第二次数学危机

历史上的三次数学危机王方汉(武汉市第二十三中学430050)在数学发展的过程中,人的认识是不断深化的.在各个历史阶段,人的认识又有一定的局限性和相对性.当一种/反常0现象用当时的数学理论解释不了,并且因此影响到数学的基础时,我们就说数学发生了危机.许多人并不赞成使用危机这个词,因为它们并没有阻碍数学的发展.在历史上,数学曾发生过三次危机.这三次危机,从产生到消除,经历的时间各不相同,都极大地推动了数学的发展,成为数学史上的佳话.第一次数学危机产生于公元前五世纪.那时,古希腊的毕达哥拉斯学派发现:正方形边与对角线是不可通约的,现在称之为/比达哥拉斯悖论0./悖论0这一术语,许多中小学生恐怕是第一次见到.所谓悖论,就是指自相矛盾荒谬结论.今天看来,两条线段不可通约,是数学中常见的合理的现象,它不过表明两条线段之比是一个无理数而已,可是,当时的古希腊人怎么会认识到这一点?!在他们眼中,各种事物的许多物理的、化学的、生物的性质都可能改变,惟其数量性质是不会变的!他们认为:万物都包含着数:数只有两种,这就是自然数和可通约的数.所以,不可通约的数是不可思议的!第一次数学危机持续了两千多年.十九世纪,数学家哈密顿(Hamilton)、梅雷(Melay)、代德金(Dedekind)、海涅(Heine)、波雷尔(Borel)、康托尔(Cantor)和维尔斯特拉斯(Weietstrass)等正式研究了无理数,给出了无理数的严格定义,提出了一个含有有理数和无理数的新的数类)))实数,并建立了完整的实数理论.这样,就完全消除了第一次数学危机.第二次数学危机是因为发现微积分方法而产生的.十七世纪,牛顿和德国数学家莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)首创了微积分.这时的微积分只有方法,没有严密的理论作为基础,许多地方存在着漏洞,还不能自圆其说.例如,牛顿当时是这样求函数y=x n的导数的:(x+v x)n=x n+n#x n-1#v x+n(n-1)2#x n-2#(v x)2+,+(v x)n,然后把函数的增量v y除以自变量的增量v x,得v yv x=(x+v x)n-x nv x=n#x n-1+n(n-1)2#x n-2#v x+,+nx#(v x)n-2+(v x)n-1,最后,扔掉其中所有含v x的项,就得到函数y= x n的导数为nx n-1.哲学家以眼光税利、思维敏捷而著称.贝克莱(Berkelg)就是这样的哲学家.他一针见血地指出:先以v x为除数,说明v x不等于零,后来又扔掉所有含v x的项,可见v x等于零,这岂不自相矛盾吗?这就是著名的/贝克莱悖论0.现在我们知道,自变量x的增量v x是一个无穷小量.但在当时,贝克莱悖论的出现,咄咄逼人,逼得数学家们不得不认真地对待/无穷小量0,设法克服由此引起的思维上的混乱.十九世纪,许多数学家投入到了这一工作之中,柯西(Cauchy,1789-1857)和维尔斯特拉斯的贡献最为突出.1821年,柯西建立了极限的理论,提出了/无穷小量是以零为极限但永远不为零的变量0,维尔斯特拉斯又作了进一步的改进,终于消除了贝克莱悖论,把微积分建立在坚实的极限理论之上,从而结束了第二次数学危机.第二次数学危机的解除,与第一次数学危机的解除,两者实际上是密不分的.为解决微积分问题,必须建立严密的无理数定义以及完整的实数理论.有了实数理论,加上柯西和维尔斯特拉斯的极限理论,这样,第一、二次数学危机就相继消除了.一波未平,又起一波.前两次数学危机解决后不到三十年,又卷起了第三次数学危机的轩然大波.