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独立性检验1. 在2013年某大学生运动会期间，某网站针对是否观看大学生运动会的情况进行了一项问卷调查，得出如下表格：(附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 则K 2=( )A. 700B. 750C. 800D. 8502. 春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参照附表，得到的正确结论是( )A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”3.附表：由K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，计算得K 2=____________ 参照附表，得到的正确结论为( )A. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C. 有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D. 有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”第2页，共7页4.由表中数据计算得到K 的观测值k ≈5.059，于是(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．5. 101目的110名观众，得到如下列联表：则有 的把握认为“喜爱该节目与性别有关”．6. 如图是一个2×2列联表，则m+n 的值为 ．7. 某新闻媒体为了解观众对《创造101》节目的喜爱与性别是否有关，随机调查了观看该节目的110名观众，得则有 的把握认为“喜爱该节目与性别有关”．8. 在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).在犯错误的概率不超过______的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．独立性检验一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）9.在2013年某大学生运动会期间，某网站针对是否观看大学生运动会的情况进行了一项问卷调查，得出如下表格：)(附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)则K2=()A. 700B. 750C. 800D. 850【答案】B【解析】【分析】即可求解；本题考查独立性检验，属于基础题型，代入K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】解：由题意得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=750．=12000×(6000×2000−2000×2000)28000×4000×8000×4000故选B．10.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K2=n(ad−bc)2参照附表，得到的正确结论是()(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)A. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D. 有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”【答案】C第4页，共7页【解析】【分析】本题考查独立性检验，基础题由公式可计算K 2的观测值k ，与临界值表中的临界值进行比较，即可得答案．【解答】解：由公式可计算K 2的观测值 k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(45×15−30×10)255×45×75×25≈3.03>2.706，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”， 故选C ．11.附表：由K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，计算得K 2=100(10×30−20×40)250×50×30×70≈4.762．参照附表，得到的正确结论为( )A. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C. 有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D. 有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关” 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查独立性检验知识，属于基础题．独立性检验是在犯错的概率不超过多少时认为“是否爱吃零食与性别有关” K 2≈4.762>3.841而P(K 2≥3.841)=0.05，即可得到答案． 【解答】解：因为K 2≈4.762>3.841，P(K 2>3.841)=0.05．所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”， 故选A ．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）12. 公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”.题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快(每天增加的数量相同)，已知第一天织布5尺，一个月(30天)共织布9匹3丈，则该女子每天织布的增加量为 尺．(1匹=4丈，1丈=10尺) 【答案】1629【解析】【分析】本题考查了等差数列的求和．设每天织布的尺数成等差数列{a n }，公差为d ，利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设每天织布的尺数成等差数列{a n}，公差为d，d=390，则5×30+30×292解得d=16．29．故答案为162913.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=8x的焦点坐标为________．【答案】(2,0)【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质，是容易题．=2即可得解．根据题意，确定抛物线的对称轴和开口方向，求出p2【解答】解：在y2=8x中，2p=8，即p=4，=2．所以，p2又抛物线的焦点在x轴上，且开口向右，故抛物线的焦点坐标为(2,0)．