吉林省长春市第二实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题

吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学学科试卷考试时间：120分钟 试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区．2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列函数中是增函数的为（ ）A. B. C. D.2. 命题“”的否定为（ ）A.B.C.D.3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知二项式系数和为256，则的展开式中常数项为（ ）A. 1120B. C. 70D. 5. 函数的图象大致是（ ）的()f x x=-()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()2f x x=()f x =0m ∃∈N N m ∀∉N Nm ∀∈N N0m ∃∈N N0m ∃∉N N0x y >>11x y x y->-12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭1120-70-()2221x xf x x--=-A. B.C. D.6. 原核生物大肠杆菌存在于人和动物的肠道内，在适宜的环境和温度下会迅速繁殖导致肠道内生态环境失衡从而引发腹泻等症状，已知大肠杆菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要约24分钟，那么在适宜条件下1个大肠杆菌增长到1万个大肠杆菌至少需要约（ ）（参考数据：）A. 4小时B. 5小时C. 6小时D. 7小时7. 某电子竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成，按需要担任第1至5号位的任务，由于队长需要分出精力指挥队伍，所以不能担任1号位，副队长是队伍输出核心，必须担任1号位或2号位，则不同的位置安排方式有（ ）A. 36种B. 42种C. 48种D. 52种8. 已知，是定义域为R 的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），lg20.3≈()f x ()g x ()f x ()g x ()()22f x g x ax x +=++1212x x <<<()()12123g x g x x x ->--[)0,∞+3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭3,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭3222先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ）A B. C. D. 10. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ）A. B.C.D. 11. 已知偶函数的定义域为，为奇函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知集合，若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是________.13. 某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重（单位：克）与脉搏率（单位：心跳次数/分钟）的对应数据，根据生物学常识和散点图得出与近似满足（为参数）.令，，计算得，，.由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为___________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数___________.（参考公式：决定系数）.1A 2A B 13()5P A =11()50P B =()1950P B A =22()11P A B =0,0a b >>21a b +=18ab ≤218a b+≤≤3a b +≤()f x R 112f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x []0,1302f ⎛⎫⎪⎝⎭-<403f ⎛⎫>⎪⎝⎭(3)0f <202403f ⎛⎫>⎪⎝⎭{}{}22230,0,M x x x N x x ax x =--<=-<∈Z M N ⋂a W f (,)(1,2,...,8)i i W f i =f W kf cW =,c k ln i i x W =ln i i y f =8x =5y =821214ii y==∑ 7.4y bx=+ k µi y (1,2,...,8)i =µ()8210.28i ii y y =-≈∑2R ≈µ()()221211==-=--∑∑ni ii n ii y y R y y14. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是_____四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积分均为60分，两人答题相互独立．已知甲答对每题的概率均为，乙答对每题的概率均为，且某道题两人都答对的概率为，都答错的概率为．（1）求，的值；（2）乙回答3题后，记乙的积分为，求的分布列和期望．16. 数列满足．（1）求通项公式；（2）若，求的前项和．17. 设函数两个极值点分别为．（1）求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．18. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，且，.（1）若为的中点，证明：平面平面；（2）若，，线段上的点满足，且平面与平面，求实数的值.的的()f x R (2)2()f x f x -=[)2,0x ∈-()2(2)f x x x =-+[),x m ∈+∞3()4f x ≤m p ()01q p q <<<31015p q X X ()E X {}n a 321212222n n a a a a n -+++⋯+={}n a n nnb a ={}n b n n T ()21ln 2f x x x x ax =--()1212,x x x x <a ()12a x x λ<+λe 271828= ．P ABCD -ABCD AB CD P 90ABC ∠=︒PA PD AD ==PC PB =O AD POC ⊥ABCD 60CDA ∠=︒112AB CD ==PD M DM DP λ= PCB ACM λ19. 已知椭圆：（）的半长轴的长度与焦距相等，且过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线：与椭圆交于，两点，过点的直线交椭圆于，两点（在靠近的一侧）（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）在直线上是否存在一定点，使恒成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.C 22221x y a b+=0a b >>x C 0l 220x y +-=C A B ()2,3P C E F E P PE PF0l M EMA FMA ∠=∠M吉大附中实验学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学学科试卷答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】①. ②. 【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1），（2）分布列略，【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）证明略 （2）【19题答案】【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）存，在(2,)+∞0.3-0.983[,)2+∞12p =35q =()72E X =2n n a =222n nn T +=-10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭(]0,22322143x y +=1,13PEPF ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭43,55M ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

吉林省长春市其次试验中学2024-2025学年高二语文上学期期初考试试题考生留意：1．本试卷共18题，共150分，共4页。

考试时间120分钟。

考试结束后，只交答题卡。

2．客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色碳素笔写在答题卡上。

第Ⅰ卷阅读题（共70分）一、文学类文本阅读(本题共3小题，15分)阅读下面的文字，完成1～3题。

亮丽家园[加拿大]爱丽丝•门罗花园宫的一切是如此的完备无瑕，每座房子的表情都傲慢地指出了这一点。

在新盖的大房子中间，常常还能望见另一种屋子，那就是老城区像富勒顿太太雾那样的老房子。

这些幸存下来的老房子阴沉沉的，被周困着，显示出岁月长短不同的沉积。

它们的无序和突兀、不协调的屋顶角度和斜坡，连露出某种近似原始的气息，与这些街道格格不入。

一群邻居家的士人坐在起居室里，还有一些男人也在。

玛丽知道她们在说富勒顿太太的房子。

她无望地看着窗户外头，或者盯着自己的膝盖，想方设法找出几句美丽的说明中止这个话题。

她没有胜利。

“要是我住她隔壁，”史蒂夫表情喻快而温顺，明显在期盼随后的笑声，“我把孩子带过去，让他们带上火柴。

”伊迪斯道，“敬爱的，你在开玩笑，我却努力做了点什幺，我给市政厅打过电话了。

我说，他们至少可以让她刷刷墙，或者把那些棚屋推掉一些。

”“还有那些鸡。

”贾妮•英奇说，“我的天哪，那个味道。

我知道我们住在边远地区，但怎么也没想到，我们隔壁就是家畜棚。

”“街对过可比住隔壁更糟糕。

我都纳闷，我们干吗费半天劲要景观窗。

”另一个女人说。

史蒂夫竞然说，“按规定市政厅得给我们修条路，她的房子正好挡在我们的必经之路上。

只要我们现在让市政厅通路，这样，她就得走。

这是法律。

”开心的笑声响起来。

玛丽开口之前，希望自己的声音听起来正常，既不要感情用事，也不要哆哆嗦嗉。

“不过，你们想没想过，她在这里住了很久了。

我们大部分人还没生出来的时候，她就已经住在这里了。

”她舍命地想找一些别的话，比现在这些话更有力、更理智的话，但她就是找不到一句。

吉林省长春市第二实验中学2020-2021学年高二下学期期末考试政治试题2021年7月本试卷分选择题和非选择题两部分共33题，共100分，共4页。

考试时间为90分钟。

考试结束后，只交答题卡。

第Ⅰ卷选择题一、选择题:本题共30小题，每小题2分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

“外滩大会”上，多款黑科技“闪亮登场”。

卫星遥感技术与农村贷款结合，“一眼看明”申贷者有多少资产；AI加快了保险理赔速度；智能理财AI让你免费拥有私人理财顾问；宠物鼻纹识别技术比你更快认出你家狗狗……当科技全方位融入我们的生活，生活会变得更加便利，但黑科技产品刚开始商用时价格也非常昂贵。

黑科技产品价格昂贵，是因为（）①黑科技产品投入大、成本高，因而价格昂贵②黑科技产品性能好、用途广泛，因而价值大③技术创造商品价值，黑科技产品技术含量高④黑科技产品往往比较稀缺，但能满足人们的特殊需要A．①②B．①④C．②③D．③④2.下图反映了供求关系变化与商品价格变化的关系,其中D为需求曲线,S为供给曲线,E为均衡点。

下列能导致均衡点发生如图变化的是( )①双十一购物节期间网店降价促销②实施供给侧改革,水泥产量下降③国内玉米大丰收,出口总量下降④钢铁投资增加,住房和铁路建设投资减少A.①②B.①③C.②④D.③④3.近年来,在网络直播、短视频平台上,一些“吃播”主播以挑战超出常人的食量来赚取眼球、吸引流量,这种哗众取宠的行为不仅伤害身体,也误导消费,造成严重浪费。

