2.1 认识一元二次方程(1)

一：直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，是n的平方根，当时，，，当n<0时，方程没有实数根。

用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。

（1）形如的方程的解是x=。

当p=0时， 0二：配方法配方法：将形如的一类方程，化为形式求解的方法叫做配方法。

一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．三：公式法（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

由配方法得，化简：一元二次方程的求根公式：，公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项系数，b为二次项系数，c为常数项。

四：因式分解法因式分解法的步骤是：（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数;(2)且未知数次数最高次数是2;(3)是整式方程。

要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。

如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。

(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(a≠0)3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0)。

《认识一元二次方程》第一课时教学设计作者：牛慧芳来源：《学校教育研究》2020年第02期教学内容：2.1 认识一元二次方程教材分析：（一）教材所处的位置认识一元二次方程是九年级《数学》上册第二章一元二次方程的第一节内容。

方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

学生在七、八年级已经感受了利用方程解决实际问题的经验。

一元二次方程的知识是后续学习《二次函数》、解决函数及综合题的基础。

（二）教材结构本节通过丰富的实例“花边有多宽”“梯子的底端滑动多少米”等问题，建立一元二次方程，让学生通過观察归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。

（三）教学重点1.经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

2.了解一元二次方程的一般形式，并会将一元二次方程转化成一般形式。

3.能准确说出一元二次方程的二次项，一次项、常数项。

（四）教学难点能准确运用一元二次方程解决现实生活中问题。

学情分析：学生在七年级上册《一元一次方程》一章中，已经结合丰富的现实情景，经历了方程概念的归纳过程，初步掌握了利用方程解决问题的基本步骤，为本节的深入学习奠定了基础。

素质目标：（一）知识点经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。

（二）能力训练点1.能利用去分母、去括号、移项、合并同类项等方法将一元二次方程转化为一般形式。

2.能准确确定一元二次方程的二次项，一次项、常数项。

（三）德育渗透点1.使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际活动的密切联系，感受与他人合作的重要性。

2.培养学生转化的数学思想。

教学策略：根据新教材的特点。

结合本班学生的实际情况，为了更好的突出本节重点，突破难点，圆满完成教学任务，取得良好的教学效果，本节采用“问题情景—建立模型—解释—应用与拓展的教学流程。

运用观察、比较、讨论、归纳、知识反馈等策略，引导学生多思善讲，在建立模型处适当给予点拨，以调动学生的自觉性、积极性，从而达到感知、归纳、应用、巩固和深化新知的目的。

