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核反应堆物理分析习题答案第四章1.试求边长为,,a b c （包括外推距离）的长⽅体裸堆的⼏何曲率和中⼦通量密度的分布。
设有⼀边长0.5,0.6a b m c m ===（包括外推距离）的长⽅体裸堆，0.043,L m =42610m τ-=?。
（1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为15000, 4.01f kW m -∑=，求中⼦通量密度分布。
解：长⽅体的⼏何中⼼为原点建⽴坐标系，则单群稳态扩散⽅程为：222222()0a a D k x y zφφφφφ∞++-∑+∑= 边界条件： (/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ===（以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺⼨已包含了外推距离）因为三个⽅向的通量拜年话是相互独⽴的，利⽤分离变量法：(,,)()()()x y z X x Y y Z z φ=将⽅程化为：22221k X Y ZX Y Z L∞-++=- 设：222222,,x y z X Y Z B B B X Y Z=-=-=- 想考虑X ⽅向，利⽤通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+代⼊边界条件：1cos()0,1,3.5,...2x nx x a n A B B n B a aππ=?==?=同理可得：0(,,)cos()cos()cos()x y z x y z aaaπππφφ=其中0φ是待定常数。
其⼏何曲率：22222()()()106.4g B m a b cπππ-=++=（1）应⽤修正单群理论，临界条件变为：221gk B M∞-= 其中：2220.00248M L m τ=+=1.264k ∞?=（2）只须求出通量表达式中的常系数0φ3222002222cos()cos()cos()()a bc a b c f f f f f f VP E dV E x dx y dy z dz E abc a b c πππφφφπ---=∑=∑=∑??3182102() 1.00710f f P m s E abcπφ--?==?∑2.设⼀重⽔—铀反应堆的堆芯222221.28, 1.810, 1.2010k L m m τ--∞==?=?。
第四章1.试求边长为,,a b c （包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。
设有一边长0.5,0.6a b m c m ===（包括外推距离）的长方体裸堆，0.043,L m =42610m τ-=⨯。
（1）求达到临界时所必须的k ∞；（2）如果功率为15000, 4.01f kW m -∑=，求中子通量密度分布。
解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：222222()0a a D k x y zφφφφφ∞∂∂∂++-∑+∑=∂∂∂ 边界条件： (/2,,)(,/2,)(,,/2)0a y z x b z x y c φφφ===（以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离） 因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法：(,,)()()()x y z X x Y y Z z φ=将方程化为：22221k X Y ZX Y Z L∞-∇∇∇++=- 设：222222,,x y z X Y Z B B B X Y Z∇∇∇=-=-=- 想考虑X 方向，利用通解：()cos sin x x X x A B x C B x =+代入边界条件：1cos()0,1,3.5,...2x nx x a n A B B n B a aππ=⇒==⇒=同理可得：0(,,)cos()cos()cos()x y z x y z aaaπππφφ=其中0φ是待定常数。
其几何曲率：22222()()()106.4g B m a b cπππ-=++=（1）应用修正单群理论，临界条件变为：221g k B M∞-= 其中：2220.00248M L m τ=+=1.264k ∞⇒=（2）只须求出通量表达式中的常系数0φ3222002222cos()cos()cos()()a bc a b c f f f f f f VP E dV E x dx y dy z dz E abc a b c πππφφφπ---=∑=∑=∑⎰⎰⎰⎰3182102() 1.00710f f P m s E abcπφ--⇒==⨯∑2.设一重水—铀反应堆的堆芯222221.28, 1.810, 1.2010k L m m τ--∞==⨯=⨯。
核反应堆物理分析答案第一章1-1.某压水堆采用UO 2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。
试计算：当中子能量为0.0253eV 时，UO 2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。
