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P[ A] P[ A1 ]P[ A | A1 ] P[ A2 ]P[ A | A2 ]
{ A Ai }互斥,且
n i 1
A Ai A
例:一台服务器连接三个终端.终端1通过专线连接, 终端2,3共享一条线路.当一个终端使用时,该终 端独占线路.终端1每小时使用30分钟,终端2每小 时10分钟,终端3每小时5分钟.
lim x F ( x) 1, limx F ( x) 0 P[a X b] F (b) F (a)
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对离散随机变量X,定义概率质量函数 (probability mass function,pmf)p( x) P[ X
x]
性质:
xi T
p( x ) 1
i
对连续随机变量X,定义概率密度函数 (probability density function,pdf) f ( x) dF
抛骰子,产生样本点1,2,3,4,5,6;样本空 间Ω={1, 2, 3, 4, 5, 6} 抛硬币,产生样本点"正"和"反";样本空间 Ω={正面,反面}
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样本空间中满足某种条件的样本点的集合A被 称为事件.如果随机实验的结果属于事件A, 我们称事件A发生
例:掷一个骰子,结果为偶数的事件={2,4,6} A∪B:A或者B至少发生一个事件 A∩B:A和B都发生 A :A不发生 :不可能发生的事件 A B :事件A与B互斥
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一些定义:
概率
对属于样本空间Ω中的事件A,它的概率是一 个将其映射到实数空间[0,1]的一个映射,记为 P[A]或者Pr[A] 性质:
0≤P[A]≤1,P[ A] 1 P[ A] P[Ω]=1 P[ A B] P[ A] P[ B] P[ A B] 如果A1, A2, A3, …互斥,则 P[A1∪A2∪A3∪…]=P[A1]+P[A2]+P[A3]+…
10
5 2
0.95
0.85 0.55
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事件A,模块评测未通过;事件A1,A2,A3,A4, A5分别表示该模块由成员1,2,3,4,5开发 该模块由成员1开发的概率
P[ A1 ]P[ A | A1 ] P[ A1 | A] P[ A1 ]P[ A | A1 ] P[ A5 ]P[ A | A5 ] 12 0.02 33 0.0708 12 4 10 5 2 0.02 0.25 0.05 0.15 0.45 33 33 33 33 33
1 e x , x 0 F ( x) x0 0,
2
P[1 X 3] F (3) F (1) e 2 e 6 0.1328
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期望,方差
最重要的两个指标
E[ X ] xi p ( xi ) 或者 E[ X ] xf ( x)dx
2
期望(expected value)μ,
排队论及其应用
Lecture 1 回顾概率论
中国科学技术大学 计算机科学与技术学院
田 野
1
课程介绍
授课教师:田 野 课程主页:
/~yetian/CS05136/
授课地点:西区3203 预备知识:
简单的概率论和随机过程知识 65% 35% 期末考试(开卷) 平时作业
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例:一个软件项目由五个项目组成员完成.每位成 员开发并提交一定数量的模块供测试.项目组成员 和他们开发的模块评测通过率如下表.现随机选取 一个模块评测,结果为"未通过",问这个模块由 成员1开发的概率和由成员5开发的概率.
成员 1 2 提交模块数 12 4 评测的通过率 0.98 0.75
3
4 5
22
例:指数分布
E[ X ]
2
0
e x 1 x e x dx 0
Var[ X ] ( x ) 2 e x dx 2 0
1
1
23
典型离散分布--伯努力分布
离散随机变量 p( x) P[ X x] 1 伯努力实验:一次随机实验只有两种结果, "成功"(记为1)或者"失败"(记为0), 分别以概率p和q发生,p+q=1. 伯努力实验的结果是一个离散随机变量,服从 伯努力分布
p[ X k ] b(k ; n, p) p k q n k , k n
E[ X ] np Var[ X ] npq
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典型离散分布--几何分布
一系列伯努力实验,记X为首次出现结果为 "成功"时失败的实验次数
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条件概率和独立事件
已知事件B已发生,事件A发生的概率记为 P[A|B],从定义 P[ A | B ] P[P[ A | B] P[ A],则事件A和B是独立事件,
P[ A B] P[ B]P[ A | B] P[ B]P[ A]
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根据定义, P[ A B] P[ B]P[ A | B] P[ A]P[ B | A] 性质:
11
全概率公式:事件A1,A2,...,An满足以下条 件:
A (a) 任意i≠j, i Aj 满足条件(a-c)的事件集合称 (b)任意i,P[Ai]>0 为样本空间Ω的一个分割 (c) A1 A2 An
P[ An ]P[ A | An ]
则对任意事件A, 证明:P[ A1 ]P[ A | A1 ] P[ A2 ]P[ A | A2 ] P[ An ]P[ A | An ]
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Ak Ak 1 ] P[ A B ] Ak 1 ]
例,一批100个路由器中25个带有无线Wi-Fi功 能.现在随机抽取三台,这三台都有无线WiFi功能的概率. A1,A2,A3表示抽取的第1,2,3台路由器有 Wi-Fi功能.
