数字信号处理作业第1章
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X(Z)= 0.5nZ-n=(1-0.510Z-10)/(1-0.5Z-1)=(Z10-0.510)/[Z9(Z-0.5)],|Z|>0
极点：Z=0 9 阶极点，零点：Zk=0.5ej(2πk/10),k=1,2,…,9 1.10 X(Z)=1/(1-Z-1)(1-2Z-1),1<|Z|<2
解：x(n)=1/(2πj)∮cx(z)zn-1dz 因为 1<|Z|<2
=-u(n)-2n+1u(-n-1)
1.11(3) y(z)= y(n)z-n= y(n)z-n+ y(n)z-n
= y(2r)z-2r+ y(2r+1)z-(2r+1)=x(z)+z-1x(z2)
1.13(1)y(n)=2x(n)+5=T[x(n)] T[ax1(n)+bx2(n)]=2[ax1(n)+bx2(n)]+5≠T[ax1(n)]+T[bx2(n)] 系统非线性 T[x(n-n0)]=2x(n-n0)+5=y(n-n0)时不变 所以系统为非线性时不变系统
Sinφ 0
-0.59 0.95 -0.95 0.59 0 -0.59 0.95
1.3
1.4 解：因为采样频率Ωs=8π 所以采样周期 Ts=2π/Ωs=1/4(S)
采样信号
= xa1(t)δ(t-nTs)=
Cos(2πt)δ(t-1/4n)
=- Cos(6πt)δ(t-1/4n)
= Cos(10πt)δ(t-1/4n)
=an-2u(n-2)
1.22(1)H(Z)=(1-a-1z-1)/(1-a-1)=(z-a-1)/(z-a) |a|<1 系统稳定
(2)0<a<1 时 极点 z=a，零点z=a-1
收敛域
|z|>a
(3)|H(ejw)|=|AB|/|AC|=1/a 即全通
1.19 解（1）直接卷积法
f(n)=x(n)*y(n)= amu(m)δ(n-2-m)=an-2u(n-2) （2）Z 变换法
X(Z)=
anu(n)z-n=1/(1-az-1),y(z)=z-2,|z|>|a|
F(z)=z-2/(1-az-1)=z-1/(z-a)=1/z(z-a)
f(n)=IZT[1/z(z-a)]=Res[zn-1a/z(z-a)]
（3）y(n)= x(n)=T[x(n)]
T[ax1(n)+bx2(n)]= [ax1(n)+bx2(n)]= ax1(n)+ bx2(n) =aT[x1(n)]+bT[x2(n)] 是具线性系统
T[x(n-n0)]= x(m-n0)≠y(n-n0)= x(m) 是时变系统
所以系统为时变线性系统（累加器） 1.14（1）解x1(n)= δ(n)+2δ(n+2)+δ(n-4) x2(n)=2δ(n-1)+ δ(n-3)
0, n 为奇数
G(ejw)= x(n/2)e-jwn ,n/2=n’,n’=2n
= x(n’)e-j2n’w =X(e2jw)
1.7 （2）x(n)=0.5nu(n)
X(Z)=
0.5nu(n)Z-n= 0.5nZ-n=1/(1-0.5Z-1),|Z|>0.5
=Z/(Z-0.5) 零点 Z=0，极点 Z=0.5 （4）x(n)=0.5n[u(n)-u(n-10)]
Y(n)=x1(n)*x2(n)= x1(m)x2(n-m) 4[δ(n+1)+4δ(n-1)+δ(n-3)-2δ(n-5)-δ(n-7)]
1.16（2）y(n)= x(k),n>=n0，系统的输出只与当前及以前的输入有关， 因此系统因果。
当|x(n)|≤M 则|y(n)|≤ |x(k)|≤ M 不稳定（累加）
(4)h(n)=0.5nu(n)， 因果稳定 1.18 解x1(n)=x(n)=1/2x1(n-1)
Y(n)=x1(n)+x1(n-1) =x(n)+1/2x1(n-1)+x1(n-1) =x(n)+3/2x1(n-1) x1(n-1)=2/3[y(n)-x(n)]=>x1(n)=2/3[y(n+1)-x(n+1)] x1(n)=x(n)+1/3[y(n)-x(n)=1/3y(n)+2/3x(n) =>2[y(n+1)-x(n+1)]=y(n)+2x(n) y(n)=2[y(n+1)-x(n+1)-x(n)] 又因为 y(n)=0 n>=0 则 y(-1)=2[y(0)-x(0)-x(-1)]=-2 y(-2)=2[y(-1)-x(-1)-x(-2)]=2*(-2)=-22=-4 y(-3)=2[y(-2)-x(-2)-x(-3)]=2*2*(-2)=-23=-8 . . . Y(-n)=-2n 即y(n)=-2-nu(-n-1)
《数字信号处理》第一章作业参考答案
1.1 一般正弦序列的周期性分析
设 x(n)=ASin(w0n+φ) 所以x(n+N)=ASin[w0(n+N)+φ]=ASin（w0n+w0N+φ） 如果x(n)=x(N+n),则必须w0N=2πk（k为整数）即N=2πk/w0 因为 N 必须为整数，因此，如果该序列为周期序列，则 N 为满足为整数的最
小值，否则序列为非周期序列。
因为x(n)=Sin(16πn /5)，则w0=16π/5 2πk/w0=2πk/（16π/5）=5k/8,则k=8 时N=5 所以序列周期为 5。
n
0
1
2
3
4
56
7
φ
0
16π/5 32π/5 48π/5 64π/5 16π 16π+(16π)/5 16π+(32π)/5
采样序列 xa1(n)=Cos(2πt)|t=n/4=Cos(πn/2)(-∞ <n<∞) xa2(n)=-Cos(6πt)|t=n/4=-Cos(3πn/2)(-∞<n<∞) xa3 (n)=Cos(10πt)|t=n/4=Cos(5πn/2)(-∞<n<∞)
从图中可以看出的采样结果完全一样，很明显可以看出出现混叠，因不满足 采样定理出现混叠。
1.6(3) g(n)=x(2n) 解x(n)<->x(ejw)
G(ejw)=
g(n)e-jwn=
x(2n)e-jwn
=
x(n’)e-jwn’/2
n’=2n n=n’/2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=
[x(n’)+(-1)n’x(n’)]e-jwn’/2/2
=1/2[X(ejw/2)+X(e-jπ+jw/2)] (4)g(n)=x(n/2),n 为偶数
F(z)=x(z)zn-1=z2zn-1/(z-1)(z-2) = zn+1/(z-1)(z-2)
所以(1)当n≥-1 时C内极点为： z1=1 x(n)=Res[F(z),1]=zn+1/(z-2)|z=1=-1=-u(n+1) (2)当n≤2 时,C内极点有z1=1,z=0 为n+1 阶极点
C外极点z2=2 因为满足 N=M-n≥1 所以采用留数辅助定理 x(n)=-Res[F(z),2]=-zn+1/(z-1)|z=2=-2n+1u(-n-2) x(n)=-u(n+1)-2n+1u(-n-2)