九上数《2.1认识一元二次方程（第1课时）》教学流程
注：“H”指课件中的幻灯片，如“H4”指课件中的第4张幻灯片。

)
前面已学习了一元一次方程及其解
法。

提问学生，简单过。

学生齐读
通过此三题复习一元一次方程的概念及其解法。

（H3）3´
生2´，师1´
探究新知知识点1
通过此活动理解一元二
次方程的概念。

（H4、H5）①头天晚修自学完成；②生展示答案；③师精讲并归纳一元二次方程的概念。

2 通过此环节进一步掌握
一元二次方程的一般形
式及其相关概念。

（H6）
①分组+普做；②对答案，师点评；
③师傅再教徒弟小组合作学习。

内容二）
进一步掌握一元二次方
程的概念（H7）
对本节课所学知识的归
学生自由谈纳总结（H8）。

第二章 一元二次方程1 认识一元二次方程●情景导入 根据题意列出方程：如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加x m ．若扩大后的绿地的面积为936 m 2，求长、宽各增加的长度．【教学与建议】教学：用来源于学生身边的问题，体会数学来源于生活并服务于生活．建议：可以让学生寻找身边的方程实例，以便理解等量关系． ●归纳导入 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽80 cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是4 800 cm 2，那么铁皮各角应切去边长为多少的正方形？分析：设各角应切去边长为x cm 的正方形，则可表示无盖方盒的长是(100－2x )cm ，宽是(80－2x )cm.根据题意可得方程：(100－2x )(80－2x )＝4 800.整理，得x 2－90x ＋800＝0.【归纳】只含有__一个未知数x __的__整式__方程，并且都可以化成__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)__的形式，这样的方程叫做一元二次方程．【教学与建议】教学：通过图形的变化感受等量关系的确定，归纳出一元二次方程的定义．建议：一元二次方程定义三个关键点：①只含有一个未知数；②整式方程；③未知数的最高次数是2次．命题角度1 判断一元二次方程一元二次方程的定义：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2次；③整式方程．【例1】(1)下列方程中一定是一元二次方程的是(C)A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．y 2－x ＝1C ．x 2－1＝0D ．1x＋x 2＝1 (2)下列方程：①3x 2＝x －1；②x ＋x 2＝4；③1x 2＋2x ＋1＝1；④(2x －1)(x －2)＝2x 2－1；⑤3x 2＝2x (x －1).其中是一元二次方程的有__①⑤__．(填序号)命题角度2 辨识一元二次方程的各项及其系数先把方程化为一般形式，再确定二次项及其系数、一次项及其系数、常数项．【例2】(1)写出下列方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．①3x 2－2x ＋1＝0；②5x (x －2)＝4x 2－3x .解：①依次是3x 2，3，－2x ，－2，1；②依次是x 2，1，－7x ，－7，0.(2)将方程2(t －2)＝(t ＋1)2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．解：一般形式为t 2＋5＝0，二次项为t 2，二次项系数为1，一次项为0，一次项系数为0，常数项为5. 命题角度3 根据一元二次方程的概念求待定字母的值或取值范围根据一元二次方程中二次项系数不为零，未知数的最高次数是2，求待定字母的值或取值范围．【例3】(1)若关于x 的方程(a －2)xa 2－2－2x －5＝0是一元二次方程，则(D)A ．a ＝2B ．a ＝±2C ．a ＝2D ．a ＝－2(2)当实数m 满足条件__m ≠－4__时，(m ＋4)x 2－mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程．命题角度4 一元二次方程的应用问题找准等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题．【例4】(1)今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为40 m ，若将短边增长到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，且面积比原来增加500 m 2.设原来绿地的长边为x m ，则可列方程为(A)A ．x 2－40x ＝500B ．x 2＋40x ＝500C．(x－40)2＝500 D．x2－1 600＝500(2)已知三个连续奇数的平方和是371，设第二个奇数为x，则依题意可得到的方程是__(x－2)2＋x2＋(x＋2)2＝371__．命题角度5一元二次方程的根这类题目一般先把方程的根代入方程再求字母或代数式的值．【例5】(1)若关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0有一个根为2，则k的值为(B)A．－2 B．－1 C．1 D．2(2)若m是方程2x2－3x－5＝0的一个根，则6m2－9m＋2 023＝__2__038__．命题角度6一元二次方程根的估算先把方程化为一般形式，方程的解夹在方程左边的代数式的值大于0和小于0这两个未知数的值中间．【例6】(1)根据下列表格的对应值判断方程2x2－x－2＝0的一个解x的范围是(D)x 1.1 1.2 1.3 1.42x2－x－2－0.68－0.320.080.52A．1.1<x<1.2 B．1.3<x<1.4C．1<x<1.2 D．1.2<x<1.3(2)填表并回答问题：x－2－101234x2－5x＋6201262002x2－4x＋21472－1－2－12①根据上表可知方程x2－5x＋6＝0的根是__x1＝2，x2＝3__；②根据上表可知方程x2－4x＋2＝0的根x的值介于__0与1____3与4__之间．高效课堂教学设计1．使学生了解一元二次方程的概念．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)．▲重点理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．▲难点在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．◆活动1创设情境导入新课(课件)一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m.根据题意，得x(x＋2)＝120.所列方程是否为一元一次方程？(这个方程便是即将学习的一元二次方程．)◆活动2实践探究交流新知【探究1】(多媒体出示)幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？【探究2】(多媒体出示)观察等式102＋112＋122＝132＋142.你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？【探究3】(多媒体出示)如图，一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m ．如果梯子的顶端下滑1 m ．那么梯子的底端滑动多少米？你能计算出滑动前梯子的底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动x m ，那么你能列出怎样的方程？【活动总结】由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (1)__(8－2x )(5－2x )＝18__； (2)__x 2＋(x ＋1)2＋(x ＋2)2＝(x ＋3)2＋(x ＋4)2__；(3)__(x ＋6)2＋72＝102__．化简得2x 2－13x ＋11＝0，x 2－8x －20＝0，x 2＋12x －15＝0.归纳：上面的方程都是只含有__一__个未知数x 的__整式__方程，并且都可以化为__ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)__的形式，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 为常数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为__二次项____一次项__和__常数项__，a ，b 分别称为__二次项系数和一次项系数__．◆活动3 开放训练 应用举例例1 下列方程哪些是一元二次方程？为什么？(1)7x 2－6x ＝0; (2)2x 2－5xy ＋6y ＝0；(3)2x 2－13x －1＝0; (4)y 22＝0； (5)x 2＋2x －3＝1＋x 2.【方法指导】根据一元二次方程的概念进行判定．解：(1)(4)是一元二次方程；(2)含两个未知数；(3)不是整式方程；(5)不含ax 2这一项．例2 关于x 的方程(k 2－1)x 2＋2(k －1)x ＋2k ＋2＝0，当k __≠±1__时，是一元二次方程；当k __＝－1__时，是一元一次方程．【方法指导】当k 2－1≠0，即k ≠±1时，方程是一元二次方程．当k 2－1＝0时，且2(k －1)≠0时，即k ＝－1时是一元一次方程．◆活动4 随堂练习1．把方程－5x 2＋6x ＋3＝0的二次项系数化为1，方程可变为(C)A ．x 2＋65 x ＋35＝0 B ．x 2－6x －3＝0 C ．x 2－65 x －35 ＝0 D ．x 2－65 x ＋35＝0 2．一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是__2x 2－x －7＝0__．3．把方程(1－3x )(x ＋3)＝2x 2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项．解：原方程化为一般形式是：5x 2＋8x －2＝0，其中二次项是5x 2，二次项系数是5，一次项是8x ，一次项系数是8，常数项是－2.◆活动5 课堂小结与作业学生活动：你这节课的主要收获是什么？教学说明：理解一元二次方程的概念及一般形式．作业：1.课本P32中的随堂练习．2．课本P32习题2.1中的T 1、T 2、T 3.本节课通过阅读、分析，找出题中的等量关系，会用一元二次方程解决实际问题，让学生切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．。

