四种命题与充要条件

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第2课四种命题和充要条件【自主学习】第2课四种命题和充要条件(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-1P8习题1改编)命题：“若x2<1，则-1<x<1”的逆否命题是. 【答案】若x≥1或x≤-1，则x2≥12.(选修2-1P7练习改编)命题“若x<0，则x2>0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中正确命题的个数为.【答案】2【解析】原命题为真，所以逆否命题为真；逆命题为“若x2>0，则x<0”为假命题，所以否命题为假.3.(选修2-1P20习题改编)判断下列命题的真假.(填“真”或“假”)(1)命题“在△ABC中，若AB>AC，则C>B”的否命题为命题.(2)命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题为命题.【答案】(1)真(2)假4.(选修2-1P9习题4(2)改编)“sin α=sin β”是“α=β”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“ 充要”或“ 既不充分也不必要”)【答案】必要不充分5.(选修2-1P20习题改编)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则r是q的条件，p是q的条件.【答案】充要必要【解析】q⇒s⇒r⇒q，所以r是q的充要条件；q⇒s⇒r⇒p，所以p是q的必要条件.1.记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p”，逆否命题为“若非q则非p”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数.2.对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件；当它是假命题时，记作p⇒/q，称p是q的非充分条件，q是p的非必要条件.3.①若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；②若p⇒/q，且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件，记作p⇔q；④若p⇒/p，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).【要点导学】要点导学各个击破命题真假的判断例1在△ABC中，已知命题p：若C=60°，则sin2A+sin2B-sin A sin B=sin2C.(1)求证：命题p是真命题；(2)写出命题p的逆命题，判断逆命题的真假，并说明理由.【思维引导】(1)利用正弦定理将待证式转化为a2+b2-ab=c2，然后利用余弦定理即证；(2)分清命题p的条件与结论，正确地对原命题的条件和结论进行互换或否定.【解答】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)因为C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos 60°，即c2=a2+b2-ab.由正弦定理sin a A =sin b B =sin cC ， 得sin 2C=sin 2A+sin 2B-sin A sin B. 故命题p 是真命题.(2)命题p 的逆命题：在△ABC 中， 若sin 2A+sin 2B-sin A sin B=sin 2C ，则C=60°. 它是真命题.证明如下：由sin 2A+sin 2B-sin A sin B=sin 2C 和正弦定理得c 2=a 2+b 2-ab.而由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C ，得cos C=12. 因为0°<C<180°，所以C=60°.【精要点评】对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假.变式 给出以下四个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤-1，则x 2+x+q=0有实数根”的逆否命题； ④若a+b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数. 其中真命题是 .(填序号) 【答案】①③【解析】①显然正确；②不全等的三角形的面积不相等，故②不正确；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确；④若a+b 是偶数，则整数a ，b 都是偶数或都是奇数，故④不正确.【精要点评】对命题真假的判断，正确的命题要加以论证；不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式.在判断命题真假的过程中，要注意简单命题与复合命题之间的真假关系；要注意四种命题之间的真假关系.原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.因此，四种命题中真命题的个数只能是0，2或4.充要条件的判断例2从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中，选出一种适当的填空.(1)(2015·泰安期末)已知a∈R，则“a2<a”是“a<1”的条件.