对此,商务部会同相关部门出台一系列绿色餐饮标准,制定、修订一批行业标准,整顿“吃播”乱象。

这一举措是为了( )①建立长效机制,合理利用有限资源②规范消费行为,培养理性消费观念③加强行业监管,限制网络主播行为④调整消费结构,营造厉行节约氛围A.①②B.①④C.②③D.③④5G大会于2020年11月26日在广州举行，全球5G领域的科学家、企业家和各界人士深入探讨5G发展趋势，推动5G更好融入千行百业，为促进经济复苏和民生改善注入新动力新动能。

吉林省长春市朝阳区吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级数学下学期假期检测题一、单选题1．某种速冻水饺适宜的储藏温度是182-±℃，以下四个冷藏柜的温度中，不适合储藏这种水饺的是（ ） A ．15-℃B ．17-℃C ．18-℃D ．20-℃2．近年来人们越来越关注健康，我国质检总局规定：针织内衣、被套、床上用品等直接接触皮肤的衣物，每千克衣物上甲醛含量应在0.000075千克以下，将0.000075用科学记数法表示为（ ） A ．0.75×10﹣4B ．7.5×10﹣4C ．75×10﹣6D ．7.5×10﹣53．如图，该几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．4．将不等式组26040x x -≤⎧⎨+>⎩的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB 的卡钳，卡钳交叉点O 为AA '、BB '的中点，只要量出A B ''的长度，就可以道该零件内径AB 的长度．依据的数学基本事实是（ ）A ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等C ．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D ．两点之间线段最短 6．图中表示被撕掉一块的正n 边形纸片，若a ⊥b ，则n 的值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．127．如图，用直尺和圆规作MAN ∠的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）A ．AD AE =B ．AD DF =C ．DF EF =D ．AF DE ⊥8．如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A 在直线2y x =-+上运动．以A 为顶点在第一象限内作矩形ABCD ，使各边所在直线与坐标轴平行，且42AB BC ==，．若函数ky x=（0x >）的图象同时经过矩形顶点B 、D ，则k 的值为（ ）A ．89B ．43C ．329D ．4二、填空题9．因式分解：24a ab -=．10．若关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围 11．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34︒的斜坡，从A 滑行至B ，已知250AB =米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin340.56︒≈，cos340.83≈︒，tan340.67≈︒）12．如图，ABC V 和A B C ''△是以点C 为位似中心的位似图形，且A B C ''△和ABC V 的面积之比为1:4，点C 的坐标为 1,0 ，若点A 的对应点A '的横坐标为2-，则点A 的横坐标为．13．边长均为5的正五边形与一个正六边形按如图所示的方式拼接在一起，连接AB ，则以AO 为半径的A e 与六边形及AOB V 重叠部分图形的面积之和为（结果保留π）．14．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB 为20m ，顶点M 距水面6m （即6m MO =），小孔顶点N 距水面4.5m （即4.5m NC =，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF =m ．三、解答题15．化简求值：()()()22226a a a a +++--．其中12a =-．16．甲、乙两名大学生参加2023年杭州亚运会志愿者服务活动，他们将被随机分配到翻译(记为A )、导游(记为B )、礼仪(记为C )三个工作岗位，请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两人至少有1人被分配到礼仪的概率．17．即将到来的2024年是中国农历甲辰龙年．某商场用3000元购进了一批“小金龙”布偶玩具，面市后供不应求，商场又用6600元购进了第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了3元．求商场购进第一批“小金龙”每件的进价．18．如图，在88⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，A 、B 、C 均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中作图（保留作图痕迹）．(1)将AC 绕着点C 顺时针旋转90︒，在图①中作出旋转后的对应线段CD ． (2)在图②中作线段AE ，使点E 在边BC 上，且25ABE ABC S S =V V ． (3)在图③中作ABC V 的角平分线BF ．19．在“双减”背景下，为丰富作业形式，提高学生阅读兴趣和实践能力，某校开展语文课本剧表演活动．为了解“学生最喜爱的课本剧”的情况，随机抽取了部分学生进行调查，规定每人从“A （《卖油翁》），B （《木兰诗》），C （《愚公移山》），D （《屈原》），E （其他）”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图表．最喜爱的课本剧人数调查统计表根据以上信息，请回答下列问题： (1)表格中m n +=_________；(2)扇形统计图中D 选项对应的扇形的圆心角的度数为__________；(3)该校有3000名学生，根据抽样调查的结果，请估计该校最喜爱的课本剧是《卖油翁》的学生人数．20．在A B C D Y 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），90AEB CFD ∠=∠=︒．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)当5AB =，3tan 4ABE ∠=，CBE EAF ∠=∠时，四边形AECF 的面积为．21．甲、乙两车同时从A 地出发沿同一线路前往B 地．甲车匀速行驶2小时后，收到紧急通知，立即提高速度匀速前往B 地（千米），比乙车提前1小时到达B 地，设甲、乙两车各自距A 地的路程为y （千米），乙车行驶的时间为x （时），y 与x 之间的部分函数图象如图所示．(1)乙车每小时行驶的路程为 千米；(2)补全甲车提高速度后的函数图象，并求出提高速度后甲车距A 地的路程y 与x 之间的函数关系式；(3)求甲、乙两车相遇时，甲车距A 地的路程．22．【问题背景】学校数学兴趣小组在专题学习中遇到一个几何问题：如图1，已知等边ABC D V ，是ABC V 外一点，连接AD CD BD 、、，若3035ADC AD BD ∠=︒==，，，求CD的长．（1）该小组在研究如图2中OMN OPQ ≌△△中得到启示，于是作出图3，从而获得了以下的解题思路，请你帮忙完善解题过程．解：如图3所示，以DC 为边作等边CDE V，连接AE ．∵ABC DCE △、△是等边三角形，∴60BC AC DC EC BCA DCE ==∠=∠=︒，，． ∴BCA ACD ∠+∠= A C D +∠， ∴BCD ACE ∠=∠， ∴BCD V ≌ ， ∴5AE BD ==．∵3060ADC CDE ∠=︒∠=︒，， ∴90ADE ADC CDE ∠=∠+∠=︒． ∵3AD =， ∴CD DE == ． 【尝试应用】（2）如图4，在ABC V 中，454ABC AB BC ∠=︒==，，以AC 为直角边，A 为直角顶点作等腰直角ACD V ，求BD 的长． 【拓展创新】（3）如图5，在ABC V 中，510AB AC ==，，以BC 为边向外作等腰120BCD BD CD BDC =∠=︒V ，，，连接AD ，则AD 的最大值为．23．如图，在Rt ABC △中，904cm 3cm ABC AB BC ∠=︒==，，，点P 从点C 出发，以1cm/s 的速度从点C 向点A 运动，过点P 作PM AB ⊥于点M PN BC ⊥，于点N ，作点A 关于直线PM 的对称点E ，连接PE ，交折线CB BA -于点D ，以PC 和PD 为邻边作平行四边形PCFD ，设点P 的运动时间为()s t （05t <<）(1)用含有t 的代数式表示线段BD 的长； (2)连接BF ，求线段BF 的最小值；(3)当平行四边形PCFD 与矩形PMBN 重叠部分为三角形时求t 的取值范围 (4)当直线DF 将四边形PMBN 的面积分成1:2两部分时，请直接写出t 的值．24．已知二次函数2y x bx c =-++（其中b 、c 为常数）经过点()3,0A ，对称轴为直线1x =，点P 在抛物线上，其横坐标为m ． (1)求该二次函数的解析式．(2)抛物线在P 、A 之间的函数部分（包括P 、A 两点）的最大值为4m -时，求出此时m 的值．(3)已知点,22m m B ⎛⎫⎪⎝⎭，点P 关于点B 的对称点为点M ，以PM 为对角线构造矩形PQMN ，其中PQ x ⊥轴．①0m >，抛物线在矩形PQMN 内部的函数部分y 随x 的增大而增大或者y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围．②取线段MN 的中点记为R ，当矩形PQMN 与抛物线存在多个交点时，设其中一个交点为G （非点P ），当存在以Q N R G 、、、为顶点的四边形的面积与矩形PQMN 的面积比为716时，直接写出此时m 的值．。

