3 当 B ， 3m 24 ， m 2…………………9 分…………………10 分4 1 m 3m 2 综上所述：实数 m 的取值范围为 m 2 18.（1）函数 g(x) 的图象关于 x 1对称则 g(x) 在 2,3 上单调递增∴ g(x)g(3) 3a b 1 4m axg(x)g(2) b 1 0min得 a 1,b 0 ……………………………………6 分x 2x 12 （2）由（1）知 g(x) x 2x 1,则 f (x)2 x 2x 2x 1 2恒 成 立 , 也 就 是 ， 当 x 2,5 时由 题 可 知 ， x 2,5,k x 2 x 2x 1 2 k2 xminx 2x 1 1 2 又 x 22 4 ,当且仅当 x 3时取等 x 2 x 2∴实数 的取值范围为 k 4 …………………12 分k 19.（1） f (x) 在(,2) 上是减函数………………2 分任取 x , x 2 且 x x1212x 2 x1 2(x x ) f (x ) f (x )1 2 x 2 x 2 (x 2)(x 2)2 1 2121∵ x 2, x 2 且 x x∴ f (x ) f (x ) 0121221∴ f (x) 在,2 上单调递减.…………………6 分（2）由（1）知 f (x) 在区间 0,1 上单调递减f (x)f (1) 2, f (x)f (0) 0 有 f (x) 2,0 minm ax又 ，则1 2b1有 b 1在区间 0,1 上单调递减 g(x) 2 g(x)g(1) 2b 5b 1 g(x)g(0) 5bm ax2 min∴ 2b2 5b 1,5b …………………8 分g(x)由于x 0,1,x 0,1 使 f (x ) g(x ) 1212得 2b 2 5b 1,5b …………………10 分2,02b 5b 1 212 即 b 或b 35b 0 2又b 1∴b 3综上所述：b 的取值范围是b 3 ………………12 分 20.（1）设 则 x 0 x 0f (x ) 2(x ) (x ) 2xx 2 2 又 f (x) 为奇函数则 f (x) f (x) 2xx ………………4 分2 2x x , x 02 ∴ f (x) 的解析式为 f (x) …………………6 分2x x , x 021 1（2）当 x 0 时 f (x) 2(x ) 则 f (x) 单调递增2 4 8 12由 f (a) 2a , f (b)=2b 当 x 0 令 f (x) 2x 有 x 0 或又 f (x) 为奇函数12 则当 时令 f (x) 2x 有 xx 0 由于a b1∴实数 的值为① a ,b 0a,b 21 1② a ,b2 2 1③ a 0,b…………………12 分（少一种答案扣 22分）（此题也可以分情况讨论解方程组求 a,b ） b21.（1）由题意知 1,a b c 22a又函数图象与直线 y 2 交于 A, B 两点时 AB 4则 ax b x c 2 0 有 x x42 12b1 2aa 1b c 2a b 2c 1b 2 4a(c 2) 4a∴ f (x) x 2x 1 …………………4 分2 （2）h(x) x (1 t ) t 2t 2 2 2 ①t 0 g(t) h(1) 2 2t② 2 t 0 ③t 2g(t) h(1 t ) t 2t 22 g(t) 2 2tg(t) 的解析式为 …………………9 分g(t) t 2 2t 2, 2 t 0 2 2t ,t 0 5 2 5 t 2 当 时 g(t) 2 2t 3 得t t 2当 时 2 t 0g(t) t 2t 2 3 得t 1 2 或 t 1 2 不符题 2 意1 1 t 2当t 0时 g(t) 2 2t 3 得t 2 5 1 综上所述：不等式的解集为 或 …………………12 分 t tt 2 2 1 22.（1） S(10) 1020 100 2S(10) f (10) 10 …………………4 分 10 1 2 m 2m m 2 （2）当0 m 10时 当10 m 20时mf (m) m m 1 1020 20(m 10) 20m 100 100 2 f (m) 20 m m m 当20 m 30时 1 1 2 1020 1020 (20 40 m)(m 20) m 300 2 m2 f (m) 40 m 当m 30时1 1 1020 1020 301010(m 30) 10m 150 150 22 f (m) 10 m m m10020,10m 20m的解析式为f(m)f(m)m30040,20m 302m15010,m 30m…………………9分（3）m7141.243.325f(25)15.515这个年级的数学学科作业量是最佳家庭作业量.…………………12分g(t) 的解析式为 …………………9 分g(t) t 2 2t 2, 2 t 0 2 2t ,t 0 5 2 5 t 2 当 时 g(t) 2 2t 3 得t t 2当 时 2 t 0g(t) t 2t 2 3 得t 1 2 或 t 1 2 不符题 2 意1 1 t 2当t 0时 g(t) 2 2t 3 得t 2 5 1 综上所述：不等式的解集为 或 …………………12 分 t tt2 2 1 22.（1） S(10) 1020 100 2S(10) f (10) 10 …………………4 分10 1 2 m 2m m 2 （2）当0 m 10时 当10 m 20时 mf (m) m m 1 1020 20(m 10) 20m 100 100 2 f (m) 20 m m m 当20 m 30时1 12 1020 1020 (20 40 m)(m 20) m 300 2 m2 f (m) 40 m 当m 30时1 1 1020 1020 301010(m 30) 10m 150 150 22 f (m) 10 m m m10020,10m 20m的解析式为f(m)f(m)m30040,20m 302m15010,m 30m…………………9分（3）m7141.243.325f(25)15.515这个年级的数学学科作业量是最佳家庭作业量.…………………12分。

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

