概率论与数理统计(浙大四版)习题解 第9章 方差分析
约定：以下各个习题所涉及的方差分析问题均满足方差分析模型所要求的条件。 【习题9.1】今有某种型号的电池三批，它们分别是C B A ,,三个工厂所生产的。为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验得其寿命（小时）如下表。
三批电池样品的寿命检测结果 A B C 40 42 26 28 39 50 48 45 34 32 40 50 38
30
43
（1）试在显著性水平0.05下检验电池的平均寿命有无显著的差异。
（2）若差异显著，试求B A μμ-、C A μμ-及C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间。 〖解（1）〗
设,,A B C μμμ分别表C B A ,,三厂所产电池的寿命均值，则问题（1）归结为检验下面的假设（单因素方差分析）
01::,,不全相等
A B C
A B C H H μμμμμμ==
设A 表因素（工厂），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。
样本数据预处理表
A B C 预处理结果
40 42 26 28 39 50 n=15 48 45 34 32 40 50 a=3
38 30 43 CR=22815 j T 213 150 222 T=585 2j j T n
9073.8 4500 9856.8 A=23430.6 2ij
x
∑
9137
4540
9970
R=23647
11
22
2
112
11585
58522815
1523647
23430.6
j
j
j n a
ij j i n a
ij
j i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============??== ? ???
∑∑∑∑∑∑
计算平方和及自由度如下
23647228158321151142364723430.6216.4
1531223430.622815615.6
1312
T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-= 方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值
()0.052,12F
因素A 615.6 2 307.8 17.07 3.89 误差 216.4 12 18.0333
总和
832
14
因17.07 3.89值F =>在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定各厂生产的电池寿命有显著的差异。 〖解（2）〗
设j x 和k x 表两独立样本的均值，则k j μμ-的置信水平为α-1的置信区间用下面的公式计算，即两独立总体均值差的区间估计
2(j k E x x t df α??-±??? 由上面方差分析表可知，总体方差2σ的无偏估计是误差均方18.0333MSE =，误差平方和的自由度12E df =，则
20.025((12)2.1788 2.68576 5.8517
E L t df t α===?= 引用样本数据预处理表的数据，计算各个子样本的均值如下
12311121231311
21342.6
511
15030511
22244.4
5
n A i i n B i i n C i i x x n x x n x x n =====?===?===?=∑∑∑
均值B A μμ-、C A μμ-、C B μμ-的置信水平为0.95的置信区间依次为
()()()
()()()()()()
42.630 5.8517 6.7483,18.451742.644.4 5.85177.6517,4.05173044.4 5.851720.2517,8.5483A B A C B C x x L x x L x x L -±=-±=-±=-±=--±=-±=--
【习题9.2】为了寻找飞机控制面板上仪表的最佳布置，试验了三个方案，观察领航员在紧急情况下的反应时间（以1/10秒计），随机地选择28名领航员，得到他们对于不同的布置方案的反应时间如下：
方案Ⅰ 14 13 9 15 11 13 14 11 方案Ⅱ 10 12 7 11 8 12 9 10 13 9 10 9 方案Ⅲ
11
5
9
10
6
8
8
7
试在显著性水平0.05下检验各个方案的反应时间有无显著差异。若有显著差异，试求均值差12μμ-、13μμ-、23μμ-的置信水平为0.95的置信区间。 〖解（1）〗方差分析
设123,,μμμ分别表,,ⅠⅡⅢ三个试验的反应时间总体的均值，则问题归结为检验下面的假设（单因素方差分析）
0123
1123::,,H H μμμμμμ==不全相等
以试验方案作因素，由A 表示，设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。
样本数据预处理表 Ⅰ
Ⅱ Ⅲ 预处理结果
14 13 9 10 12 7 11 5 9 n=28 15 11 13 11 8 12 10 6 8 a=3
14 11 9 10 13 8 7 CR=2880.5714
9 10 9
j T 100 120 64 T=284 2j j T n
1250 1200 512 A=2962 2ij
x
∑
1278
1234
540
R=3052
11
22
2
112
11284
27262880.5714
403052
2962
j
j
j n a
ij j i n a
ij
j i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============??== ? ???
∑∑∑∑∑∑
计算平方和及自由度如下
30522880.5714171.4286128127305229629028325
29622880.571481.42861312
T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-=
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值
()0.052,25F
因素A 81.4286 2 40.7143 11.3095
2.53 误差 90 25
3.6 总和
171.4286
27
结论：因11.3095 2.53F =>值在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定各个方案的反应时间有显著差异。
〖解（2）〗求均值差12μμ-、13μμ-、23μμ-的置信水平为0.95的置信区间。
设j x 和k x 表两独立样本的均值，则k j μμ-的置信水平为α-1的置信区间用下面的公式计算，即两独立总体均值差的区间估计
2(j k E
x x t df α??-±??? 引用样本数据预处理表的数据，计算各个子样本的均值如下
12
31111221
2
331311
10012.5
811
1201012
11
648.0
8
n i i n i i n i i x x n x x n x x n =====?==
=
?===?=∑∑∑ 由上面方差分析表可知，总体方差2σ的无偏估计是误差均方 3.6MSE =，误差平方和的自由度25E df =，则均值差12μμ-、13μμ-、23μμ-的置信水平为0.95的置信区间依次为
12μμ-的0.95置信区间：
()()
1220.025(12.51012.510 2.05952.5 1.78360.7164,4.2836E x x t df t α????-±=-±???
?????=-±???=±=
13μμ-的0.95置信区间：
()()
1320.025(12.5812.58 2.05954.5 1.9538 2.5462,6.4538E x x t df t α????-±=-±?????
???=-±???=±=
23μμ-的0.95置信区间：
()()
230.025(108108 2.05952 1.78360.2164,3.7836E x x t df t α????-±=-±???
