第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．
(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．
1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？
提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．
2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？
提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必
要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．
1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )
A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．
5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3
解析：选A 由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.
[例1]
A．若x＞1，则x≤0
B．若x≤1，则x＞0
C．若x≤1，则x≤0
D．若x＜1，则x＜0
(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
[自主解答] (1)因为“x＞1”的否定为“x≤1”，“x＞0”的否定为“x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题为：“若x≤1，则x≤0”．
(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．
[答案] (1)C (2)C
【互动探究】
试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．
解：逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．
否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题．
【方法规律】
判断四种命题间关系的方法
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．
(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．
1．命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是( )
A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜b
B．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞b
C．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b
D．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b
解析：选C “且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”．
2．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题
C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题
D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题
解析：选A A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题；
B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题；
C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题；
D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．
[例2] (1)下列命题是真命题的是( )
A ．若1x ＝1y
，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1
C ．若x ＝y ，则x ＝y
D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2
(2)(2014·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：
①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；
③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；
④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线． 其中正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
[自主解答] (1)取x ＝－1排除B ；取x ＝y ＝－1排除C ；取x ＝－2，y ＝－1排除D ，故选A.
(2)对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故②错误；对于③，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.
[答案] (1)A (2)D
【方法规律】
命题的真假判断方法
(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．
(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．