专题06 水平面及竖直面内圆周运动的临界问题一．选择题1.(2020-2021学年·四川棠湖中学高一月考)如图所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球；另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v ，下列叙述中不正确的是( )A.v 的值可以小于glB.当v 由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大C.当v 由gl 值逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D.当v 由gl 值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小【答案】 D【解析】 细杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故A 正确；根据F 向＝m v 2l 知，速度增大，向心力增大，故B 正确；当v ＝gl ，杆的作用力为零，当v ＞gl 时，杆子表现为拉力，速度增大，拉力增大，故C 正确；当v ＜gl 时，杆子表现为支持力，速度减小，支持力增大，故D 错误。

2.(2020-2021学年·吉林东北师大附中高一月考)如图所示，长为L 的轻质细长物体一端与小球(可视为质点)相连，另一端可绕O 点使小球在竖直平面内运动。

设小球在最高点的速度为v ，重力加速度为g ，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )A.v 最小值为gLB.v 若增大，此时小球所需的向心力将减小C.若物体为轻杆，则当v 逐渐增大时，杆对球的弹力也逐渐增大D.若物体为细绳，则当v 由gL 逐渐增大时，绳对球的弹力从0开始逐渐增大【答案】D【解析】 若物体为轻杆，通过最高点的速度的最小值为0，物体所受重力和支持力相等，A 错误；v 增大，根据F 向＝m v 2r 可知向心力将增大，B 错误；若物体为轻杆，在最高点重力提供向心力mg ＝m v 20L ，解得v 0＝gL ，当速度小于gL 时，根据牛顿第二定律mg －F N ＝m v 2L ，随着速度v 增大，杆对球的弹力在逐渐减小，C 错误；若物体为细绳，速度为gL 时，重力提供向心力，所以绳子拉力为0，当v 由gL 逐渐增大时，根据牛顿第二定律F T ＋mg ＝m v 2L 可知绳子对球的拉力从0开始逐渐增大，D 正确。

湖北省荆州中学【最新】高一上学期9月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合U ={1，2，3，4，5，6}，S ={1，4，5}，T ={2，3，4}，则S ∩（∁U T ）等于（ ） A ．{1，4，5，6} B ．{1，5}C ．{4}D ．{1，2，3，4，5}2．已知函数()y f x =，则该函数与直线x a =的交点个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．无数个D ．至多一个3．已知2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩，则44()()33f f +-的值等于（ ）A ．2-B ．4C ．2D ．4-4．已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y =+==-=那么集合M N ⋂为（ ） A ．3,1xyB ．()3,1-C ．{}31，-D ．3,15．函数1()3f x x =+的定义域为（ ） A ．(3,0]- B ．(3,1]- C ．(,3)(3,0]-∞--D ．(,3)(3,1]-∞--6．已知()f x 的定义域为[1,5]-，则(25)f x +的定义域为（ ）A ．[1,5]-B ．[3,15]C ．[3,0]-D ．[0,3]7．已知()224f x x x -=-，那么()f x = ( ) A ．284x x --B ．24x x --C ．28x x +D ．24x -8．如果奇函数()f x 在区间[2，8]上是减函数且最小值为6，则()f x 在区间[-8，-2]上是（ ）A ．增函数且最小值为6-B ．增函数且最大值为6-C ．减函数且最小值为6-D ．减函数且最大值为6-9．已知函数2()1xf x a x =≥-在区间[3，5]上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．3B ．13C ．25D ．5210．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是A ．0B ．1C ．2D ．311．已知定义域为R 的函数()y f x =在()0,4上是减函数, 又()4y f x =+是偶函数, 则( )A ．()()()257f f f <<B ．()()()527f f f <<C ．()()()725f f f <<D ．()()()752f f f <<12．已知奇函数()f x 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[1,0(0,1]-⋃，则不等式()()1f x f x -->-的解集（ ）A ．1|02x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．{|11x x -≤≤且0}x ≠C ．1|12x x ⎧-≤<-⎨⎩或01}x < D ．{|10x x -≤<或112x <}二、填空题13．若不等式210kx kx --<对一切实数x 都成立，则实数k 的取值范围是_______.14． 设函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，则a ＝________.15．函数y =______.三、双空题16．甲乙两地相距500km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度v 不能超过120km/h.已知汽车每．小时运输成本为29360250v +元,则全程运输成本与速度的函数关系是y =______,当汽车的行驶速度为______km/h 时,全程运输成本最小.四、解答题17．设集合{}33A x a x a =-<<+，{|1B x x =<-或}3x >. （1）若3a =，求AB ；（2）若A B =R ，求实数a 的取值范围.18．设函数()f x 是定义域在R 上的奇函数，当0x >时，2()331f x x x =-+-，求()f x 在R 上的解析式.19．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算：某人在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元.（1）写出y 关于x 的解析式. (2) 若y=30，求此人购物实际所付金额． 20．