(2)(2015·保定期末)若集合A={0，1}，B={-1，a2}，则“A∩B={1}”是“a=1”的条件.【思维引导】(1)找到不等式a2<a的解集为(0，1)，然后根据“小范围能推大范围，大范围推不出小范围”进行判断.(2)判断充要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足；若由结论能推出条件，则必要性满足.【答案】(1)充分不必要(2)必要不充分【解析】(1)因为由a2<a，可得0<a<1，所以“a2<a”是“a<1”的充分不必要条件.(2)若A∩B={1}，则a2=1，a=±1，所以充分性不满足，必要性满足，故“A∩B={1}”是“a=1”的必要不充分条件.【精要点评】在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个是条件，哪个是结论；其次，要从两个方面，即“充分”与“必要”分别考查.判定时，对于有关范围的问题也可以从集合观点看，如p，q对应的范围为集合A，B，若AB，则A是B 的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A，B互为充要条件.变式从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中，选出一种适当的填空.(1)“x=2kπ+π4(k∈Z)”是“tan x=1”的；(2)“22x y >⎧⎨>⎩，”是“44x y xy +>⎧⎨>⎩，”的 ；(3)“m<12”是“一元二次方程x 2+x+m=0有实数解”的 ； (4)对于数列{a n }，“a n+1>|a n |(n ∈N *)”是“数列{a n }为递增数列”的 ；(5)“函数f (x )=x 3+2x 2+mx+1在(-∞，+∞)上单调递增”是“m ≥289x x +对任意的x>0恒成立”的 .【思维引导】判定p 是q 的什么条件，实际上就是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，这部分内容经常与其他知识点相结合考查.【答案】(1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充分不必要条件 (5)充要条件【解析】(1)因为x=2k π+π4(k ∈Z )⇒tan x=1，但反过来不一定成立，即tan x=1⇒x=k π+π4(k ∈Z )，(2)因为x>2，y>2，根据不等式的性质易得x+y>4，xy>4，但反过来不一定成立，如x=13，y=24.(3)一元二次方程x 2+x+m=0有实数解⇔m ≤14，因为m ≤14⇒m<12，反之不成立，所以是必要不充分条件.(4)因为a n+1>|a n |(n ∈N *)， 所以当n ≥2时，a n >0， 即当n ≥2时，a n+1>a n . 若a 1≥0，有a 2>|a 1|=a 1，若a 1<0，a 2>a 1显然成立，充分性得证.当数列{a n }为递增数列时，设a n =1-2n⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a 2>|a 1|不成立.(5)函数f (x )=x 3+2x 2+mx+1在(-∞，+∞)上单调递增⇔f'(x )=3x 2+4x+m ≥0恒成立⇔Δ=16-12m ≤0⇔m ≥43.m ≥289xx +对任意x>0恒成立⇔m ≥2max 89x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，又289x x +=89x x +≤892x x ⋅=43，所以m ≥43. 【精要点评】在判断时注意反例的应用；在判断“若p 则q ”较繁琐时，可以利用它的逆否命题“若非q 则非p ”，判断其是否正确；有时将某些条件转化为与它等价的条件再与另一条件进行判断会更简单 .结合充要条件求参数例3 已知集合M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x-a )(x-8)≤0}. (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的充要条件； (2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的一个充分不必要条件； (3)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P={x|5<x ≤8}的一个必要不充分条件. 【思维引导】求a 的取值范围使它成为M ∩P 的不同条件，可借助集合的观点，根据要求，求出成立时a 的取值范围.【解答】(1)由M ∩P={x|5<x ≤8}，得-3≤a ≤5， 因此M ∩P={x|5<x ≤8}的充要条件是-3≤a ≤5.(2)即在集合{a|-3≤a ≤5}中取一个值，如取a=0，此时必有M ∩P={x|5<x ≤8}； 反之，M ∩P={x|5<x ≤8}未必有a=0，故a=0是所求的一个充分不必要条件. (3)即求一个集合Q ，使{a|-3≤a ≤5}是集合Q 的一个真子集.如果{a|a≤5}，那么未必有M∩P={x|5<x≤8}，但是M∩P={x|5<x≤8}时，必有a≤5，故a≤5是所求的一个必要不充分条件.【精要点评】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.变式(2015·南通期中)若不等式x-1x>0成立的充分不必要条件是x>a，则实数a的取值范围是.【答案】[1，+∞)【解析】由不等式x-1x>0，得(1)(-1)x xx>0，得-1<x<0或x>1.