?????=-±???=±=
结论：均值差12μμ-、13μμ-、23μμ-的置信水平为0.95的置信区间分别为
()0.7164,4.2836、()2.5462,6.4538和()0.2164,3.7836。
【习题9.3】某防治站对4个林场的松毛虫密度进行调查，每个林场调查5块地，得资料如下表：
地点 松毛虫密度（头／标准地） A 1 192 189 176 185 190 A 2 190 201 187 196 200 A 3 188 179 191 183 194 A 4
187
180
188
175
182
判断4个林场松毛虫密度有无显著差异，取显著性水平05.0=α。 〖解〗
设1234,,,μμμμ分别表4个林场松毛虫密度总体的均值，则问题归结为检验下面的假设（单因素方差分析）
012341123::,,H H μμμμμμμμ===4,不全相等
以调查地（林场）作因素，记作A ，设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。
样本数据预处理表
1A
2A
3A
4A
预处理结果 192 190 188 187 n=20 189 201 179 180 a=4
176 187 191 188 CR=704250.45
185 196 183 175
190 200 194 182 j T 932 974 935 912 T=3753 2j j T n
173724.8 189735.2 174845.0 166348.8 A=704653.8 2ij
x
∑
173886.0
189886.0
174991.0
166462.0
R=705225
11
22
2
112
113753
2726704250.45
40
705225
704653.8
j
j
j n a
ij j i n a
ij j i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============??== ? ???
∑∑∑∑∑∑
计算平方和及自由度如下
705225704250.45974.55
120119
705225704653.8571.220416
704653.8704250.45403.351413
T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-=
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值
()0.053,16F
因素A 403.35 3 134.45 3.7661 3.24 误差 571.2 16 35.7 总和
974.55
19
结论：因 3.7661 3.24F =>值在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定4个林场的松毛虫密度有显著差异。
【习题9.4】实施一试验用来比较4种不同药品解除外科手术后疼痛的延续时间（h ），结果如下表：
药品 解除疼痛延续时间（h ） A
8 6 4 2 B 6 6 4 4 C 8 10 10 10 12 D
4
4
2
试在显著性水平05.0=α下检验各种药品对解除疼痛的延续时间有无显著差异。 〖解〗
设,,,A B C D μμμμ分别表4种药品的解除疼痛延续时间总体的均值，则问题归结为检验下面的假设（单因素方差分析）
01::,,A B C D A B C D H H μμμμμμμμ===,不全相等
以药品作因素，记作A ，设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下表。
样本数据预处理表
A
B
C
D
预处理结果 8 6 8 4 n=16 6 6 10 4 a=4 4 4 10 2 CR=625
2 4 10
12 j T 20 20 50 10 T=100 2j j T n
100 100 500 33.333 A=733.333 2ij
x
∑
120
104
508
36
R=768
11
22
2
112
11100
100625
16
768
733.333
j
j
j n a
ij j i n a
ij j i n a ij j j i T x T CR n R x A x n =============??== ? ???
∑∑∑∑∑∑
计算平方和及自由度如下
768625143116115
768733.33334.66716412
733.333625108.3331413
T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-=
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值
()0.053,12F
因素A 108.333 3 36.111 12.4998
3.49 误差 3
4.667 12 2.889 总和
143.000
15
结论：因12.4998 3.49F =>值在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定4种药品对解除疼痛的延续时间有显著差异。
【习题9.5】将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效，下表列出5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。试在显著性水平05.0=α下检验这些百分比的均值有无显著的差异。
常用抗生素结合血浆蛋白质的百分比检测结果
青霉素 四环素 链霉素 红霉素 氯霉素 29.6
24.3 28.5 32.0
27.3 32.6 30.8 34.8
5.8
6.2 11.0 8.3
21.6 17.4 18.3 19.0
29.2 32.8 25.0 24.2
〖解〗
设12345,,,,μμμμμ分别表青霉素、四环素、链霉素、红霉素及氯霉素的结合百分比均值，则问题归结为检验下面的假设（单因素方差分析）
012345112345::,,,,不全相等
H H μμμμμμμμμμ====
设A 表因素（抗生素），设,,,T R A CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、矫正数，其值的计算过程和结果如下。
样本数据预处理表
青霉素 四环素 链霉素 红霉素 氯霉素 预处理结果
29.6 27.3 5.8 21.6 29.2 24.3 32.6 6.2 17.4 32.8 n=20 28.5 30.8 11.0 18.3 25.0 a=5
32.0 34.8 8.3 19.0 24.2 CR=10520.2845
114.4 125.5 31.3 76.3 111.2 T=458.7 3271.84 3937.5625 244.9225 1455.4225 3091.36 A=12001.1075 3302.9
3967.73
261.97
1465.21
3139.12
R=12136.93
22
11
27262726
185776.940
j
n a
ij j i T T x CR n =======∑∑
2
2
11
11199462
186112.2526j
j n n a
a
ij ij j j i j i R x A x n ====??
==== ? ???