2022-2023学年吉林省长春市高中高二下学期第二学程考试数学试题一、单选题1．如图所示的Venn 图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若A B A B ⊗，，则（ ）{}21,,4A x x n n n ==+∈≤N {}2,3,4,5,6,7B =A B ⊗=A ．B ．C ．D ．{}2,4,6,1{}2,4,6,9{}2,3,4,5,6,7{}1,2,4,6,9【答案】D 【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂A A B ⋃A B ⋂.A B ⊗【详解】由韦恩图可知，，()(){},A B x x A B x A B ⊗=∈⋃∉⋂因为，，{}{}21,,41,3,5,7,9A x x n n n ==+∈≤=N {}2,3,4,5,6,7B =则，，因此，.{}1,2,3,4,5,6,7,9A B = {}3,5,7A B = {}1,2,4,6,9A B ⊗=故选：D.2．过原点且与函数图像相切的直线方程是（ ）()()ln f x x =-A ．B ．C ．D ．y x =-2e y x=-1e y x=-e y x=-【答案】C【分析】先设出切点，再利用导数的几何意义建立方程求出切线的斜率即可得到结果.【详解】因为，所以，()ln()f x x =-()1f x x '=设所求切线的切点为，则，00(,())x f x ()001f x x '=由题知，，解得，所以切线斜率为，()00000ln ()1x f x x x x -==0e x =-()1e e k f '=-=-故所求切线方程为.1e y x=-故选：C.3．已知变量y 与x 之间具有线性相关关系，根据变量x 与y 的相关数据，计算得则y 关于x 的线性回归方程为（ ）77772111128,1078,140,4508ii ii i i i i i xy x x y ========∑∑∑∑附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,.ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑A ．B ．ˆ7126y x =-ˆ7126yx =+C ．D ．ˆ5121yx =+ˆ5121yx =-【答案】B【分析】根据已知数据求，代入回归直线方程即可求解.ˆˆ,b a 【详解】由题中的数据可知，4,154x y ==所以.7172217450874154196714071628ˆ7i ii ii x y xyb xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑所以.15474126ˆˆa y bx =-=-⨯=所以y 关于x 的线性回归方程为.ˆˆˆ7126ybx a x =+=+故选：B.4．据统计，某工厂所生产的一类新型微电子芯片的厚度X （单位：）服从正态分布，μm (),4N μ且. 如果芯片的厚度高于，那么就带要对该芯片进行复检. 若该工()()25311P X P X ≥+≥=32μm 厂此芯片日产量平均为10000片，那么每天需要进行复检的产品大约有（ ）（附：若X （单位：）服从正态分布，则，μm ()2,N μσ()0.6827P X μσμσ-<≤+=，.）()220.9545P X μσμσ-<≤+=()330.9973P X μσμσ-<≤+=A ．228件B ．455件C ．1587件D ．3173件【答案】A【分析】根据正态分布的对称性，即可求得的值和，从而求出10000片中每天需要进μ()32P X ≥行复检的产品.【详解】因为，所以，()()25311P X P X ≥+≥=()()()3112525P X P X P X ≥=-≥=<即与关于对称，则，25X =31X =X μ=2531282μ+==因为，所以，又因为，24σ=2σ=232μσ+=()()()1223222P X P X P X μσμσμσ--<<+≥=≥+=10.95452-=，所以件，10.95452-=0.02275=100000.02275227.5228⨯=≈所以每天需要进行复检的产品大约有件，228故选：A.5．已知是定义在R 上的奇函数，的导函数为，若恒成立，则()f x ()f x ()'f x ()'cos f x x≥的解集为（ ）()sin f x x≥A ．B ．C ．D ．[)π,-+∞[)π,+∞π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)0,∞+【答案】D【分析】根据函数的单调性求解.【详解】令函数，则，()()sin g x f x x=-()()''cos g x f x x=-因为 所以. 是增函数，()'cos f x x ≥，()()0g x g x '≥，因为是奇函数，所以，，()f x ()00f =()()00sin 00g f =-=所以的解集为，即≥的解集为；()0g x ≥[)0,∞+()f x sin x [)0,∞+故选：D.6．，当时，都有，则实数的最大值为（ ）[]12,1,e x x ∀∈12x x <()1122lnx a x x x <-aA ．B ．CD ．121e 1e【答案】B 【分析】依题意对，当时恒成立，，1122ln ln x ax x ax -<-[]12,1,e x x ∀∈12x x <()ln h x x ax=-，则问题转化为在上单调递增，求出函数的导函数，则在上恒成立，[]1,e x ∈()h x []1,e ()0h x '≥[]1,e 参变分离可得的取值范围，即可得解.a 【详解】因为，当时，都有，[]12,1,e x x ∀∈12x x <()1122lnx a x x x <-即，即，1212ln ln x x ax ax -<-1122ln ln x ax x ax -<-令，，则恒成立，()ln h x x ax =-[]1,e x ∈()()12h x h x <即在上单调递增，()ln h x x ax=-[]1,e 又，所以在上恒成立，()1h x ax '=-()10a x h x =-≥'[]1,e 所以在上恒成立，因为在上单调递减，1a x ≤[]1,e ()1g x x =[]1,e 所以，所以，即实数的最大值为.()()min 1e e g x g ==1e a ≤a 1e 故选：B7．某市环保局举办“六·五”世界环境日宣传活动，进行现场抽奖．抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上别印有“环保会徽”或“绿色环保标志”图案．参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“绿色环保标志”卡即可获奖．已知从盒中抽两张都不是“绿色环保标志”卡的概率是．现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖，抽后放回，另一人再抽，用表示获奖的人数，那13ξ么（ ）()()E D ξξ+=A ．B ．C ．D ．224225104225815112225【答案】A【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解.【详解】设印有“环保会徽”图案的卡片有张，则“绿色环保标志”图案的卡片有张，n 10n -由题意可知，所以从盒中抽取卡片两张获奖的概率为，2210C 16C 3n n ⇒==22104221010C C 2C C 15n -==由于服从二项分布，即，所以，ξ24,15B ξ⎛⎫~⎪⎝⎭()()221322444151515225E D ξξ+=⨯+⨯⨯=故选:A 8．已知函数有两个不同的极值点，且不等式恒()22ln f x ax x x=-+12,x x ()()1212f x f x x x t+<++成立，则实数t 的范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[)1,-+∞[)5,-+∞[)22ln 2,-+∞[)1ln 2,-+∞【答案】B 【分析】恒成立，等价于恒成立.由()()1212f x f x x x t+<++()()()1212t f x f x x x >+-+有两个不同的极值点结合韦达定理可得，其中()f x ()()()1212f x f x x x +-+21ln 2a a =---，后构造函数，利用导数求出其最值即可得答案.102a <<()211ln 202h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭【详解】因为不等式恒成立，所以恒成立．()()1212f x f x x x t+<++()()()1212f x f x x x t+-+<.()()22210-+'=>ax x f x x x 因为函数有两个不同的极值点，()22ln f x ax x x=-+12,x x 所以方程有两个不相等的正实数根，于是有，解得．22210ax x -+=1212Δ48010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩102a <<则()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦.21ln 2a a =---设，，故在上单调递增，()211ln 202h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭()220-'=>a h a a ()h a 102a <<故，所以．又注意到满足题意，因此实数t 的范围是． ()152⎛⎫<=- ⎪⎝⎭h a h 5t >-5t =-[)5,-+∞故选：B【点睛】关键点睛：本题涉及恒成立问题与由函数极值点求参数范围，难度较大.本题所涉字母较多，关键为找到间的关系，得到关于a 的表达式.12,,ax x ()()()1212f x f x x x +-+二、多选题9．下列各结论正确的是（）A ．“”是“”的充要条件0xy >0xy >B ．2C ．命题“”的否定是“”21,0x x x ∀>->21,0x x x ∃≤-≤D ．“一元二次函数的图象过点”是“”的充要条件2y ax bx c =++()1,00a b c ++=【答案】AD【详解】根据符号规律可判断A ；根据基本不等式成立条件以及利用单调性求最值可判断B ；根据全称命题否定形式可判断C ；结合二次函数图象与性质可判断D.【分析】解：⇔，故A 正确;0xy >0x y >，令，则，y 3t =≥1y t t =+且在区间上，函数值y 随自变量x 的增大而增大，最小值为，故B 错误；)[3,∞+110333+=命题“”的否定是“”，故C 错误；21,0x x x ∀>->21,0x x x ∃>-≤一元二次函数的图象过点显然有，反之亦可，故D 正确.2y ax bx c =++()1,00a b c ++=故选：AD10．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，3%15%25%．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列60%A =i B =i (1i =23)结论正确的有（ ）A ．B ．()0.03P A =31()1ii P B ==∑C ．D ．12()()P B A P B A =123()()(|)P B A P B A P B A +=【答案】BC【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．【详解】对于A ：因为，故A 错误；()0.050.150.030.250.030.600.033P A =⨯+⨯+⨯=对于B ：因为，故B 正确；13Σ()0.150.250.601i i P B ==++=对于C ：因为，111()(|)0.050.155(|)()0.03322P B P A B P B A P A ⋅⨯===，222()(|)0.030.255()()0.03322|P B P A B P B A P A ⋅⨯===所以，故C 正确；12()()P B A P B A =对于D ：由上可得，125()()11P B A P B A +=又因为，故D 错误，333()(|)0.030.606(|)()0.03311P B P A B P B A P A ⋅⨯===故选：BC ．11．乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用五局三胜制，当参赛甲､乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假设甲在任一局赢球的概率为，实际比赛局数的期望值记为，则下列说法()01p p ≤≤()f p 中正确的是（ ）A ．三局就结束比赛的概率为B ．的常数项为3()331p p +-()f p C ．函数在上单调递减D ．()f p 10,2⎛⎫⎪⎝⎭13328f ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】设实际比赛局数为，先计算出可能取值的概率，即可判断A 选项；进而求出期望值X X ，即可判断BCD 选项.