由充分不必要条件的含义可知{x|x>a}为不等式解集的真子集，进而得到a≥1.充要条件的证明例4已知a，b，c都是实数，求证：方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.【思维引导】证明充分性，由“ac<0”推出“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”，证明必要性是由“方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根”推出“ac<0”，主要根据判别式、一元二次方程的根与系数的关系进行论证.【解答】设原方程的两根分别为x1，x2.①充分性：由ac<0，得a，c异号，所以Δ=b2-4ac>0，且x1x2=ca<0.故方程ax2+bx+c=0有一正一负两个实根.所以ac<0是原方程有一正一负两个实根的充分条件.②必要性：若方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根，不妨设x1>0，x2<0，则x1x2<0，即ca<0，所以a，c异号，即ac<0.故ac<0是原方程有一正一负两个实根的必要条件.综上，ac<0是原方程有一正一负两个实根的充要条件.【精要点评】充要条件的证明应注意：(1)一般地，条件已知，证明结论成立是充分性，结论已知，推出条件成立是必要性.(2)有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论.变式设数列{a n}，{b n}，{c n}满足：b n=a n-a n+2，c n=a n+2a n+1+3a n+2(n=1，2，3，…)，求证：数列{a n}为等差数列的充要条件是{c n}为等差数列且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).【解答】必要性：设{a n}是公差为d1的等差数列，则b n+1-b n=(a n+1-a n+3)-(a n-a n+2)=(a n+1-a n)-(a n+3-a n+2)=d1-d1=0，所以b n≤b n+1(n=1，2，3，…)成立.又c n+1-c n=(a n+1-a n)+2(a n+2-a n+1)+3(a n+3-a n+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1，2，3，…)，所以数列{c n}为等差数列.充分性：设数列{c n}是公差为d2的等差数列，且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).因为c n=a n+2a n+1+3a n+2，①所以c n+2=a n+2+2a n+3+3a n+4，②①-②，得c n-c n+2=(a n-a n+2)+2(a n+1-a n+3)+3(a n+2-a n+4)=b n+2b n+1+3b n+2.因为c n-c n+2=(c n-c n+1)+(c n+1-c n+2)=-2d2，所以b n+2b n+1+3b n+2=-2d2，③从而有b n+1+2b n+2+3b n+3=-2d2，④④-③，得(b n+1-b n)+2(b n+2-b n+1)+3(b n+3-b n+2)=0.⑤因为b n+1-b n≥0，b n+2-b n+1≥0，b n+3-b n+2≥0，所以由⑤得b n+1-b n=0(n=1，2，3，…).由此不妨设b n=d3(n=1，2，3，…)，则a n-a n+2=d3(常数).由此c n=a n+2a n+1+3a n+2⇒c n=4a n+2a n+1-3d3，从而c n+1=4a n+1+2a n+2-3d3，两式相减得c n+1-c n=2(a n+1-a n)-2d3，因此a n+1-a n=12(cn+1-c n)+d3=12d2+d3(常数)(n=1，2，3，…)，所以数列{a n}为等差数列.综上，数列{a n}为等差数列的充要条件是{c n}为等差数列且b n≤b n+1(n=1，2，3，…).1.(2014·安徽卷)“x<0”是“ln(x+1)<0”的条件.【答案】必要不充分【解析】由ln(x+1)<0，得0<1+x<1，所以-1<x<0，而(-1，0)是(-∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.2.(2015·安徽卷)设命题p：1<x<2，q：2x>1，则p是q的条件.【答案】充分不必要【解析】由q：2x>1=20，解得x>0，所以p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件.3.(2015·南通模考)已知集合M={x|x-2<0}，N={x|x<a}，若“x∈M”是“x∈N” 的充分条件，则实数a的取值范围是.【答案】[2，+∞)【解析】由题意得M={x|x-2<0}={x|x<2}，因为“x∈M”是“x∈N”的充分条件，所以M⊆N，所以a≥2.4.求证：方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根的充要条件是0<m<1 3.【解答】①充分性：因为0<m<13，所以方程mx2-2x+3=0的判别式Δ=4-12m>0，且3m>0，所以方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根.②必要性：若方程mx2-2x+3=0有两个同号且不相等的实数根，则有124-1203mx xm∆=>⎧⎪⎨=>⎪⎩，，所以0<m<13.综上，得证.