∑∑∑∑
计算平方和及自由度如下
12136.9310520.28451616.645512011912136.9312001.1075135.8225
2051512001.107510520.28451480.823
1514
T E A SST R CR df n SSE R A df n a SSA A CR df a =-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-=
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值
()0.054,15F
因素A
1480.823 4 370.20575 40.8849
3.06 误差 135.8225 15 9.05483
总和
1616.6455
19
因40.8849 3.06值F =>在拒绝域内，故在0.05水平上拒绝0H ，即认定抗生素结合血浆蛋白质的百分比有显著的差异。
【习题9.6】下表给出某种化工过程在三种浓度，四种温度水平下得率的数据。
三种浓度、四种温度下某化工产品得率的试验结果
温度／℃（因素B ）
浓度／% （因素A ）
10 24 38 52 2 14, 10 11, 11 13, 9 10, 12 4 9, 7 10, 8 7, 11 6, 10 6
5, 11
13, 14
12, 13
14, 10
试在显著性水平05.0=α下检验：在不同浓度下得率的均值有无显著差异；在不同温度下得率的均值是否有显著差异；交互作用的效应是否显著。 〖解〗
设,A B 分别表浓度因素和温度因素，123,,ααα分别表因素A 三个水平的效应，
1234,,,ββββ分别表因素B 四个水平的效应，111234,,,γγγ 分别表因素,A B 各水平组合的
互作效应，则问题属于两向分组数据方差分析，亦即检验以下三个假设
0112311123:0:,,0不全等于H H αααααα===
021*********:0
:,,,0不全等于H H ββββββββ====
0311123413111234:0:,,0
不全等于H H γγγγγγ====
设,,ij i j T T T ??分别表两向分组的组数据和、因素A 水平分组的组数据和、因素B 水平分组的组数据和；,,ij i j n n n ??分别表两向分组的组数据个数、因素A 水平分组的组数据个数、因素B 水平分组的组数据个数；设,,n a b 分别表样本容量、因素A 的水平数、因素B 的水平数；设,,,,,T R E A B CR 分别表样本和、样本平方和、误差E 计算数、因素A 计算数、因素B 计算数、矫正数，上述各个量的计算结果如下表。
样本数据预处理表
温度／℃（因素B ） 浓度／% （因素A ）
10 24 38 52 i T ?
2i i T ??
2
14, 10 11, 11 13, 9 10, 12 90 1012.5 4 9, 7 10, 8 7, 11 6, 10 68 578 6
5, 11 13, 14 12, 13 14, 10 92 1058 j T ? 56 67 65 62 T=250
A=2648.5
2j j T ??
522.6667 748.1667 704.1667 640.6667 B=2615.6668 CR=2604.1667 2ij
ij T n ∑ 544 768.5 716.5 658 E=2687 2ijk
x ∑
572
771
733
676
R=2752
计算,,,,R E A B CR 如下
2
22
1111112502604.166724ij n
a b ijk i j k CR x T n n ===??===?= ? ???
∑∑∑ 2
111
5727717336762752ij
n a
b
ijk i j k R x =====+++=∑∑∑
2
1111544768.5716.56582687ij
n
a
b
ijk i j k ij E x n ===??==+++= ? ???
∑∑∑ 2
11111012.557810582648.5ij
n
a
b ijk i j k i A x n ===???==++= ? ???
∑∑∑ 2
1111
522.6667748.1667704.1667640.66672615.6668ij n b
a ijk j i k j
B x n ===???
==+++= ? ???
∑∑∑ 计算平方和及自由度如下
27522604.1667147.8333
124123
T SST R CR df n =-=-==-=-=
2752268765
243412
E SSE R E df n ab =-=-==-=-?=
2648.52604.166744.3333
1312
A SSA A CR df a =-=-==-=-=
2615.66682604.166711.5
1413
B SSB B CR df b =-=-==-=-=
()()147.83336544.333311.52711236
AB SSAB SST SSE SSA SSB
df a b =---=---==--=?= 方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值
()0.051,E F df df
误差E 65 12 5.41667 因素A 44.3333 2 22.16665 4.0923 3.89 因素B 11.5 3 3.83333 0.7077 3.49 AB 互作 27 6 4.5 0.8308 3.00 总和
147.8333
23
结论：由于 4.0923 3.89MSA MSE =>在拒绝域内，故在05.0=α上拒绝假设01H ；由于0.7077 3.49MSB MSE =<和0.8308 3.00MSAB MSE =<均不在拒绝域内，故在
05.0=α上不能拒绝0302,H H 。方差分析结果表明，不同浓度下的得率均值有显著差异，
而温度及交互作用的效应差异不显著。
【习题9.7】为了研究某种金属管防腐蚀的功能，考虑了4种不同的涂料涂层，将金属管埋设在3种不同性质的土壤中，经历了一定时间，测得金属管腐蚀的最大深度如下表所示（以mm 计）。
不同涂料和土壤的金属管最大腐蚀深度
土壤类型（因素B ）
涂料类型
（因素A ）
1B
2B
3B
1A 1.63 1.35 1.27 2A 1.34 1.30 1.22 3A 1.19 1.14 1.27 4A
1.30
1.09
1.32
试取显著性水平05.0=α检验在不同涂层下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异，在不同土壤下腐蚀的最大深度的平均值有无显著差异，设两因素间没有交互作用。 〖解〗
设,A B 分别表涂料类型和土壤类型两因素，1234,,,αααα分别表因素A 四个水平的效应，123,,βββ分别表因素B 三个水平的效应；由于两向分组试验无重复，故不能检验互作效应，则问题属于不考虑互作（互作与误差混淆）的两向分组数据方差分析，亦即检验以下二个假设
01123411123:0:,,,0
4不全等于H H αααααααα====
021*******:0:,,0
不全等于H H ββββββ===
设,i j T T ??分别表因素A 水平分组的组数据和与因素B 水平分组的组数据和；,i j n n ??分别表因素A 水平分组的组数据个数与因素B 水平分组的组数据个数；设,,n a b 分别表样本容量、因素A 的水平数、因素B 的水平数；设,,,,T R A B CR 分别表样本和、样本平方和、因素A 计算数、因素B 计算数、矫正数，上述各个量的计算结果如下表。
样本数据预处理表
土壤类型（因素B ）
涂层类型 （因素A ）
1B
2B
3B
i T ?
2i i T ??
1A
1.63 1.35 1.27 4.25 6.0208 2A 1.34 1.30 1.22 3.86 4.9665 3A 1.19 1.14 1.27 3.6 4.32 4A
1.30 1.09 1.32 3.71 4.5880 j T ? 5.46 4.88 5.08 T=15.42 A=19.8953 2j j T ??
7.4529 5.9536 6.4516 B=19.8581 CR=19.8147
2
ijk
x
∑
7.5586
6.0002
6.4566
R=20.0154
计算,,,,R E A B CR 如下
2
221111115.4219.814712
a b
ij i j CR x T n n ==??===?= ???∑∑
2
117.5586 6.0002 6.456620.0154a
b
ij i j R x ====++=∑∑
2
111 6.0208 4.9665 4.32 4.58819.8953a
b
ij i j i A x n ==???==+++= ???
