河南省平顶山市鲁山县第一高级中学2020届高三6月月考数学(文)试卷 Word版含答案
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文科数学试题第I 卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.设全集，集合，，则A.B.C.D.2.已知复数，为虚数单位，则A.B.C. D.3.在ABC ∆中， 22,120AB AC BAC ==∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =，则AB AD ⋅=A. 3B. 2C.73 D. 234.运行如图所示的程序框图，输出的x 是A. B.C.D.5.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 A. B.C.D.6.若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则函数在区间上的最小值为A.B.C. 1D.7.设等差数列的前n 项和为，若，则的值等于A. 54B. 45C. 36D. 278.函数()()28sin 2x x f x x x -=+-的部分图像大致是A. B. C. D.9.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 A.B.C.D.10.在正方体中，点M，N分别是线段和上不重合的两个动点，则下列结论正确的是A. B. C. 平面平面 D. 平面平面11.已知函数与，则函数在区间上所有零点的和为A. B.C. D.12.已知是双曲线上一点，是左焦点，是右支上一点，与的内切圆切于点，则的最小值为A. B. C. D.第II卷非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x，y满足约束条件，则的最小值为______．14.某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样30,40的同学比支出的钱数本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在[)10,20的同学多26人，则n的值为__________．在[)15.如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．16.设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的一个焦点为()1,0F ，点()1,1A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是_____．A. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 11,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题(本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)17. （本小题满分12分）（1）求角A ；（2）若3,sin 2sin 1a B C =+=，求ABC ∆ 的面积.18.（本小题满分12分）随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用户编号评分用户编号评分用户编号评分用户编号评分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 78738192958579846386111213141516171819208886957697788882768921222324252627282930798372749166808374823132333435363738394093787581847781768589用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10个样本的均值和方差；（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在之间，则满意度等级为“级”。
试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“级”的用户所占的百分比是多少？（参考数据：）19.（本小题满分12分）四棱锥中，底面是边长为的菱形，，是等边三角形，为的中点，.（1）求证：； （2）若在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面平面？若存在，求四面体的体积.20. （本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，定点(2,3)M 与点F 在抛物线E 的两侧，抛物线E 上的动点P 到点M 的距离与到其准线l 的距离之和的最小值为10．（1）求抛物线E 的方程； （2）设直线12y x b=+与圆229x y +=和抛物线E 交于四个不同点，从左到右依次为,,,A B C D ，且,B D 是与抛物线E 的交点，若直线,BF DF 的倾斜角互补，求||||AB CD +的值．21（本小题满分12分） .已知函数．求的单调区间； 若在区间上恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知三点()0,0O ， 2,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 4B π⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求经过O ， A ， B 三点的圆1C 的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1,{1x acos y asin θθ=-+=-+（θ是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()54f x x x =-++. （1）求不等式()12f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBDAAAADAADB1.B 利用指数函数的性质化简集合，利用由一元二次不等式的解法化简集合，利用补集与交集的定义求解即可. 因为，又因为 ，，故选B.2.B先化简复数z 求出z ，再求.由题得，所以.故答案为：B3.D3.∵1111233333AD CD AC CB AC AB AC AC AB AC =+=+=-+=+ ∴21242233333AB AD AB AB AC ⋅=+⋅=-=。
故选D.4.A模拟运行如图所示的程序框图知， 该程序运行后输出的．故选：A ．5.A由归纳推理得：设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S ，则图（3）中阴影部分的面积为：9S ，又图（3）中大三角形的面积为16S ，由几何概型中的面积型得解设图（3）中1个小阴影三角形的面积为S ， 则图（3）中阴影部分的面积为：9S ，又图（3）中大三角形的面积为16S ， 由几何概型中的面积型可得： 此点取自阴影部分的概率为，故选：A.6.A利用三角函数图象的变化规律求得：，利用对称性求得，由时，可得，由正弦函数的单调性可得结果. 函数的图象向左平移个单位长度后，图象所对应解析式为：，由关于轴对称，则， 可得，，又，所以，即，当时，所以，，故选A ．7.A8.D()()()()28sin ,2x x f x f x f x x x -+-==-∴+-为奇函数，图象关于原点对称，排除A ；当()0,1x ∈时，设()sin g x x x =-，则()'1cos 0g x x =-≥，即()sin g x x x =-在区间()0,1上递增，且()()00,0g g x =∴>，又()()22210,xx x x +-=+-<∴在区间()0,1上()0f x <，排除B ；当1x >时， ()0f x >，排除C ，故选D.9.A 先证明恒成立，得函数在上递减，即当时，恒成立，问题转化为恒成立，即可求出a 的范围． 