菱形的定义及其性质

菱形 是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对 称轴
矩 形
矩形的四个角都 是 直角 。 矩形的对角线 相等。
平行四边形
１２
菱形的四条边都 相等 。 菱形的对角线互
菱 形
相 垂直 ，且每一
条对角线平分一组对角 。
1.矩形的一边长为3cm，对角线长5cm，则另一边长为 4cm ,面 积为 12cm2 。
2.在菱形ABCD中，已知AB=2，则菱形的周长为 8 ，
145 。 若 A 35 ，则 D 3.菱形的周长为20cm,一条对角线长为8cm,另一条对角线长 为 6cm 。 4.已知菱形的边长为7，一个内角为60 ，则菱形较短的对角线 长是 7 。
◦ ◦
菱形的性质定理1：菱形的四条
四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，你能 猜测菱形ABCD是轴对称图形吗？这个猜测对吗？ D A
O
C
B (1)AC⊥BD 菱形性质定理2： (2)AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴 菱形的对角线互相垂直 ，并且每一条对角线平分一组对角．
若用a、b表示菱形的两条对角线，那么 菱形的面积为：
1 S a b 2
由此可进一步推导得出：对角线互相垂 直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的 一半。 D
B O A E
例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。
菱形的性质
平行四边形
矩形
四边形
菱形
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形。 如图，若ABCD是平 行四边形，且AB＝AD， 那么四边形ABCD是菱形。 B

要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。

初二数学菱形的定义和性质华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：菱形的定义和性质二. 重点、难点：1. 重点：菱形的定义和性质2. 难点：菱形的性质菱形的定义三. 知识梳理：如图，菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻边相等的平行四边形，它的两条对角线互相垂直平分．如上图，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线．这样，菱形具有以下的性质：菱形的性质：菱形的四条边都相等．菱形的性质：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．平行四边形所具有的性质，菱形都具有。

这样，我们还可以列出菱形所具有的一些性质：菱形的定义：四条边都相等的四边形。

菱形的性质：两组对边分别平行。

菱形的性质：菱形对角线互相平分菱形的性质：菱形的对边相等即：在菱形ABCD中，AD∥BC，AB∥DC，AD＝BC，AB＝DC菱形的性质：菱形的对角相等．菱形的性质：菱形的对角线互相平分．菱形的应用非常广泛．现在流行一种新式的衣帽架，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用．可伸缩的衣帽架【典型例题】例1. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试求出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形．解：（1）在菱形ABCD中，∠B＋∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．又∵∠BAD＝2∠B，∴∠B＝60°．（2）在菱形ABCD中，AB＝BC（菱形的四条边都相等），∴在△ABC中，∠BAC＝∠BCA（等边对等角）．又∵∠B＋∠BAC＋∠BCA＝180°（三角形内角和公式），∴∠BAC＝∠BCA＝∠B＝60°．∴AB＝BC＝AC（等角对等边），即△ABC是等边三角形．例2. 如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．分析：运用菱形的定义和性质进行解题： 解：（1） 在菱形ABCD 中， ∠BAO ＝21∠BAD ＝21×120°＝60°（菱形的每一条对角线平分一组对角）． 又在△ABC 中，AB ＝BC ，∴ ∠BCA ＝∠BAC ＝60°（等边对等角），∠ABC ＝180°－∠BCA －∠BAC ＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形， ∴ AC ＝AB ＝2（cm ）． （2） 在菱形ABCD 中，AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直）， ∴ △ A ＯB 为直角三角形，∴ 312AO AB BO 2222=-=-=cm （勾股定理）， ∴ BD ＝2BO ＝32（cm ）．例 3. 如图，菱形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果每个小三角形的周长是26cm ，对角线AC 和BD 长的和是32cm ，那么菱形的周长是多少?分析：运用菱形的定义和性质进行解题： 解：△AOB 的周长为26cm ， 又∵ AC ＋BD ＝32cm ∴AO+BO=16cm ∴ AB ＝10（cm ）即菱形ABCD 的周长等于40cm ．例4. 如图，在菱形ABCD 中，已知∠ABC ＝40°，求∠BCD ，∠BCA 度数．分析：运用菱形的定义和性质进行解题： 解：在菱形ABCD 中，∠ABC ＝40°， ∠BCD ＝140°（菱形的定义和性质） ∠ACB ＝70°（菱形的定义和性质）例5. 如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线AC长6cm，求这个菱形的周长和它的面积．分析：运用菱形的定义和性质进行解题：解：在菱形ABCD中，∵AB＝5，AC＝6，AO＝3BO＝4BD＝2BO＝8AB＋BC＋CD＋DA＝20（cm），cm）∴菱形ABCD的面积＝24（2例6. 如图，在菱形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少?分析：运用菱形的定义和性质进行解题：解：在ABCD中，已知AB＝6，AO＋BO＋AB＝15，∴AO＋BO＝15－6＝9．又∵AO＝OC，BO＝OD（菱形对角线互相平分），∴AC＋BD＝2AO＋2BO＝2（AO＋BO）＝2×9＝18．【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题：1. 已知在菱形ABCD中，下列哪个是错误的（）A. 两组对边分别平行B. 菱形对角线互相平分C. 菱形的对边相等D菱形的对角线相等．2. 已知在菱形ABCD中，下列哪个是错误的（）A. AB＝CDB. AO＝BOC. ∠ABC＝∠ADCD. ∠ABO＝∠CBO3. 已知在菱形ABCD中，若∠ABO＝40°，则哪个角为40°。

菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。

点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。

菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。

判定③:四边相等得四边形就是菱形。

重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。

菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。

菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。

由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。

如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。

例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。