已知函数2()2(1)f x x a x a =+-+. （1）当1a =-时，求()f x 在[3,3]-上的值域； （2）求()f x 在区间[3,3]-上的最小值.21．规定[]t 为不超过t 的最大整数，例如[12.6]12=，[ 3.5]4-=-.对任意实数x ，令1()[4]f x x =，()4[4]g x x x =-，进一步令21()(())f x f g x =.（1）分别求1716f ⎛⎫⎪⎝⎭和2716f ⎛⎫⎪⎝⎭； （2）求x 的取值范围，使它同时满足1()1f x =，2()3f x =. 22．已知()21ax bf x x +=+是定义在()-1,1上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并证明你的结论； （3）解不等式 ()()220f t f t -+<.参考答案1．B 【分析】由集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =，由补集的运算有{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =，再结合交集的运算即可得解. 【详解】解：因为集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}2,3,4T =， 所以{}1,5,6U C T =,又{}1,4,5S =， 所以{}()1,5U S C T ⋂=, 故选B. 【点睛】本题考查了补集，交集的运算，重点考查了对交集、补集概念的理解能力，属基础题. 2．D 【解析】试题分析：此题出得巧，此时无形胜有形，充分检验了学生对函数概念的掌握情况，根据函数的概念在定义域范围内任意的一个自变量x 都有唯一的函数值对应，直线x a =与函数()y f x =的图像最多只有一个交点，从而得出正确的答案是D.考点：1.函数的概念；2.函数图像. 3．B 【详解】2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩,448()2333f ∴=⨯=，44112()(1)()(1)()33333f f f f f ∴-=-+=-=-+=24233=⨯=，4484()()43333f f ∴+-=+=，故选B.考点：分段函数. 4．D【分析】解对应方程组，即得结果 【详解】由2,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,1x y =⎧⎨=-⎩所以(){}3,1M N ⋂=-，选D. 【点睛】本题考查集合的交集，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．C 【分析】直接利用负数不能开偶次方根和分母不能为零求解. 【详解】 因为030x x -≥⎧⎨+≠⎩，所以0x ≤且3x ≠-，所以函数1()3f x x =+的定义域为(,3)(3,0]-∞--， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 6．C 【分析】根据()f x 的定义域为[1-，5]即可得出：要使得(25)f x +有意义，则需满足1255x -+，解出x 的范围即可． 【详解】()f x 的定义域为[1-，5]，∴要使(25)f x +有意义，则1255x -+，解得30x -，(25)f x ∴+的定义域为[3-，0]．故选：C ． 【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意形如[()]f g x 复合函数的求解原则. 7．D 【解析】因为()224f x x x -=-=()224x --,则()24f x x =-,故选D.点睛: 本题考查函数的表示方法,属于基础题目.求函数解析式的一般方法主要有:待定系数法,配凑法,换元法,构造方程组法,赋值法等.已知函数类型时,比如一次函数,二次函数,反比例函数以及指数函数或者对数函数时,往往使用待定系数法设出函数的表达式,再利用已知条件带入求出参数的值. 8．D 【分析】由奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，分析可得答案． 【详解】解：根据题意，()f x 在区间[2，8]上是减函数，且最小值为6，即()86f =，且()6f x ≥，又由()f x 为奇函数， 则()f x 在区间[-8，-2]上是减函数，且()86f -=-，则有()6f x ≤-， 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的性质以及应用，注意运用奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，属于基础题． 9．D 【分析】根据题意需求出()f x 的最小值，利用分离常数的方法分析函数的单调性，即可求解. 【详解】因为22(1)22()2111x x f x x x x -+===+---，所以函数()f x 在[]3,5上单调递减，函数()f x 的最小值为5(5)2f =，所以52a ≤, a 的最大值是52.故选D. 【点睛】本题主要考查根据函数恒成立求参数，利用函数的单调性求最值，考查逻辑推理和运算求解能力，属于中档题. 10．C 【详解】2541()2222x x f x x x x-+==+-≥--，所以选C.11．B 【分析】根据条件将自变量转化到()0,4上，再根据单调性判断大小 【详解】因为()4y f x =+是偶函数,所以()()44f x f x +=-+ 因此()()5(3),7(1)f f f f ==，因为()y f x =在()0,4上是减函数,所以()()()321,f f f <<()()()527f f f <<，选B 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查基本分析判断能力，属基础题. 12．C 【分析】由奇函数的定义可得，不等式即1(2)f x >-，结合图象求出它的解集． 【详解】由题意可得，不等式()()1f x f x -->-，即()()1()1f x f x f x >--=--，即2()1f x >-，即1(2)f x >-，结合图象可得112x -<-或01x <. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的定义，利用函数图象解不等式，求得不等式即1(2)f x >-，是解题的关键，属于基础题． 13．-4<k ≤0 【分析】对不等式的最高次项的系数进行分类讨论进行求解即可. 