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第3~4页.【检测与评估】第2课四种命题和充要条件一、填空题1.命题“若a>b，则a+1>b”的逆否命题是.2.(2014·启东中学)若使“x≥1”与“x≥a”恰有一个成立的充要条件为{x|0≤x<1}，则实数a的值是.3.(2015·重庆卷)“x>1”是“lo12g(x+2)<0”的条件.4.设集合S={0，a}，T={x∈Z|x2<2}，则“a=1”是“S⊆T”的条件.5.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是.6.设n∈N*，则一元二次方程x2-4x+n=0有整数解的充要条件是n=.7.已知命题p：|x|>a，q：-12-1xx>0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是.8.(2015·郑州质检)给定方程：12x⎛⎫⎪⎝⎭+sin x-1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数根；④若x0是方程的实数根，则x0>-1.其中正确的命题是.(填序号)二、解答题9.(2014·惠州一模)已知集合A=2331224|y y x x x⎧⎫⎡⎤=-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，，，B={x|x+m2≥1}.若命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围.10.设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.11.已知函数f(x)=4sin2π4x⎛⎫+⎪⎝⎭-23cos 2x-1，且给定命题p：x<π4或x>π2，x∈R.若命题q：-2<f(x)-m<2，且¬p是q的充分条件，求实数m的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知集合A={x|x2+2x-3≤0}，B={x|(x-2a)[x-(a2+1)]≤0}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.13.(2015·黄山质检)在平面直角坐标系中，定义两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为d(P，Q)=|x1-x2|+|y1-y2|.现有以下命题：①已知两点P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)为定值；②原点O到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)的最小值为2 2；③若PQ表示P，Q两点间的距离，那么PQ≥22d(P，Q)；其中为真命题的是.(填序号) 【检测与评估答案】第2课 四种命题和充要条件1.若a+1≤b ，则a ≤b2.0 【解析】由题意可得1x x a <⎧⎨≥⎩， 或1x x a ≥⎧⎨<⎩， 成立的充要条件为{x|0≤x<1}，所以a=0.3.充分不必要 【解析】lo 12g (x+2)<0⇔x+2>1⇔x>-1，故“x>1”是“lo12g (x+2)<0”的充分不必要条件.4.充分不必要 【解析】当a=1时，S={0，1}，又T={-1，0，1}，则S ⊆T ，所以充分性成立；当S ⊆T 时，a=1或-1，所以必要性不成立.5.[-3，0] 【解析】因为命题“ax 2-2ax-3>0不成立”是真命题，则有a=0或204120a a a <⎧⎨+≤⎩，，解得a ∈[-3，0].6. 3或4 【解析】由x 2-4x+n=0，得(x-2)2=4-n ，即x=2±4-n .因为n ∈N *，方程要有整数解，所以n=3或4，故当n=3或4时方程有整数解.7. (-∞，0) 【解析】由命题p ：|x|>a ⇔R 0-0x a x a x a a ∈<⎧⎨<>≥⎩，，或，，q ：-12-1x x >0⇔x<12或x>1.因为p 是q 的必要不充分条件，所以使命题q 成立的不等式的解集是使命题p 成立的不等式解集的子集，所以a<0.8.②③④ 【解析】由题意可知方程12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin x-1=0的解等价于函数y=1-12x⎛⎫ ⎪⎝⎭与y=sin x 的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中分别作出它们的图象如图所示.(第8题)由图象可知：①该方程存在小于0的实数解，故①错误；②该方程有无数个实数解，故②正确；③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数解，故③正确；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>-1，故④正确.9.由y=x 2-32x+1，配方得y=23-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+716.因为x ∈324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以y min =716，y max =2，即y ∈7216⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以A=7|216y y ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 由x+m 2≥1，得x ≥1-m 2，B={x|x ≥1-m 2}. 