答案为(2,0)．14.设向量a⃗=(1,−4)，b⃗ =(−1,x)，c⃗=a⃗+3b⃗ .若a⃗//c⃗，则实数x的值是．【答案】4【解析】【分析】本题考查了平面向量共线的充要条件和平面向量的坐标运算．先计算c→的坐标，根据a→//c→，利用向量平行的条件列出关于x的方程，即可求得x.【解答】解：向量a→=(1,−4)，c→=a→+3b→=(−2,−4+3x)，因为a⃗//c⃗，所以(−4+3x)−(−4)×(−2)=0，解得x=4．故答案为4．15.第6页，共7页由表中数据计算得到K 的观测值k ≈5.059，于是(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．【答案】不能【解析】【分析】本题考查独立性检验，属于基础题．查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k 0=6.635.本题中，k ≈5.059<6.635，由此即可得到答案． 【解答】解：查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关，则临界值k 0=6.635.本题中，k ≈5.059<6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．16. 某新闻媒体为了解观众对《创造101》节目的喜爱与性别是否有关，随机调查了观看该节目的110名观众，得到如下列联表：则有 的把握认为“喜爱该节目与性别有关”． 【答案】99%【解析】【分析】本题主要考查独立性检验，属于基础题． 代入独立性检验公式即可求解．【解答】解：由列联表中数据，可得： χ2=110×(40×30−20×20)260×50×60×50≈7.822>6.635，所以有99%的把握认为“喜爱该节目与性别有关”．17. 的值为 ．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了2×2列联表的数据关系，属于基础题．由a +35=45，可求得a ，则m =a +7，再由b +35=73可得b ，则7+b =n ，即可求解.【解答】解：根据2×2列联表可知a +35=45，解得a =10，则m =a +7=17， 又由35+b =73，解得b =38，则n =7+b =45， 则m +n =62．18. 某新闻媒体为了解观众对《创造101》节目的喜爱与性别是否有关，随机调查了观看该节目的110名观众，得则有 的把握认为“喜爱该节目与性别有关”．【答案】99% 【解析】【分析】本题考查了独立性检验，考查了运算能力，属于基础题．由列联表中数据，代入计算公式可得K 2的值，再判断是否有99%的把握认为“喜爱该节目与性别有关”． 【解答】解：由列联表中数据，可得K 2=110×(40×30−20×20)260×50×60×50≈7.822>6.635，所以有99%的把握认为“喜爱该节目与性别有关”．19. 在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).在犯错误的概率不超过______的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．【答案】0.05【解析】【分析】本题考查独立性检验的应用，属于基础题.计算观测值，与题目中的观测值表进行比较，即可得出预测结论． 【解答】解：由题意算得，K 2= 100(10×30−20×40)250×50×30×70 ≈4.762>3.841，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”． 故答案为0.05．。
活页作业(三) 列联表独立性分析案例1．对于分类变量X 与Y 的统计量χ2的值说法正确的是( ) A ．χ2越大，“X 与Y 有关系”的把握性越小 B ．χ2越小，“X 与Y 有关系”的把握性越小 C ．χ2越接近于0，“X 与Y 无关系”的把握性越小 D ．χ2越接近于0，“X 与Y 无关系”的把握性越大解析 χ2越大，X 与Y 越不独立，所以关联越大；相反，χ2越小，关联越小． 答案：B2．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量之间的关系越强( ) A ．a a ＋b 与c c ＋dB ．a c ＋d 与c a ＋bC ．a a ＋d 与c b ＋cD ．a b ＋d 与c a ＋c解析a a ＋b 与c c ＋d相差越大，说明ad 与bc 相差越大，两个分类变量之间的关系越强． 答案：A3．对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是( ) A ．判断模型的拟合效果 B ．对两个变量进行相关分析C ．给出两个分类变量有关系的可靠程度D ．估计预报变量的平均值解析 独立性检验的目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度． 答案：C4．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计 课外阅读量较大 22 10 32 课外阅读量一般8 20 28 总计3030602＞7.879时，有99.5%的把握判定两个变量有关联)( )A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 解析 χ2≈9.643＞7.879，P (χ2≈9.643＞7.879)＝0.005.∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关． 答案：D5．已知某校文理科教师与性别的列联表如下：解析χ2＝300×(37×143－85×35)2122×178×72×228≈4.513 9.答案：4.513 96．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为________.解析 ∵χ2＝8.01＞6.635，∴有99%的把握说学生性别与喜欢乡村音乐有关系． 答案：99%7．某次全国性会议在北京召开．为了做好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：(2) 解 (1)对应的2×2列联表如下：(2)χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝30×(10×8－6×6)2 16×14×16×14≈1.157 5＜2.706.∴不能在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关．8．某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析．(1)按一定比例进行分层抽样抽取了20名学生的数学成绩，并用茎叶图(图1)记录，但部分数据不小心丢失了，已知数学成绩[70,90)的频率是0.2，请补全表格并绘制相应频率分布直方图(图2)．