(教师用书)届高考数学一轮总复习第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练理【含答案】

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数1. 角α的终边过点P(－1，2)，则sin α＝________．答案：255解析：sin α＝y r ＝25＝255.2. 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．答案：－8解析：因为sin θ＝y 42＋y 2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8. 3. 已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－2，3]解析：由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a≤3.4. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是________． 答案：1或4解析：设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2，从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1. 5. 已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m ＝________．答案：12解析：因为r ＝64 m 2＋9，所以cos α＝－8m 64 m 2＋9＝－45，所以m>0，所以4m 264m 2＋9＝125，故m ＝12.6. 若点P 在角2π3的终边上，且|OP|＝2，则点P 的坐标是________．答案：(－1，3)解析：23π的终边在第二象限，设P(x ，y)，则sin 23π＝y 2，∴ y ＝3；cos 23π＝x 2，x＝－1.7. 若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sin α²cos α＝34，则a ＝________．答案：－43或－433解析：∵ sin α²cos α＝34>0，∴ sin α、cos α同号，∴ 角α在第三象限，即P(－4，a)在第三象限，∴ a<0.根据三角函数的定义a 16＋a2²－416＋a2＝34，解得a ＝－43或－433.8. 点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q的坐标为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32解析：由弧长公式l ＝|α|r ，l ＝2π3，r ＝1得点P 按逆时针方向转过的角度为α＝2π3，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.9. (改编题)若α的终边落在x ＋y ＝0上，求出在[－360°，360°]之间的所有角α.解：若角α的终边落在第二象限，则{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }；若角α的终边落在第四象限，则{α|α＝7π4＋2k π，k∈Z }，∴ α终边落在x ＋y ＝0上角的集合为{α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z }∪{α|α＝7π4＋2k π，k ∈Z }＝{α|α＝3π4＋k π，k ∈Z }．令－2π≤3π4＋k π≤2π，∴ k ∈{－2，－1，0，1}，∴ 所求α∈{－5π4，－π4，3π4，7π4}．10. 已知角θ的终边经过点P(－3，m )(m≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．解：由题意得，r ＝3＋m 2，∴ sin θ＝m3＋m2＝24m. ∵ m ≠0，∴ m ＝± 5.故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴ cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴ cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.综上可知，cos θ＝－64，tan θ＝－153或cos θ＝－64，tan θ＝153. 11. 如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B(x B ，y B )，设∠BAO＝β.(1) 用β表示α；(2) 如果sin β＝45，求点B(x B ，y B )的坐标；(3) 求x B －y B 的最小值.解：(1) ∠AOB＝α－π2＝π－2β，所以α＝3π2－2β.(2) 由sin α＝y B r ，r ＝1，得y B ＝sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2β＝－cos2β＝2sin 2β－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.由α为钝角，知x B ＝cos α＝－1－sin 2α＝－2425.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425，725.(3) x B －y B ＝cos α－sin α＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22. 所以x B －y B 的最小值为－ 2.第2课时 同角三角函数的基本关系式与诱导公式1. 计算：sin930°＝________．答案：－12解析：sin930°＝sin210°＝－sin30°＝－12.2. 如果sin(π＋A)＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝__________． 答案：12解析：∵ sin(π＋A)＝12，∴ －sinA ＝12.∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sinA ＝12. 3. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos(π12－α)＝________．答案：－223解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π＜α＜－π2，∴ 7π12＜π12－α＜13π12，∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223.4. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________． 答案：－23解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23. 5. 已知f(α)＝sin （π－α）²cos （2π－α）cos （－π－α）²tan （π－α），则f ⎝⎛⎭⎪⎫－25π3＝________．答案：12解析：∵ f(α)＝sin αcos α－cos α²（－tan α）＝cos α，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12. 6. (2014²南京三模)已知tan α＝－2，π2＜α＜π，则cos α＋sin α＝________．答案：55解析：∵ tan α＝sin αcos α＝－2，∴ sin α＝－2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得5cos2α＝1，cos 2α＝15.又π2＜α＜π，∴ cos α＝－55.于是sin α＝255，∴ cos α＋sin α＝55.7. 若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________．答案：－79解析：∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin[π2－(π3＋α)]＝cos(π3＋α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.8. 若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α＝________．答案：103解析：由已知得tan α＝－13，则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11＋2³⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝103. 9. 