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清华大学微积分学期中考试试卷

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2006级微积分（二）期中考试试卷
院系_________ 班级_____________ 姓名____________ 学号__________
一、填空题（每小题4分，共24分）
1．同时垂直于矢量{}1,2,1和矢量{}1,2,1-的单位矢量为 _____________。

2．用参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==t
z t y x
2311
表示的直线L 的点向式方程为_________________。

3．曲线:L ⎩⎨⎧=+=01
2x
y z 绕z 轴旋转的旋转曲面在点P )3,1,1(处的切平面方程为 （化简为一般方程） 。

4．函数32),,(z xy z y x f =在点)1,1,1(P 处的微分P df =________________。

5．设 y x
x y e x z xy arctan )2(sin 5-+⋅=π 。

则函数),(y x z 在点)1,2(P 的 偏导数=∂∂P x z。

6．逐次积分 ⎰⎰2
0104x xdy dx 的值 = 。

二、选择题（每小题4分，共16分）
7．关于函数),(y x f 在点),(b a P 的性态，下列结论中不对的是（ ）
A ． 在点),(b a P 的偏导数),(b a f x '存在推不出沿方向{}0,1的方向导数存在；
B ． 在点),(b a P 沿方向{}0,1的方向导数存在推不出偏导数),(b a f x '存在；
C ． 在点),(b a P 的两个偏导数存在推不出在点),(b a P 连续；
D ． 在点),(b a P 连续推不出在点),(b a P 的两个偏导数存在。

8．在空间直角坐标系中，方程 053=+y x 表示的几何对象为（ ）
A ．通过原点的直线；
B ．Oxy 平面上的直线；
C ．垂直于Oz 轴的平面；
D ．包含Oz 轴的平面。

9．函数3xy z =在原点处的函数值（ ）
A ．是极小值；
B ．是极大值；
C ．不是极值
D ．无法判定是否为极值。

10．关于函数),(y x f z = 在约束条件0),(=y x g （),(y x f ，),(y x g 处处可微）下的极值点),(00y x P 的可能范围，合理的描述为（ ）
A ． 完全包含在曲线0),(=y x g 与等值线c y x f =),(相切的切点集合中；
B ． 完全包含在曲线0),(=y x f 与等值线c y x g =),(相切的切点集合中；
C ． 完全包含在使得偏导数),(),,(y x f y x f y x 都为零的驻点集合中；
D ． 以上三个结论都不对。

三、计算下列各题（每小题6分，总分48分）
11．设)()3,(xy y y x x f z ϕ++=，ϕ,f 具有二阶连续导数，求y
x z ∂∂∂2
12．设函数)(u f 为可微函数，变量z y x ,,满足
()y x xf z += 和 1=+y ye z ，计算
dx
dz .
13．求函数32yz xy u +=在点)1,1,2(-M 处的梯度矢量)(grad M u 和在该点沿着矢量
}1,2,2{-=n 方向上的方向导数。

14． 计算函数xy y x y x f ++=222),(在由12,0,0=+==y x y x 围成的区域上的最大值和最小值。

15．计算dxdy y x I D
⎰⎰-=，其中D ：10,10≤≤≤≤y x
16. 计算⎰⎰⎰+=V
dV y x I )(22，其中V 是由曲面222y x z +=和平面2=z 围成的区域。

17．三维物体由柱面2y x =，平面1,0==x z 和z x =围成，作出其草图并使用重积分
计算其体积。

18. 设 V 是位于球面2=ρ和4=ρ之间且在圆锥面3π
ϕ=之上方的区域，
ϕρ,是球坐标。

计算三重积分 ⎰⎰⎰++=V
dV z y x I )(
四、分析题（每小题6分，总分12分）
19. 依据定义讨论函数xy z =在原点是否存在偏导数？是否可微？
20. 下述涉及到偏导数的函数方程是否有解？给出理由。

如果有解求其解。

（1）满足y x xy z z z z ⋅=⋅的),(y x f z =；（2）满足xy z z y x ==的),(y x f z =。

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清华大学微积分A(1)期中考试样题

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一元微积分期中考试答案 一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。

21 3. 31 4。

34 5. 1 6．第一类间断点 7。

()dx x x x ln 1+ 8。

22sin(1)2cos(1)x x x e++ 9。

0 10。

11−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x 11．x x ne xe + 12。

13 13。

0 14。

)1(223+−=x y 15． 13y x =+二． 计算题1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+−→→故0=b 。

…………………3分a xf x f f x =−=′−→−)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=−=′+→+xf x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞−∞内可导。