分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频率理成绩进行比较，得到统计数据如下表：物理成绩优秀物理成绩一般合计数学成绩优秀15318数学成绩一般51722合计202040时，有99.9%的把握判定两个变量有关联)解(1)填表如下：分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频率0.10.20.40.20.1(2)假设学生的物理成绩优秀与数学成绩优秀没有关系， 则χ2＝40×(15×17－5×3)220×20×22×18≈14. 55＞10.828.∴有99.9%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系．1．两个分类变量X 和Y 的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35.若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%，则c 等于(已知当χ2＞5.024时，则有97.5%的把握认为变量X 与Y 有关系)( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析χ2＝66×[10(35－c )－21c ]231×35×(10＋c )(56－c )＞5.024，把选项A ，B ，C ，D 代入验证可知选A ．答案：A2．在打鼾与患心脏病之间的关系研究中，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是( )A ．100个心脏病患者中，至少有99人打鼾B ．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C ．在100个心脏病患者中，一定有打鼾的人D ．在100个心脏病患者中，可能1个打鼾的都没有解析 由题意知，“打鼾与患心脏病有关”的结论有99%以上的把握正确，而不是心脏病患者打鼾的概率为99%，故选D ．答案：D3．独立性检验中，若两个分类变量“X 和Y 有关系”的可信程度是95%，则随机变量χ2的取值范围是________________.解析 当χ2＞3.841时，有95%的把握判定X 与Y 有关系，当χ2＞6.635时，有99%的把握判定X 与Y 有关系，∴3.841＜χ2≤6.635.答案：(3.841,6.635]4．假设有两个分类变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其中2×2列联表如下：________.(填序号)①a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2； ②a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2； ③a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5； ④a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4.解析 四个选项中a ＋b ＋c ＋d 的值与(a ＋b )(a ＋c )(c ＋d )(b ＋d )的值分别相等，则由χ2的计算公式，可知只需计算(ad －bc )2.经计算，知其值最大的一组是④.答案：④5．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数API 的监测数据，统计结果如下表：(1)ω)的关系式为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(0≤ω≤100)，4ω－400(100＜ω≤300)，2 000(ω＞300).试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率． (2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.解 (1)设“600元”为事件A ，由200＜S ≤600，得150＜ω≤250，频数为39. ∴P (A )＝39100.(2)根据已知数据得到如下列联表：χ2＝100×(22×7－63×8)85×15×30×70≈4.575＞3.841.所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．6．目前，在“互联网＋”和“大数据”浪潮的推动下，在线教育平台如雨后春笋般蓬勃发展，与此同时，很多学生家长和相关专家对在线教学也产生了质疑，主要原因就是对在线教学，学生是否能认真听讲存在疑虑．在这种情况下，某市教育主管部门在该市各中小学采用分层抽样的方式抽出15周岁以下和15周岁以上各200人进行调查研究，其中15周岁以下的能认真听讲的有150人，不能做到认真听讲的有50人，15周岁以上的170人能认真听讲，不能做到认真听讲的有30人．(1)完成下列2×2列联表：97.5%的把握判定两个变量有关联)(3)现用分层抽样的方法，从15周岁以下的人中抽取8人，在这8人中任取2人进行座谈，求抽到的人中至少有1人能认真听讲的概率．解 (1)填表如下：(2)χ2＝400×(50×170－30×150)280×320×200×200＝6.25.因为6.25＞5.024，所以有97.5%的把握认为能否认真听讲与年龄有关．(3)由题意可知，从15周岁以下抽8人，其中能认真听讲的为6人，不能认真听讲的为2人．设能认真听讲的人为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，不能认真听讲的人为b 1，b 2，于是，在8人中任意抽取2人有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，a 6)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，a 6)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，a 6)，(a 4，a 5)，(a 4，a 6)，(a 5，a 6)，(b 1，a 1)(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，a 4)(b 1，a 5)，(b 1，a 6)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)(b 2，a 3)，(b 2，a 4)，(b 2，a 5)，(b 2，a 6)，(b 1，b 2)共28种，其中，至少有1人能认真听讲的对立事件是2人都不能认真听讲，只有(b 1，b 2)一种情况．于是，设事件A ＝“至少有一人认真听讲”， 则P (A )＝1－P (A －)＝2728.。