十九世纪末和二十世纪初,德国数学家康托尔(Cantor,1845-1918)创立了集合论,初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础.正当人们为集合论的诞生而欣然自慰时,一串串数学悖论却冒了出来,又搅得数学家心里忐忑不安.其中,英国数学家罗素(Russell,1872-1970)于1902年提出的实际问题教学不能忽视可行性王满成(湖南城步教研室422500)文[1]通过课本习题演变,进而与生产实际密切相联,这是很可贵的,这正是当前中学数学教学所积极倡导的.但是,一个生产实际问题的解答方案应考虑其可行性.[1]中说:/开挖点E应离D 点33413米,就能使A、C、E三点在同一直线上0这几乎是不可能的事!因为过D作一满足N BDE =50b,DE=33413米的线段有无穷多条,当且仅当B、C、E、D四点共面时,方案才成立:但怎样保证共面,方案也未提及!笔者曾在邵阳市大圳灌区工程指挥部当过施工员(技术员),有过打遂洞两边同时施工的实践经验,现给出一个方案,供老师参考.旨在教师在这方面的教学中更贴近生产实际.第一步:过A、C两点拉线至B1(打一桩),再过C、B1拉线至B2(打一桩,因地形变化,在B1处需一人垂铅,使CB2上一点的射影落在B1上).如此下去,直至得到点G、F.第二步:采用[1]中的方案(或[1]中其它学生的设计方案).第三步:调整.当DE=33413米,且E点恰好落在GF上,问题解决;若E点落在GF的上侧或下侧,则需进行调整.显然,这种方案虽然在理论上讲得过去,但由于地形地貌的复杂性,在实际操作中可能会遇到困难,还需根据具体情况,再设法解决.参考文献1杨海燕.一堂开放型应用题教学实录.数学通报.2001年第7期/罗素悖论0影响最大.罗素构造了一个集合:B={X|X|X},也就是说:把一切不以自身为元素的集合X作为元素,这样的集合记为B.罗素问道:B是否属于B?回答试试看!若B I B,即B是B的元素,则B应满足集合B中的元素的条件,于是有B|B;若B|B,则已符合集合B的元素的条件,于是又有B I B.真奇怪:无论哪种情况,都使我们陷于自相矛盾、进退两难的尴尬境地!罗素悖论的出现,震撼了整个数学界.本应作为全部数学之基础的集合论,居然出现了内耗!怎么办?数学家们立即投入到消除悖论的工作中.庆幸的是:产生罗素悖论的根源很快被找到了!原来是,康托尔提出集合论时对/集合0的概念没有作必要的限制,以致于可以构成/一切集合的集体0这种过大的集合,让罗素这样的/好事者0/钻了空子0.怎么样从根本上消除集合论中出现的各种悖论(包括罗素悖论)呢?德国数学家策梅罗(Zermelo,1871-1953)认为:适当的公理体系可以限制集合的概念,从逻辑上保证集合的纯粹性.经策梅罗、费兰克尔(Frenkel)冯.诺伊曼等人的努力,形成了一个完整的集合论公理体系,称为ZFC系统.在ZFC系统中,/集合0和/属于0是两个不加定义的原始概念,另外还有十条公理.ZFC系统的建立,不仅消除了罗素悖论,而且消除了集合论中的其它悖论.第三次数学危机也随之销声匿迹了.纵观三次数学危机,每次都有一两个典型的悖论作为代表.克服了这些悖论,也就推动了数学的长足发展.经历过历史上三次数学危机的数学界,是否从此就与数学危机/绝缘0了呢?不!对此,我国当代著名数学家徐利治教授说了一段很有见地的话,他说:/由于人的认识在各个历史阶段中的局限性和相对性,在人类认识的各个历史阶段所形成的各个理论系统中,本来就具有产生悖论的可能性,但在人类认识世界的深化过程中同样具备排除悖论的可能性和现实性,人类认识世界的深化没有终结,悖论的产生和排除也没有终结.0参考文献1徐南昌.漫谈数学悖论的方法意义.中学数学,1991,82张祖贵.浅谈三次数学危机.湖南数学通讯,1984,6。