因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，所以1-m 2≤716，解得m ≥34或m ≤-34.故实数m 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪34∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.10.设m 是两个方程的公共根，显然m ≠0. 由题设知m 2+2am+b 2=0， ① m 2+2cm-b 2=0， ② 由①+②得2m (a+c+m )=0，所以m=-(a+c)，③将③代入①得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0，化简得a2=b2+c2，所以所给的两个方程有公共根的必要条件是a2=b2+c2.下面证明充分性.因为a2=b2+c2，所以方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0，它的两个根分别为x1=-(a+c)，x2=c-a.同理，方程x2+2cx-b2=0的两根分别为x3=-(a+c)，x4=a-c.因为x1=x3，所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根.综上所述，方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是a2=b2+c2.11.由q可得()-2() 2. m f xm f x>⎧⎨<+⎩，因为¬p是q的充分条件，所以在π4≤x≤π2的条件下，()-2()2m f xm f x>⎧⎨<+⎩，恒成立.由已知得，f(x)=2π1cos22x⎡⎤⎛⎫-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-23cos 2x-1=2sin 2x-23cos 2x+1=4sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭+1.由π4≤x≤π2，知π6≤2x-π3≤2π3，所以3≤4sinπ2-3x⎛⎫⎪⎝⎭+1≤5.故当x=5π12时，f(x)max=5，当x=π4时，f(x)min=3，所以只需5-232mm>⎧⎨<+⎩，成立，即3<m<5.所以m的取值范围是(3，5).12.3--2∞⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】因为集合A={x|x2+2x-3≤0}={x|-3≤x≤1}，B={x|2a≤x≤a2+1}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A B，所以2112-3aa⎧+≥⎨≤⎩，，且等号不能同时取得，解得a≤-32，故实数a的取值范围是3--2∞⎛⎤⎥⎝⎦，.13.①③【解析】已知两点P(2，3)，Q(sin2α，cos2α)，则d(P，Q)=|2-sin2α|+|3-cos2α|=2-sin2α+3-cos2α=4，所以①正确；设直线上任意一点为(x，x+1)，则原点O 到直线x-y+1=0上任意一点P的直角距离d(O，P)=|x|+|x+1|≥|x+1-x|=1，即其最小值为1，所以命题②错误；由基本不等式a2+b2≥12(a+b)2得PQ=221212(-)(-)x x y y+≥22(|x1-x2|+|y1-y2|)=22d(P，Q)，所以命题③成立，综上所述，正确的命题为①③.。

q”成立的必要但不充分条件.求m的取值范围.
解析 p:-4≤x≤8,从而p为真时x的取值范围是集合P=[-4,8]. 同理可得,q为真时x的取值范围是集合Q=[1-m,1+m](m>0). 因为“非p”是“非q”成立的必要但不充分条件,所以“若非q,则 非p”是真命题,即“若p,则q”为真,“若q,则p”为假,故P⫋Q, 从而
1 m 4, 1 m 4, 或 解得m≥7. 1 m 8 1 m 8,
故m的取值范围是[7,+∞). 评析 一般地,在涉及参数的取值范围时,常常要从集合的包含、相等 关系来考虑,这是解此类问题的关键.本题中要特别注意端点值的取舍, 处理不当易出现漏解或增解现象.
例1 (1)命题“a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是 . (2)下列命题是假命题的是 (填序号).
①命题“若x≠1,则x2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x2-3x+2=0,则x=1”;
②若0<x< ,xsin x<1,则xsin2x<1;
2
③互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是两条互相平行的
p是的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
3.利用等价转化法判断:A⇒B与¬ B⇒¬ A,B⇒A与¬ A⇒¬ B,A⇔B与¬ B ⇔¬ A是等价关系.一般地,对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题, 运用等价法. 例2 (1)(2016江苏南京、盐城一模,7)设函数f(x)=cos(2x+φ),则“f(x)为 奇函数”是“φ= ”的
“充要”“既不充分也不必要”).