设则，当时， 所以在上递增，得所以当时，恒成立.若不等式在上恒成立，得函数在上递减，即当时，恒成立，所以即，可得恒成立，因为,所以，故选：．10.A利用排除法，由与重合排除选项；由与重合且与重合排除选项；与重合时，排除选项，从而可得结果.与重合时，不成立，排除选项；与重合且与重合时，平面平面不成立，排除选项；与重合时，平面平面不成立，排除选项.故选A.11.D在区间上所有零点的和，等价于函数的图象交点横坐标的和，画出函数的图象，根据函数的图象关于点对称可得结果.在区间上所有零点的和，等价于函数的图象交点横坐标的和，画出函数的图象，函数的图象关于点对称，则共有8个零点，其和为16. 故选D.12.B由内切圆得到,利用三角形边的关系及双曲线定义即可求解.与的内切圆切于点，∴,由双曲线定义=,当且仅当A,B,共线时取等故选：B 13.-1画出约束条件表示的平面区域，由图形求出最优解，再计算目标函数的最小值．画出约束条件表示的平面区域如图所示，由图形知，当目标函数过点A 时取得最小值，由，解得，代入计算，所以的最小值为．故答案为：．14.100 由频率分布直方图可得支出的钱数在[)30,40的同学有0.038100.38n n ⨯=个，支出的钱数在[)10,20的同学有0.012100.12n n ⨯=个，又支出的钱数在[)30,40的同学比支出的钱数在[)10,20的同学多26人，所以0.380.120.2626100n n n n -==∴= 故答案为100 15. 将平移到和相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 过作，过作，画出图像如下图所示，由于四边形是平行四边形，故，所以是所求线线角或其补角.在三角形中，，故.16.1154e ≤≤ 因为点A 为椭圆内一点，所以22111ab+<，设左焦点()11,0F -，则12PA PF a PA PF +=+-，又111AF PA PF AF -≤-≤，所以111PA PF -≤-≤2121a PA PF a -≤+≤+，也就是21921a a -≤≤+即45a ≤≤，从而1154e ≤≤.17.(1) 23A π= (2) (3626S =（1）因为//m n ，所以有2sin cos sin c B A b C -=，由正弦定理可得2sin sin cos sin sin C B A B C -=，因(),0,B C π∈ ，故sin 0,sin 0B C ≠≠，所以得到1cos 2A =-，∵()0,A π∈ 所以23A π=. （2）法1:3sin sin sin3b cB C ==，于是可得sin ,sin 22b c B C ==.∵sin 2sin 1B C += ， ∴22b c +=，又因为23A π=，由余弦定理得223b c bc =++，两式联立得23610c c -+=，解得61{ 26c b ==或61{26c b =+=（负值舍去）.∴(3621233626sin 236S bc π-=⋅==.法2：因为23A π=，所以3C B π=-，代入sin 2sin 1B C +=得sin 2sin sin 3cos sin 3cos 13B B B B B B π⎛⎫+-=+-== ⎪⎝⎭，所以36cos ,sin B B ==.因为sin 2sin 1B C +=，所以36sin C -=.根据正弦定理3sin sin sin 3b c B C π==，于是可得26362sin ,2sin b B c C -====，∴()3621233626sin 236S bc π--=⋅=⋅⋅=18. （1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. （2）由（1）中的样本评分数据可得，则有所以均值，方差.（3）由题意知评分在即之间满意度等级为“A 级”， 由（1）中容量为10的样本评分在之间有5人，则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为19. （1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ；（2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积．连接PF ，BD,∵是等边三角形，F为AD的中点，∴PF⊥AD，∵底面ABCD是菱形，，∴△ABD是等边三角形，∵F为AD的中点，∴BF⊥AD，又PF，BF⊂平面PBF，PF∩BF＝F，∴AD⊥平面PBF，∵PB⊂平面PBF，∴AD⊥PB．（2）由（1）得BF⊥AD，又∵PD⊥BF，AD，PD⊂平面PAD，∴BF⊥平面PAD，又BF⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，由（1）得PF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PF⊥平面ABCD，连接FC交DE于H,则△HEC与△HDF相似，又，∴CH=CF，∴在△PFC中,过H作GH PF交PC于G，则GH⊥平面ABCD，又GH面GED，则面GED⊥平面ABCD，此时CG=CP,∴四面体的体积．所以存在G 满足CG=CP, 使平面平面，且.20. （1）过P 作1PP l ⊥于1P ，则1||||||||||PM PP PM PF MF +=+≥，当,,P M F 共线时，1||||PM PP +取最小值2||(2)9102pMF =-+= 解得6p =或2p =．当6p =时，抛物线E 的方程为212y x =，此时，点M 与点F 在抛物线E 同侧，这与已知不符． ∴2p =，抛物线E 的方程为24y x =．（2）(1,0)F ，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，由2124y x by x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得22(416)40x b x b +-+=， 所以24164x x b +=-，2244x x b =，且由0∆>得2b <．因为直线,BF DF 的倾斜角互补，所以0BF DF k k +=， ∵2424422424(1)(1)11(1)(1)BF DF y y y x y x k k x x x x -+-+=+=----， ∴2442(1)(1)0y x y x -+-=，即244211()(1)()(1)022x b x x b x +-++-=，24241()()202x x b x x b +--=，214()(164)202b b b b +---=，12b =，由2211229y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得252350x x +-=，所以1325x x +=-，214311||||1()1()44AB CD x x x x +=+-++-2413552365()(14)2255x x x x =+--=+=． 21..． ，由得，， 当时，在或时，在时，的单调增区间是和，单调减区间是；当时，在时，的单调增区间是；当时，在或时，在时．的单调增区间是和，单调减区间是．由可知在区间上只可能有极小值点，在区间上的最大值在区间的端点处取到，即有且，解得．即实数a 的取值范围是．22.（1）22cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）2a =（1）()0,0,2,,22,24O A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对应的直角坐标分别为()()()0,0,0,2,2,2O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为22220x y x y +--=，又因为{x cos y sin ρθρθ==，代入可求得经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。
