专题9

（2） I = P , P 、U 一定时， cosϕ ↑ ⇒ I ↓ 线路损耗大大降低。 U cosϕ
3．提高功率因数的方法
（1）引言：提高 cosϕ ，也就是减少电源与负载之间的能量互换。由于实际上大量感性负
载的存在，功率因数一般降低，当 cosϕ ↑ 后，电感性负载自然所需的无功功率由谁负担？
我们自然想到时时与电感持相反性质的电容。提高功率因数，常用发方法就是与 感性负载 并联一个静电容。
B
C=
w
B<0（感性） L= 1 wB
二、例题
1．由端口的电压相量及电流相量的表达式确定等效电路的形式。 [例]：
已知某无源二端网络中，已知端口电压和电流分别为：u(t)=10 2 cos(wt+37 ° )V,
I(t)=2 2 cos(100t)A.试求该而端网络的输入阻抗、导纳及其等效电路。
[解]：
.
由题可得电压和电流相量为：U =10 ∠37° V, I=2 ∠0° A
.
由阻抗定义：Z= U =R+jx= 10∠37° =5 ∠37° =4+j3 Ω
.
I
2∠0°
X=3 Ω >0,z 呈感性，等效电路为一个 R=4 Ω 的电阻与一个感抗为 X L =3 Ω 的电感元件
的串联，其等效电路为 L 1 =
[例 1]：已知正弦电流 i =5 cos(314 + 45° ) A，通过 30 Ω 的电阻 R，试求 R 消耗的平均功率。
[解]：∵ I = Im = 5 A ∴ P = UI = I 2 R=( 5 ) 2 × 30=375 w
22
2
[例 2]：教材 p 223 9-27
[例 3]：教材 p 224 9-28 [例 4]：教材 p 227 9-37
.
.
（2）计算 C 的公式：并联电容 C 不会影响感性负载与支路的复功率 S1 ，因为U 和 I1 都未
改变。但是电容的无功功率“补偿”了电感 L 的无功功率，减少了电源的无功功率，从而
提高了电路的功率因数。设并联电容后电路吸收的复功率为 S ，电容吸收的复功率因数为
SC ，电容的无功功率为 QC ，原电路感性负载吸收的功率为 P ，电路外加电压U ，频率为 w 的正弦电压，见个功率因数有 cosϕ1 提高到 cosϕ 2 ，求 C =？
各部分无功功率之和，因此有功功率和无功功率分别守恒。
.
.
.
（2）复功率也守恒。设电路中有 b 条 支 路，b 个支路电压相量U1 、U 2 ……U b 应满足 KVL，b
.
.
.
个支路电流相量应满足
KCL，其共轭复量
I1∗
、
I
∗ 2
……
I
∗ b
也必须满足
KCL，由特勒定律
.
b
.
∑ 知 U k I k ∗ =0，所以复功率守恒。
P ∴ C = wu 2 ( tanϕ1- tanϕ 2 )
R
图 9-8 功率因数提高
[例]： P =20 kw ， w =314 rad s ，U =380V， λ 由 0.6 → 0.9，求 C =？
[解]：∴ C =
P wu 2
20 ×103 ( tanϕ1- tanϕ 2 )= 3.14 × (380)2
§9-1 阻抗和导纳
一、一端口阻抗和导纳的定义
1．定义：
.
.
（1）一端口阻抗 Z：端口的电压相量U 与电流相量 I 之比。
.
.