()f p 【详解】设实际比赛局数为，则的可能取值为，X X 3,4,5所以，()()3331P X p p ==+-，()()()3131334C 1C 1P X p p p p ==-+-，()()22245C 1P X p p ==-因此三局就结束比赛的概率为，则A 正确；()331p p +-故()()()()()332313122334314C 1C 15C 1f p p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤=+-+-+-+⨯-⎣⎦⎣⎦，432612333p p p p =-+++由知常数项为3，故B 正确；()03f =由，故D 正确；111133361232168428f ⎛⎫=⨯-⨯+⨯+=⎪⎝⎭由，()()()322243663321441f p p p p p p p =-++=---'，所以，01p ≤≤ 22441(21)20p p p --=--<令，则；令，则，∴()0f p '>102p ≤<()0f p '<112p <≤则函数在上单调递增，则C 不正确.()f p 10,2⎛⎫⎪⎝⎭故选：ABD.12．已知函数，，则下列说法正确的是（ ）e ()xx f x =-()ln g x x x =-A ．在上是增函数(ln )f x (1,)+∞B ．，不等式恒成立，则正实数a 的最小值为1x ∀>()2()f ax f lnx ≥2eC ．若有两个零点，，则()g x t=1x 2x 122x x +<D ．若，且，则的最大值为()()12(2)f x g x t t ==>210x x >>21ln t x x -1e【答案】ABD 【分析】A 选项，由题，，判断在上的单调性即可；()()ln ln f x x x g x =-=()1,x ∈+∞()g x ()1,+∞B 选项，由单调性，；()f x ()()22max 2ln ln ln x f ax f x ax x a x ⎛⎫≥⇔≥⇒≥ ⎪⎝⎭C 选项，由有两个零点，，构造函数应用极值点偏移可解；()g x t=1x 1x D 选项，因，及在上单调递增，结合B 选项分析可判断选项.()()1232，f g <<()()f xg x ，()1,+∞【详解】对于A 选项，，.()()ln ln f x x x g x =-=()1,x ∈+∞又当时，，则在上是增函数，故A 正确；()1,x ∈+∞()1110x g x x x -'=-=>()ln f x ()1,+∞对于B 选项，时，，又为正实数，所以，又时，，1x >2ln 0x >a 0ax >0x >()e 10x f x '=->所以在单调递增，故，即.()f x ()1,+∞()()22ln ln f ax f x ax x ≥⇔≥max 2ln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭令，知，所以在上递增，在上递减，所以()2ln xx x ϕ=()222ln x x x ϕ-'=()x ϕ()1,e ()e,+∞，()()max 2e e x ϕϕ==得正实数的最小值为，故B 正确；a 2e 对于C 选项，有两个根，，等价于函数有两个零点，.()g x t=1x 2x ()g x t -1x 2x 注意到，则在上单调递减，在上单调递增，()111x g x t x x -'⎡⎤-=-=⎣⎦()g x t -()0,1()1,+∞因函数有零点，则.()()1101g x t g t t t ⎡⎤-=-=-<⇒>⎣⎦m i n 设，1201x x <<<令，，()()()2h x g x g x =--()0,1x ∈因为，()()()2h x g x g x '''=+-所以，()()()()()22111222x x x h x g x g x x x x x ----'''=+-=+=--当时，，单调递减；01x <<()0h x '<()h x 所以在上单调递减，所以，即当时，，()h x ()0,1()()10h x h >=01x <<()()2g x g x >-由题意，，，且在上单调递增，()()()2112g x g x g x =>-21x >121x ->()g x ()1,+∞所以，即．故C 错误；212x x >-122x x +>对于D 选项，由AB 选项分析可知，在上单调递增，()()f xg x ，()1,+∞又，，()()()122f x g x t t ==>()()11233ln 32e ，fg =-<=-<则.由，即，即有，2131x x >>>()()12f x g x =12ln 1222e ln e ln x x x x x x -=-=-()()12ln f x f x =又，在上单调递增，所以，即，所以121ln 1x x >>，()f x ()1,+∞12ln x x =12e x x =，1211ln ln ln e x t t tx x x t ==--其中.由B 选项分析可知，，其中时取等号，则，2t >2ln 2e x x ≤e x =1211ln ln ln 1e e x t t t x x x t ==≤--其中时取等号，所以，故D 正确.e x =21max ln 1et x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于复杂函数，常利用导数求单调区间.对于恒成立问题，常利用分离参数法将问题转化为求最值.对于双变量问题，常结合题目条件寻找变量间关系，将双变量转化为单变量.三、填空题13．花店还剩七束花，其中三束郁金香，两束白玫瑰，两束康乃馨，李明随机选了两束，已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为________．【答案】/350.6【分析】使用条件概率进行计算即可.【详解】设事件“两束花是同一种花”，事件“两束花都是郁金香”，A =B =则积事件“两束花都是郁金香”，AB B ==事件中样本点的个数为，A ()222322C C C 5n A =++=积事件中样本点的个数为，AB ()23C 3n AB ==∴已知李明选到的两束花是同一种花，则这两束花都是郁金香的概率为.()()()35n AB P B A n A ==故答案为：.3514．若两个正实数x ，y恒成立，则实数m的取值1+=26m m >-范围是____________．【答案】28m -<<的最小值，进而求解即可.2616m m-<【详解】由于，所以,0,0x y >>88=≥+取等号，故，解得，64,4x y ⇒==2616m m -<28m -<<故答案为：28m -<<15．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____.3()3f x x x =-2(,8)a a -a 【答案】[)2,1-【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解.3()3f x x x =-【详解】，令得，2()33f x x '=-()0f x '=1x =±时，时，，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞()0f x '>(1,1)x ∈-()0f x '<所以在和上单调递增，在上单调递减，()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-若函数在上有最小值，则其最小值必为，3()3f x x x =-2(,8)a a -(1)f 则必有且，解得，21(,8)a a ∈-3()3(1)2f a a a f =-≥=-21a -≤<故答案为：.[)2,1-16．已知是函数在其定义域上的导函数，且，，若函数()f x '()f x ()()1e xf x f x +'-=()21e f =在区间内存在零点，则实数m 的取值范围是______．()()()()2ln 20e x mf x g x mx x m =-+->()0,∞+【答案】[)1,+∞【分析】先根据及得到，利用同构得到()()1e xf x f x +'-=()21e f =()1e xf x x +=有解，构造，得到，故()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦()e 1=--t g t t ()0min e 10g t =-=，参变分离得到在有解，令，求导得到其单调性，()1ln 0x mx -+=1e x m x -=()0,x ∈+∞()1e x h x x -=极值和最值情况，得到答案.【详解】，所以，()()1ex f x f x +'-=()()e e xf x f x '-=故，所以，为常数，()e e x f x '⎛⎫= ⎪⎝⎭()e e x f x x c =+c 因为，又，故，()21e f =()e 1ef c =+0c =所以，()1e xf x x +=若在区间内存在零点，()()()()2ln 20e x mf x g x mx x m =-+->()0,∞+则在区间内存在零点，()12e ln 20e x x m mx x x +-+-=()0,∞+整理得，()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦设，则，()e 1=--t g t t ()e 1t g t '=-令得，当时，，单调递增，()0g t '=0=t 0t >()0g t '>()e 1=--t g t t 当时，，单调递减，0t <()0g t '<()e 1=--t g t t 所以在处取得极小值，也是最小值，，()e 1=--t g t t 0=t ()0min e 10g t =-=故时，成立，()1ln 0x mx -+=()1ln e 1ln 10x mx x mx -+--+-=⎡⎤⎣⎦即存在，使得有解，即有解，()0,x ∈+∞()1ln 0x mx -+=1e x m x -=令，则，()1e x h x x -=()()12e 1x x h x x --'=当时，，当时，，1x >()0h x '>01x <<()0h x '<故在上单调递减，在上单调递增，()1e x h x x -=()0,1()1,+∞故在处取得极小值，也是最小值，()1e x h x x -=1x =又，故，()11h =()1h x ≥所以，故实数m 的取值范围.m 1≥[)1,+∞故答案为：[)1,+∞【点睛】方法点睛：利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数()f x ()f x '的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：比如：若，则构造，()()0f x f x +'>()()e x g xf x =⋅若，则构造，()()0f x f x '->()()x f x g x =e 若，则构造，()()0f x xf x '+>()()g x xf x =若，则构造.()()0f x xf x '->()()f xg x x =四、解答题17．设等比数列的前项和为，公比，.{}n a n n S 1q >2316,84a S ==(1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和为.{}n n a +n n T 【答案】(1)；4nn a =(2).214423n n n n T ++-=+【分析】（1）利用基本量法，即可求解.（2）利用分组求和即可求解.【详解】（1）解：，解得，121111684a q a a q a q =⎧⎨++=⎩11644()144a a q q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩或舍；4n n a ∴=（2）1231424344nn T n =++++++++ 1231234444nn =+++++++++(1)4(14)214n n n +-=+-.214423n n n n T ++-∴=+18．民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁≥19年龄＜40岁10总计40(1)请完成答题卡上的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“编织巧手”与“年22⨯0.010α=龄”是否有关；(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．参考公式：，其中．()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++参考数据：α0.1000.0500.0100.005x α2.7063.841 6.6357.879【答案】(1)填表见解析；认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010(2)815【分析】（1）根据题意补全列联表，计算，并与临界值对比分析；2χ（2）先根据分层抽样求各层的人数，结合古典概型分析运算.【详解】（1）年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：“编织巧手”非“编织巧手”总计年龄40岁≥19524年龄<40岁61016总计251540零假设为：“编织巧手”与“年龄”无关联．0H 根据列联表中的数据，经计算得到，()220.010401910657.111 6.63524162515x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此0.010α=0H 推断犯错的概率不大于0.010．