…………………1分2. 解：=−+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2−+∞→π = xx x x /1arctan )1/(1lim 22−+−+∞→π …………罗比达法则…………4分 =xx x x arctan )1/(lim 22+−++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++−+∞→ = 2211lim x x x +−+∞→ = 1− ………………………4分所以，原极限=1−e ………………………………………………………………………2分3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1)('11)('1)(''−+−=+−+=y x f y x f y x f y ；……4分 32)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +−+=+−++=…………………………………………6分4.解：⎩⎨⎧≥+−<+−−=020)2()(2323x xx x x x x x x f 记x x x x g +−=232)(，则143)(2+−=′x x x g ，46)(−=′′x x g ， 1,0,02)(2123===+−=x x x x x x g1,31,0143)(432===+−=′x x x x x g 32,046)(52==−=′′x x x g 故)(x f 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛1,31单调减，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛31,0及),1(+∞单调增； …………………2分 在)0,(−∞及⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞,32下凸，在⎟⎠⎞⎜⎝⎛32,0上凸； …………………2分 极大值点为31=x ，极小值点为1,0=x 。

微积分(秋冬)期中自测题参考答案

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微积分（秋冬）期中自测题参考答案一、 填空：1． 2ε ； 2. 3=n ； 3. )2,(-∞； 4. 2=a ，2)12(2-=b ； 5. 1个； 6． 2+=x y ； 7. 3-； 8. 4-=a ，2=b ； 9. 2)!1(+n n 。

二、 计算与证明：1．解：。

1)(lim )()121()1(lim)())(!4!2))((1(2lim )1ln()cos 1(2lim 3330322220224420220-=-+=-+--+=--+-++=---→→→→x x o x x x o x xx x x x x x o x x x o x x x x x e x x x x x2．解：x xx x xxx e x e ecot arc 1ln cot arc lim 1lim ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，而， 1111lim ln )1ln(lim 1arctan 1ln lim cot arc 1ln lim =--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→+∞→+∞→+∞→x e e x x e x x e x x e xx x x x x x x x故e xx x x e =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→cot arc 1lim 。

3．解：()()()()()()[]()()(),cot ln 3)csc (cot 1cot cot ln cot ln cot cot ln cot 23232313233133cot ln cot ln 1333dx x x x x x xx x dx x x xd x xx d d xd xxxx xx xee -⋅-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡[],1)(arcsin 1)()(arcsin )(arcsin )(arcsin )(arcsin 22dx eee f e e d e f e d e f e f d xx x xx xx x x -'=-'='=以及 0)(=e d π。

清华 微积分A期中考试

清华 微积分A期中考试


3.
设数列{an
}
满足条件
lim
n
a2n
a,
lim
n
a2 n 1
b ，求极限 lim a1 a2 n
an n
。
4．用极限的“
”定义直接验证 lim x2
1 x2 1
1 3
。
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
1.（8 分）设 0 x 1 ，证明不等式 (1 x)ln 2 (1 x) x2 。
4.
n
设 an
k 1
1 n2 k
，极限
lim
n
an
1
1
n
5.
设 a,b
均为正数， lim
n
an
2b n 31来自6. lim(1 cos x)ln x
。
x0
。 。
7. x 0 时， 1 tan x 1 sin x 无穷小的阶为
。
8.
函数
f
(x)
x2 1 x 1
,
x 1 在 x 1处间断点的类型为
2, x 1
9.
设
f
(x)
1 ex x
x 0 ，则 f (0)
。
1 x 0
10.
设
f
可导，函数 y
f
dx (sin x) 存在可导的反函数，则
dy
11.
函数
y
y( x)
由参数方程
x
y
t t
sin t cos t
给出，其微分
dy
。
。 。
12. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 100) ，则 f '(0)
微积分I(第一层次)期中试题参考答案

微积分I(第一层次)期中试题参考答案


……………………
1 n 1 n 1
1 1 1 把上述不等式相加，得 1 2 3 n ln n 1 2 1 而 an 1 1 2 3 1 n 1
ln n 1 n 0 ，所以 {an } 下方有界. 故 lim an 存在.
n
1 1 e
x x 1
，试确定 f ( x ) 的间断点及其类型.
解： x 0, x 1 为间断点. 因为 f (1 ) 0, f (1 ) 1 ，所以 1 为跳跃间断点.

又因为 f (0 ) , f (0 ) ，所以 0 为无穷型间断点.
1 1 八、 （8 分） （1）对任意正整数 n ，证明： n1 1 ln(1 n ) n ; 1 1 （2）令 an 1 1 2 3 n ln n ，证明： lim an 存在. n
当 0 | x 2 | ，有
n 4
2. 求极限： lim n 4 .
n
解： 4
n
lim 4 =4. 所以由夹逼定理， 得原式= 4 . n 4 4 n 4 n 2 ( n 5). 而 lim 4 n 2 =4 ，
n n 2/ x x 0
3. 求极限： lim(1 2 x) 解：原式= exp(lim
f (0) lim
a (sin x x cos x) sin x a lim ( cos x ) 2a. x 0 x 0 x x
由题意，当 a 2 时， f (0) f (0), 所以 f (0) 4. 七、 （8 分）设 f ( x )



1
x

1
I lim