第二次数学危机的历史意义第二次数学危机是20世纪初期数学领域发生的一场危机，它包含了数学的基础、发展和应用等多个方面。

其历史意义不仅在于对数学的发展造成了深远的影响和启示，同时也对于其他领域的发展产生了重要的推动作用。

下面从以下几个方面来介绍第二次数学危机的历史意义。

1.数学的基础问题第二次数学危机凸显了数学基础问题的重要性。

数学作为一门基础学科，它的发展离不开对于本质概念的明确和严谨的证明。

在危机中，数学家们发现在一些理论中，基础假设并不是真正严谨的，这些假设的不确定性最终导致了理论的崩溃。

这个问题的意义在于，它促进了数学的基础研究，提高了数学的严谨性和有效性。

2.数学的发展方向第二次数学危机揭示了数学在发展中应考虑的方向和重点。

危机中，当时的数学家认为，研究数学的细节过多，研究范围过于琐碎，造成了研究的乏味和虚假。

因此，随着对于数学实践的认识逐渐深入，数学家们把更多的注意力集中在数学的背后思想和基础问题上，从根本上探究数学现象产生的原因和规律。

这也为现代数学的创新提供了思想上的启示。

3.数学应用的深入第二次数学危机的爆发也推动了数学应用的深入研究。

在当时，数学已经在物理学和工程学等多个领域有了广泛的应用，同时也揭示了现有的数学并不足以支撑这些领域的发展。

因此，在危机中，数学家们需要深刻性地思考，将现有的数学知识和理论与实际应用相结合，提出有效的理论解决问题，这也促进了数学知识在现实生活中的更广泛应用。

4.数学研究的国际化第二次数学危机对于数学研究的国际化也产生了重要的推动作用。

危机发生时，德国在数学领域处于领先地位，但是在第一次世界大战后，德国的科学发展遭受了重大打击，这也影响了德国在数学领域的地位。

同时，其他国家开始崛起，并且在数学研究上取得了显著成果。

这也为数学研究提供了更多的国际性交流和合作机会，推动了全球数学研究水平的提高。

总之，第二次数学危机不仅对于数学的研究和发展产生了深远的影响，同时也对于现代科学研究的发展和人类文明的进步产生了积极的推动作用。

第二次数学危机源于微积分基本原理的争议。

无穷小量在微积分中起着非常重要的作用，但是对无穷小量的解释却引发了严重的矛盾。

无穷小量在求导和积分时有时被认为是零，有时被认为是一个变量，这引发了数学家们的困惑和争议。

这个问题的根源在于，无穷小量在微积分中扮演了两个不同的角色。

一方面，它被视为一个变量，可以参与运算；另一方面，无穷小量在某些情况下被视为零，这使得数学家们感到困惑。

英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的基础提出了质疑。

他认为，无穷小量既等于零又不等于零，这是荒谬的。

他的观点引发了长达一个半世纪的争论，导致了数学史上的第二次数学危机。

这个危机的解决最终由数学家们通过严格的极限定义和实数理论的研究，使微积分重新获得了坚实的基础。

这个危机的解决对数学的发展产生了深远的影响，使得数学更加严谨和精确。

数学史三次危机简介
数学史上的三次危机，简要概括如下：
1. 第一次数学危机：公元前5世纪，毕达哥拉斯学派发现无理数，挑战了当时“万物皆数”（指整数或整数之比）的信念。

这次危机通过实数理论的建立得到解决。

2. 第二次数学危机：17至18世纪，围绕无穷小量的问题，主要与微积分的发展有关。

微积分学在理论不完善的情况下被广泛应用，但其基础—无穷小的概念受到质疑。

最终，通过实数理论和极限理论的建立，这次危机得到了缓解。

3. 第三次数学危机：19世纪末，集合论悖论的出现，如著名的罗素悖论，暴露了自洽性问题。

这些悖论挑战了集合论作为数学基础的地位。

至今，尽管哥德尔的不完备定理对形式系统的局限性做了阐述，但第三次数学危机并没有完全解决。

数学史上的三次危机数学史上的三次危机〔文章转载自数学开展简史〕从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。

数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。

在整个数学开展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。

在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。

当矛盾激化到涉及整个数学的根底时，就会产生数学危机。

而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的开展，甚至引起革命性的变革。

数学的开展就经历过三次关于根底理论的危机。

一、第一次数学危机从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。

它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。

他们认为，“万物皆数〞(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。

整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。

日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。

为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。

于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。

有理数有一种简单的几何解释。

在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，那么可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。

以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。

于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。

但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。

特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。

数学三次危机的内容全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学科学中的三次危机是指在20世纪上半叶发生的一系列重大数学问题，这些问题深刻地影响了数学家们的研究方向和方法论。

这三次危机分别是庞加莱猜想、康托尔难题和哈尔定理。

在这篇文章中，我们将对这三个数学难题进行详细介绍，并探讨它们对数学领域的影响。

让我们来了解一下庞加莱猜想。

庞加莱猜想是法国数学家亨利·庞加莱于1904年提出的一个关于拓扑学的问题。

该猜想的内容是“三维球面是唯一的紧致单连通的拓扑空间”。

庞加莱猜想对数学家们提出了一个挑战，因为在当时，拓扑学还处于发展的初级阶段，很多概念和理论尚未完善。

庞加莱猜想的证明一直是数学界的一个巨大难题，直到2003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼通过使用里卡蒂流和流形拓扑学，证明了该猜想。