2.1认识一元二次方程分层练习考查题型一判断一元二次方程考查题型二一元二次方程的一般形式1．一元二次方程3x2﹣2＝4x可化成一般形式为（）A．3x2﹣4x+2＝0B．3x2﹣4x﹣2＝0C．3x2+4x+2＝0D．3x2+4x﹣2＝0【详解】解：方程整理得：3x2﹣4x﹣2＝0．故选：B．2．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．1，﹣3，2B．1，7，﹣10C．1，﹣5，12D．1，﹣3，10【详解】解：x2+2x＝5（x﹣2），x2+2x＝5x﹣10，x2+2x﹣5x+10＝0，x2﹣3x+10＝0，则a＝1，b＝﹣3，c＝10，（3）将2821x x -=化为一般形式为：28210x x -+=则：二次项系数为1，一次项系数为8-，常数项为21；（4）将()()112x x x +-=化为一般形式为：2210x x --=则：二次项系数为1，一次项系数为2-，常数项为1-；（5）将()()4152x x x -=+化为一般形式为：249100x x --=则：二次项系数为4，一次项系数为9-，常数项为10-；（6）将()22264x x -=+化为一般形式为：2540x x +=则：二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为0．考查题型三一元二次方程的解∴22112210,10x x x x +-=+-=，∴()()22112222x x x x +-+-=221122(11)(11)(1)(1)x x x x +--+--=-⨯-=1，故答案为：1．考查题型四一元二次方程的解的估算A ．解的整数部分是3，十分位是1B ．解的整数部分是3，十分位是2C ．解的整数部分是3，十分位是3D ．解的整数部分是3，十分位是4【详解】解：由表格可知，当 3.2x =时，20x px q ++<，当 3.3x =时，20x px q ++>，∴20x px q ++=时，3.2 3.3x <<，∴解的整数部分是3，十分位是2．故选：B ．考查题型五已知一元二次方程求未知数的值解得x＝﹣1．（2）解：当m≠1时，关于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，此时该方程的二次项系数为m﹣1，一次项系数为m﹣2，常数项为﹣2m+1．3．若方程(m－2)2-2m x+(3－m)x－2=0是关于x的一元二次方程，试求代数式m2+2m－4的值．【详解】解：根据题意，得m2－2=2且m－2≠0，解得m=±2且m≠2，所以m=－2，m2+2m－4=(－2)2+2×(－2)－4=4－4－4=－4．。

课题：§2.1 认识一元二次方程（第1课时）【北师大版九年级上学期】宁德市福安县（市、区）学校福安三中姓名罗清声内容分析：1. 课标要求北师大版九年级上学期“§2.1认识一元二次方程”一节包括一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解的概念．《义务教育数学课程标准》对一元二次方程一节相关的内容没有提出具体的教学要求，但可以参照对方程概念的要求，即能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．2. 教材分析知识层面：教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机．本节以实际问题为背景，引出一元二次方程的概念，归纳出一元二次方程的一般形式，给出一元二次方程的根的概念，并指出一元二次方程的根不唯一。

本节内容实在前面所学方程的基础上进行学习，也是后面学习二次函数的一个基础。

这些概念是全章后继内容的基础。

能力层面：本章开篇，教科书利用花边有多宽这一典型的数学生活问题，通过建立数学模型得到一个一元二次方程，由此引发学习本章内容的需要．接着，通过五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和的问题以及梯子的底端滑动距离的问题，又得到两个一元二次方程，然后引导学生从“未知数的个数”和“最高次数”两个方面进行归纳，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示（一元二次方程的一般形式）．这样编排，不仅可以使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要，而且还可以使学生体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识．思想层面：引入一元二次方程概念的过程中，教科书在“边空”中多次安排提示性设问“方程中未知数的个数和最高次数各是多少？”再在“思考”栏目中提出归纳几个方程共同特点的学习任务；在给出一元二次方程概念、一般形式后，通过“为什么规定a≠0？”引导学生辨析概念；最后通过例题，让学生用概念做判断．这样安排，体现了概念学习的一般过程，教科书在归纳具体方程的共同特点、辨析概念的关键词等关键环节中设置问题，引导学生进行独立思考与发现．3. 学情分析本班为自己任课的班级，学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学。