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第四章 材料的断裂韧性综述

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材料与材料性能(第四章)

材料与材料性能(第四章)

断裂力学就是研究带裂纹体的力学，它给出了含裂纹体的断裂判据， 并提出一个材料固有性能的指标——断裂韧性，用它来比较各种材料 的抗断能力。
《材料力学性能》
第六章 断裂韧性基础
第四章 金属的断裂韧度
理论断裂强度
正弦曲线方程
m sin
断裂时外力做的功

2x

表 面 能
2

2
0
2
可见，在平面应力条件下，考虑了应力松弛之后，平面应 力塑性区宽度正好是r0的两倍。
第四章 金属的断裂韧度
同理在平面应变条件下，考虑了应力松弛的影响，其塑性 区宽度R0也是原r0的两倍。
《材料力学性能》
第三章 金属在冲击载荷下的力学性能
对于张开型裂纹试样，拉伸或弯曲时，其裂纹尖端处于更复杂 的应力状态，最典型的是平面应力和平面应变两种应力状态。 • 平面应力：指所有的应力都在一个平面内。
z
0
平面应力问题主要讨论的弹性体是薄板，薄壁厚度远远小于结构 另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面，所受外力均平行于中 面面内，并沿厚度方向不变，而且薄板的两个表面不受外力作用。 • 平面应变：指所有的应变都在一个平面内。
cos

2


x
2
y
x
y
xy
2

2

2 r 2
1
cos

3 0 ; 3 1

3 0; 3
2 K I

2
2 r 2
1
平面应力
平面应变
平面应力
平面应变
根据Von Mises(米赛斯)屈服判据 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 2 s2

第四章材料的断裂韧性

第四章材料的断裂韧性

1
]2
2E
(
p
1
)2
a
a
p 1000 e
12
Introductions of Material Properties
陶瓷：
E=3×1011 Pa，γ=1 裂纹长度a=1μm 则σ=4×108 Pa
J/m2，
c
( 2E s a
1
)2
高强度钢：
p 则
1000
4108
1000 J / Pa时，
Introductions of Material Properties
平面应变状态应变分量为：
x
(1 v)KI
E 2r
cos
2
(1
2v
sin
2
sin
3
2
)
y
(1 v)KI
E 2r
cos
2
(1 2v sin sin
2
3
2
)
xy
2(1 v)KI
E 2r
sin
2
cos
2
cos 3
2
➢能量分析方法，研究裂纹扩展时系统能量的变化，
提出能量释放率及对应的断裂韧度和G判据
14
Introductions of Material Properties
一、裂纹扩展的基本方式 1. 张开型（I型）裂纹扩展 正应力垂直于裂纹面 扩展方向与 正应力垂直
15
Introductions of Material Properties
19
Introductions of Material Properties
平面应力与平面应变状态
平面应力

第四章 材料的断裂韧性

第四章 材料的断裂韧性
力、位移和应变完全由KⅠ决定。 A. KⅠ定义：裂纹尖端应力应变强度因子。其大小取 决于机件受力大小，裂纹开关和大小。
B. KⅠ=Yσ√a Y：几何系数，单位[应力][长度]1/2 MPa.m1/2
或Kgf.mm-3/2
注：无限大平板内中心含穿透裂纹Y=√π,
KⅠ=σ√πa C.几种常见裂纹的应力强度因子表达式 P84
2. 断裂判据的应用
断裂失稳扩展条件：KⅠ≥KⅠC，此时对应的临界： σc= KⅠC/√πa(a一定)， ac= KⅠC/σ2π(σ一定)
某应力作用下，a>ac失效，a<ac裂纹不扩展。
同理：Ⅱ、Ⅲ类裂纹失稳扩展条件：
KⅡ=Yτ√a≥KⅡC
KⅢ=Yτ√a≥KⅢC
四.裂纹尖端塑性区及KI的修正
1.裂纹前塑性区
σs的区域增大到R0 R0=(1/π)×(KⅠ/σs)2
(平面应力)
R0=(1/2π√2)× (KⅠ/σs)2 (平面应变)
3. K裂I的纹修尖正端的弹性应力超过 材料屈服强度之后, 便产生应 力松驰，使塑性区增长 ，改变 了裂纹前的应力分布，不适用 于线弹性条件。
裂纹虚拟向前扩展ry,此时 虚拟裂纹尖端0’前端弹性区的 应力分布GEF,基本上与线弹性 条件下的σy相重合,对应的裂纹长度为a+ry,称为等效裂
KⅠ≥KⅠC判据 ，只适用于线弹性体.但事实上，金属 材料在扩展前，其尖端附近总是先出现一个或大的较大
的塑性变形区(存在塑性区或屈服区).试验表明如果裂
纹前塑性尺寸较裂纹尺寸a小很多(小一个数量级以上),
只要对KⅠ进行适当的修正,仍适用于线弹性条件. 根据材料力学,已知机件内过P点的截面应力分布,则
弹塑性断裂力学主要解决两方面的问题:

第四章 材料的断裂性能

第四章 材料的断裂性能
14
第四章 材料的断裂韧性
✓KⅠ和KⅠc是两个不同的概念，KⅠ是一个力学参量， 表示裂纹体中裂纹尖端的应力应变场强度的大小， 它决定于外加应力、试样尺寸和裂纹类型，而和材 料无关。 ✓但KⅠc是材料的力学性能指标，它决定于材料的成 分、组织结构等内在因素，而与外加应力及试样尺 寸等外在因素无关。
15
第四章 材料的断裂韧性
根据应力场强度因子KⅠ和断裂韧度KⅠc的相对大 小，可以建立裂纹失稳扩展脆断的断裂K判据，即
6
第四章 材料的断裂韧性
§ 4-1线弹性条件下的断裂韧性
一、裂纹扩展的基本方式
根据外加应力的类型及其与裂纹扩展面的取向关 系，裂纹扩展的基本方式有3种，如图4-l所示。
裂纹扩展的基本方式 （a）张开型(I型) （b）滑开型 (II型) （c）撕开型（III型）
7
第四章 材料的断裂韧性
1．张开型(Ⅰ型)裂纹扩展 拉应力垂直作用于裂纹面，裂纹沿作用力方向张开，
2
第四章 材料的断裂韧性
➢如高强度钢、超高强度钢的机件，中、低强度钢的大型 机件常常在工作应力并不高，甚至远低于屈服极限的情况 下，发生脆性断裂现象，这就是所谓的低应力脆断。 ➢低应力脆断是由于宏观裂纹的存在引起的。但裂纹的存 在是很难避免的，可以在材料的生产和机件的加工过程中 产生，如冶金缺陷、锻造裂纹、焊接裂纹、淬火裂纹等等， 也可以在使用过程中产生，如疲劳裂纹、腐蚀裂纹等。 ➢正是裂纹的存在破坏了材料和构件的连续性和均匀性， 使得传统的设计方法无法定量计算裂纹体的应力和应变。
式中：Y为裂纹形状系数，取决于裂纹的类型。 KI的脚标表示I型裂纹，同理，KⅡ、KⅢ表示Ⅱ型和Ⅲ
型裂纹的应力强度因子。
12
三、断裂韧度KIc和断裂K判据

力学性能2013-4

力学性能2013-4
KI 2r0
积分的
把平面应力的r0值代入，且
得
故
KI 2
ys R0
ys s

1 2
2
1 KI R0 2r0 s
KI s R0 s
2
可见考虑应力松弛后，平面应力塑性区宽度为未考虑 的2倍。
厚板件平面应变状态，由于表面的自由收缩，表面是平 面应力状态，心部是平面应变状态，两者之间有一过渡 区，塑性区是一个哑铃形的立体形状．
修正后的KI表达式：
KI (平面应力)
KI
Y a 1 0.056Y 2 ( / s ) 2
(平面应变)
3.裂纹扩展能量释放率GI及断裂韧度GIC a)裂纹扩展时的能量转化关系：
W Ue ( p 2 s )A W Ue ( p 2 s )A
K IC Y C aC
建立裂纹失稳扩展脆断的断裂尺判据： KI＞KIC
K判据的意义：
a)已知材料的KIC和工作应力，求临界裂纹 尺寸aC，为材料探伤提供裂纹尺寸标准。 b)已知材料的KIC和存在的裂纹尺寸，求临 界应力，确定材料使用中的最高应力。 c)已知临界应力及临界裂纹尺寸，测定材料 的断裂韧性。
KI KI 0.16 (平面应力) s s
2 2
2
2
1 ry r0 4 2
KI KI 0.056 (平面应变) s s
Y a 1 0.16Y 2 ( / s ) 2
1 2
2
1 3 2 3 2
2 2
2 s
式中，σ1、σ2、σ3是3个主应力。