解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ=== 由289页附录3查得，0.0253eV 时：()0.00027b a O σ=以c 5表示富集铀内U -235与U 的核子数之比，ε表示富集度，则有：555235235238(1)c c c ε=+-151(10.9874(1))0.0246c ε-=+-=255283222M(UO )235238(1)162269.91000()() 2.2310()M(UO )Ac c UO N N UO m ρ-=+-+⨯=⨯==⨯所以，26352(5)() 5.4910()N U c N UO m -==⨯ 28352(8)(1)() 2.1810()N U c N UO m -=-=⨯2832()2() 4.4610()N O N UO m -==⨯2112()(5)(5)(8)(8)()()0.0549680.9 2.18 2.7 4.460.0002743.2()()(5)(5)0.0549583.532.0()a a a a f f UO N U U N U U N O O m UO N U U m σσσσ--∑=++=⨯+⨯+⨯=∑==⨯=1-2.某反应堆堆芯由U -235,H 2O 和Al 组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。
解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时： (5)680.9a U b σ=由289页附录3查得，0.0253eV 时：112() 1.5,() 2.2a a Al m H O m --∑=∑=,()238.03,M U =33()19.0510/U kg m ρ=⨯可得天然U 核子数密度283()1000()/() 4.8210()A N U U N M U m ρ-==⨯则纯U -235的宏观吸收截面：1(5)(5)(5) 4.82680.93279.2()a a U N U U m σ-∑=⨯=⨯=总的宏观吸收截面：120.002(5)0.6()0.398()8.4()a a a a U H O Al m -∑=∑+∑+∑=1-3、求热中子（0.025电子伏）在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞次数。
1、 H 和O 在1000eV 到1eV 能量范围内的散射截面似为常数，分别为20b 和38b.计算2H O 的ξ以及在2H O 和中子从1000eV 慢化到1eV 所需要的碰撞次数。
解：不难得出，2H O 的散射截面与平均对数能降应有下列关系： 222H O H O H H O O σξσξσξ⋅=⋅+⋅即2(2)2H O H O H H O O σσξσξσξ+⋅=⋅+⋅2(2)/(2)H O H H O O H O ξσξσξσσ=⋅+⋅+查附录3，可知平均对数能降： 1.000H ξ=，0.120O ξ=，代入计算得：2(220 1.000380.120)/(22038)0.571H O ξ=⨯⨯+⨯⨯+= 可得平均碰撞次数： 221ln()/ln(1.0001)/0.57112.0912.1C H ON E E ξ===≈2．设()f d υυυ''→表示L 系中速度速度υ的中子弹性散射后速度在υ'附近d υ'内的概率。
假定在C 系中散射是各向同性的，求()f d υυυ''→的表达式，并求一次碰撞后的平均速度。
解： 由： 212E m υ'=' 得： 2dE m d υυ'=''()(1)dE f E E dE Eα'→''=-- E E E α≤'≤()f d υυυ''→=22,(1)d υυαυ''-- αυυυ≤'≤()f d αυυυυυυ='→'' 322(1)3(1)υαα=--6.在讨论中子热化时，认为热中子源项()Q E 是从某给定分解能c E 以上能区的中子，经过弹性散射慢化二来的。
设慢化能谱服从()E φ/E φ=分布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由c E 以上能区，（1）散射到能量为()c E E E <的单位能量间隔内之中子数()Q E ;（2）散射到能量区间1gg g E E E -∆=-的中子数g Q 。
1-1.一出土文物中C-14与C-12质量之比为6.56:1013,而大气正常的C-14与C-12比值为1.2:1012,已知T1/2(C-14)为5730年,试计算该文物距今历史年代。
解：设大气正常的C-14与C-12的核密度分别为N 14与N 12，文物中C-14核密度为'14N ，则由衰变规律有：1/20.693/'1414t T N N e −×= 根据题意，0.693/57301314141212 6.56:10t M N e M N −×=，其中12141412121.2:10M N M N = 故有：130.693/57301213126.56:101.2:105730 6.56:10ln(5000()0.693 1.2:10t e t a −×==−×≈1-2.一核弹头中含有1.4kgU-235，其半衰期为7亿年，试计算100年后该弹头剩余U-235的质量（精确到8位有效数字）。
如果换为Pu-239，又会是多少（半衰期2.4万年）？Pu-240呢（半衰期6.6千年）？解：由衰变规律，有：'82352351/2exp(0.693/) 1.4exp(0.693100/710)m m t T =−×=−××=1.3999999 (kg) 同理可得：'4239239'3240240exp(0.693100/2.410) 1.3959795(kg)exp(0.693100/6.610) 1.3853748 (kg)m m m m =−××==−××=1-3.U-238半衰期为45亿年，当今地球上天然U-238与U-235质量份额分别为99.28%和0.72%。
试求45亿年前二者的质量份额。
解：设45亿年前地球上U-238和U-235质量分别为5m 和8m ，当今则为'5m 和'8m ， 由'5''58100%0.72%m m m ×=+，可得：''85137.89m m = 由衰变规律，有：'555,1/2exp(0.693/)m m t T =−×''555exp(0.69345/7)83.91m m m =×= 同理，''8852275.78m m m ==所以45亿年前U-235质量份额为55883.91100%23.3%83.91275.78m m m ×==++ 相应U-238质量份额为76.7%。