【详解】当0k =时，原不等式变为10-<，显然对一切实数x 都成立；当0k ≠时，要想不等式210kx kx --<对一切实数x 都成立，则满足：k 0<且2()40k k ∆=-+<，解得40k -<<，综上所述：实数k 的取值范围是40k -<≤. 【点睛】本题考查了已知不等式恒成立求参数问题.考查了分类讨论思想. 14．1- 【详解】 因为函数f (x )＝(1)()x x a x++为奇函数，(11)(1)(11)(1)(1)=(1), 1.11a a f f a ++-+-+∴=--=∴=-经检验符合题意.故答案为1-. 15．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题意首先确定函数的定义域，然后结合复合函数的单调性法则即可确定所给函数的单调递增区间. 【详解】函数有意义，则：260x x -++≥，解得：23x -≤≤， 令()26u x x x =-++，则()u x 在区间12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数y =由复合函数同增异减的法则可得，函数的单调递增区间为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，复合函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16．18000018y v v=+(0120)v <≤ 100 【分析】由已知可得汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v，结合汽车每小时运输成本为29360250v +元，可得全程运输成本与速度的函数关系式，再由基本不等式可得100v =时，y 取最小值.【详解】甲乙两地相距500km ，故汽车从甲地匀速行驶到乙地的时间为500v， 又由汽车每小时运输成本为29360250v +元， 则全程运输成本与速度的函数关系是()25009180000360180120250y v v v v v ⎛⎫=⋅+=+<≤ ⎪⎝⎭，由基本不等式得180000183600v v +≥=， 当且仅当18000018v v+，即100v =时，取最小值, 故答案为()180000180120y v v v=+<≤，100.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.17．（1）{|1x x <-或}0x >；（2）()0,2. 【分析】（1）先求出集合A ，再求A ∪B ；（2）根据A B =R 得到31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解不等式组即得解. 【详解】（1）若3a =，则{}06A x x =<<，故{|1A B x x ⋃=<-或}0x >. （2）若A B =R ，则31,33,a a -<-⎧⎨+>⎩解得02a <<.∴实数a 的取值范围为()0,2.【点睛】本题主要考查集合的补集运算和根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的解掌握水平和分析推理能力.18．22331,0()0,0331,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪-+->⎩【分析】设0x <，则0x ->，再利用奇函数的定义得到()f x 的解析式，再将函数写成分段函数的形式.【详解】设0x <，则0x ->，22()3()3()1331f x x x x x ∴-=--+--=--- ()f x 是奇函数，2()()331f x f x x x ∴=--=++，又()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，22331,0,()0,0,331,0.x x x f x x x x x ⎧++<⎪∴==⎨⎪-+->⎩【点睛】本题考查分段函数的奇偶性及解析式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．（1）（2）x="1350 "【解析】解：（1）由题可知： ………6分（2）∵y=30＞25∴x ＞1300∴ 10℅(x -1300)+25="30 " 解得，x="1350 " ………12分20．（1）[5,20]-；（2）2min 73,2,()31,24,155, 4.a a f x a a a a a +≤-⎧⎪=-+--<<⎨⎪-≥⎩【分析】（1）当1a =-时，判断函数在区间[3,3]-的单调性，从而求得最值；（2）函数()f x 的对称轴为1x a =-，讨论对称轴与区间的位置关系，分别求得最小值，最后将函数的最小值写成分段函数的形式.【详解】（1）当1a =-时，2()41f x x x =--，()f x ∴的对称轴为2x =，()f x ∴在[3,2]-上单调递减，在(2,3]上单调递增，min ()(2)5f x f ∴==-，又(3)20f -=，(3)4f =-，()f x ∴在[3,3]-上的值域为[5,20]- .（2）函数()f x 的对称轴为1x a =-，①当13a -≤-，即4a ≥时，()f x 在[3,3]-上单调递增，min ()(3)155f x f a ∴=-=-；②当313a -<-<，即24a -<<时，∴()f x 在[3,1]a --上单调递减，在(1,3]a -上单调递增，2min ()(1)31f x f a a a ∴=-=-+-③当13-≥a ，即2a ≤-时，()f x 在[3,3]-上单调递减，min ()(3)73f x f a ∴==+ 综上所述，2min 73,2,()31,24,155, 4.a a f x a a a a a +≤-⎧⎪=-+--<<⎨⎪-≥⎩【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对区间与对称轴位置关系的讨论. 21．（1）34，3；（2）71162⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）直接利用题目信息的要求求出函数的值；（2）利用已知，1()[4]1f x x ==，()4[4]41g x x x x =-=-，又21()(41)[164]3f x f x x =-=-=，根据规定[]t 为不超过t 的最大整数，可得不等式组，解出即为x 的取值范围.