∑∑
2
1117.4529 5.9536 6.451619.8581b
a ij j i j B x n ==???
==++= ???
∑∑
计算平方和及自由度如下
20.015419.81470.2007
112111
T SST R CR df n =-=-==-=-=
19.895319.81470.0806
1413
A SSA A CR df a =-=-==-=-=
19.858119.81470.0434
1312
B SSB B CR df b =-=-==-=-=
()()0.20070.08060.04340.07671112326
E SSE SST SSA SSB df n a b =--=--==---=-?=
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 值
()0.051,E F df df
误差E 0.0767 6 0.012783 因素A 0.0806 3 0.026867 2.1018 4.76 因素B 0.0434 2 0.0217 1.6976 5.14 总和
0.2007
11
结论：由于 2.1018 4.76MSA MSE =<和 1.6976 5.14MSB MSE =<均不在拒绝域内，故在05.0= 上不能拒绝0102,H H 。方差分析结果表明，不同涂层类型、不同土壤类型下的腐蚀最大深度无显著差异。
单因素方差分析实例 [例6-8]在1990 年秋对“亚运会期间收看电视的时间”调查结果如下表所示。 问：收看电视的时间比平日减少了（第一组）、与平日无增减（第二组）、比平日增加了（第三组）的三组居民在“对亚运会的总态度得分”上有没有显著的差异？即要检验从“态度”上看，这三组居民的样本是取自同一总体还是取自不同的总体 在SPSS 中进行方差分析的步骤如下： （1）定义“居民对亚运会的总态度得分”变量为X（数值型），定义组类变量为G（数 值型），G=1、2、3 表示第一组、第二组、第三组。然后录入相应数据，如图6-66所示 图6-66 方差分析数据格式 （2）选择[Analyze]=>[Compare Means]=>[One-Way ANOVA...]，打开[One-Way ANOVA]主对 话框（如图6-67所示）。从主对话框左侧的变量列表中选定X，单击按钮使之进入[Dependent List]框，再选定变量G，单击按钮使之进入[Factor]框。单击[OK]按钮完成。
图6-67 方差分析对话框 （3）分析结果如下： 因此，收看电视时间不同的三个组其对亚运会的态度是属于三个不同的总体。 多因素方差分析 [例6-11]从由五名操作者操作的三台机器每小时产量中分别各抽取1 个不同时段的产 量，观测到的产量如表6-31所示。试进行产量是否依赖于机器类型和操作者的方差分析。
SPSS 的操作步骤为： （1）定义“操作者的产量”变量为X（数值型），定义机器因素变量为G1（数值型）、操作 者因素变量为G2（数值型），G1=1、2、3 分别表示第一、二、三台机器，G2=1、2、3、4、5 分别表示第1、2、3、4、5 位操作者。录入相应数据，如图6-68所示。 图6-68 双因素方差分析数据格式 （2）选择[Analyze]=>[General Linear Model]=>[Univariate...]，打开[Univariate]主对话框（如图6-69所示）。从主对话框左侧的变量列表中选定X，单击按钮使之进入[Dependent List]框，再选定变量G1 和G2，单击按钮使之进入[Fixed Factor(s)]框。单击[OK]按钮
SPSS 第二次作业——方差分析 1、案例背景： 在一些大型考试中，为了保证结果的准确和一致性，通常针对一些主观题，都采取由多个老师共同评审的办法。在评分过程中，老师对学生的信息不可见，同时也无法看到其他评分，保证了结果的公正性。然而也有特殊情况的发生，导致了成绩的不稳定，这就使得对不同教师的评分标准考察变得十分必要。 2、案例所需资料及数据的获取方式和表述，变量的含义以及类型： 所需资料：抽样某地某次考试中不同教师对不同的题目的学生成绩的评分； 获取方式：让一组学生前后参加四次考试，由三位教师进行批改后收集数据； 变量含义、类型：一份试卷的每道主观题由三名教师进行评定，3个教师的评定结果可看成事从同一总体中抽出的3个区组，它们在四次评定的成绩是相关样本。 表1如下： 3、分析方法： 用方差分析的方法对四个总体的平均数差异进行综合性的F 检验。 4、数据的检验和预处理： a) 奇异点的剔除：经检验得无奇异点的剔除； b) 缺失值的补齐：无； c) 变量的转换（虚拟变量、变量变换）：无； d) 对于所用方法的假设条件的检验：进行正态性和方差齐性的检验。 正态性，用QQ 图进行分析得下图： 教师 题目 1 2 3 a 27.3 28.5 29.1 b 29.0 29.2 28.3 c 26.5 28.2 29.3 d 29.7 25.7 27.2
得到近似满足正态性。 ?对方差齐性的检验： 用SPSS对方差齐性的分析得下表： Test of Homogeneity of Variances 分数 Levene Statistic df1 df2 Sig. .732 2 9 .508 易知P〉0.05，接受方差齐性的假设。 5、分析过程： a) 所用方法：单因素方差分析；方差分析中的多重比较。 b) 方法细节： ●单因素方差分析 第一步，提出假设： H0：μ1=μ2=μ3；（教师的评定基本合理，即均值相同） H1：μi(i=1,2,3)不全相等；（教师的评定不够合理，均值有差异）第二步，为检验H0是否成立，首先计算以下统计量：
1 / 3 2006年浙江大学427数学分析考研真题 浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：数学分析（427） 考生注意： 1．本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟； 2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。 一、（20分) ()i 证明：数列 1111ln (1,2,3,)23n x n n n =++++-=收敛； ()ii 计算：1111lim()1232n n n n n →∞ +++++++. 二、（15分) 设()f x 是闭区间 [],a b 上的连续函数，对任一点(),x a b ∈，存在趋于零的数列，使得 2()()2()lim 0k k k k f x r f x r f x r →∞++--=. 证明：函数()f x 为一线性函数. 三、（15分) 设()h x 是 (),-∞+∞上的无处可导的连续函数，试以此构造连续函数()f x ，在 (),-∞+∞上仅在两点可导，并且说明理由.