材料性能学 4.断裂韧性

材料性能学 4.断裂韧性
定厚度后保持不
变。因此，工程 上 KⅠC 是指达到 一定厚度后（平
面应变）断裂韧
度。
过渡区
KC 平面应力
平面应变
KⅠC
B
B
2.5
K C
s
2
五、裂纹尖端塑性区及 KⅠ修正
按K1建立的脆性断裂判据,只适用于线弹性体。其实， 金属材料在裂纹扩展前，其尖端附近总要先出现或 大或小的塑性变形区，
如果塑性区尺寸裂纹尺寸及净截面尺寸小时，（小 一个数量级以上）即在小范围屈服下，对K进行修正 后，依然可用。
究点到裂纹尖端距离 r 有如下关系：
1
y r 2
或
1
r 2 y K
1
当 r →0 时， σy →∞，表明裂纹尖端前沿应力场具有 r 2阶奇异性。参
数 K 表征了应力场奇异性程度，其含义是，当 r →0 时， σy 以 K 的速度→∞， K 越大，则σy →∞的速度也越大，表明应力分布曲线越陡，即应力集中程度 越大，因此，参数 K 又称为“应力场强度因子”。
二、裂纹尖端应力状态
1、平面应力状态
x 0
y 0
xy 0
z 0
yz zx 0
z
E
x
y
对含穿透裂纹的薄板，可将裂纹顶端前沿视为平面应力 状态，此时材料受剪切力大，易于塑性变形，阻碍裂纹扩展。
2、平面应变状态
z 0
x 0 y 0 xy 0
x 0 y 0 z x y
2
R01
1
Hale Waihona Puke Ks平面应力
R02
2
1
2
K
s
2
平面应变
三维塑性区形状及塑性区内应力分布

材料力学性能第四章1a

ΙΙ型（滑开型）断裂
17
第一节 线弹性条件下的断裂韧性 3 撕开型（III型），切应力平行作用于裂纹 面，并且与裂纹前沿线平行，裂纹沿裂纹面 撕开扩展，例如，圆轴上有一环形切槽受扭 矩作用引起断裂。
ΙΙΙ型（撕开型）断裂
18
第一节 线弹性条件下的断裂韧性
实际工程构件中，裂纹的扩展除了上述 三种情况外，往往是它们的组合。在这些 开裂形式中，Ι型裂纹的扩展是最危险的， 最容易引起脆性断裂，所以研究断裂力学 时，常常以这种裂纹为研究对象。
从哪里入手讨论塑性区的大小ry？
40
第一节 线弹性条件下的断裂韧性
讨论裂纹尖端应力场中达到屈服应力的区域即为 塑性区，用此条件来确定塑性区的边界方程。 （用到强度理论的屈服准则和力学的应力计算）
σ
＝
ij
KI
2π r
fij (θ )
24
第一节 线弹性条件下的断裂韧性
上式中，
1
2πr
fij (θ ) －是与P点位置
（r，θ）有关的函数，σ π a 与试样的
形状尺寸、裂纹的形状尺寸及位置、外
力的加载方式及大小等有关，用K表示。
由于是I型加载方式，所以又表示为KI。
25
第一节 线弹性条件下的断裂韧性
4
第四章 材 料 的 断 裂 韧 性
例如：美国在二战期间有2500艘全焊接的自由轮， 其中有近千艘发生严重的脆性破坏；20世纪50年代， 美国发射北极星导弹，其固体燃料发动机壳体，采用 了超高强度钢制造，屈服强度为1400MPa，按照传统强 度设计与验收时，其各项性能指标都符合要求，设计 时的工作应力远低于材料的屈服强度，但点火不久， 就发生了爆炸。这是传统强度设计理论无法解释的， 为什么材料会发生低应力脆断？