核反应堆物理分析答案第一章1-1.某压水堆采用UO 2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。
试计算：当中子能量为0.0253eV 时，UO 2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。
解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ=== 由289页附录3查得，0.0253eV 时：()0.00027b a O σ=以c 5表示富集铀内U-235与U 的核子数之比，ε表示富集度，则有：555235235238(1)c c c ε=+-151(10.9874(1))0.0246c ε-=+-=255283222M(UO )235238(1)162269.91000()() 2.2310()M(UO )Ac c UO N N UO m ρ-=+-+⨯=⨯==⨯所以，26352(5)() 5.4910()N U c N UO m -==⨯ 28352(8)(1)() 2.1810()N U c N UO m -=-=⨯2832()2() 4.4610()N O N UO m -==⨯2112()(5)(5)(8)(8)()()0.0549680.9 2.18 2.7 4.460.0002743.2()()(5)(5)0.0549583.532.0()a a a a f f UO N U U N U U N O O m UO N U U m σσσσ--∑=++=⨯+⨯+⨯=∑==⨯=1-2.某反应堆堆芯由U-235,H 2O 和Al 组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。
解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时： (5)680.9a U b σ=由289页附录3查得，0.0253eV 时：112() 1.5,() 2.2a a Al m H O m --∑=∑=,()238.03,M U =33()19.0510/U kg m ρ=⨯可得天然U 核子数密度283()1000()/() 4.8210()A N U U N M U m ρ-==⨯则纯U-235的宏观吸收截面：1(5)(5)(5) 4.82680.93279.2()a a U N U U m σ-∑=⨯=⨯=总的宏观吸收截面：120.002(5)0.6()0.398()8.4()a a a a U H O Al m -∑=∑+∑+∑=1-3、求热中子（0.025电子伏）在轻水、重水、和镉中运动时，被吸收前平均遭受的散射碰撞次数。
核反应堆物理分析答案第一章1-1.某压水堆采用UO 2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。
试计算：当中子能量为0.0253eV 时，UO 2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。
解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ=== 由289页附录3查得，0.0253eV 时：()0.00027b a O σ=以c 5表示富集铀内U-235与U 的核子数之比，ε表示富集度，则有：555235235238(1)c c c ε=+-151(10.9874(1))0.0246c ε-=+-=255283222M(UO )235238(1)162269.91000()() 2.2310()M(UO )Ac c UO N N UO m ρ-=+-+⨯=⨯==⨯所以，26352(5)() 5.4910()N U c N UO m -==⨯ 28352(8)(1)() 2.1810()N U c N UO m -=-=⨯2832()2() 4.4610()N O N UO m -==⨯2112()(5)(5)(8)(8)()()0.0549680.9 2.18 2.7 4.460.0002743.2()()(5)(5)0.0549583.532.0()a a a a f f UO N U U N U U N O O m UO N U U m σσσσ--∑=++=⨯+⨯+⨯=∑==⨯=1-2.某反应堆堆芯由U-235,H 2O 和Al 组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。
解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时： (5)680.9a U b σ=由289页附录3查得，0.0253eV 时：112() 1.5,() 2.2a a Al m H O m --∑=∑=,()238.03,M U =33()19.0510/U kg m ρ=⨯可得天然U 核子数密度283()1000()/() 4.8210()A N U U N M U m ρ-==⨯则纯U-235的宏观吸收截面：1(5)(5)(5) 4.82680.93279.2()a a U N U U m σ-∑=⨯=⨯=总的宏观吸收截面：120.002(5)0.6()0.398()8.4()a a a a U H O Al m -∑=∑+∑+∑=1-61171721111PV V 3.210P 2101.2510m 3.2105 3.210φφ---=∑⨯⨯⨯===⨯∑⨯⨯⨯⨯1-12题每秒钟发出的热量： 69100010 3.125100.32PTE J η⨯===⨯ 每秒钟裂变的U235：109193.12510 3.125109.765610()N =⨯⨯⨯=⨯个运行一年的裂变的U235：1927'N T 9.765610365243600 3.079710()N =⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯个 消耗的u235质量：27623A (1)'(10.18) 3.079710235m A 1.422810g 1422.8kg N 6.02210N α++⨯⨯⨯=⨯==⨯=⨯ 需消耗的煤： 9967E'110365243600m 3.398310Kg 3.398310Q 0.32 2.910⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯吨 1-10.为使铀的η＝1.7，试求铀中U-235富集度应为多少(E=0.0253eV)。
