数学奥林匹克初中训练题(86)

初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。

点 P的坐标即为 (7, 8)。

10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。

初中数学奥林匹克竞赛模拟试卷(八年级)全国初中数学奥林匹克竞赛试卷（八年级）一、选择题1、已知三点A（2,3),B(5，4)，C（-4，1）依次连接这三点，则三点在同一直线上。

解析：AB的解析式为y= 3x+3，当x= -4时，y=1，即点C在直线AB上，∴选D。

2、边长为整数，周长为20的三角形个数是8个。

解析：设三角形的三边为a、b、c且a≥b≥c，a+b+c=20，a≥7，又b+c＞a，2a＜20a＜10，又7≤a≤9，可列出（a、b、c）有：（9，9，2）（9，8，3）（9，7，4）（9，6，5）（8，8，4）（8，7，5）（8，6，6）（7，7，6）共八组，选C。

3、N=++，则N的个位数字是9.解析：的个位数字为3，的个位数字为9，的个位数字为7，∴N的各位数字为9，选C。

4、P为正方形ABCD内一点，若解析：过P作BP’⊥BP，且使BP’=BP，连P’A。

易得△P’AB≌△PBC，则P’A=PC，设PA=k，则PB=2k，PC=P’A=3k，连PP’，则Rt△PBP’中，∠P’PB=45°且PP’=22k，在△P’AP中有：P’A2=P’P2+PA2，∴∠P’PA=90°，∴∠APB=135°选B。

5、在函数y= -x（a为常数）的图象上有三点：（-1，y1）（-4，y2）（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2.解析：-（a2+1）＜0，∴在每个象限，y随x的增大而增大，因此y1＜y2.又∵（-1，y1）在第二象限，而（2，y3）在第四象限，∴y3＜y1，选C。

