2013届一轮复习课件立体几何7-空间空间向量的应用(一)

间直角坐标系．设正方体的棱长为 1，
则可得 M(0,1，12)，N(21，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)．
于是
uuuur MN
＝(21，0，21)，
uuuur DA1
＝(1,0,1)，
uuuur DB1
＝(1,1,0)．
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)．
34
(2)由 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥CD，又 AD⊥CD，所以 CD⊥平面 PAD，
又 AF⊂平面 PAD，所以 CD⊥AF， 又△PAD 为等腰直角三角形，F 为 PD 中点， 所以 AF⊥PD，所以 AF⊥平面 PCD. 由(1)EG∥AF，所以 EG⊥平面 PCD， 又 EG⊂平面 PEC，所以，平面 PCD⊥平面 PEC.
则 λ 等于( B )
2
9
A.3
B.2
C．－29
D．－32
5
解析：因为 a∥b，所以－13＝－λ32＝－25125，
解得 λ＝92，故选 B.
6
3.若直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，能使
l∥α 的是( D )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
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【温馨提示】 证明线面平行和垂直问题，可以用几何 法，也可以用空间向量法．用向量法的关键在于构造向量， 再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定 理，对于易建立空间直角坐标系的题，这种方法很方便．
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【跟踪训练 2】 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4， E，F 分别是 BC，CD 上的点，且 BE＝CF＝3.

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1．利用向量法证明平行问题的类型及方法 (1)证明线线平行：两条直线的方向向量平行． (2)证明线面平行 ①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示． (3)证明面面平行：两个平面的法向量平行．
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(3)∵M 是 AA1 的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P＝ －12a＋a＋c＋12b＝21a＋12b＋c. 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1＝ 12A→D＋A→A1＝21c＋a， ∴M→P＋N→C1＝12a＋21b＋c＋a＋12c＝ 32a＋12b＋23c.
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「基础小题练一练」 1．判断下列结论是否正确．(打“√”或“×”) (1)空间中任意两非零向量 a，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( ) (3)对于非零向量 b，若 a·b＝b·c，则 a＝c.( ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.( ) (6)|a|－|b|＝|a＋b|是 a，b 共线的充要条件．( )
(2)证明：连接 A1B 交 AB1 于点 P. ∵四边形 AA1B1B 是平行四边形， ∴P 是 A1B 的中点． 又∵M，N 分别是 CC1，AB 的中点， ∴NP∥CM，且 NP＝CM， ∴四边形 MCNP 是平行四边形，可得 CN∥MP. ∵CN⊄平面 AB1M，MP⊂平面 AB1M， ∴CN∥平面 AB1M.
x＝5， 解得y＝13，
z＝－3.
∴D(5,13，－3)．

(3)
位置关系 直线l1，l2的方向向量分 别为n1，n2 直线l的方向向量为n， 平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别 为n，m
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β
向量表示 n1∥n2⇔n1＝λn2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0 n⊥m⇔n·m＝0 n∥m⇔n＝λm n∥m⇔n＝λm n⊥m⇔n·m＝0
(2)求EG的长；
解 由题意知E→G＝－12a＋12b＋21c，
|E→G|2＝14a2＋14b2＋41c2－12a·b＋21b·c－12c·a＝12，
则|E→G|＝
22，即
EG
的长为
2 2.
(3)求异面直线AG和CE所成角的余弦值.
解 A→G＝21(A→C＋A→D)＝21b＋12c，C→E＝C→A＋A→E＝－b＋12a，
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解 当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合， MN在平面ABB1A1内， 当0<k≤1时，MN不在平面ABB1A1内， 又由(1)知M→N与A→B，A→A1共面， ∴MN∥平面ABB1A1. 综上，当k＝0时，MN在平面ABB1A1内； 当0<k≤1时，MN∥平面ABB1A1.
模
|a|
cos〈a，b〉＝ a·b
夹角余弦
|a||b|
(a≠0，b≠0)
__a_21_＋__a_22_＋__a_23 _ a1b1＋a2b2＋a3b3
cos〈a，b〉＝___a_21＋__a_22_＋__a_23·___b_21_＋__b_22＋__b_23__
5.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量 直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的 方向向量 . (2)平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n_垂__直__于__ 平面α，记作 n⊥α ，此时，我们把向量n叫做平面α的 法向量 .

|·|
||

=.
考点三 用空间向量求线线、线面、面面的距离
[例3] 在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中
点,则平面ADE与平面B1C1F之间的距离为


.
解析:以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接AB1,
||
=
|-|
+
=3 .
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
→
(3)求向量:求出相关向量的坐标( ,α内两个不共线向量,平面
α的法向量n).
→
|·|
(4)求距离:d=
.
||
[针对训练] 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,
如图,已知平面α的法向量为 n,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一
点.过点 P 作平面α的垂线 l,交平面α于点 Q,则 n 是直线 l 的方向向
→
→
量,且点 P 到平面α的距离就是在直线 l 上的投影向量 的长度,
→
因此 PQ=|·

→
·
||
|=|
||
→
|=
|·|
||
× )
)
2.平面α的法向量n=(1,-1,2),点B在α上且B(2,2,3),则P(-2,1,3)
到α的距离为


.
→
→
解析:因为 =(4,1,0),故 P(-2,1,3)到α的距离 d=
|(,,)·(,-,)|