已知α为第三象限角，且f(α)＝sin （π－α）cos （2π－α）tan （－α＋π）sin （π＋α）tan （2π－α）.(1) 化简f(α)；(2) 若cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值；(3) 若α＝－32π3，求f(α)的值．解：(1) f(α)＝sin αcos α（－tan α）（－sin α）（－tan α）＝－cos α.(2) 由已知得sin α＝－15，则cos α＝±265.又α为第三象限角，所以cos α＝－265.所以f(α)＝－cos α＝265.(3) f(α)＝－cos(－32π3)＝－cos 32π3＝－cos 2π3＝12.10. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋cos （θ－2π）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．解：∵ sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴ sin θ＝－13，∴ 原式＝－cos θcos θ（－cos θ－1）＋cos （2π－θ）－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝18. 11. 已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．解：∵ cos α－sin α＝－55，∴ 1－2sin α²cos α＝15，∴ 2sin α²cos α＝45.∴ (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵ 0<α<π2，∴ sin α＋cos α＝355.由cos α－sin α＝－55，sin α＋cos α＝355，得sin α＝255，cos α＝55，∴ tan α＝2，∴ 2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－55＋11－2＝55－95.第3课时 三角函数的图象和性质1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝__________．答案：－2或2解析：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 知，函数图象关于x ＝π6对称，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f(x)的最大值或是最小值．2. 把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为______________．答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x ＋π4 解析：将原函数的图象向右平移π4个单位，得到函数y ＝sin[5(x －π4)－π2]＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x －74π的图象，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫10x －7π4的图象，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x ＋π4. 3. (2014²苏州期末)若函数f(x)＝sin(x ＋θ)⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2的图象关于直线x ＝π6对称，则θ＝____________．答案：π3解析：函数y ＝sin(x ＋θ)的对称轴方程为x ＋θ＝π2＋k π(k∈Z )，令x ＝π6，得θ＝π3＋k π(k∈Z )．又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，从而θ＝π3.4. 已知函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g(x)＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f(x)的取值范围是__________．答案：[－32，3]解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当x∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f(x)∈[－32，3]． 5. (2014²南通三模)已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f(2)＝__________．答案：－22解析：由题知34T ＝2，从而T ＝83＝2πω，∴ ω＝34π.令x ＝1，得34π³1＋φ＝π2，得φ＝－π4，从而f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫34πx －π4，从而f(2)＝－22.6. (2014²无锡期末)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象C 1向左平移π4个单位得到图象C 2，则C 2在[0，π]上的单调减区间是____________．答案：[π12，712π]解析：由题设可知C 2的曲线方程y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令π2＋2k π≤2x ＋π3≤32π＋2k π，得π12＋k π≤x ≤712π＋k π，令k ＝0得C 2在[0，π]上的单减区间为[π12，712π]．7. (2014²苏北四市期末)已知函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1，1]上的单调增区间为________________．答案：[－14，34]解析：由题设2π2ω＝πω＝2，∴ ω＝π2，∴ y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π4.令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，解得－14＋2k≤x≤34＋2k ，令k ＝0，得x∈[－14，34]． 8. (2014²南京二模)函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________．答案：1解析：由题设A ＝2，34T ＝1112π－π6＝34π，T ＝π，从而ω＝2，从而f(x)＝2sin(2x ＋φ)．由图知最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，从而2³π6＋φ＝π2，从而φ＝π6，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝2³sin π6＝1.9. (2014²重庆)已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1) 求ω和φ的值；(2) 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解：(1) 因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f(x)的图象关于直线x ＝π3对称，所以2³π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2) 由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2³α2－π6＝34，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3，得0＜α－π6＜π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝14³32＋154³12＝3＋158. 10. 已知函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值； (2) 求函数y ＝f(x)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值及对应的x 的值．解：(1) f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)＝2[32sin(ωx ＋φ)－12cos(ωx ＋φ)]＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6. ∵ f(x)为偶函数，∴ φ－π6＝π2＋k π(k∈Z )．∴ φ＝2π3＋k π(k∈Z )．∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π3.∴ f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx. 由题意得2πω＝2²π2，∴ ω＝2.故f(x)＝2cos2x.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2) y ＝2cos2x ＋2cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos2x ＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x －2sin2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x . 令π4－2x ＝2k π＋π2(k∈Z )，y 有最大值22， ∴ 当x ＝－k π－π8(k∈Z )时，y 有最大值2 2.11. 已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如下图所示．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解：(1) 由图象知A ＝2，T ＝8.∵ T＝2πω＝8，∴ ω＝π4.又图象经过点(－1，0)，∴ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0. ∵ |φ|<π2，∴ φ＝π4，∴ f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2) y ＝f(x)＋f(x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝2sin(π4x ＋π4)＋2cos(π4x ＋π4)＝22sin(π4x ＋π2)＝22cos π4x.∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－23，∴ －3π2≤π4x ≤－π6， ∴ 当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取最大值为6；当π4x ＝－π，即x＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取最小值为－2 2.第4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 计算：sin43°cos13°＋sin47°cos103°＝________．答案：12解析：原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.2. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos θ＝________． 答案：－210解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝45，cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos π4－sin(θ－π4)sin π4＝35³22－45³22＝－210. 3. 计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________．答案： 2解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos （10°－60°）2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 4. 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，且cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝____________． 答案：17解析：因为α∈(π，32π)，且cos α＝－45，所以sin α＝－35，所以tan α＝34.所以tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α＝1－341＋34＝17.5. (2014²苏州期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，则tanx ＝____________．答案：－7解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin(x －π4)＝45，知⎩⎪⎨⎪⎧22（sinx ＋cosx ）＝35，①22（sinx －cosx ）＝45，②①＋②，知2sinx ＝75；①－②，知2cosx ＝－15，∴ tanx ＝－7.6. 设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝____________． 答案：17250解析：∵ α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴ sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin[2(α＋π6)－π4] ＝sin2(α＋π6)cos π4－cos2(α＋π6)sin π4＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2³35³45－22[2³(45)2－1]＝12225－7250＝17250.7. (2014²镇江期末)若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin2x ＝14，则f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的值为____________．答案：－32解析：设x －π4＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，则原式＝2sint.又x ＝π4＋t ，∴ sin2x ＝sin2(t ＋π4)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π2＝14，∴ cos2t ＝14＝1－2sin 2t ，即有sin 2t ＝38.又sint ＜0，∴ sint＝－38.从而原式＝－32. 8. (2014²安徽)若将函数f(x)＝sin2x ＋cos2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是____________．答案：3π8解析：将f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，得到y ＝2sin(2x ＋π4－2φ)的图象．由所得图象关于y 轴对称，可知sin(π4－2φ)＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z .又φ＞0，所以φmin ＝3π8.9. 已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1) 求ω的值；(2) 设α、β∈[0，π2]，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 解：(1) 由T ＝2πω＝10π，得ω＝15.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，得⎩⎪⎨⎪⎧2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6＝－65，2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝1617，整理得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos β＝817.∵ α、β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517.∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45³817－35³1517＝－1385.10. (2014²山东)已知向量a ＝(m ，cos2x)，b ＝(sin2x ，n)，函数f(x)＝a²b ，且y＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1) 求m 、n 的值；(2) 将y ＝f(x)的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g(x)的图象，若y ＝g(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g(x)的单调递增区间．