【详解】（1）∵当716x =时，744x =， 1771164f ⎛⎫⎡⎤∴== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，777316444g ⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 211773[3]316164f f g f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）1()[4]1f x x ==，()4[4]41g x x x x =-=-，21()(41)[164]3f x f x x ∴=-=-=.142,31644,x x <⎧∴⎨-<⎩解得71162x <.故满足题意的x 的取值范围为71162⎡⎫⋅⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 本题为创新题，考查函数与方程的综合运用，解题的关键在于对题目中新定义、新概念的理解和应用，例如本题中若[]x a =，则必有+1a x a ≤<成立，属于较难题.22．（1）()21x f x x =+；（2）()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析；（3）12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得()00f b ==，又由1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭，可得a 的值，代入函数的解析式即可得答案；（2）设1211x x -<<<，由作差法分析()1f x 与()2f x 的大小关系，结合函数单调性的定义，即可得结论； （3）利用函数的奇偶性以及单调性，可以将()()220f t f t -+<转化为22122111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解可得t 的取值范围，即可得答案．【详解】（1）∵()f x 是()1,1-上的奇函数，∴()00f b ==，∴()21ax f x x =+， 又∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2225112a=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()21x f x x =+；（2）()f x 在()1,1-上单调递增，证明：任意取()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1,1-上单调递增；（3）∵()()220f t f t -+<，∴()()22f t f t -<-，易知()f x 是()1,1-上的奇函数，∴()()f t f t -=-，∴()()22f t f t -<-，又由（2）知()f x 是()1,1-上的增函数，∴22122111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩， 解得1223t <<， ∴不等式的解集为12,23⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的求解，考查转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力．。

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注：资料封面，下载即可删除2020-2021学年湖北省荆州中学高一上学期9月月考数学试题一、单选题1．下列各式表述正确的是（ ） A ．20{0}x ∈= B ．0{(0,0)}∈C ．0N ∈D ．0∈∅【答案】C【解析】根据元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项． 【详解】2{0}x =表示集合中有一个元素是20x =，20{0}x ∴∉=，A 错误，{(0,0)}表示集合中有一个元素为(0,0)，0{(0,0)}∴∉，B 错误，N 表示自然数集，包含数0，0N ∴∈成立，C 正确， φ表示集合一个元素也没有，0φ∴∉，D 错误.故选：C 【点睛】本题考查集合的含义，以及元素与集合的关系，属于基础题. 2．已知集合1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．MNB ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M 与N 的关系不确定 【答案】B【解析】整数分为奇数和偶数，由此可得答案． 【详解】 解：∵1,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭211,4222n n x x ⎧==+=+⎨⎩或21111,4224n n x n Z ++⎫=+=+∈⎬⎭， 且1,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭， ∴M N ⊆， 故选：B ．本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题． 3．设0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．2a ba b +<<<B ．2a ba b +<<C ．2a ba b +<<<D 2a ba b +<<< 【答案】B【解析】利用不等式的基本性质和基本不等式即可求出答案． 【详解】解：∵0a b <<，2a b+，a <22a b b b b ++<=，∴2a ba b +<<<， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质和基本不等式的应用，属于基础题． 4．集合{}{}1,2,3,4,(1)()0A B x x x a ==--<若集合{}2,3A B =，则实数a 的范围是（ ） A ．34a << B ．34a <≤C ．34a ≤<D ．3a >【答案】B【解析】分类讨论a 的值，根据集合间的交集运算，确定实数a 的范围. 【详解】当1a <时，{1}B xa x =<<∣，显然不满足{}2,3A B =当1a =时，B =∅，不满足{}2,3AB =当1a >时，{1}B xx a =<<∣，因为{}2,3A B =，所以34a <≤故选：B 【点睛】本题主要考查了根据交集运算的结果确定参数的范围，属于基础题.5．若集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{}19a a ≤≤B ．{}69a a ≤≤C ．{}9a a ≤D ．