（2）由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4．从这6人中随机抽取2人的情况有种，2615C =其中符合条件的情况有种，1142C C 8=故所求概率．815P =19．已知函数()322f x x ax b=-+(1)当时，求的极值；3a =()f x (2)讨论的单调性；()f x(3)若，求在区间的最小值.0a >()f x []0,1【答案】(1)，()f x b=极大值()1f x b=-+极小值(2)当时的单调增区间为，，单调减区间为；0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时在R 上单调递增；0a =()f x 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)()3min 2,3,0327a b a f x a b a -+≥⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可得到函数的单调区间与极值；（2）求导函数，分，，讨论可得结果；()2(3)f x x x a '=-0a >0a =a<0（3）结合（2）的结论，分、两种情况讨论，分别求出函数的最小值.3a ≥0<<3a 【详解】（1）当时定义域为R ，3a =()3223f x x x b=-+且，()()26661f x x x x x '=-=-所以当或时，当时，0x <1x >()0f x ¢>01x <<()0f x '<所以在处取得极大值，在处取得极小值，()f x 0x =1x =即，；()()0f x f b ==极大值()()11f x f b==-+极小值（2）函数定义域为R ，则，()322f x x ax b=-+()()26223f x x ax x x a '=-=-令，解得或，()0f x '=0x =3ax =①当时，则当或时，，0a >0x <3ax >()0f x ¢>当时，，03ax <<()0f x '<所以的单调增区间为，，单调减区间为；()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当时，恒成立，所以在R 上单调递增；0a =()0f x '≥()f x③当时，当或时，，当时，，a<03a x <0x >()0f x ¢>03ax <<()0f x '<所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上可得当时的单调增区间为，，单调减区间为；0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时在R 上单调递增；0a =()f x 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；a<0()f x ,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）因为，由（2）可得的单调增区间为，，单调减区间为，0a >()f x (),0∞-,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，即时在上单调递减，13a≥3a ≥()f x []0,1所以在上的最小值为，()f x []0,1()()min 12f x f a b ==-+若，即时，在单调递减，在单调递增，013a <<0<<3a ()f x 0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,13a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在的最小值为，()f x []0,1()3min327a a f x b⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭所以.()3min2,3,0327a b a f x a b a -+≥⎧⎪=⎨-+<<⎪⎩20．某学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”、“双人对战”和“挑战答题”.参赛者先参与“四人赛”活动，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四名得0分，每局比赛相互独立，三局后累计得分不低于6分的参赛者参加“双人对战”活动，否则被淘汰.“双人对战”只赛一局，获胜者可以选择参加“挑战答题”活动，也可以选择终止比赛，失败者则被淘汰.已知甲在参加“四人赛”活动中，每局比赛获得第一名、第二名的概率均为，获得第三名、第四名的概率均为；1316甲在参加“双人对战”活动中，比赛获胜的概率为.23(1)求甲获得参加“挑战答题”活动资格的概率.(2)“挑战答题”活动规则如下：参赛者从10道题中随机选取5道回答，每道题答对得1分，答错得0分.若甲参与“挑战答题”，且“挑战答题”的10道题中只有3道题甲不能正确回答，记甲在“挑战答题”中累计得分为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.【答案】(1)2881(2)分布列见解析；72【分析】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，由题意确定的可能取值，求出每个值对应的概ξξ率，即可得答案.（2）确定随机变量X 的所有可能取值，求得每个值对应概率，可得分布列，即可求得数学期望.【详解】（1）设甲在“四人赛”中获得的分数为，则甲在“四人赛”中累计得分不低于6分包含了ξ或或或.9ξ=8ξ=7ξ=6ξ=；311(9)327P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭；223111(8)C 339P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭；3211331111(7)C C 3636P ξ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，32313311111111(6)A C 33636354P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯++⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以甲在“四人赛”中累计得分不低于6分的概率，1111111427965427P =+++=故甲能进入“挑战答题”活动的概率.1214228327381P P =⨯=⨯=（2）随机变量X 的所有可能取值为，2345,,,；；3237510C C 1(2)C 12P X ===2337510C C 5(3)C 12P X ===；.1437510C C 5(4)C 12P X ===57510C 1(5)C 12P X ===所以X 的分布列如下表所示：X2345P112512512112所以.15517()2345121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=21．已知椭圆与坐标轴的交点所围成的四边形的面积为上任意一点2222:1(0)x y E a b a b +=>>E 到其中一个焦点的距离的最小值为1.(1)求椭圆的方程；E (2)设直线交于两点，为坐标原点，以，为邻边作平行四(:0l y kx m k =+≤≤E ,M N O OM ON 边形在椭圆上，求的取值范围.,OMPN P E OP【答案】(1)22143x y +=(2)【分析】（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程，结合可解；222a b c =+（2）设，利用韦达定理结合四边形为平行四边形可的点P 坐()()()112200,,,,,M x y N x y P x y OMPN 标，然后结合点P 在椭圆上可解.【详解】（1）由题可知12221a b a c ⎧⨯⨯⨯=⎪⎨⎪-=⎩，1ab a c ⎧=⎪⇒⎨-=⎪⎩所以，即，()22212a a c -=()212a a c +=所以，2(2a a 1)12-=所以，因为，()()222360a a a -++=0a >所以2，所以=a 1,c b ==所以椭圆的方程为：.E 22143x y +=（2）联立，消去，化简整理得：，22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2223484120k x kmx m +++-=需满足，()())222222Δ6443441248(340k m k mk m =-+-=+->设，由韦达定理可()()()112200,,,,,M x y N x y P x y 知：.122834km x x k +=-+则以为邻边作平行四边形，,OM ON OMPN 则，()()1122,,OP OM ON x y x y =+=+()0120121228,34km x x x y y y k x x k ∴=+=-=+=++26234mm k +=+由于点在椭圆上，所以，P C 2200143x y +=即()()2222222161213434k m m k k +=++化简得：，经检验满足22434m k =+(2Δ4834k =+-)20m >又OP =====由于，2034315k k ≤≤∴≤+≤所以，213543k ≤+1≤所以231934435k ≤-≤+OP ≤≤所以的取值范围为.OP 22．已知函数.()()ln 1f x x x x λ=--(1)当时，，求的取值范围；1x ≥()0f x ≥λ(2)函数有两个不同的极值点（其中），证明：()()()21g x f x x xλλ=-+-12,x x 12x x <；12ln 3ln 4x x +>(3)求证：.()*1111ln21232n n n n n +++⋯+<∈+++N 【答案】(1)(],1-∞(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）由，利用导数研究函数单调性，转化为当，恒成立问题；()10f =1x ≥()0f x '≥（2）函数极值点，是的两个零点，要证，等价于证，()g x 12,x x ()g x '12ln 3ln 4x x +>12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+通过换元，构造函数，利用导数研究单调性可证.（3）由（1）可知，则有，类似于数列求和的裂项相消法可1ln x x x ->11x n =+()1ln 1ln 1n n n <+-+证.【详解】（1）函数，，且，()()ln 1f x x x x λ=--()ln 1f x x λ'=+-()10f =①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立；1λ≤1x ≥()0f x '≥()f x ()0f x ≥②当时，令，得，1λ>()ln 10f x x λ+'=-=1ex λ-=当时，此时单调递减，故，不满足题意；)11,ex λ-⎡∈⎣()0f x '≤()f x ()()10f x f ≤=综上可知：.1λ≤即的取值范围为.λ(],1-∞（2）由，故，()()()221ln g x f x x x x x x xλλλλ=-+-=-+-()ln 121ln 2g x x x x xλλ-='=+--因为函数有两个不同的极值点（其中），故.12,x x 12x x <1122ln 2,ln 2x x x x λλ==要证：，只要证：.12ln 3ln 4x x +>()1212124ln 3ln 2623x x x x x x λλλ<+=+=+因为，于是只要证明即可.120x x <<12423x x λ>+因为，故，1122ln 2,ln 2x x x x λλ==1212ln ln 2x x x x λ-=-因此只要证，等价于证，121212ln ln 43x x x x x x ->-+()1212124ln 3x x x x x x -<+即证，令，等价于证明，12112241ln 3x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+12(01)x t t x =<<()41ln 3t t t -<+令，()()()()()22224119116109ln (01),3(3)(3)(3)t t t t t t t t t t t t t t t t ϕϕ----+'=-<<=-==++++因为，所以，01t <<()0t ϕ'>故在上单调递增，所以，得证.()t ϕ()0,1()()10t ϕϕ<=（3）由（1）可知当时，，故，1x >()()ln 10f x x x x =-->1ln x x x ->令，所以，所以，11x n =+111ln 111n n n n n ⎛⎫+>= ⎪++⎝⎭()1ln 1ln 1n n n <+-+，ln2ln ln2n n =-=所以.1111ln21232n n n n +++⋯+<+++【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