解：(1) 由题意知，f(x)＝msin2x ＋ncos2x.因为y ＝f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝msin π6＋ncos π6，－2＝msin 4π3＋ncos 4π3，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1.(2) 由(1)知f(x)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知，g(x)＝f(x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6)．设y ＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)．由题意知，x 20＋1＝1，所以x 0＝0，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．将其代入y ＝g(x)得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1. 因为0＜φ＜π，所以φ＝π6.因此，g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x. 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，所以函数y ＝g(x)的单调递增区间为[k π－π2，k π]，k ∈Z .11. (2015²徐州期中)在△ABC 中，已知sin(A ＋B)＝2sin(A －B)．(1) 若B ＝π6，求A ；(2) 若tanA ＝2，求tanB 的值．解：(1) 由条件，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6，∴32sinA ＋12cosA ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sinA －12cosA . 化简，得sinA ＝3cosA ，∴ tanA ＝ 3.又A∈(0，π)，∴ A ＝π3.(2) ∵ sin(A ＋B)＝2sin(A －B)，∴ sinAcosB ＋cosAsinB ＝2(sinAcosB －cosAsinB)． 化简，得3cosAsinB ＝sinAcosB. 又cosAcosB ≠0，∴ tanA ＝3tanB.又tanA ＝2，∴ tanB ＝23.第5课时 二倍角的正弦、余弦和正切公式1. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝45，则cos2θ＝________．答案：－725解析：45＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－sin θ，即sin θ＝－45，所以cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－725.2. 设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝________．答案：－79解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，将上式两边平方，得12(1＋sin2θ)＝19，∴ sin2θ＝－79.3. 已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)＝________．答案：223解析：由3sin2α＝2cos α，得6sin αcos α＝2cos α.由π2<α<π，得cos α≠0，cosα＜0，故sin α＝13.cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.4. (2014²常州期末)函数y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4的最小正周期为__________． 答案：π解析：由降幂公式知y ＝(1－cos2x)＋32(1＋cos2x)－4＝12cos2x －32，所以周期T ＝2π2＝π.5. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________． 答案：－79解析：由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝－79.6. (2014²盐城三模)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos2α，则sin2α＝____________．答案：1516解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22cos2α＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝42sin(π4－α)cos(π4－α)．又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，－π4＜π4－α＜π4，所以cos(π4－α)≠0，于是42sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1，sin(π4－α)＝28，所以sin2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝1－2sin 2(π4－α)＝1516.7. 若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α＝________．答案： 3解析：由sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝14，得cos 2α＝14.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝12，tan α＝ 3.8. 已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________．答案：－1解析：由1－cos2αsin αcos α＝1，得2sin 2αsin αcos α＝1，∴ tan α＝12，从而tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝tan （β－α）－tan α1＋tan （β－α）tan α＝－13－121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13³12＝－1.9. (2014²如皋期末)已知函数f(x)＝2－8sin 2x ²cos 2x (x∈R )． (1) 求函数y ＝f(x)的周期；(2) 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝f(x)的图象向左平移π8个单位，得函数y ＝g(x)的图象，设h(x)＝f(x)＋g(x)，求函数y ＝h(x)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的最小值．解：(1) 因为f(x)＝2－2(2sinxcosx)2＝2－2sin 22x ＝1＋cos4x ，所以函数f(x)的周期为T ＝2π4＝π2.(2) 函数y ＝f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝(1＋cos4x)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝(cos4x －sin4x)＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos4x －22sin4x ＋2＝2cos(4x ＋π4)＋2，又x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以4x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，当x ＝3π16时，f(x)有最小值为2－ 2.10. (2014²福建)已知函数f(x)＝cosx(sinx ＋cosx)－12.(1) 若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1) 因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f(α)＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2) 因为f(x)＝sinxcosx ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f(x)的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z .11. 