6、已知a+b+c≠0，且c=a=b。

解析：由c=a=b，可得a=b=c，代入a+b+c≠0中，得3a≠0，∴a≠0，选D。

数学奥林匹克初中训练题(1)第 一 试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.已知33333a b c abc a b c++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为:(A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)-( )3.在ΔABC 中,211a b c=+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2;a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是:(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么:(A)22S CP (B)22S CP = (C)22S CP (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有:(A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过分钟,货车追上了客车.2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+,那么P 的最小值是 .3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.在OA 上有一点Q,OB 上有一点R.若ΔPQR 周长最小,则最小周长是 .4.已知二次函数2(1)y ax a =≥的图象上两点A,B 的横坐标分别为1,2-,O 是坐标原点,如果ΔAOB 是直角三角形,则ΔAOB 的周长为 .第 二 试一.(20分)已知实数,,a b c 满足不等式,a b c b c a ≥+≥+,c a b ≥+,求a b c ++的值.二.(25分)如图2,点D 在ΔABC 的边BC 上,且与B,C 不重合,过点D 作AC 的平行线DE 交AB 于E,作AB 的平行线DF 交AC 于点F.又知BC=5.(1) 设ΔABC 的面积为S.若四边形AEFD 的面积为25S .求BD 长.(2) 若,AC 且DF 经过ΔABC 的重心G,求E,F 两点的距离.三.(25分)已知定理:”若三个大于3的质数,,a b c 满足关系式25a b c +=,则a b c ++是整数n 的倍数.”试问:上述定理中整数n 的最大可能值是多少?并证明你的结论.数学奥林匹克初中训练题(2)第一试一. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.有铅笔,练习本,圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔,练习本,圆珠笔各1件,共需:(A)1.2元 (B)1.05元 (C)0.95元 (D)0.9元( )2.三角形的三边,,a b c 都是整数,且满足7abc bc ca ab a b c ++++++=,则此三角形的面积等于:(A)2 (B)4 (C)4 (D)2( )3.如图1,ΔABC 为正三角形,PM ⊥AB,PN ⊥AC.设四边形AMPN, ΔABC 的周长分别是,m n ,则有: (A)1325m n (B)2334m n (C)80%83%m n (D)78%79%mn( )4.满足22(3)(3)6x y -+-=的所有实数对(,)x y ,使y x取最大值,此最大值为:(A)3+4+5+ (D)5( )5.设p .其中,,,a b c d 是正实数,且满足1a b c d +++=.则p 满足: (A)p ＞5(B)p ＜5 (C)p ＜2 (D)p ＜3( )6.如图2,点O 是正六边形ABCDEF 的中心,OM ⊥CD,N为OM 的中点.则:ABN BCN S S 等于:(A)9:5 (B)7:4 (C)5:3 (D)3:2二. 填空题.(每小题7分,共28分)1.若实数,x y 满足(1x y =,则x y += .2.如图3,CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高,DE ⊥AC.设ΔADE,ΔCDB,ΔABC 的周长分别是12,,p p p .当12p p p + 取最大值时,∠A= .3.若函数2543kx y kx kx +=++中自变量的取值范围是一切实数,则实数k 的取值范围是 .4.如图4所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= .第 二 试一.(共20分)n 是一个三位数,b 是一个一位数,且22,1a a b b ab ++都是整数,求a b +的最大值与最小值.二.(共25分)如图5,在ΔABC 中,∠A=60O ,O,I,H 分别是它的外心,内心,垂心.试比较ΔABC 的外接圆与ΔIOH 的外接圆的大小,证明你的论断.三.(共25分)求方程组33333x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有整数解.参考答案一.1.(B)数学奥林匹克初中训练题(四)第 一 试三. 选择题.(每小题7分,共42分)( )1.在11,,0.2002,7223πn 是大于3的整数)这5个数中,分数的个数为: (A)2 (B)3 (C)4 (D)5( )2.如图1,正方形ABCD 的面积为256,点F 在AD上,点E 在AB 的延长线上,Rt ΔCEF 的面积为200,则BE 的长为:(A)10 (B)11 (C)12 (D)15( )3.已知,,a b c 均为整数,且满足2223a b c +++＜32ab b c ++.则以,a b c b +-为根的一元二次方程是:(A)2320x x -+= (B)2280x x +-=(C)2450x x --= (D)2230x x --=( )4.如图2,在Rt ΔABC 中,AF 是高,∠BAC=90O ,且BD=DC=FC=1,则AC 为:( )5.若222a b c a b c k c b a+++===,则k 的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)非上述答案( )6.设0,0,26x y x y ≥≥+=,则224363u x xy y x y =++--的最大值是: (A)272(B)18 (C)20 (D)不存在四. 填空题.(每小题7分,共28分)1.方程222111013x x x x++=+的实数根是 . 2.如图3,矩形ABCD 中,E,F 分别是BC,CD 上的点,且2,3,4A B E C E F A D F S S S ===,则AEF S = .3.已知二次函数2(1)y x a x b =+++(,a b 为常数).当3x =时,3;y =当x 为任意实数时,都有y x ≥.则抛物线的顶点到原点的距离为 .4.如图4,半径为2cm ,圆心角为90O 的扇形OAB 的AB 上有一运动的点P.从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H.设ΔOPH 的内心为I,当点P 在AB 上从点A 运动到点B 时,内心I 所经过的路径长为 .第 二 试一.(20分)在一个面积为1的正方形中构造一个如下的小正方形;将单位正方形的各边n 等分,然后将每个顶点和它相对应顶点最接近的分点连结起来,如图5所示.若小正方形的面积恰为13281,求n 的值. 二.(25分)一条笔直的公路l 穿过草原,公路边有一卫生站A,距公路30km 的地方有一居民点B,A,B 之间的距离为90km .一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60/km h ,在草地上行驶的最快速度是30/km h .问司机应以怎样的路线行驶,所用的行车时间最短?最短时间是多少?三.(25分)从1，2，3，……，3919中任取2001个数。