第4章 材料的断裂韧性


第一节 线弹性条件下金属断裂韧度
（一）裂纹尖端应力场 由于裂纹扩展是从尖端 开始进行的，所以应该 分析裂纹尖端的应力、 应变状态，建立裂纹扩 展的力学条件。 欧文（G. R. Irwin）等 人对I型（张开型）裂纹 尖端附近的应力应变进 行了分析，建立了应力 场、位移场的数学解析 式。
9
第一节 线弹性条件下金属断裂韧度
应力分量：
KI 3 x cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r KI 3 y cos (1 sin sin ) 2 2 2 2 r z ( x y )(平面应变)
z 0(平面应力) KI 3 xy sin cos cos 2 2 2 2 r
ys 2 2 s
26
第一节 线弹性条件下金属断裂韧度
此时，平面应变的实际塑性区的宽度为：
KI 2 1 r0 ( ) 4 2 s
在应力松弛影响下，平面应变塑性区的宽度为：
1 KI 2 R0 ( ) 2 2 s
所以在平面应变条件下，考虑了应力松弛的影响，其塑 性区宽度R0也是原r0的两倍。
KI KI 1 0.5( / s )
2
(平面应力)
a
1 0.177( / s )

2
(平面应变)
1.1 2. 对于大件表面半椭圆裂纹， ，所以KI的修正公式为： Y
KI KI
1.1 a 0.608( / s )
1 2
x y
2
(
x y
2
) 2 2 xy ) 2 2 xy
19
x y
2
(
x y

材料力学性能-4-断裂韧性


任何 I 型断裂的应力场强度因子的一般形式为：
K I = Yσ π a
• Y 为裂纹的形状因子，通常是量纲为1的裂纹长度 a 的函数， W是试样的宽度。 W • KI 的量纲是
MPa m 。
4.2 断裂韧性和断裂判据
4.2.1 断裂韧性 KIc
• KI是一决定应力场强弱的复合力学参量，可反映裂纹扩展的阻力。 • 当裂纹体受载应力和裂纹尺寸单独或共同增大时，裂尖应力场强度 因子KI 也随之增大。当增大到某一临界值时，在裂纹尖端足够大的 范围内应力达到了材料的断裂强度，裂纹体便发生失稳断裂。 • 裂纹体发生失稳断裂的临界KI 值记作Kc 或KIC，称为断裂韧性（平 面应力状态和平面应变状态）。表示一定应力状态下材料抵抗裂纹 失稳扩展的能力。 • Kc 与KIC二者的区别： Kc与板材或试样厚度有关，随厚度增大， Kc 不断降低至一稳定的最低值KIC （与厚度无关） 。 • KIC 是 Kc 的最低值，它是真正反映材料裂纹扩展抗力的材料常数。
平面应变状态塑性区形状和尺寸
平面应变
◆平面应变状态（厚板）的塑性区尺寸 远小于平面应力状态（薄板）的塑性 区尺寸。 ◆在平面应变状态（厚板）下沿板厚方 向的裂纹前端有较强的约束，使材料 处于三向应力状态，不容易发生塑性 变形所致。
若引入塑性抑制系数L，则两种应力 状态下的塑性区尺寸可统一表示为：
2
按Von Mises屈服判据得到的塑性区形状和尺寸
平面应力
当θ ＝0（在裂纹面上），其塑性区宽度为：
1 KI 2 ( ) = r0 (= r )θ =0 2π σ s
σ y (r ,0 ) =
K1 2πr
由各应力分量公式也可直接求出在裂 纹线上的塑性区尺寸：
σ y (r ,0 2 2θ cos [(1 − 2ν ) + 3 sin ] r= 2 2 2 2πσ s