已知α、β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210. (1) 求cos2α的值；(2) 求2α－β的值．解：(1) (解法1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15.所以cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(解法2)因为cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1， 又tan α＝2，所以cos2α＝1－2222＋1＝－35.(2) 因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－43.从而2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 由cos β＝－7210，β∈(0，π)，得sin β＝210，从而β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－17， 所以tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝－43＋171＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43³⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝－1.又2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.第6课时 简单的三角恒等变换1. 函数y ＝sin 2x －sin2x 的最小正周期为_________． 答案：π解析：y ＝sin 2x －sin2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＝12－sin2x －12cos2x ＝12－52sin(2x ＋φ)，其中φ为参数，所以周期T ＝2π2＝π.2. 函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的最大值为________. 答案：2＋34解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝cosxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝32cos 2x ＋12sinxcosx ＝32³1＋cos2x 2＋14sin2x ＝34＋34cos2x ＋14sin2x ＝34＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，函数有最大值为34＋12＝2＋34. 3. 若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α＝________．答案：103解析：3sin α＋cos α＝0 cos α≠0 tan α＝－13，1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝103. 4. 已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的单调增区间为_________．答案：[k π－π8，k π＋3π8](k∈Z )解析：f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x －22cos2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.∵ 2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴ k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k∈Z )为函数的单调递增区间．5. 若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝________．答案：34解析：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.则tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－61－9＝34. 6. 函数f(x)＝sinx ＋3cosx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．答案：1解析：f(x)＝sinx ＋3cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴y min ＝2sin 5π6＝1.7. 已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 答案：－255解析：sin2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α.由tan(α＋π4)＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3.因为π2＜α＜π，所以cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010，所以原式＝22cos α＝22³⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255. 8. 设f(x)＝1＋cos2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sinx ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝__________．答案：± 3解析：f(x)＝1＋2cos 2x －12cosx ＋sinx ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cosx ＋sinx ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.依题意有2＋a 2＝2＋3，∴ a ＝± 3.9. 已知函数f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求使函数f(x)取得最大值时x 的集合．解：(1) f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1－cos2(x －π12) ＝2[32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6]＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2) 当f(x)取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 此时2x －π3＝2k π＋π2(k∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k∈Z )，所以所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝k π＋5π12，k ∈Z .10. (2014²江苏)已知函数f(x)＝(a ＋2cos 2x)cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a∈R ，θ∈(0，π)．(1) 求a ，θ的值；(2) 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1) 因为f(x)＝(a ＋2cos 2x)cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f(x)＝－sin2x ²(a ＋2cos 2x)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2) 由(1)得，f(x)＝－12sin4x.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝45³12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35³32＝4－3310. 11. (2014²南京二模)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A(x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B(x 2，y 2)．