φ【解析】若A =∅，即2135a a +>-，解得6a <时，满足A B ⊆成立，若A ≠∅，即6a ≥时，要使A B ⊆成立，则2133522a a +≥⎧⎨-≤⎩，即19a a ≥⎧⎨≤⎩，解得19a ≤≤，此时69a ≤≤，综上，9a ≤，故选C.6．已知,a b +∈R ，21a b +=，求11a b+的最小值为（ ）A ．3+B ．3-C ．D ．4【答案】A【解析】由正实数a ，b 满足21a b +=，代入()1111223b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】 解：正实数a ，b 满足21a b +=，则()111122233232b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫+=++=+++=+ ⎪⎝⎭当且仅当1a ==时取等号．故选：A 【点睛】本题考查基本不等式的性质，考查乘1法则,考查推理能力与计算能力，属于基础题． 7．已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．10【答案】D【解析】列举法得出集合()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素．故答案选D8．若关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[1,4]-B ．(,2][5,)-∞-⋃+∞C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．[2,5]-【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为0x >，则4424x x x x+≥⋅=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，又关于x 的不等式243x a a x+≥-对任意实数0x >恒成立，则234a a -≤，即，解得14a -≤≤，故选A.【考点】基本不等式的应用；不等式的恒成立问题.二、多选题9．下面关于集合的表示正确的是（ ）①{2,3}{3,2}≠；②{}{}(,)11x y x y y x y +==+=； ③{}{}11x x y y >=>；④{}{}11x x y y x y +==+= A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】CD【解析】根据集合中元素的特征，可得判定①不正确；根据集合的表示方法和集合的元素的特征，可判定②不正确；③④正确，即可得到答案. 【详解】根据集合元素的无序性和集合的表示，可得{2,3}{3,2}=，所以①不正确；根据集合的表示方法，可得集合{}(,)1x y x y +=为点集，集合{}1y x y +=表示数集， 所以{}{}(,)11x y x y y x y +=≠+=，所以②不正确；根据集合的表示方法，可得集合{}{}11x x y y >=>，所以③正确； 根据集合的表示方法，可得集合{}{}1,1x x y R y x y R +==+==， 所以{}{}11x x y y x y +==+=，所以④是正确的. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中熟记集合的表示方法，合理推算是解答的关键，属于基础题.10．下列四个命题中，是真命题的有（ ）A ．没有一个无理数不是实数B ．空集是任何一个集合的真子集C ．已知,m n ∈R ，则“||||1m n +>”是“1n <-”的必要不充分条件D ．命题“对任意2,220x x x ∈++>R ”的否定是“存在2,220x x x ∈++≤R ” 【答案】ACD【解析】根据实数、空集的概念分别判断A 、B ；举反例判断C ；全称命题的否定为特称命题，D 正确. 【详解】所有的无理数均是实数，A 正确； 空集是任何集合的子集，B 错误；若1n <-，则||1n >，||||1m n +>成立；可取1,1m n ==时，||||21m n +=>，故C 正确；全称命题的否定为特称命题，D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查实数的概念、空集的概念、必要不充分条件的判断、含有一个量词的命题的否定，属于基础题.11．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的有（ ）①1ab ≤≤；③222a b +≥；④112a b+≥ A ．① B ．② C ．③D ．④【答案】ACD【解析】①.由2a b +=≥②.由()22=++≤+a b a b 判断；③.由()2222a b a b ab +=+-判断；④.由()111111122⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b 判断. 【详解】因为0a >，0b >，2a b +=，所以2a b +=≥1≤，故A 正确；因为()224=++≤+=a b a b 2，故B 错误；因为()2222422+=+-≥-=a b a b ab ，故C 正确；因为()11111111122222⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 12．设a b c >>，使不等式11ma b b c a c+≥---恒成立的充分条件是（ ） A ．4m ≤ B ．3m ≤C ．4m ≥D ．5m ≤【答案】AB【解析】把不等式11m a b b c a c +≥---恒成立，即a c a c m a b b c --≤+--恒成立，结合基本不等式，求得a c a ca b b c--+--的最小值为4，进而结合选项，即可求解. 【详解】因为a b c >>，可得0,0,0a b b c a c ->->->，又由不等式11m a b b c a c +≥---恒成立，即a c a c m a b b c --≤+--恒成立， 因为()()()()2a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++------24≥+=，当且仅当b c a b a b b c --=--时，即2b a c =+时等号成立， 所以a c a ca b b c--+--的最小值为4，故4m ≤， 所以结合选项，可得不等式11m a b b c a c+≥---恒成立的充分条件是4m ≤和3m ≤. 故选：AB. 