核反应堆物理分析答案第一章1-1.某压水堆采用UO 2作燃料，其富集度为2.43%（质量），密度为10000kg/m3。
试计算：当中子能量为0.0253eV 时，UO 2的宏观吸收截面和宏观裂变截面。
解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ=== 由289页附录3查得，0.0253eV 时：()0.00027b a O σ=以c 5表示富集铀内U-235与U 的核子数之比，ε表示富集度，则有：555235235238(1)c c c ε=+-151(10.9874(1))0.0246c ε-=+-=255283222M(UO )235238(1)162269.91000()() 2.2310()M(UO )Ac c UO N N UO m ρ-=+-+⨯=⨯==⨯所以，26352(5)() 5.4910()N U c N UO m -==⨯ 28352(8)(1)() 2.1810()N U c N UO m -=-=⨯2832()2() 4.4610()N O N UO m -==⨯2112()(5)(5)(8)(8)()()0.0549680.9 2.18 2.7 4.460.0002743.2()()(5)(5)0.0549583.532.0()a a a a f f UO N U U N U U N O O m UO N U U m σσσσ--∑=++=⨯+⨯+⨯=∑==⨯=1-2.某反应堆堆芯由U-235,H 2O 和Al 组成，各元素所占体积比分别为0.002,0.6和0.398，计算堆芯的总吸收截面(E=0.0253eV)。
解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时： (5)680.9a U b σ=由289页附录3查得，0.0253eV 时：112() 1.5,() 2.2a a Al m H O m --∑=∑=,()238.03,M U =33()19.0510/U kg m ρ=⨯可得天然U 核子数密度283()1000()/() 4.8210()A N U U N M U m ρ-==⨯则纯U-235的宏观吸收截面：1(5)(5)(5) 4.82680.93279.2()a a U N U U m σ-∑=⨯=⨯=总的宏观吸收截面：120.002(5)0.6()0.398()8.4()a a a a U H O Al m -∑=∑+∑+∑=1-6题1171721111PV V 3.210P 2101.2510m 3.2105 3.210φφ---=∑⨯⨯⨯===⨯∑⨯⨯⨯⨯1-7.有一座小型核电站，电功率为150MW ，设电站的效率为30%，试估算该电站反应堆额定功率运行一小时所消耗的铀-235数量。
每秒钟发出的热量： 6815010 5.00100.30PTE J η⨯===⨯ 每秒钟裂变的U235：10193.12510 1.5610()N E =⨯⨯=⨯个运行1h 的裂变的U235：1922'N T 1.56103600 5.61610()N =⨯=⨯⨯=⨯个 消耗的u235质量：2223A (1)'(10.18) 5.61610235m A 25.9g 0.0259kg N 6.02210N α++⨯⨯⨯=⨯===⨯1-10.为使铀的η＝1.7，试求铀中U-235富集度应为多少(E=0.0253eV)。
解：由18页表1-3查得，0.0253eV 时：(5)680.9,(5)583.5,(8) 2.7a f a U b U b U b σσσ===,(5) 2.416v U =由定义易得：(5)(5)(5)(5)(5)(5)(8)(8)ff aa a v U v U N U U N U U N U U σησσ⨯∑==∑+(5)(5)(5)(8)((5))(8)f a a v U U N U N U U U σσση⇒=-为使铀的η＝1.7， (5) 2.416583.5(8)(680.9)54.9(5)2.7 1.7N U N U N U ⨯=-= 富集度235(5)235100% 1.77%235(5)238(8)23523854.9N U N U N U ε=⨯==++⨯1-12题每秒钟发出的热量： 69100010 3.125100.32PTE J η⨯===⨯ 每秒钟裂变的U235：109193.12510 3.125109.765610()N =⨯⨯⨯=⨯个运行一年的裂变的U235：1927'N T 9.765610365243600 3.079710()N =⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯个 消耗的u235质量：27623A (1)'(10.18) 3.079710235m A 1.422810g 1422.8kg N 6.02210N α++⨯⨯⨯=⨯==⨯=⨯需消耗的煤： 9967E'110365243600m 3.398310Kg 3.398310Q 0.32 2.910⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯吨. 一核电站以富集度20%的U-235为燃料，热功率900MW,年负荷因子(实际年发电量/额定年发电量)为0.85, U-235的俘获－裂变比取0.169,试计算其一年消耗的核燃料质量。