2 / 3 四、（15分) 设22222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=?. ()i 求(,)f x y x ??以及(,)f x y y ??； ()ii 问(,),(,)f f x y x y x y ????在原点是否连续?(,)f x y 在原点是否可微?试说明理由. 五、（20分) 设()f x 在()0,+∞的任何闭子区间[],αβ上黎曼可积，且0()f x dx +∞ ?收敛， 证明：对于常数 1a >，成立 000lim ()()xy y a f x dx f x dx ++∞+∞-→=??. 六、（15分) 计算曲面积分 32222()S xdydz ydzdx zdxdy I ax by cz ++=++?? 其中 {}2222(,,)S x y z x y z r =++=，常数0,0,0,0a b c r >>>>. 七、（15分) 设V 为单位球： 2221x y z ++≤，又设,,a b c 为不全为零的常数，计算： cos()V I ax by cz dxdydz =++???. 八、（20分) 设函数21()12f x x x =--，证明级数 ()0!(0)n n n f ∞=∑收敛. 九、（15分) 设()f x 在)0,+∞??上可微，(0)0f =.若有常数0A >，使得对任意 ) 0,x ∈+∞??，有
第八章 假设检验 1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25. 解：设测定值总体X ～N （μ，σ 2），μ，σ 2 均未知 步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为)1(~25 .3--= n t n S X t （3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2 -n t α （4）n=5, α = 0.01，由计算知01304.0)(1 1,252.35 1 2=--= =∑=i i X X n S x 查表t 0.005(4)=4.6041, )1(343.05 01304.025 .3252.3||2 -<=-= n t t α （5）故在α = 0.01下，接受假设H 0 2．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比618.0)15(2 1 ≈-= l ω，这样的矩形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05） H 0：μ = 0.618 H 1：μ≠0.618 0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933. 解：步骤：（1）H 0：μ = 0.618； H 1：μ≠0.618 （2）选取检验统计量为)1(~618 .0--= n t n S X t
第1章 随机变量及其概率 1，写出下列试验的样本空间： （1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录 投掷的次数。 （2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次， 记录投掷的次数。 （3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。 （4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰 子，观察出现的各种结果。 解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =； （4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解：625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P ， 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ， 875.0)(1)(___ --=AB P AB P ， 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??，所以所求得概率为 72.0900 648= 4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。 解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=??个，所以出现奇数的概率为 48.0100 48= （2）该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?，所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。 （1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。 （2）4只中至少有2只红球。 （3）4只中没有白球。 解: （1）所求概率为338412 131425=C C C C ；
第10章方差分析与试验设计 三、选择题 1.方差分析的主要目的是判断（）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是（）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和Ｂ. 组间均方除以组内均方Ｃ. 组间平方除以总平方和Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为（）。Ａ. 随机误差Ｂ. 非随机误差Ｃ. 系统误差Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为（）。Ａ. 组内误差Ｂ. 组间误差Ｃ. 组内平方Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它（）。Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它（）。Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定（）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布Ｂ. 各总体的方差相等
Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ···k μ> Ｃ. < 第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1 211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL 1．（20分）一研究者为了研究市场环境对企业战略行为的影响对MBA学员做了一个模拟实验。60名学员每人管理一个企业，以利润最大化为目标模拟经营。模拟一段时间后，市场环境发生变化。学员随机分为3组，其中第一组为对照组，第二组市场环境转变为恶性竞争，第三组市场环境为合作竞争。在新环境下继续模拟。研究者收集了每个学员在市场环境变化前后的市场份额和利润率数据，形成两个分析指标： Y1: 环境变化后市场份额/环境变化前市场份额*100（Y1=100意味着环境变化前后市场份额无变化） Y2: 环境变化后利润率/环境变化前利润率*100（Y2=100意味着环境变化前后该企业利润无变化） 然后，对这两个指标做多响应变量方差分析，并做LSD多重均值比较。研究者还担心MBA学员工作经历不同可能影响分析结果，特别设计了一个反映工作经历的指标EXP，作为协变量。SPSS输出结果如下。请回答下列问题： （1）解释以下各输出图表的含义 （2）从输出结果中你能得出什么结论？ 2．（20分）为了帮助人们找到更好的工作，某市政府制定了一个培训计划。为了检验该计划是否达到预期目的，研究者收集了参加培训和未参加培训人员（对照组）样本数据，做了一个单因素分析。响应变量为incomes after the program，因素为培训状态变量prog，prog=0-未参加培训，prog=1-参加培训。考虑到培训前工资可能对结果产生影响，引入协变量：incbef （培训前工资）。