(1) 若x 1＝35，求x 2；(2) 过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1、S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解：(1) 因为x 1＝35，y 1＞0，所以y 1＝1－x 21＝45.所以sin α＝45，cos α＝35.所以x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210. (2) S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43.所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.第7课时 正弦定理和余弦定理1. 在△ABC 中，∠A ＝45°，∠C ＝105°，BC ＝2，则AC 的长度为________． 答案：1解析：∠B＝30°，根据正弦定理得BC sinA ＝AC sinB ，即AC ＝2sin45°³sin30°＝1.2. 在△ABC 中，sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，则cosC ＝________．答案：－14解析：由sinA ∶sinB ∶sinC ＝2∶3∶4，可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k>0，由余弦定理得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－1612＝－14.3. 在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积为3，则AC 的长为________．答案：13解析：∵ S＝12acsinB ，∴ 3＝12³1³c ³32，∴ c ＝4.又AC 2＝12＋42－2³1³4³12＝13，∴ AC ＝13.4. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且a ＝5，b ＝3，sinC ＝2sinA ，则sinA ＝________．答案：55解析：∵ sinC ＝2sinA ，∴ c ＝2a ＝2 5.由余弦定理，得cosA ＝32＋（25）2－（5）22³3³25＝255，∴ sinA ＝1－cos 2A ＝55.5. 在△ABC 中，若9cos2A －4cos2B ＝5，则BCAC＝__________．答案：23解析：由9cos2A －4cos2B ＝5，得9(1－2sin 2A)＝5＋4(1－2sin 2B)，得9sin 2A ＝4sin 2B ，即3sinA ＝2sinB.由正弦定理得BC AC ＝sinA sinB ＝23.6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cosC 的最小值为________．答案：12解析：由余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥12，当且仅当a ＝b 时取“＝”．7. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1＋tanA tanB ＝2cb，则角A 的大小为________．答案：π3解析：1＋sinAcosB sinBcosA ＝2sinC sinB sin(A ＋B)＝2sinCcosA.因为sinC ≠0，所以cosA ＝12，A＝π3. 8. 在△ABC 中，∠A 、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若其面积S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则∠A＝________．答案：π4解析：12bcsinA ＝14(b 2＋c 2－a 2) a 2＝b 2＋c 2－2bcsinA sinA ＝cosA ，则∠A＝π4.9. (2014²浙江)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.已知4sin 2A －B2＋4sinAsinB ＝2＋ 2.(1) 求角C 的大小；(2) 已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值．解：(1) 由已知得2[1－cos(A －B)]＋4sinAsinB ＝2＋2， 化简得－2cosAcosB ＋2sinAsinB ＝2，故cos(A ＋B)＝－22，所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2) 因为S △ABC ＝12absinC ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得c ＝10.10. (2014²安徽)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B.(1) 求a 的值；(2) 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解：(1) 因为A ＝2B ，所以sinA ＝sin2B ＝2sinBcosB.由余弦定理得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝sinA2sinB，所以由正弦定理可得a ＝2b²a 2＋c 2－b22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，即a ＝2 3.(2) 由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.因为0＜A ＜π，所以sinA ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sinAcos π4＋cosAsin π4＝223³22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13³22＝4－26.11. (2014²南京三模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tanBtanA＋1＝2ca. (1) 求角B ；(2) 若cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，求sinA 的值．解：(1) 由tanB tanA ＋1＝2c a 及正弦定理，得sinBcosA cosBsinA ＋1＝2sinCsinA ，所以sinBcosA ＋cosBsinA cosBsinA ＝2sinC sinA，即sin （A ＋B ）cosBsinA ＝2sinC sinA ，则sinC cosBsinA ＝2sinC sinA.因为在△ABC 中，sinA ≠0，sinC ≠0，所以cosB ＝12.因为B∈(0，π)，所以B ＝π3.(2) 因为0＜C ＜2π3，所以π6＜C ＋π6＜5π6.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝223.所以sinA ＝sin(B ＋C)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin π6＝26＋16.第8课时 解三角形应用举例1. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB＝105°，由此计算出A 、B 两点的距离为________m.答案：50 2解析：∵ ∠ACB＝45°，∠CAB ＝105°，∴ ∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC 中，由正弦定理得AB sinC ＝ACsinB ，∴ AB＝AC²sinCsinB ＝50³2212＝502(m)．2. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD.已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为________m.答案：507解析：连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC2＝1002＋1502－2³100³150³12＝17 500，解得OC ＝507(m)．3. 如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是__________n mile/h.答案：32解析：设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝8 2 n mile ，∠BSA ＝45°，由正弦定理，得82sin30°＝12v sin45°，∴ v ＝32 n mile/h.4. 