解：该电站一年释放出的总能量=616900100.8536006024365 2.412510J ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯对应总的裂变反应数=16266192.4125107.541020010 1.610-⨯=⨯⨯⨯⨯ 因为对核燃料而言：t f γσσσ=+核燃料总的核反应次数=26267.5410(10.169)8.8110⨯⨯+=⨯消耗的U-235质量=26238.8110235344()6.02101000kg ⨯⨯=⨯⨯ 消耗的核燃料质量=344/20%1720()kg =第二章.某裂变堆，快中子增殖因数1.05，逃脱共振俘获概率0.9，慢化不泄漏概率0.952，扩散不泄漏概率0.94，有效裂变中子数1.335，热中子利用系数0.882，试计算其有效增殖因数和无限介质增殖因数。
解： 无限介质增殖因数： 1.1127k pf εη∞== 不泄漏概率：0.9520.940.89488s d Λ=ΛΛ=⨯= 有效增殖因数：0.9957eff k k ∞=Λ=2-1.H 和O 在1000eV 到1eV 能量范围内的散射截面近似为常数，分别为20b 和38b 。
计算H 2O 的ξ以及在H 2O 中中子从1000eV 慢化到1eV 所需的平均碰撞次数。
解：不难得出，H2O 的散射截面与平均对数能降应有下述关系：σH2O ∙ξH2O = 2σH ∙ξH + σO ∙ξO即：(2σH + σO ) ∙ξH2O = 2σH ∙ξH + σO ∙ξO ξH2O =（2σH ∙ξH + σO ∙ξO ）/(2σH + σO )查附录3，可知平均对数能降：ξH =1.000，ξO =0.120，代入计算得：ξH2O = (2×20×1.000 + 38×0.120)/(2×20 + 38) = 0.571可得平均碰撞次数：Nc = ln(E 2/E 1)/ ξH2O = ln(1000/1)/0.571 = 12.09 ≈ 12.12-2.设f(v->v’)dv’表示L 系中速度v 的中子弹性散射后速度在v’附近dv’内的几率。
假定在C 系中散射是各向同性的，求f(v->v’)的表达式，并求一次碰撞后的平均速度。
解：212E mv ''=，dE mv dv '''=代入(),(1)dE f E E dE aE E E a E''''→=-≤≤-得到：22()(1)v dv f v v dv v v a v '''''→=-≤≤-，22()(1)v f v v v v a v'''→=-≤≤-322()(1)3(1)vvv v f v v dv a a '''=→=--2-6.在讨论中子热化时，认为热中子源项Q(E)是从某给定分界能E c 以上能区的中子，经过弹性散射慢化而来的。
设慢化能谱服从Ф(E)=Ф/E 分布，试求在氢介质内每秒每单位体积内由E c 以上能区，（1）散射到能量E （E<E c ）的单位能量间隔内之中子数Q(E)；（2）散射到能量区间ΔE g =E g-1-E g 内的中子数Q g 。
解：（1）由题意可知：()(')(')(')'cE s Q E E E f E E dE φ∞=∑→⎰对于氢介质而言，一次碰撞就足以使中子越过中能区，可以认为宏观截面为常数：/()(')(')'cE s E aQ E E f E E dE φ=∑→⎰在质心系下，利用各向同性散射函数：'(')'(1)'dE f E E dE E α-→=-。
已知(')'E E φφ=，有：/'()'(1)'cE sE adE Q E E E φα-=∑-⎰2/()'11()(1)'(1)/(1)c E s c s s E a c c E E dE E E E EE φαφφαααα∑-∑-=∑=-=---⎰ （这里隐含一个前提：E/α>E ’）（2）利用上一问的结论：111111()(ln )(1)(1)(1)g g g gg gE E E g gg ss s g E E cc gE E E E EQ Q E dE dE E E E E φφφααααα------∑∑∑==-=----⎰⎰2-8.计算温度为535.5K ，密度为0.802×103 kg/m 3的H 2O 的热中子平均宏观吸收截面。
解：已知H 2O 的相关参数，M = 18.015 g/mol ，ρ = 0.802×103 kg/m 3，可得：362328100.80210 6.02310 2.681018.015A N N M ρ⨯⨯===⨯ m -3已知玻尔兹曼常数k = 1.38×10-23 J •K -1，则：kT M = 1.38 ×10-23×535.5 = 739.0×10-23 (J) = 0.4619 (eV)；1eV=1.602×10-19J查附录3，得热中子对应能量下，σa = 0.664 b ，ξ = 0.948，σs = 103 b ，σa = 0.664 b ，由“1/v ”律：()a M a kT σσ==0.4914 (b)由56页（2-81）式，中子温度：2()2180.4914[10.46]535.5[10.46]103a M n M s A kT N T T N ∑⨯⨯⨯=++=∑⨯577.8 (K)对于这种”1/v ”介质，有：a σ=== 0.4192 (b)所以：2232422.68100.419210a a N cm cm σ--∑==⨯⨯⨯=1.123 (m -1)第三章3.1 有两束方向相反的平行热中子束射到235U 薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为1012 cm -2·s -1。