软件分析输出结果如下： Tests of Between-Subjects Effects（协变量调 整前） Dependent Variable: Income after the program Source Type III Sum of Squares df Corrected Model 5136.897(a) 1 Intercept 277571.145 1 prog 5136.897 1 Error 16656.454 998 Total 297121.000 1000 Corrected Total 21793.351 999 a R Squared = .236 (Adjusted R Squared = .235) Tests of Between-Subjects Effects（协变量调 整后） Dependent Variable: Income after the program Source Type III Sum of Squares df Corrected Model 12290.741(a) 2 Intercept 131.400 1 incbef 7153.844 1 prog 4735.662 1 Error 9502.610 997 Total 297121.000 1000 Corrected Total 21793.351 999 a R Squared = .564 (Adjusted R Squared = .563) （1）分别对协变量调整前和协变量调整后的方差分析结果做假设检验， （2）你认为在此分析中是否应该引入协变量？为什么？ （3）下表是协变量调整后方差分析的参数估计表，从该表中你能得出什么结论？ Parameter Estimates Dependent Variable: Income after the program Parameter B Std. Error t Sig. 95% Confidence Interval Partial Eta 第七章 参数估计 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1、解 由θ θθμθ 2 ),()(0 1===? d x xf X E ，204103)(2 221θθθ=-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^ =θ，这时θθ==)(2)(^X E E ，n n X D D 5204)2()(2 2 ^ θθθ= ? ==。 3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为： 3 2 62121^ =-=- =X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L 令014 8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ θθθθθθL ， 得到θ的极大似然估计值：32^=θ 4、解：矩估计： ()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--， ()()()()2 2 2 2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =, 23 4 B = , 故()()()( ) 22 2 ??221,3??????????222121.4 θ λθλθθλλθλθλ?--=??--++-++--=?? 解得1?,43?.8λθ?=??? ?=?? 为所求矩估计。 极大似然估计： (){}()3 3214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--， ()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--， ()(),33 0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=???--???=-=??--?解得3?,81?.4 θλ?=????=??即为所求。 5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为 ^ p = = 建立关于p 的似然函数：32 10)1()2 )1(3()()2)1(( )(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)(ln =??p p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 222 10^++= 6、解：(1)()1 1 12 EX x x dx θθθθ+= += +? ， 由?1?2X θθ +=+得21?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()11 1,01, ,,0,n n n i i i i x x L f x θ θθλθ==?+∏< 1、考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万元， 若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。 解：设X为公司的赔付金额，X=0,5,20 P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988 P（X=5）=0.0010 P（X=20）=0.0002 X 0 5 20 P 0.9988 0.0010 0.0002 2.(1) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律. 解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有=10种取法，数量不多可以枚举来解此题。 设样本空间为S S=｛123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 ｝ 易得，P｛X=3｝=；P｛X=4｝=；P｛X=5｝=； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 方法二：X的取值为3,4,5 当X=3时，1与2必然存在，P｛X=3｝= =; 当X=4时，1,2,3中必然存在2个，P｛X=4｝= =； 当X=5时，1,2,3,4中必然存在2个，P｛X=5｝= =； X 3 4 5 1/10 3/10 6/10 (2)将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律. 解：P｛X=1｝= P (第一次为1点)+P（第二次为1点）- P（两次都为一点） = =； P｛X=2｝= P (第一次为2点，第二次大于1点)+P（第二次为2点，第一次大于1点）- P（两次都为2点） = =； P｛X=3｝= P (第一次为3点，第二次大于2点)+P（第二次为3点，第一次大于2点）- P（两次都为3点） 方差分析方法 方差分析是统计分析方法中，最重要、最常用的方法之一。本文应用多个实例来阐明方差分析的应用。在实际操作中，可采用相应的统计分析软件来进行计算。 1. 方差分析的意义、用途及适用条件 1.1 方差分析的意义 方差分析又称为变异数分析或F检验，其基本思想是把全部观察值之间的变异（总变异），按设计和需要分为二个或多个组成部分，再作分析。即把全部资料的总的离均差平方和（SS）分为二个或多个组成部分，其自由度也分为相应的部分，每部分表示一定的意义，其中至少有一个部分表示各组均数之间的变异情况，称为组间变异（MS组间）；另一部分表示同一组内个体之间的变异，称为组内变异（MS组内），也叫误差。SS除以相应的自由度（υ），得均方（MS）。如MS组间>MS组内若干倍（此倍数即F值）以上，则表示各组的均数之间有显著性差异。 方差分析在环境科学研究中，常用于分析试验数据和监测数据。在环境科学研究中，各种因素的改变都可能对试验和监测结果产生不同程度的影响，因此，可以通过方差分析来弄清与研究对象有关的各个因素对该对象是否存在影响及影响的程度和性质。 1.2 方差分析的用途 1.2.1 两个或多个样本均数的比较。 1.2.2 分离各有关因素，分别估计其对变异的影响。 1.2.3 分析两因素或多因素的交叉作用。 1.2.4 方差齐性检验。 1.3 方差分析的适用条件 1.3.1 各组数据均应服从正态分布，即均为来自正态总体的随机样本（小样本）。 1.3.2 各抽样总体的方差齐。 1.3.3 影响数据的各个因素的效应是可以相加的。 1.3.4 对不符合上述条件的资料，可用秩和检验法、近似F值检验法，也可以经过变量变换，使之基本符合后再按其变换值进行方差分析。