要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔的高度是________m.答案：500解析：由题意画出示意图，设塔高AB ＝h m ，在Rt △ABC 中，由已知得BC ＝h m ，在Rt△ABD 中，由已知得BD ＝3h m ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC²CD cos ∠BCD ，得3h 2＝h 2＋5002＋h ²500，解得h ＝500(m)．5. 在△ABC 中，若a cosA ＝b cosB ＝ccosC，则△ABC 的形状是________________．答案：等边三角形解析：由正弦定理得a sinA ＝b sinB ＝c sinC ，又a cosA ＝b cosB ＝c cosC ，所以sinA cosA ＝sinB cosB ＝sinCcosC，即tanA ＝tanB ＝tanC ，所以∠A＝∠B＝∠C，故△ABC 为等边三角形．6. (2014²四川)如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为67°、30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约为________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)答案：60解析：过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴ AB ＝AD sin67°＝460.92＝50(m)．在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ，由正弦定理，得BC ＝ABsin37°sin30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m.7. 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为__________．答案：15 3解析：不妨设∠A ＝120°，c<b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是由cos120°＝b 2＋（b －4）2－（b ＋4）22b （b －4）＝－12，解得b ＝10，S ＝12bcsin120°＝15 3.8. 若△ABC 的三边长为连续三个正整数，且A>B>C ，3b ＝20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC ＝__________．答案：6∶5∶4 解析：由A>B>C ，得a>b>c.设a ＝c ＋2，b ＝c ＋1，则由3b ＝20acosA ，得3(c ＋1)＝20(c＋2)²（c ＋1）2＋c 2－（c ＋2）22（c ＋1）c，即3(c ＋1)2c ＝10(c ＋1)(c ＋2)(c －3)，解得c ＝4，所以a ＝6，b ＝5.sinA ∶sinB ∶sinC ＝a∶b∶c＝6∶5∶4.9. 如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？解：由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴ ∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴ DB ＝AB²sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5（3＋3）²sin45°sin105°＝5（3＋3）²sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53（3＋1）3＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD²BC²cos ∠DBC＝300＋1 200－2³103³203³12＝900，∴ CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．即该救援船到达D 点需要1小时．10. (2014²南京、盐城二模)如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB 、AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N(异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．解：设∠AMN＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin （120°－θ）.因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM²MP²cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2³2³433sin(120°－θ)cos(θ＋60°) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.答：设计∠AMN 为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．11. (2014²宿迁第一次摸底)如图，海上有A 、B 两个小岛相距10 km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60°，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC ＝BO.设AC ＝x km.(1) 用x 分别表示OA 2＋OB 2和OA²OB，并求出x 的取值范围；(2) 晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．解：(1) 在△OAC 中，∠AOC ＝120°，AC ＝x ，由余弦定理，得OA 2＋OC 2－2OA²OC²cos120°＝x 2，又OC ＝BO ，所以OA 2＋OB 2－2OA²OB²cos120°＝x 2.① 在△OAB 中，AB ＝10，∠AOB ＝60°，由余弦定理，得OA 2＋OB 2－2OA²OB²cos60°＝100.②①＋②得OA 2＋OB 2＝x 2＋1002，①－②得OA²OB＝x 2－1002；又OA 2＋OB 2≥2OA ²OB ，所以x 2＋1002≥2³x 2－1002，即x 2≤300.又OA²OB＝x 2－1002＞0，即x 2＞100，所以10＜x≤10 3.(2) 易知S △OAB ＝S △OAC ，故S △ABC ＝2S △OAB ＝2²12²OA ²OBsin60°＝3（x 2－100）4.又S △ABC ＝12²AC ²BD ，设BD ＝f(x)，所以f(x)＝3（x 2－100）2x ，x ∈(10，103]．又f′(x)＝32⎝⎛⎭⎪⎫1＋100x ，则f(x)在(10，103]上是增函数，所以f(x)的最大值为f(103)＝10，即BD 的最大值为10.第9课时 三角函数的综合应用1. 若函数f(x)＝cos ωxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________． 答案：1解析：由于f(x)＝cos ωxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx ＝12sin2ωx ，所以T ＝2π2ω＝π ω＝1.2. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sinC ＝23sinB ，则A ＝____________．答案：30°解析：∵ sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴ cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32.又A 为三角形的内角，∴ A ＝30°.3. 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为________． 答案： 3解析：S ＝12³AB ²ACsin 60°＝12³2³32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB²AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3.4. (2014²南京、无锡调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝__________．答案：1916解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6。