解析 (1)当φ= 时,f(x)=-sin 2x为奇函数,故必要性成立;而当φ= +2π

1．充分条件、必要条件与充要条件(1)“若p ，则q ”形式的命题为真时，记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． (2)如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，q 也是p 的充要条件．p 是q 的充要条件又常说成q 当且仅当p ，或p 与q 等价．2．命题的四种形式及真假关系互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(2)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ )(3)命题“α＝π4，则tan α＝1”的否命题是“若α＝π4，则tan α≠1”．( × ) (4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( √ )(5)若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件．( √ )1．(2015·重庆)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件．因此选B.2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B .但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确．3．(教材改编)命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”C ．“若x >y ，则x 2>y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”答案 B解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是“若x ≤y ，则x 2≤y 2”．4．已知命题p ：若x ＝－1，则向量a ＝(1，x )，与b ＝(x ＋2，x )共线，则在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4答案 B解析 向量a ，b 共线⇔x －x (x ＋2)＝0⇔x ＝0或x ＝－1，∴命题p 为真，其逆命题为假，故在命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.5．(教材改编)下列命题：①x ＝2是x 2－4x ＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；④ab ≠0是a ≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是________(填序号)．答案 ②④题型一 充分条件、必要条件的判定例1 (1)(2015·四川)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a ＞3b ＞3”是“log a 3＜log b 3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(2)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0答案 (1)B (2)B解析 (1)根据指数函数的单调性得出a ，b 的大小关系，然后进行判断．∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件． (2)∵y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.思维升华 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．(1)(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p 是q 的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)A (2)A解析 (1)∵sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0；cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A.(2)当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A. 题型二 充分必要条件的应用例2 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P .则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．引申探究1．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．2．本例条件不变，若x ∈(綈P )是x ∈(綈S )的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10. ∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．(1)ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是( )A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)C (2)⎣⎡⎦⎤0，12 解析 (1)方法一 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根．当a ≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1.设此时方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a， 当只有一个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0⇒a <0； 当有两个负实根时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，－2a<0，⇒0<a ≤1.1a >0综上所述，a ≤1. 方法二 (排除法)当a ＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A ，D ；当a ＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.(2)命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝{x |x >1或x <12}， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a <12， ∴0≤a ≤12. 题型三 命题的四种形式例3 (1)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数“的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，假，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假 答案 (1)C (2)B解析 (1)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．(2)先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2， ∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B.思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p ，则q “形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( ) A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)(2016·承德月考)已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A ．①③B ．②C ．②③D ．①②③答案 (1)C (2)A解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”． (2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确，故选A.1．等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ：(a －1)2≤1，q ：∀x ∈R ，ax 2－ax ＋1≥0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]解析 (1)由(a －1)2≤1解得0≤a ≤2，∴p ：0≤a ≤2.当a ＝0时，ax 2－ax ＋1≥0对∀x ∈R 恒成立；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝a 2－4a ≤0得0<a ≤4， ∴q ：0≤a ≤4.∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．∴{x |x >a }{x |x <－3或x >1}，∴a ≥1.答案 (1)A (2)A温馨提醒 (1)本题用到的等价转化①将綈p ，綈q 之间的关系转化成p ，q 之间的关系．②将条件之间的关系转化成集合之间的关系．(2)对一些复杂、生疏的问题，利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题，在解题中经常用到．[方法与技巧]1．充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．2．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．[失误与防范]1．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言．2．当一个命题有大前提而要写出命题的其他两种形式时，必须保留大前提．3．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案 B解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．(2015·天津)设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，所以1＜x ＜2⇒1＜x ＜3；但1＜x ＜3⇒/ 1＜x ＜2，故选A.3．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．4．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”答案 C解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.5．设四边形ABCD 的两条对角线为AC ，BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD 为菱形”⇒“AC ⊥BD ”，所以“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC ⊥BD ”⇒“四边形ABCD 为菱形”，所以“四边形ABCD 为菱形”不是“AC ⊥BD ”的必要条件．