【点睛】本题主要考查了充分条件的判定及应用，以及利用基本不等式求最小值，其中解答中熟练应用基本不等式求得a c a ca b b c--+--的最小值，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.三、填空题13．设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 组成的集合C =________.【答案】110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】解出集合A ，由A B B =，可得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，可得出实数a 的值. 【详解】{}{}281503,5A x x x =-+==，且A B B =，B A ∴⊆.当B =∅时，则0a =，此时B A ⊆成立；当B ≠∅时，则0a ≠，此时{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，则有13a=或15a =，解得13a =或15a =.因此，110,,35C ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.故答案为：110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，解题时要对含参集合分空集和非空集合两种情况讨论，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.14． 一元二次不等式26x x <+的解集为_________． 【答案】(-2，3)【解析】试题分析：解不等式,解得.【考点】解一元二次不等式.15．若集合{}2|320A x ax x =-+=中至多有一个元素，则实数a 的取值范围是________． 【答案】0a =或98a ≥【解析】条件可转化为方程2320ax x -+=至多有一个根，然后分0a =和0a ≠两种情况讨论即可. 【详解】因为集合{}2|320A x ax x =-+=中至多有一个元素所以方程2320ax x -+=至多有一个根， 当0a =时解得23x =，满足题意 当0a ≠时，980a ∆=-≤，解得98a ≥ 综上：0a =或98a ≥ 【点睛】解答本题时一定要注意讨论0a =的情况，否则就会漏解.16．集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意的,a b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在e G ∈，对任意a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G ={非负整数}，⊕为整数的加法；②G ={偶数}，⊕为整数的乘法；③G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法．其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是________．（写出所有“融洽集”的序号） 【答案】①【解析】根据题意对给出的集合和运算对两个条件：运算的封闭性和单位量e 进行验证，分别用加法、乘法的法则判断，只有都满足时才是G 关于运算⊕为“融洽集”． 【详解】根据题意，判断给出的集合对运算⊕是否满足条件（1）（2）即可．其中，条件（1）的含义是：集合G 中任意两个元素关于运算⊕的结果仍然是集合G 的元素；条件（2）的含义是：集合G 中存在元素e ，它与G 中任何一个元素a 关于运算⊕满足交换律，且运算结果等于a ．①中，G ={非负整数}，⊕为整数的加法，满足对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈，且存在0e =，使得00a a a ⊕=⊕=，所以①中的G 关于运算⊕为“融洽集”； ②中，G ={偶数}⊕为整数的乘法，若存在e G ∈，使a e e a a ⊕=⊕=，则1e =，与e G ∈矛盾，所以②中的G 关于运算⊕不是“融洽集”；③中，G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以③中的G 关于运算⊕不是“融洽集”． 综上，G 关于运算⊕为“融洽集”的只有①． 故答案为① 【点睛】本题考查了学生对新定义的理解和运用能力，可结合学过的运算性质进行类比理解，比如：第一条是运算的封闭性，第二条如加法中的“0”或乘法中的“1”．四、解答题17．设命题:p x ∃∈R ，2230x x m -+-=，命题:q x ∀∈R ，222(5)190x m x m --++≠.若p 、q 都为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】3|45m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】先求出命题,p q 为真时，m 的取值范围，再取交集可得答案. 【详解】若命题:p x ∃∈R ，2230x x m -+-=为真命题，则44(3)0m ∆=--≥，解得4m ≤； 若命题:q x ∀∈R ，222(5)190x m x m --++≠为真命题，则命题:q x ∃∈R ，222(5)190x m x m --++=为假命题，即方程222(5)190x m x m --++=无实数根， 因此，()224(5)4190m m ∆=--+<，解得35m >. 又p 、q 都为真命题，所以实数m 的取值范围是33{|4}||455m m m m m m ⎧⎫⎧⎫≤⋂>=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.【点睛】本题考查全称命题与特称命题的真假求参数值、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 18．解关于x 的不等式：(1)(1)0(0)ax x a -->>. 【答案】当01a <<时，解集为{1x x <或1x a ⎫>⎬⎭； 当1a =时，解集为{x x R ∈且}1x ≠； 当1a >时，解集为1x x a⎧<⎨⎩或}1x >. 【解析】根据0a >，结合方程(1)(1)0ax x --=两根大小的关系分类讨论,求解不等式的解集即可. 