4.第四章材料的断裂韧性


2012-4-10
（2）第三强度理论
(4-12)
即： (4-13) 于是有裂纹尖端的塑性区为： (4-14)
2012-4-10
平面应力下：（θ=0）
于是有：
(4-15)
2012-4-10
平面应变下：（θ=0） 因σ3 =2υσ1 ，按σ1 -σ3 =σs ，可计算出：
进而求得： (4-16)
2012-4-10
2012-4-10
第四章材料的断裂韧性
主讲 朱协彬
2012-4-10
目录
4.1 概述 4.2 裂纹尖端的应力场 4.3 断裂韧性和断裂判据 4.4 几种常见裂纹的应力强度因子 4.5 裂纹尖端的塑性区 4.6 塑性区及应力强度因子的修正 裂纹扩展的能量判据G 4.7 裂纹扩展的能量判据GI 4.8 GI和KI的关系 影响断裂韧性K 4.9 影响断裂韧性KIC的因素 金属材料断裂韧性K 4.10 金属材料断裂韧性KIC的测定 4.11 弹塑性条件下的断裂韧性
有效屈服应力： 通常将引起塑性变形的最大主应力，称为有效 屈服应力，以σys 记之。 有效屈服强度与单向拉伸屈服强度之比， 称 为塑性约束系数。 根据最大切应力理论：
2012-4-10
1）按第四强度理论计算
(4-7) 其中σ1 、σ2 、σ3 为主应力。 对裂纹尖端的主应力，可由下式求解： (4-8)
2012-4-10
将Irwin应力场代入上式得：
(4-9)
2012-4-10
代入到第四强度理论中，可计算得到裂纹尖端 塑性区的边界方程为： (4-10)
将上式用图形表示，塑性区的形状如下图：
2012-4-10
4.1 概述
随着高强度材料的使用，尤其在经车、轮船、桥梁和飞机等的意外事故。 传统设计思想: σ <σ许,使用应力小于许用应力。对于塑性材料σ许 =σs /n;对于脆性材料σ许=σb /n; n为安全系数。 从大量灾难性事故分析中发现，这种低应力脆性 破坏主要是由宏观尺寸的裂纹扩展而引起的，这 些裂纹源可能是因焊接质量不高、内部有夹杂或 存在应力集中等原因而引起的。
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• 本章将以断裂力学的基本原理为基础， 简要介绍材料断裂韧度的意义、影响 因素及应用。
第一节
线弹性条件下的断裂韧性
• 线弹性断裂力学认为在脆性断裂过程中， 裂纹体各部分的应力和应变处于线弹性 阶段，只有裂纹尖端极小区域处于塑性 变形阶段。 • 它处理问题有两种方法： 一种是应力应变分析方法，研究裂纹 尖端附近的应力应变场，提出应力场强 度因子及对应的断裂韧度和K判据； 另一种是能量分析方法，研究裂纹扩 展时系统能量的变化，提出能量释放率 及对应的断裂韧度和G判据。
• 材料和构件中裂纹的存在是很难避免的， 它可以在材料的生产和机件的加工过程 中产生，如冶金缺陷、锻造裂纹、焊接 裂纹、淬火裂纹、机加工裂纹等，也可 以在使用过程中产生，如疲劳裂纹、腐 蚀裂纹等。 • 正是裂纹的存在破坏了材料和构件的连 续性和均匀性，改变了材料内部应力状 态和应力分布，使得传统的设计方法无 法定量计算裂纹体的应力和应变。
• 但是，用传统的强度理论设计的结构发 生了很多断裂事故，如高强度钢、超高 强度钢的机件，中、低强度钢的大型机 件常常在工作应力并不高，甚至远低于 屈服极限的情况下，发生脆性断裂现象， 这就是所谓的低应力脆断。
• 大量断裂事例表明，低应力脆断是由于 工件中宏观裂纹（工艺裂纹或使用裂纹） 的存在引起的。
第四章
材料的断裂韧性
前
言
• 经典的强度理论把材料和构件作为连续、 均匀和各向同性的受载物体，进行力学分 析，确定危险部位的应力和应变，考虑安 全系数和环境因素的影响后，对材料提出 相应的强度、塑性、韧度缺口敏感度、冷 脆转变温度等性能的要求，防止断裂和其 他失效形式的发生，这样的设计应该是安了J积分，Hutchinson 证明J积分可以用来描述弹塑性体中裂纹 的扩展，在这之后，逐步发展起来弹塑 性断裂力学。