长春市实验中学2023-2024学年高二下学期第一学程考试数学试卷考试时间： 120 分钟 分值： 150 分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1. 下列求导正确的是（ ）A. ，则B. ，则C. ，则D.，则【答案】C 【解析】【分析】根据基本初等函数求导公式、求导法则及复合函数求导逐项判断即可.【详解】对于A ，，则，故A 不正确；对于B ，，则，故B 不正确；；对于C ，，则，故C 正确；对于D ，，则，故D 不正确.故选：C.2. 已知，若，则等于（ ）A. B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据导数的运算求导函数，由解方程，即可求得的值.【详解】，y =y '=1ln2y =2y '=22cos sin y x x =-2sin 2y x '=-ln x y x=2ln 1x y x '-=12y x ==1212x y -'==1ln2y =0y '=22cos sin cos 2y x x x =-=2sin 2y x '=-ln x y x=21ln x y x -'=()ln f x x x =()02f x '=0x 2e eln 22ln 2()02f x '=0x ()()()ln ln ln ln 1f x x x x x x x x ''='+='=+因为，所以，解得.故选：B.3. 函数的单调递增区间为（ ）A. B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】利用导数求函数的单调递增区间.【详解】函数，定义域为，，，解得，所以函数的单调递增区间为.故选：B4. 设是函数的两个极值点，若，则（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果.【详解】由题意得，又是函数的两个极值点，则是方程的两个根，故，又，则，即，则，()02f x '=0ln 12x +=0e x =22ln y x x =-(),1-∞()0,1()1,e ()1,+∞22ln y x x =-()0,∞+22222x y x x x-'=-=0'>y 01x <<22ln y x x =-()0,112,x x ()321f x x ax x =+++1232x x +=-=a ()2321x ax f x =++'12,x x 12,x x 23210x ax ++=121221,33a x x x x +=-=1232x x +=-1232x x =--()12221323x x x x =--=213x =-则，所以，解得，此时.故选：C ．5. 函数，则（ ）A. B. C D. 关系不确定【答案】C 【解析】【分析】求得，结合导数符号，即可求得的单调区间,进而可判断结果.【详解】解：由已知可得，令，解得．当时，；当时，；故在上单调递减，在上单调递增．因为，所以.故选：C6. 用0，1，2，3，4组成无重复数字的三位偶数有（ ）A. 24个 B. 30个C. 40个D. 48个【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分在个位与不在个位种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，分种情况讨论：.的11x =-1212133a x x +=--=-2a =2443140∆=-⨯⨯=>()1ex xf x a b =-<<，()()f a f b =()()f a f b <()()f a f b >()f x '()f x '()f x ()()2e e 11e e ex xxx x x x x x f x '''---=-=-=()0f x '=1x =(),1x ∞∈-()0f x '<()1,x ∞∈+()0f x '>()f x (),1∞-()1,∞+1a b <<()()f a f b >0022①在个位，在剩下的个数字中任选个，安排在百位、个位，有种选法，②不在个位，需要在、中选个，个位有种选法，不能在首位，则首位有种选法，则十位有种选法，此时有种选法，则一共可以组成个无重复数字的三位偶数.故选：B ．7. 已知函数，，及其导函数的图象如图所示，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据给定的图象，由，可得，由时可得函数的单调性，进而确定以及的图象，然后求解即可.【详解】由图象可知，而，所以，则，当时，，则函数在上单调递增，因此最大值为的函数图象为的图象，即，04224A 12=0241203323318⨯⨯=121830+=()()sin f x A x ωϕ=+()0,0πωϕ><<()f x ()π2sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()00f >0A >π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x ()f x ()f x '()0sin 0f A ϕ=>0πϕ<<sin 0ϕ>0A >π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭1()f x 1A =由函数，所以，由图可知的最大值为，则，即，由，得，即，，又，所以当时，，所以函数的解析式为.故选：.8. 若，则函数的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】对比选项可知，由题意，（）是函数的零点，（）都是函数的极值点，由此可以排除A ，C ；进一步对和0的大小关系分类讨论，得出函数在处附件的增减变换情况即可.【详解】对比各个选项可知，由三次函数图象与性质可得，（）是函数的零点，令，可知（）且，都是函数的极值点，由此可以排除A ，C ；()()sin f x x ωϕ=+()()cos f x x ωωϕ'=+()f x '22ω=()()sin 2f x x ϕ=+π112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ2π62k ϕ+=+Z k ∈0πϕ<<0k =π3ϕ=()f x ()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C a b >()2()y a x a x b =--0a ≠x a =x b =a b >()()2y a x a x b =--1223a b x b x +=<=a b >()2()y a x a x b =--a x b =0a ≠x a =x b =a b >()()2y a x a x b =--()()()()()23202y a x b x a x b a x b a x a b '=---+=---=1223a bx b x a +=<=<a b >1x 2x ()2()y a x a x b =--若，则函数的图象形状为增减增，具体为在单调递增，在单调递减，在单调递增，可知B 符合；若，则函数的图象形状为减增减，具体为在单调递减，在单调递增，在单调递减，可知D 不符合．故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）A. 有两个极值点B. 有三个零点C. 直线是曲线的切线D. 满足【答案】ABD 【解析】【分析】对求导，求出函数极值点和极值，即可判断A ，B ；利用导函数求出导数值为时的的值，即可确定切线斜率为的切点坐标，即可确定过该点的切线方程，即判断C ；根据解析式秋求解，从而得，即可判断D ．【详解】因为，则，令，得，解得，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，的0a >()()2y a x a x b =--()()2y a x a x b =--(),b -∞2,3a b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2,3a b +⎛⎫+∞⎪⎝⎭a<0()()2y a x a x b =--()()2y a x a x b =--(),b -∞2,3a b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭2,3a b +⎛⎫+∞⎪⎝⎭3()31f x x x =-+()f x ()f x 3y x =-()f x ()y f x =()()2f x f x +-=()f x 3-x 3-()f x -()()f x f x +-3()31f x x x =-+2()33f x x '=-()0f x '=2330x -=1x =±1x <-1x >()0f x '>11x -<<()0f x '<()f x (,1)-∞-(1,)+∞(1,1)-()f x =1x -1x =且，，图象如图所示：故有两个极值点，三个零点，故A ，B 正确；令，则，且，故函数在处的切线斜率为，此时切线方程为，即在处的切线方程为，故C 错误；又，则，所以，故D 正确．故选：ABD ．10. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上为减函数，(1)3f -=()11f =-()f x ()f x 2333x -=-0x =(0)1f =()f x 0x =3-13y x -=-()f x 0x =31y x =-+x ∈R 3()31f x x x -=-++()()2f x f x +-=()f x '()f x 0x >()()0f x xf x '->11224f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11224f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212f f ⎛⎫>⎪⎝⎭()1212f f ⎛⎫>⎪⎝⎭()()f xg x x=0x >()g x ()0,∞+()()f xg x x =0x >()()()20xf x f x g x x '-'=<()g x ()0,∞+对于AB 选项，，即，可得，A 错B 对；对于CD 选项，，即，D 对，C 无法判断.故选：BD.11. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）A. 当时，有唯一极小值B. 存在定直线始终与曲线相切C. 存在实数，使为增函数D. 存在实数，使为减函数【答案】ABD 【解析】【分析】通过判对函数求导，结合零点存在性定理判断A ；由题意可知，，恒成立，即可求出切线方程，进而判断B ，由B 中结论，可判断C ；当时，可利用导数判断出为减函数，可判断D .【详解】对于A ，当时，，定义域为，所以，令，则，由得或，由得，所以在上单调递减，在和上单调递增，又，，，所以在中存在唯一点，使，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有唯一极小值，故A 正确；1124g g ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112424f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11224f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()112g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭()1212f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()222e xf x ax x x =-+-1a =()f x a ()f x a ()f x ()01f '=-()02f =12a =-()f x 1a =()()222e xf x x x x =-+-R ()2e 1xf x x '=-()2e 1xg x x =-()()22e xg x x x '=+()0g x '><2x -0x >()0g x '<20x -<<()g x ()2,0-(),2-∞-()0,∞+()24210eg -=-<()010g =-<()1e 10g =->()0,10x ()00g x =0x x <()0f x '<0x x >()0f x ¢>()f x ()0,x -∞()0,x +∞()f x对于B ，，所以，因为，，所以存在定直线与曲线相切，故B 正确；对于C ，由B 可知，不论为何值，恒成立，故不能为增函数，故C 错误；对于D ，当时，，令，，令，则所以当，在上单调递减，当时，，在上单调递增，当，在上单调递减，当，，且，所以恒成立，故，所以，当，为减函数，故D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题，(4)考查数形结合思想的应用三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()()222e xf x ax x x =-+-()()222e 1xf x ax a x '⎡⎤=+--⎣⎦()01f '=-()02f =2y x =-+a ()01f '=-()f x 12a =-()213e 12xf x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭()213e 12xh x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()2143e 2x h x x x ⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭()0h x '=4x =-±4x <--()0h x '<()h x (,4-∞--44x --<<-+()0h x '>()h x (44--4x>-+()0h x '<()h x ()4-++∞x →-∞()0h x <(((2414434e 102h -⎡⎤-+=----+-<⎢⎥⎣⎦()0h x <()0f x '<12a =-()f x12. 