（2）一端口导纳 Y：端口的电流 I 与电压相量U 之比。
2．阻抗、导纳的代数形式
Z=R+jx
R 为电阻 X 为电抗（虚部）
Y=G+JB
G 为电导 B 为电纳（虚部）
3．单个元件 R、L、C 的阻抗及导纳
XL w
= 3 =0.03H,由于 Y= G+Jb= 100
1 Z
1
=
5∠37 °
=0.2 ∠ − 37° =0.16-
j0.12S.B=-0.12S<0,Y 呈感性，等效电路为一个 G=0.16S 的电导与一个感纳 B L =0.12S 的电感
元件的串联，其等效电感为
L2
=
1 wB L
1
=
100 × 0.12
( tanϕ1- tanϕ 2 )=374.49
µF
三、最大功率传输
[例]： 如图 5.20 电路负载分三种情况如下给出,求负载功率,
并比较上功率大小。 a. 负载为 5Ω的电阻； b. 负载为电阻与内阻抗配； c. 负载为共轭匹配。
[解]：
图 9 -9 例 题
四、三表法测交流参数 五、其他例题
教材 p 204 例 9-9
专题 9 正弦稳态电路的分析
本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。主要内容有：阻抗 和导纳、电路的相量图、电路方程的相量形式、线性电路定理的相量 描述和应用、瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率、复功率、 最大功率传输、谐振以及电路的频率响应。
§9-1 阻抗和导纳 教学目的：掌握复阻抗和复导纳的概念，阻抗和导纳的串并联电路。 教学重点：理解和掌握阻抗和导纳的概念。 教学难点：RLC 电路的阻抗及导纳形式。 教学方法：课堂讲授。 教学内容：
（3）公式推导：
设 λ1 = cosϕ1 电路的无功功率 Q1 = P tanϕ1 ∴ S1 = P + jQ1 λ2 = cosϕ 2 电路的无功功率 Q2 = P tanϕ 2 ∴ S = P + jQ2 ∴ SC = S - S1 = j ( Q2 - Q1 )= j P ( tanϕ 2 - tanϕ1 )= PC + jQC ∴ QC = - wcu 2 = P ( tanϕ 2 - tanϕ1)
(2) RLC 并联电路:
.
I1
Y= = +
1
+jwc= 1 +j(wc- 1 )=G+Jb= Y
.
U
R
jwl
R
wl
∠ψ Y
虚部
B
即电纳为：B=B
L
+B
c
=wc-
1 wc
①B>0 即 wc> 1 wl
称 Y 呈容性
②B<0 即 wc< 1 wl
称 Y 呈容性
Y = G2 + B2
B ψ Y =arctan( G )
1
=
12
H
2．RLC 串、并、混联电路的等效电路。
（1）串联：先求阻抗 Z，再求 Y= 1 求导纳； Z
（2）并联：先求导纳 Y，再求 Z= 1 Y
（3）混联：视电路结构定。
求阻抗；
[例]：
求一端口的输入阻抗 Z 和导纳 Y。
教材 P219 9-3（c）
3．含 CS 一端口等效电路。
[例]： 求一端口的输入阻抗 Z 和导纳 Y。
i(t) = 2 I cos( wt +ψ i )
p(t) = 2 Ucos( wt +ψ u ). 2 I cos( wt +ψ i )
1 =⋅
2
2 U⋅
2I [ cos( wt +ψ u + wt +ψ i )+cos( wt +ψ u - wt -ψ i ) ]
=UI cos(ψ u -ψ i )+UI cos(2 wt +2ψ u -ψ u +ψ i ) 令ψ u -ψ i =ψ
§9-2 无源一端口网络的等效电路
教学目的：学习和掌握等效电路的形式。
教学重点：理解和掌握阻抗和导纳的概念。
教学难点：RLC 电路的阻抗及导纳形式。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：
一、等效电路的形式
.
U Z= . =R+jx
.
I
x>0(感性)
x
L=
w
x<0(容性)
1
C=
wX
1
Y= =G+Jb
Z
B>0（容性）
=UI cosψ +UI cos(2 wt +2ψ u -ψ )
=UI cosψ +UI cosψ cos(2 wt +2ψ u )+UI sinψ sin(2 wt +2ψ u )
=UI cosψ [ 1+ cos(2 wt +2ψ u ) ]+UI sinψ sin(2 wt +2ψ u )
由于 R>0
⑶ 将直流变量对换成相量。
二、正弦稳态电路的回路法
[例]：
用回路电流法求图 9-4 电路中的U̇ 。
三、正弦稳态电路的结点法
[例]：
图 9-4 例题
用结点电压法求图 9-5 所示电路的 ix 。
图 9-5 例题
四、正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路
[例]： 求图 9-6 所示正弦稳态电路的一端口戴维宁等效电路。
（1）RLC 串联电路：
.
U
1
1
Z=
.
I
. =R+jwl+
=R+j(wl- )=R+jx= Z
jwc
wc
∠ψ Z
虚部
x
即电抗为：X=
X
L
+X
C
=wl-
1 wc
①X>0 即 wl> 1 wc
称 Z 呈感性
②X<0 即 wl< 1 wc
称 Z 呈容性
Z = R2 + X 2
X ψ 2 =arctan( R )