这一证明不仅解决了庞加莱猜想，也为流形拓扑学的发展提供了新的思路。

让我们来看看康托尔难题。

康托尔难题是德国数学家乔治·康托尔在19世纪末提出的一个极具挑战性的数学难题。

该难题的核心内容是研究无限集合的基数大小。

康托尔提出了连续统假设，即不存在介于自然数和实数之间的集合。

康托尔难题的解决涉及到了极限集合论、集合论和拓扑学等多个领域，成为20世纪数学发展的一个重大挑战。

直到1960年代，由保罗·科恩证明了连续统假设和选择公理的独立性，康托尔难题才得以部分解决。

康托尔难题的解决为数学领域的发展开辟了新的方向，促进了集合论和拓扑学的深入研究。

让我们来谈谈哈尔定理。

哈尔定理是由挪威数学家埃米尔·哈尔于1900年提出的一个著名数学难题。

该定理的内容是“任意一个连续函数序列在闭区间上一致收敛于一个连续函数”，这个定理在分析学中起到了至关重要的作用。

哈尔定理的证明引入了严格的收敛性概念和一致收敛性概念，为数学家们提供了新的研究方法。

哈尔定理的证明通过构造逼近序列和使用极限过程，为数学分析领域的研究提供了新的思路和工具。

第二次数学危机十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。

从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。

微积分产生初期，由于还没有建立起巩固的理论基础(主要是极限理论)，出现了这样那样的问题，被一些别有用心的人钻了空子。

事实往后百多年亦没有人能清楚回答这些问题。

这就是历史上的第二次数学危机，而这危机的引发和牛顿有直接的关系。

四悖论早在古代，人们就对长度、面积、体积的度量问题感兴趣。

古希腊的欧多克斯引入量的观念来考虑连续变动的东西，并完全依据几何来严格处理连续量。

这造成数与量的长期脱离。

古希腊的数学中除了整数之外，并没有无理数的概念，连有理数的运算也没有，可是却有量的比例。

他们对于连续与离散的关系很有兴趣，尤其是芝诺提出的四个著名的悖论：运动不存在第一个悖论是说运动不存在，理由是运动物体到达目的地之前必须到达半路，而到达半路之前又必须到达半路的半路……如此下去，它必须通过无限多个点，这在有限长时间之内是无法办到的。

跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟第二个悖论是跑得很快的阿希里赶不上在他前面的乌龟。

因为乌龟在他前面时，他必须首先到达乌龟的起点，然后用第一个悖论的逻辑，乌龟者在他的前面。

这两个悖论是反对空间、时间无限可分的观点的。

飞矢不动与游行队伍悖论而第三、第四悖论是反对空间、时间由不可分的间隔组成。

第三个悖论是说“飞矢不动”，因为在某一时间间隔，飞矢总是在某个空间间隔中确定的位置上，因而是静止的。

第四个悖论是游行队伍悖论，内容大体相似。

这说明希腊人已经看到无穷小与“很小很小”的矛盾。

当然他们无法解决这些矛盾。

希腊人虽然没有明确的极限概念，但他们在处理面积体积的问题时，却有严格的逼近步骤，这就是所谓“穷竭法”。

它依靠间接的证明方法，证明了许多重要而难证的定理。

应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。

他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。

数学史上的三次危机第一次危机：希腊数学危机希腊数学家们是数学历史上的伟大人物，他们创造了许多数学概念和理论，如欧几里得几何、三角学、锥曲线等。

但在公元前4世纪到公元前3世纪的时期，希腊数学发生了危机。

这一时期的希腊数学家纷纷开始关注无穷大和无穷小的概念。

然而，这些概念并不符合当时的逻辑和数学标准，他们甚至不能用现代的数学符号来表示。

因此，这些数学家的理论并没有得到广泛的认可和接受。

在这一时期，希腊数学的道路出现了两条分支。

一条是传统的代数学派，他们注重整数、有理数和分数的研究；另一条是几何学派，他们将一切几何测量归纳为单个不可减少的点。

两个学派的意见相左，争论不断，导致了希腊数学的危机。

这一时期的数学发展为数学的发展带来了许多思考，但也让希腊数学陷入了停滞和分化的境地。

第二次危机：19世纪末的非欧几何危机19世纪末期，非欧几何成为了当时的热门话题。

在欧几里得几何中，平行公设是一项基本性质，两条不重合的直线在平面上永远不会相交。

然而，非欧几何学派质疑这一性质，提出了一种名为反射性的新性质，也就是说，两条不重合的直线在特定的情况下是可以相交的。

这种观点的提出，引起了数学界的强烈反响和激烈争议。

欧几里得几何是基础数学，因此许多人认为非欧几何在一定程度上是在否认这一基础。

在这种文化和学术背景下，非欧几何的认可难以达成，成为了数学史上的一次危机。

第三次危机：20世纪初的集合论危机20世纪初，集合论成为了数学的新话题。

然而，当时对于集合论的探讨往往涉及到关于无限的思考，这些思考往往与人的直觉相悖，甚至有些违反逻辑。

其中最著名的例子就是悖论：一个包含所有时空中的点的集合是否存在？如果存在，那么这个集合中是否包含它自身？如果不包含，那么就不能称其为包含所有时空中的点的集合；如果包含，那么这个集合就非常巨大，超出了我们的想象。

这个悖论意味着个体和整体的关系无法解决，出现了数学中的自我矛盾。

这一数学危机的解决需要借鉴哲学和逻辑学的工具，很多数学家因此开始关注哲学基础和逻辑体系，试图建立一个完备的集合论，以应对数学的自我矛盾和前进。