【详解】0a >，∴方程(1)(1)0ax x --=的两根分别为121,1==x x a（1）当01a <<时，11a >∴解得：1x <或1x a>； （2）当1a =时，原不等式即为2(1)0x ->，解得：1x ≠（3）当1a >时，11a <，∴解得：1x a<或1x > 综上可知：当01a <<时，解集为{1x x <或1x a ⎫>⎬⎭； 当1a =时，解集为{x x R ∈且}1x ≠；当1a >时，解集为1x x a⎧<⎨⎩或}1x >. 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.19．已知集合{}()22(2)[(31)]0,01x a A x x x a B x x a ⎧⎫-⎪⎪=--+<=<⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭其中1a ≠ （1）当2a =时，求A B ；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围【答案】（1）(4,5)A B ⋂=；（2）13a 或1a =-.【解析】（1）由交集的定义直接计算即可；（2）分13a <，13a =，13a >三种情况讨论得出. 【详解】（1）当2a =时，(2,7),(4,5),(4,5)A B A B ==∴⋂=（2）()22,1B a a =+当13a <时，(31,2)A a =+，要使B A ⊆，必须2231121a a a a ≥+⎧⎪+≤⎨⎪≠⎩，此时1a =-； 当13a =时，A =∅，使B A ⊆的a 不存在； 当13a >时，(2,31)A a =+，要使B A ⊆，则2221311a a a a ≥⎧⎪+≤+⎨⎪≠⎩，解得13a ， 综上可得：a 的取值范围是13a或1a =-.【点睛】本题考查集合的交集运算，考查根据集合包含关系求参数，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，属于基础题.20．某建筑工地要建造一批简易房，供群众临时居住，房形为长方体，高2．5米，前后墙用2．5米高的彩色钢板，两侧用2．5米高的复合钢板，两种钢板的价格都用长度来计算（即钢板的高均为2．5米，用长度乘以单价就是这块钢板的价格），每米单价：彩色钢板为450元，复合钢板为200元，房顶用其他材料建造，每平方米材料费为200元，每套房材料费控制在32000元以内．（1）设房前面墙的长为x ，两侧墙的长为y ，一套简易房所用材料费为p ，试用,x y 表示p ．（2）一套简易房面积S 的最大值是多少？当S 最大时，前面墙的长度是多少？【答案】（1）；（2） 100，．【解析】试题分析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，；（2） S xy =根据基本不等式得200120032000S S +≤，解得0100S <≤．试题解析：（1）依题得，根据长方体的表面积公式可知，（2）∵S xy =，∴90040020029004002002001200p x y xy S S S S =++≥⨯+=+又因为32000p ≤，所以200120032000S S +≤，化简得61600S S +-≤， 解得1610S -≤≤，又0S >，∴0100S <≤，当且仅当900400{100x y xy ==，即203x =时S 取得最大值． 答：每套简易房面积S 的最大值是100平方米，S 最大时前面墙的长度是米． 【考点】数学建模能力及利用基本不等式求最值．21．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{1B x x =≤或}4x ≥.（1）当3a =时，求AB ； （2）若“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，且A ≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤；（2）{}01a a ≤<.【解析】(1)根据两个集合交集运算性质即可解得;(2) “x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件即A B R ，然后求解出集合B 的补集，根据集合间的关系列出关于a 的不等式即可解得范围.【详解】（1）当3a =时，{}15A x x =-≤≤，又{1B x x =≤或}4x ≥， {11A B x x ⋂=-≤≤或45}x ≤≤（2）{1B x x =≤或}4x ≥，{}R 14B x x =<<.由“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，得A B R ，.又{}22,A x a x a A =-≤≤+≠∅， 222124a a a a -≤+⎧⎪∴->⎨⎪+<⎩，01a ∴≤<即实数a 的取值范围是{}01a a ≤<.【点睛】：本题考查了集合交集的运算、利用集合间的关系求解参数的范围，属于中档题目，解题中需要准确的将充分条件和必要条件的关系转化为集合间的关系.22．设504a <≤，若满足不等式22()x ab -<的一切实数x ，亦满足不等式()2214x a -<求正实数b 的取值范围. 【答案】30,16⎛⎤ ⎥⎝⎦ 【解析】先化简集合,A B ,从而得到221212b a a b a a ⎧≤-+-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，504a ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，分别求出两个不等式中b 的范围即得解.【详解】设集合{}22()(,)A x x a b a b a b =-<=-+，()2222111{|},422B x x a a a ⎛⎫=-<=-+ ⎪⎝⎭由题设知A B ⊆，则221212a b a a b a ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩于是得不等式组221212b a a b a a ⎧≤-+-⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，504a ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭ 又22113224a a a ⎛⎫-+-=--+ ⎪⎝⎭，函数的最小值为316； 22111224a a a ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，函数的最小值为14； 316b ∴≤， 所以b 的取值范围是30,16⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。