曲线在点处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】利用切线方程的公式：，代入切点求解即可.【详解】，，曲线在点处的切线方程为：，化简得【点睛】本题考查切线方程的公式，属于简单题.13. 甲乙丙丁四人排成一排照相，要求甲乙两人相邻，有______种排法【答案】12【解析】【分析】把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，用捆绑法求解即可【详解】因为甲、乙两人相邻，所以把甲､乙两人捆绑在一起看成一个整体，和丙丁2人进行全排列有种排法，再考虑甲乙之间的顺序有种排法，所以共有种，故答案为：12.14. 已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质求出的范围即可.【详解】因为函数，所以，令，由题意得在上2个解，，故，解得：；3()ln f x x x =+(1,1)430x y --=000'()()y y f x x x -=-21'()3f x x x=+'(1)4f =3()ln f x x x =+(1,1)14(1)y x -=-430x y --=33A 22A 3232A A 12=2()ln(1)f x x a x =++12x x ，a 102a <<a 2()ln(1)f x x a x =++222()1x x af x x '++=+2()22g x x x a =++()0g x =(1,)-+∞1x 2x Δ480(1)0a g =->⎧⎨->⎩102a <<故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 圆锥的底面半径和高都为1，圆柱内接于圆锥（即圆柱下底面在圆锥的底面内）.（1）求圆柱的侧面积的最大值；（2）求圆柱体积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用平行成比例得到，再利用基本不等式即可得解；（2）将圆柱体积转化为的表达式，再利用导数即可得解.【小问1详解】圆锥的底面半径和高都为1，圆柱内接于圆锥，设底面半径为，高为．记与圆柱的上底面交于点，连接、，则，所以，即，整理可得.时，等号成立，即，所以圆柱的侧面积，因此当时，圆柱的侧面积取最大值.【小问2详解】由（1）知，，圆柱的体积，则当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，102a <<π24π271R H +=R R H PA C 1O C OA 1//O C OA 11PO O C PO OA=111H R -=1R H +=1R H =+≥12R H ==14RH ≤1π2π2π42S RH =≤⨯=12R H ==π21R H +=()2223ππ1ππV R H R R R R ==-=-()22π3ππ23V R R R R ='=--203R <<0V '>213R <<0V '<()V R 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当时，，因此，当时，圆柱的体积取得最大值.16. 设，函数的单调增区间是．（1）求实数a ；（2）求函数的极值．【答案】（1）2（2）极小值为，极大值为0.【解析】【分析】（1）因为函数的单调增区间是，所以的解集为，由此可求参数的值.（2）求导，分析函数的单调性，可求函数的极值.【小问1详解】函数的定义域为：且因为函数的单调增区间是，所以的解集是.所以方程的解是，，所以.【小问2详解】当时，令，则或当变化时，，的变化情况如下表：x1f '(x )+023R =()22max 214π1ππ3327V R R ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭23R =4π2713()ln 122f x a x x x =+-+()y f x =1(,1)3()f x 22ln 3-()f x 1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f x '>1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭a ()0,+∞()22213321222a x ax f x x x x -+-=--='()y f x =1(,1)323210x ax -+->1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭23210x ax -+-=13112133a +=⇒2a =2a =()0f x '=13x =1x =x ()f x ()f x '1(0,)3131(,1)3(1,)+∞-0-f (x )↘极小值↗极大值↘当时，有极小值；当时，有极大值.17. 已知函数在时有极大值.（1）求的值；（2）若在的最大值为32，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由函数在时有极大值.得讨论解得;（2）由函数的单调性求得上的最大值，再结合题设求解即可.【小问1详解】函数，，由函数在处有极大值.得，即：，所以：或，当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，此时，为极大值，符合题意.当时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增；此时，为极小值，与题设矛盾.所以.【小问2详解】由（1），得；由，得：，或；13x =()f x 11312ln 13322f ⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭22ln 3-1x =()f x ()1312ln11022f =+-+=()()2f x x x c =-2x =c ()f x [1,)x k ∈-k 6c =(2,8]k ∈()()2f x x x c =-2x =(2)0f '=c [1,)x ∈-+∞()()2f x x x c =-()2234f x x cx c =-+'()()2f x x x c =-2x =(2)0f '=21280c c -+=2c =6c =6c =()()()232436326f x x x x x =-+=--'2x <()0f x '>()f x 26x <<()0f x '<()f x (2)f 2c =()()()2384322f x x x x x =-+=--'223x <<()0f x '<()f x 2x >()0f x '>()f x (2)f 6c =()()()232436326f x x x x x =-+=--'(2)0f '=2x =6x =当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，，单调递增，此时，极大值为，极小值为，且，因为在的最大值为32，所以所求的取值范围为，即.18 已知.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得.分，，三种情况讨论，进而求得函数的单调区间;（2）分,两种情况讨论，结合函数的单调性与最值，即可求解.【小问1详解】，当时，，或，即或，当时，，，在上单调递增；当时，，当或时，，当时，，所以在递增，在递减，在递增.当时，，当或时，，当时，，.2x <()0f x '>()f x 26x <<()0f x '<()f x 6x >()0f x '>()f x (2)32f =(6)0f =(8)32f =()f x [1,)x k ∈-k 28k <≤(2,8]k ∈()()21e 21e 22x x f x a a x =-++0a >()0f x ≤a []ln 21,0-()()()e 1e 2x x f x a =--'102a <<12a =12a >()f x 0a ≤0a >()f x ()()()e 1e 2x x f x a =--'0a >()=0f x '1e =x a e =2x 1ln x a=ln 2x =12a =1ln ln 2x a==()0f x '≥()f x (),∞∞-+102a <<1ln ln 2x a=>ln 2x <1ln x a >()0f x '≥1ln 2ln x a <<()0f x '<()f x (),ln 2∞-1ln 2,lna ⎛⎫ ⎪⎝⎭1ln ,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭12a >1ln ln 2x a=<1ln x a<ln 2x >()0f x '≥1ln ln 2x a <<()0f x '<所以在递增，在递减，在递增.【小问2详解】当时，，，当时，，当时，，所以在递增，在递减.∴，由可得，，解得：.若，则取，有，与已知矛盾.综上，实数的取值范围为.19. 已知函数在点处的切线方程为（1）求；（2）求的单调区间；（3）求使成立的最小整数.【答案】（1） （2）在上单调递增（3）【解析】()f x 1,lna ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1ln ,ln 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()ln 2,∞+0a ≤()()()e 1e 2x x f x a =--'()=0f x 'ln 2x =ln 2x <()0f x '≥ln 2x >()0f x '<()f x (),ln 2∞-()ln 2,∞+()()max ln 222212ln 2222ln 2y f a a a ==-++=--+()0f x ≤222ln 20a --+≤ln 210a -≤≤()()21e 21e 22x x f x a a x =-++()222211211e 222x a a a x a a a ++⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭()2221121e 222x a a a x a a ++⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭0a >()2214a x a +>()0f x >()0f x ≤a []ln 21,0-()()ln f x x a x bx =++()()1,1f 260x y --=,a b ()f x ()22f x x m ≤+m 52,2a b ==-()f x (0,)+∞3-【分析】（1）求得，结合，列出方程，即可求解；（2）由（1）知，令，求得，求得的单调性和，即可求解；（3）根据题意转换为，令，结合，得到成立，再由时，转化为，设，利用导数求得函数的单调性，解得，即可求解.小问1详解】解：由函数，可得因为函数在点处的切线方程为，可得，即且，解得.【小问2详解】解：由（1）知且，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，当时，，即，则，所以函数在上单调递增.【小问3详解】解：由不等式，即，令，又由，可得，当时，，单调递减；【()ln x a f x x b x +=++'()()151,122f f '==-()2ln 342x x x f x x '-+=()2ln 34x x x x ϕ=-+()2ln 1x x ϕ='-()x ϕ()min 0x ϕ>()22f x x m -≤()25(2)ln 22g x x x x x =+--132g ⎛⎫<- ⎪⎝⎭3m ≥-3m =-3ln 22x x ≤-()3ln 22t x x x =-+()0t x <()()ln f x x a x bx =++()ln x af x x bx +=++'()f x ()()1,1f 260x y --=()()151,122f f '==-()1112f a b +'=+=()512f b ==-52,2a b ==-()252ln 34ln 22x x x xf x x x x +-+=+='-0x >()2ln 34x x x x ϕ=-+()2ln 1x x ϕ='-12(0,e )x ∈()0x ϕ'<()x ϕ12(e ,)x ∞∈+()0x ϕ'>()x ϕ12e x =()1122min (e )42e 0x f ϕ==->()0x ϕ>()0f x '>()f x (0,)+∞()22f x x m ≤+()22f x x m -≤()()2252(2)ln 22g x f x x x x x x =-=+--()(1)ln ,0m x x x x =-->()111xm x x x '-=-=(0,1)x ∈()0m x '<()m x当时，，单调递增，又因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，可得，则，所以成立（必要性）；下面证明：时，恒成立，当时，可得，即，因为，上式等价于，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，所以时，不等式恒成立，综上可得，实数的最小值为.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．(1,)x ∈+∞()0m x '>()m x ()10m =()()10m x m ≥=1ln x x -≥0x =111ln1222<-=-1517517ln 32224224g ⎛⎫⎛⎫=-<--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3m ≥-3m =-25(2)ln 232x x x x +--≤-3m =-25(2)ln 232x x x x +--≤-253(2)ln 23(2)(222x x x x x x +≤+-=+-20x +>3ln 22x x ≤-()3ln 2,02t x x x x =-+>()1122x t x x x'-=-=1(0,)2x ∈()0t x '>()t x 1(,)2x ∈+∞()0t x '<()t x ()111ln 0222t x t ⎛⎫≤=+< ⎪⎝⎭3m =-()22f x x m ≤+m 3-。