• 断裂力学研究裂纹尖端的应力、应变 和应变能的分布情况，建立了描述裂 纹扩展的新的力学参量、断裂判据和 对应的材料力学性能指标—断裂韧度， 以此对机件进行设计和校核。
见P70
三、断裂韧度KIC和断裂K判据
• 由上述可知，KI是描述裂纹尖端应力场强度的 一个力学参量，单位为MPa· m1/2。或KN· m-3/2。 • 当应力ζ 和裂纹尺寸 a单独或同时增大时，KI 增大，裂纹尖端的各应力、应变分量也随之 增大。
2．滑开型(Ⅱ型)裂纹扩展
• 切应力平行作用 于裂纹面，并且 与裂纹前沿线垂 直，裂纹沿裂纹 面平行滑开扩展。 • 例如，花键根部 裂纹沿切应力方 向的扩展，传动 轴周向裂纹的扩 展。
3．撕开型(III型)裂纹扩展
• 切应力平行作用于裂 纹面，并且与裂纹前 沿线平行，裂纹沿裂 纹面撕开扩展。 • 例如，轴类零件的横 裂纹在扭矩作用下的 扩展。
• 对于如图所示的平面应力情况， KI 可用 下式表示。
• 若裂纹体的材料一定，裂纹尖端附近某一点的 位置 (r，θ ) 给定，则该点的各应力、应变和 位移分量唯一决定于 KI值，KI值愈大，则该点 各应力、应变和位移分量之值愈高，因此，KI 反映了裂纹尖端区域应力场的强度，故称之为 应力场强度因子，它综合反映了外加应力、裂 纹形状、裂纹长度对裂纹尖端应力场强度的影 响，其一般表达式为 • 式中：Y为裂纹形状系数，取决于裂纹的形状。 • KI的脚标表示I型裂纹，同理，KⅡ、KⅢ表示Ⅱ 型和Ⅲ型裂纹的应力场强度因子。 • 对于不同形状的I型裂纹裂纹，KI和Y的表达式 见附表。
• 实际裂纹的扩展过程并不局限于这3种
形式，往往是它们的组合，如I－Ⅱ、
I－Ⅲ、Ⅱ－Ⅲ型的复合形式。 • 在这些裂纹的不同扩展形式中，以I型 裂纹扩展最危险，最容易引起脆性断 裂。所以，在研究裂纹体的脆性断裂 问题时，总是以这种裂纹为对象。
二、裂纹尖端的应力场 及应力场强度因子KI
• 由于裂纹扩展总是从其尖端开始向 前进行的，所以应该分析裂纹尖端 的应力应变状态，建立裂纹扩展的 力学条件。
• 若裂纹尖端沿 z 方向的应变受到约束 ， ε z=O，则裂纹尖端处于平面应变状态。 • 此时，裂纹尖端处于三向拉伸应力状态， 应力状态软性系数小，因而是危险的应力 状态。 • 平面应变状态应变分量为
• 平面应变状态x、y轴方向的位移
分量为
• 可以看出，裂纹尖端任意一点的应力、 应变和位移分量取决于该点的坐标(r， θ )、材料的弹性模数以及参量KI。
• 断裂力学正是在这种背景下发展起来的 一门新兴断裂强度科学。 • 1922年Griffith首先在强度与裂纹尺度 间建立了定量关系： 裂纹失稳扩展的临界应力为
σc=(2Eγ/πa)1/2
临界裂纹半长为
ac=2Eγ/πσ2
• 1948年Irwin发表了经典性论文 《Fracture Dynamics》，它标志着断裂 力学成为了一门独立的工程学科，随后 大量的研究集中于线弹性断裂力学。
• 经典的强度理论是在不考虑裂纹的萌生 和裂纹的扩展的条件下进行强度计算的， 认为断裂是瞬时发生的。 • 然而实际上无论哪种断裂都有裂纹萌生、 扩展直至断裂的过程，因此，断裂在很 大程度上决定于裂纹萌生抗力和扩展抗 力，而不是总决定于用断面尺寸计算的 名义断裂应力和断裂应变。 • 显然需要发展新的强度理论，解决低应 力脆断的问题。
一、裂纹扩展的基本方式
• 根据外加应力的类型及其与裂纹扩 展面的取向关系，裂纹扩展的基本 方式有3种 • 1．张开型(I型)裂纹扩展 • 2．滑开型(Ⅱ型)裂纹扩展 • 3．撕开型(Ⅲ型)裂纹扩展
1．张开型(I型)裂纹扩展
• 拉应力垂直作用于 裂纹面，裂纹沿作 用力方向张开，沿 裂纹面扩展。
• 例如，容器纵向裂 纹在内应力作用下 的扩展。
• Inwin等人运用线弹性理论研究了裂 纹体尖端附近的应力应变分布情况。
• 设有一承受均匀拉应力的无限大板， 含有长为2a的I型穿透裂纹
• 若裂纹尖端沿板厚方向 ( 即 z 方向 ) 的应 变不受约束，因而有 ζ Z=0，此时，裂 纹尖端处于平面应力状态。其尖端附近 (r，θ )处应力近似地表达如下。