综上，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．6．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分不必要的条件B ．必要不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件答案 C解析 由维恩图易知充分性成立．反之，A ∩B ＝∅时，由维恩图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件．7．(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，∴m ∥β是α∥β的必要而不充分条件．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1答案 A解析 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1.观察选项，根据集合间关系得{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}，故答案选A.9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．10．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. 11．给定两个命题p 、q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的________条件．答案 充分不必要解析 若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ⇒綈p 但綈p ⇒/ q ，其逆否命题为p ⇒綈q 但綈q ⇒p ，所以p 是綈q 的充分不必要条件． 12．下列命题：①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件；④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数．其中正确命题的序号是________．答案 ①③④解析 对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，所以a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．B 组 专项能力提升(时间：15分钟)13．设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”．若a>b≥0，则a2>b2，即a|a|>b|b|；若a≥0>b，则a|a|≥0>b|b|；若0>a>b，则a2<b2，即－a|a|<－b|b|，从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”．若a，b≥0，则由a|a|>b|b|，得a2>b2，故a>b；若a，b≤0，则由a|a|>b|b|，得－a2>－b2，即a2<b2，故a>b；若a≥0，b<0，则a>b.综上，“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件．14．(2015·湖北)设a1，a2，…，a n∈R，n≥3.若p：a1，a2，…，a n成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n)2，则()A．p是q的必要条件，但不是q的充分条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 B解析若p成立，设a1，a2，…，a n的公比为q，则(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝a21(1＋q2＋…＋q2n －4)·a22(1＋q2＋…＋q2n－4)＝a21a22(1＋q2＋…＋q2n－4)2，(a1a2＋a2a3＋…＋a na n)2＝(a1a2)2(1＋q2＋…＋q2n－4)2，－1故q成立，故p是q的充分条件．取a1＝a2＝…＝a n＝0，则q成立，而p不成立，故p不是q的必要条件，故选B.15．(2015·浙江)设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A 中元素的个数，命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)，()A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立答案 A解析命题①成立，若A≠B，则card(A∪B)>card(A∩B)，所以d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)>0.反之可以把上述过程逆推，故“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；命题②成立，由维恩图，知card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，d(A，C)＝card(A)＋card(C)－2card(A∩C)，d(B，C)＝card(B)＋card(C)－2card(B∩C)，∴d(A，B)＋d(B，C)－d(A，C)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)－[card(A)＋card(C)－2card(A∩C)]＝2card(B)－2card(A∩B)－2card(B∩C)＋2card(A∩C)＝2card(B)＋2card(A∩C)－2[card(A∩B)＋card(B∩C)]≥2card(B )＋2card(A ∩C )－2[card((A ∪C )∩B )＋card(A ∩B ∩C )]＝[2card(B )－2(card(A ∪C )∩B )]＋[2card(A ∩C )－2card(A ∩B ∩C )]≥0，∴d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )得证．16．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.17．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立，反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”充分不必要条件．18．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件；③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件；④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，③不正确，④正确．。

专题02 四种命题和充要条件【名师预测】江苏高考对命题、充要条件等的考查涉及面较广，常与其他知识结合起来综合考查，主要是判断命题的真假和命题之间的关系。

在江苏高考中主要是以填空题的形式出现，难度一般不大，常与函数、不等式、三角函数、向量、立体几何等知识点结合起来综合考查。

【知识精讲】1．命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充分条件与必要条件p ⇒q 且q ppq 且q ⇒p p ⇔q p q 且qp【典例精练】考点一 四种命题的关系及其真假例1． 命题p ：“若a b >，则11a b<”的否命题是________（填：真、假）命题．例2． 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是________________．例3． 给出以下四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 考点二 充分、必要条件的判定例4．“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的________条件． 例5．设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的______条件． 考点三 充分、必要条件的应用例6．已知p ：x ≥a ，q ：x 2－2x －3≥0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 例7．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．例8． 若关于x 的不等式x 2－2x ＋3－a ＜0成立的一个充分条件是1＜x ＜4，则实数a 的取值范围是________．【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏如东高级中学高三期中）命题“若 ，则 ”的否命题为___________． 2．（2019·江苏连云港期末）命题“若0x <，则20x >”的逆否命题为____. 3．（2019·江苏如东高级中学高三期中）“ ”是“”的________条件.4．（2019·江苏省如皋中学高考模拟）“a =b ”是=的_________条件.5．（2018·江苏扬州高三期中）已知条件p ：x ＞a ，条件q ：．若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_______．6．（2018·江苏江阴期中）若“ ”是“ ”成立的充分不必要条件，则实数 的取值范围是____________．7．（2019·江苏盐城高三期中）设函数，则k ＝﹣1是函数 为奇函数的_______条件（选填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”之一）8．（2018·江苏清江中学高考模拟）下列有关命题的说法正确的是___（请填写所有正确的命题序号）． ①命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”； ②命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题； ③条件 ，条件 ，则 是 的充分不必要条件；④已知 时， ，若 是锐角三角形，则 .9．（2019·江苏扬州中学月考）在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，则“cosA>sinB”是“△ABC 是钝角三角形”的_____条件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”)10．（2019·江苏启东中学月考）已知命题p ：()()310x x -+>，命题q ：()222100x x m m -+->>，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的范围是______． 二、解答题11．（2018·江苏常州期中）已知集合{}|22A x a x a =-≤≤+(0a >),{}2|340B x x x =+-≤.(1)若3a =，求A B ；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．12．(2019·南师大附中检测)设p ：实数x 满足x 2＋2ax －3a 2＜0(a ＞0)，q ：实数x 满足x 2＋2x －8＜0，且q 是p 的必要不充分条件，求a 的取值范围．。