吉林省长春市市第二实验中学高二物理上学期期末试题含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. 水波通过小孔发生了一定程度的衍射，为使衍射现象更明显，可以A．增大小孔的尺寸，同时增大水波的频率B．增大小孔的尺寸，同时减小水波的频率C．缩小小孔的尺寸，同时增大水波的频率D．缩小小孔的尺寸，同时减小水波的频率参考答案：D2. 关于交流电的下列说法正确的是（）A．在一个周期内交流电的方向只改变一次。

Ｂ．交流电器设备上标出的电压和电流值都是指有效值。

Ｃ．某正弦交流电压的最大值为311V，则该交流电压最小值为－311V。

Ｄ．用交流电流表和交流电压表测交流电流或电压时，应测得交流电流或电压的最大值。

参考答案：B3. 汤姆孙通过对阴极射线的研究发现了电子．如图所示，把电子射线管（阴极射线管）放在蹄形磁铁的两极之间，可以观察到电子束偏转的方向是（）A. 向下B. 向上C. 向左D. 向右参考答案：A 试题分析：磁场方向从左到右，带负电的电子束从负极到正极，所以根据左手定则可得离子束受到向下的洛伦兹力作用，故A正确考点：考查了洛伦兹力方向的判断4. (单选)如图所示，平行板电容器两极板与电源两极相连．为电流表，若将电容器的两极板靠近，则在这一过程中: ( )A. 中有电流，方向是a→b．B. 中有电流，方向是b→a．C. 电容器两极板的带电量减小．D. 电容器两极板间的场强减小．参考答案：A5. 如图所示，水平桌面上放一闭合铝环，在铝环轴线上方有一条形磁铁.当条形磁铁沿轴线竖直向下迅速移动时，下列判断中正确的是（）A.铝环有收缩趋势，对桌面压力减小B.铝环有收缩趋势，对桌面压力增大C.铝环有扩张趋势，对桌面压力减小D.铝环有扩张趋势，对桌面压力增大参考答案：B二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共计16分6. 如图所示，光滑水平面上滑块A、C质量均为m=1kg，B质量为M=3kg．开始时A、B静止，C以初速度v0=2m/s滑向A，与A碰后C的速度变为零，A向右运动与B发生碰撞并粘在一起，则：A与B碰撞后的共同速度大小为．参考答案：0.5m/s．【考点】动量守恒定律．【分析】碰撞过程遵守动量守恒，对整个过程，运用动量守恒定律求出它们的共同速度．【解答】解：以A、B、C组成的系统为研究对象，以C的初速度方向为正方向，对整个过程，由动量守恒定律得：mv0=（M+m）v共；解得，A与B碰撞后的共同速度大小为：v共=0.5m/s故答案为：0.5m/s．7. 在某一电场中的P点放入一个带电荷量为的负电荷，所受电场力大小为，方向水平向左。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。