P[ A1 A2 A3 ] P[ A1 ]P[ A2 | A1 ]P[ A3 | A1 A2 ] 25 24 23 0.0142 100 99 98
P[ A ( B C )] P[( A B) ( A C )] P[ A B] P[ A C ] P[ A]P[ B | A] P[ A]P[C | A] 5 / 24 P[U ] P[ A] P[ B C ] P[ A ( B C )] P[ A] P[ B] P[C ] P[ A ( B C )] 13 / 24
xi
方差(variance)σ2, σ被称为标准差
2 2 xi
Var[ X ] ( xi E[ X ]) p ( xi ) 或者 Var[ X ] ( x E[ X ]) 2 f ( x )dx
对于随机变量X,令h(X)为X上的一个函数,比如2X, log(X)等等.
如果X离散, E[h( X )] h( x1 ) p( x1 ) h( x2 ) p( x2 ) 如果X连续, E[h( X )] h( x) f ( x)dx
An ] P[ An | A1 A2 An 1 ]
P[ A1 A2
P[ A1 ]P[ A2 | A1 ]P[ A3 | A1 A2 ]
9
证明 P[ A1 A2
An ] P[ An | A1 A2 An 1 ]
P[ A1 ]P[ A2 | A1 ]P[ A3 | A1 A2 ]
归纳法,当n=2,结论成立 当n=k,假设结论成立,有
P[ A1 A2 Ak ] P[ A1 ]P[ A2 | A1 ] P[ Ak | A1 A2 Ak 1 ]
记 A A1 A2 Ak , B Ak 1
P[ A1 A2 P[ A]P[ B | A] P[ A1 ]P[ A2 | A1 ] P[ Ak 1 | A1 A2 P[ Ak | A1 A2 Ak ]
P[ A A1 ] P[ A A2 ] P[ A]
P[ An ]P[ A | An ]
P[ A An ]
P[ Ai A] P[ Ai ]P[ A | Ai ] P[ Ai | A] P[ A] P[ A]
P[ Ai ]被称为先验概率,没有参考信息的概率 P[ Ai | A]被称为后验概率, 有参考信息(事件A发生)的概率 已知先验概率,计算后验概率
f(x)≥0 b f可积,并且 P[a X b] f ( x)dx
dx
f ( x)dx 1
x
a
F ( x)
f (t )dt
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例:掷骰子,
p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6
e x , x 0 f ( x) x0 0,
例:指数分布随机变量X
该模块由成员5开发的概率
P[ A5 ]P[ A | A5 ] P[ A5 | A] 0.2655 P[ A1 ]P[ A | A1 ] P[ A5 ]P[ A | A5 ]
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随机变量
一个随机变量(random variable, r.v.)X是一个定义 在样本空间的实数函数
随机变量可以是离散的,也可以是连续的. 离散随机变量:
xT xT
p(1) p, p(0) 1 p q g ( z ) q pz E[ X ] p, Var[ X ] pq
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典型离散分布--二项分布
一系列n个独立不相关的伯努力实验,结果记 为a1, a2,…, an.其中结果为"成功"的次数记 为随机变量X X依赖两个参量,n(实验次数)和p(实验成 功概率).
1.
2.
如果终端独立使用,求任意时刻至少有一台终端被使用 的概率 如果终端使用不独立,当终端1使用时,终端2使用的概 率为1/3,终端3使用的概率是1/12.问任意时刻至少一台 终端被使用的概率.
事件A,B,C表示终端1,2,3被使用.至少一台终 U 端被使用, A ( B C )
P[U ] P[ A ( B C )] P[ A] P[ B C ] P[ A ( B C )]