一般属Poisson分布的计数资料常用平方根变换法；属于二项分布的百分数可用反正弦函数变换法；当标准差与均数之间呈正比关系，用平方根变换法又不易校正时，也可用对数变换法。 2. 单因素方差分析（单因素多个样本均数的比较） 根据某一试验因素，将试验对象按完全随机设计分为若干个处理组（各组的样本含量可相等或不等），分别求出各组试验结果的均数，即为单因素多个样本均数。 用方差分析比较多个样本均数的目的是推断各种处理的效果有无显著性差异，如各组方差齐，则用F检验；如方差不齐，用近似F值检验，或经变量变换后达到方差齐，再用变换值作F检验。如经F检验或近似F值检验，结论为各总体均数不等，则只能认为各总体均数之间总的来说有差异，但不能认为任何两总体均数之间都有差异，或某两总体均数之间有差异。必要时应作均数之间的两两比较，以判断究竟是哪几对总体均数之间存在差异。 在环境科学研究中，常常要分析比较不同季节对江、河、湖水中某种污染物的含量 2001年浙江大学436数学分析考研真题 浙江大学2001年攻读硕士学位研究生入学试题 考试科目：数学分析（436） 一、（30分) ()i 用“εδ-语言”证明2211lim 3233n n n n n →∞-+=+-； ()ii 求极限tan 21lim(2)x x x π→-； ()iii 设101(ln )1x f x x x <≤?'=?>?，且(0)0f =，求()f x . 二、（10分) 设()y y x =是可微函数，求(0)y '，其中 2sin 7x y y ye e x x =-+-. 三、（10分) 在极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==之下，变换方程2222(,)z z f x y x y ??+=??. 四、（20分) ()i 求由半径为a 的球面与顶点在球心，顶角为2α的圆锥面所围成区域的体积； ()ii 求曲面积分222()()()s I y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-??，其中S 是曲面 222(12)z x y z =--≤≤的上侧. 五、（15分) 设二元函数(,)f x y 在正方形区域 [][]0,10,1?上连续，记[]0,1J =. ()i 试比较inf sup (,)y J y J f x y ∈∈与supinf (,)y J y J f x y ∈∈的大小并证明之； ()ii 给出一个使等式inf sup (,)supinf (,)y J y J y J y J f x y f x y ∈∈∈∈=成立的充分条件并证明之. 六、（15分) 设()f x 是在 []1,1-上可积且在0x =处连续的函数，记 (1)01()10n n nx x x x e x ??-≤≤?=?-≤≤?? . 证明：11lim ()()(0)2n n n f x x dx f ?-→∞=?. 让4名学生前后做3份测验卷，得到如下表的分数，运用方差分析法可以推断分析的问题是：3份测验卷测试的效果是否有显著性差异？ 1、确定类型 由于4名学生前后做3份试卷，是同一组被试前后参加三次考试，4位学生的考试成绩可看成是从同一总体中抽出的4个区组，它们在三个测验上的得分是相关样本。 2、用方差分析方法对三个总体平均数差异进行综合性地F检验 检验步骤如下： 第一步，提出假设： 第二步，计算F检验统计量的值： 因为是同一组被试前后参加三次考试，4位学生的考试成绩可看成是从同一总体中抽出的4个区组，它们在三个测验上的得分是相关样本，所以可将区组间的个别差异从组内差异中分离出来，剩下的是实验误差，这样就可以选择公式（6.6）组间方差与误差方差的F比值来检验三个测验卷的总体平均数差异的显著性。 ①根据表6.4的数据计算各种平方和为： 总平方和： 组间平方和： 区组平方和： 误差平方和： ②计算自由度 总自由度： 组间自由度： 区组自由度： 误差自由度： ③计算方差 组间方差： 区组方差： 误差方差： ④计算F值 第三步，统计决断 根据，α=0.01，查F值表，得到，而实际计算的F检验统计量的值为，即P（F >10.9）<0.01， 样本统计量的值落在了拒绝域内，所以拒绝零假设，接受备择假设，即三个测验中至少有两个总体平均数不相等。 3、用q检验法对逐对总体平均数差异进行检验 检验步骤如下： 第一步，提出假设： 第二步，因为是多个相关样本，所以选择公式（6.8）计算q检验统计量的值： 在为真的条件下，将一次样本的有关数据及代入上式中，得到A和B两组的平均数之差的q值，即： 以此类推，就可得到每对样本平均数之间差异比较的q值，如下表所示： 第三步，统计决断 为了进行统计决断，在本例中，将A，B，C共3组学生英语单词测验成绩的等级排列为： A与C之间和B与C之间包含有1，2两个组，a=2；A与B之间包含有1，2，3三个组，a=3。 根据，得到当a=2时，q检验的临界值为 ； 当a=3时，q检验的临界值为；将表（6.5）中的q检验统计量的值与q临界值进行比较，得到表（6.6）中的3次测验成绩各对平均数之间的比较结果：表6.6 3次测试各对样本平均数之差q值的比较结果 浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题 考试科目：数学分析 科目代号：427 注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！ 111(20)1...log ,log 23111lim(...)122n n x n e n n n n →∞=++++-+++++一、分(1)证明数列收敛其中表示以为底的对数；(2)计算2 (15)[,],()()2()lim 0.()k k k k k a b r x f x r f x r f x r f x →∞++--=二、分函数f(x)在闭区间上连续，存在收敛于零的数列使得对任意的， 证明:为线性函数. (15)()(),()h x f x f x 三、分假设函数为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数使仅在两点可导，并说明理由。 22222221()sin ,0(20)(,)0,0(1)(,),(,)(2),(,)x y x y x y f x y x y f f x y x y x y f f f x y x y ?++≠?+=??+=? ????????四、分二元函数求 是否在原点连续，在原点是否可微，并说明理由。 0 000 (15)()[,]()1 lim ()()xy y f x a b f x dx a a f x dx f x dx ∞ ∞ ∞-→+>=???五、分在任意区间黎曼可积，收敛，证明： 2222223/21 (15),0,0,0.()x y z xdydz ydzdx zdxdy a b c ax by cz ++=++>>>++??六、分计算 222(15):1cos().V V x y z I ax by cz dxdydz ++==++???七、分计算在单位球上的积分 2()01!(20)(),12(0)n n n f x x x f ∞==--∑八、分设函数证明级数收敛。 (15)()(0)0,'()(),[0,)()0.f x f x f x Af x f x =≤∞=九、分设可微，对于任意的有证明在上注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16 “地域”与“抑郁” 朱平辉改编自西南财大网（案例分析者刘玲同学） 一、案例简介 美国人作了一项调查，研究地理位置与患抑郁症之间的关系。他们选择了60个65岁以上的健康人组成一个样本，其中20个人居住在佛罗里达，20个人居住在纽约、20个人居住在北卡罗来纳。对中选的每个人给出了测量抑郁症的一个标准化检验，搜集到表1中的资料，较高的得分表示较高的抑郁症水平。 研究的第二部分考虑地理位置与患有慢性病的65岁以上的人患抑郁症之间的关系，这些慢性病诸如关节炎、高血压、心脏失调等。这种身体状况的人也选出60个组成样本，同样20个人居住在佛罗里达，20个人居住在纽约、20个人居住在北卡罗来纳。这个研究记录 央视主持人崔永元对外公开其患有抑郁症后，使人们对这种精神疾病有了更多的关注。通过对以上两个数据集统计分析，你能从中看出什么结论？你对该疾病有什么认识？ 二、抑郁症的相关知识 抑郁症有两种含义，广义的抑郁症包括情感性精神病、抑郁性神经症、反应性抑郁症、更年期抑郁症等；狭义的则仅指情感性精神病抑郁症。抑郁症在国外是一种十分常见的精神 疾病，据报告，其患病率最高竟占人群的10％左右，而且社会经济情况较好的阶层，患病率越高。世界卫生组织预测，抑郁症将成为21世纪人类的主要杀手。全世界患有抑郁症的人数在不断增长，而抑郁症患者中有10—15%面临自杀的危险……引起抑郁症的原因有很多，为了了解地理位置对抑郁症是否有影响,我们做如下的案例分析： 三、地理位置与患抑郁症之间是否有关系 作为对65岁以上的人长期研究的一部分，在纽约洲北部地区的Wentworth医疗中心的社会学专家和内科医生进行了一项研究，以调查地理位置与患抑郁症之间的关系。选择了60个相当健康的人组成一个样本，其中20人居住在佛罗里达，20人居住在纽约，20人居住在北卡罗米纳。对中选的人给出了测量抑郁症的一个标准化实验，搜集到表1中的资料，较高的分表示较高的抑郁症水平。 研究的第二部分考虑地理位置与患有慢性病的65岁以上的人患抑郁症之间的关系，这些慢性病诸如关节炎、高血压、心脏失调等。这种状况的人也选出60个组成样本，同样20人居住在佛罗里达，20人居住在纽约，20人居住在北卡罗米纳。 要求根据所给的样本数据，做出以下管理报告： 描述统计学方法概括说明两部分研究的资料，关于抑郁症的得分，你的初步观测结果是什么？ 对两个数据集使用方差分析方法，陈述每种情况下被检验的假设，你的结论是什么？ 用推断法说明单个处理均值的合理性 讨论这个研究的推广和你认为有用的其他分析 四、有关统计方法 本案例是通过单因素的方差分析，对各个地区的抑郁症得分均值进行假设检验。分别检验地理位置对健康人群和慢性病患者是否有影响，以及影响程度，进而得出结论。 五、案例分析 首先：数据资料中的数据，并不能直接看出地区与患抑郁症之间有联系与否。我们可以根据所给的样本资料，得到以下信息： （一）健康的被调查者中：佛罗里达地区平均得分=5.55 纽约地区平均得分=8 北卡罗米纳地区平均得分=7.05 （二）患抑郁症的被调查者中：佛罗里达地区平均得分=13.6 纽约地区平均得分=15.25 北卡罗米纳地区平均得分=13.95 （三）我们给出不同地区所有被调查者的平均得分情况 佛罗里达地区平均得分=9.575 纽约地区平均得分=11.625 北卡罗米纳地区平均得分=10.5 第七章参数估计 1.［ 一］ 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以 求总体均值卩及方差b 2的矩估计，并求样本方差 S 2。 n 2 6 (X i x) 6 10 i 1 S 2 6.86 10 6。 ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹ (1) f (x) e c e x (e 1},x c 0,其它 其中c >0为已知， e >1, e 为未知参数。 (2) f(x) 、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。 (5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。 解： （ 1) E(X) xf(x)dx c e c e x e dx e c e c e 1 e 1 e c 令 e c X e 1, 令 e 1 X X c (2) E(X) xf (x)dx e x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )2 2.［二］设X , X ,…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。 得e 1 e (5) -e 1 解：（1）似然函数 n L (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2 i 1 X n ) mm 计) 解：U,b 2的矩估计是 X 74.002 E （X ） = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.［三］求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计 量。 ln x i 0 （解唯一故为极大似然估计 量） In X i nln c i 1 ⑵ L(B ) n n _ f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1 ,ln L(B ) n 2~ n ln( 0) (0 1) In X i i 1 dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i 0, i 1 ? （n In x i ）2 0 （解唯一）故为极大似然 估 2.一 0 计量。 n m m n X i n mn 召 (5) L(p) P{X X i } p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X n n n n In L(p) In m X i x i In p (mn X i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x i i 1 0 1 p n X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,（解唯一）故为极大似然估计量。 mn m 4.［四（2）］设X , X,…，X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本，试求入 的极大似然估计量及矩估计量。 解：（1）矩估计 X ~ n 入）,E （ X ）=入，故*= X 为矩估计量。 （2）极大似然估计L （入） n P(X i ；入) 1 n X i *1 X 1 !X 2! X e n *, In L(入) i X i In In X i ! d In L(入) d 入 n X i i 1 入 0 ,解得* X 为极大似然估计 量。 第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显著影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9) 8.02F =） 解 ： r=3, 12 444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 计 算 统 计 值 722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 临界值 显著性 品种A 72 2 36 8.53 误差 38 9 4.22 总 计 110 11 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显著影响. 2. 解 ： 22..4,3,12,180122700 l m n lm C x n ======= 计算 统 计 值 90310.52 51.43,3.56 3.56 A A B B A B e e e e S f S f F F S f S f = =≈==≈ 方差来源 平方和 自由度 F 值 临界值 显著性 品种 试验结果 行和??=i x T i 行均值.i x A 1 10 7 13 10 40 10 A 2 12 13 15 12 52 13 A 3 8 4 7 9 28 7 试验 结果 燃料B B 1 B 2 B 3 推进器 A A 1 14 13 12 39 13 A 2 18 16 14 48 16 A 3 13 12 11 36 12 A 4 20 18 19 57 19 65 59 56 180 16.25 14.75 14 15 2003年浙江大学数学分析试题答案 2003年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{k n a ， a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以 ,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连 续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取 },m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
方差分析练习题
浙大版概率论与数理统计答案---第七章
概率论与数理统计答案第四版第2章(浙大)
方差分析几个案例
2001年浙江大学436数学分析考研真题【圣才出品】
最新方差分析实例
浙江大学数学分析考研试题
方差分析案例
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
方差分析与回归分析习题答案
最新2003年浙江大学数学分析试题答案
相关主题
文本预览