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求最小生成树问题,常用的方法最小生成树（Minimum Spanning Tree）问题是一个经典的图论问题，其涉及到给定一个加权无向图，求其最小的生成树。
在实际问题中，求解最小生成树问题非常重要。
例如，最小生成树问题被广泛应用于网络设计、电路布线、机器学习等众多领域。
本文将介绍求解最小生成树问题的常用方法，包括Kruskal算法、Prim算法和Boruvka算法。
我们将详细介绍这些算法的原理和步骤，并给出各种算法的优缺点和适用情况。
1. Kruskal算法Kruskal算法是一种基于贪心策略的算法。
它首先将所有边按照权重大小排序，然后从小到大遍历边。
对于每个边，如果它连接了两个不同的连通块，则将这两个连通块合并成一个。
重复这个过程，直到所有的边都被考虑完。
最终的联通块就构成了最小生成树。
Kruskal算法具有简单、高效、容易实现的特点。
它的时间复杂度为O(E log E)，其中E为边的数量。
Kruskal 算法的实现需要使用并查集。
Kruskal算法的优点是它是一种局部最优的策略，因此它能够在众多情况下得到最优解。
另外，它能够处理稀疏图和稠密图，因为它不需要全局访问图的结构。
2. Prim算法Prim算法也是一种基于贪心策略的算法。
它从一个任意的节点开始，不断加入与已经加入的节点相邻的最短边，直到所有节点都被加入。
这个过程类似于将一个连通块逐渐扩张为最小生成树。
Prim算法的时间复杂度为O(E log V)，其中E为边的数量，V为节点的数量。
Prim算法的实现需要使用堆数据结构来进行边的最短距离的管理。
Prim算法的优点是它比Kruskal算法更加容易实现和理解。
另外，Prim算法能够处理不连通图，因为它从任意一个节点开始加入边。
此外，Prim算法也能够处理含有负权重的边的图。
3. Boruvka算法Boruvka算法是一种基于分治策略的算法。
它首先将所有的节点看作单独的连通块，然后每个连通块都选择当前权重最小的边加入。
计算机中图的名词解释在计算机领域中，图（Graph）是一种常见的数据结构，用于描述对象之间的关系和相互作用。
图的概念最早由数学家欧拉提出，并且在计算机科学中得到广泛运用。
本文将从图的基本概念和操作开始，逐步介绍计算机中图的相关术语和应用。
1. 图的基本概念图由节点（Node）和边（Edge）组成。
节点表示对象或实体，边表示节点之间的连接关系。
图可以分为有向图（Directed Graph）和无向图（Undirected Graph）。
在有向图中，边具有方向性，表示从一个节点流向另一个节点；而在无向图中，边没有方向性，表示两个节点之间的相互关系。
2. 图的存储方式为了在计算机中表示和处理图，常见的存储方式有邻接矩阵（Adjacency Matrix）和邻接表（Adjacency List）。
邻接矩阵是一个二维数组，其中行和列表示节点，矩阵的值表示节点之间是否有边相连。
邻接表则使用链表的形式来表示节点之间的连接关系，每个节点对应一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
3. 图的遍历图的遍历是指沿着图中的路径，依次访问所有节点的过程。
常见的图遍历算法有深度优先搜索（Depth-First Search）和广度优先搜索（Breadth-First Search）。
深度优先搜索先选择一个起始节点，沿着路径一直深入直到无法继续，然后回溯到其他未访问的节点，继续深入；而广度优先搜索则是从起始节点开始，并逐层扩展，逐层访问。
4. 最短路径算法最短路径算法用于计算两个节点之间的最短路径，即路径上边的权值之和最小。
其中，最常用的最短路径算法是狄克斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）。
该算法通过逐步更新节点到其他节点的距离，找到起始节点到目标节点的最短路径。
5. 拓扑排序拓扑排序（Topological Sorting）是一种对有向无环图进行排序的算法。
在有向图中，如果节点 A 的边指向节点 B，那么 B 必须在 A 之后才能出现在排序结果中。
n图的基本概念n图的存储结构n图的遍历与连通性n最小生成树n最短路径n活动网络7.1图的基本概念n图定义图是由顶点集合(vertex)及顶点间的关系集合组成的一种数据结构：Graph＝( V, E )其中V= { x| x ∈某个数据对象}是顶点的有穷非空集合；E= {(x, y) |x, y ∈V }或E= {<x, y>|x, y ∈V&& Path(x, y)}是顶点之间关系的有穷集合，也叫做边(edge)集合。
Path(x, y)表示从x 到y 的一条单向通路, 它是有方向的。
n有向图与无向图在有向图中，顶点对<x, y>是有序的。
在无向图中，顶点对(x, y)是无序的。
n完全图若有n 个顶点的无向图有n(n-1)/2 条边, 则此图为完全无向图。
有n 个顶点的有向图有n(n-1) 条边, 则此图为完全有向图。
邻接顶点如果(u, v) 是E(G) 中的一条边，则称u 与v 互为邻接顶点。
n权某些图的边具有与它相关的数,称之为权。
这种带权图叫做网络。
n 子图设有两个图G ＝(V ,E )和G ,＝(V ,,E ,)。
若V ,⊆V 且E,⊆E ,则称图G ,是图G 的子图。
n顶点v 的入度是以v 为终点的有向边的条数, 记作ID(v ); n顶点v 的出度是以v 为始点的有向边的条数, 记作OD(v )。
n 在有向图中, 顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。
n 路径在图G ＝(V , E ) 中, 若从顶点v i 出发, 沿一些边经过一些顶点v p 1, v p 2, …, v pm ，到达顶点v j 。
则称顶点序列( v i v p 1 v p 2 ... v pm v j )为从顶点v i 到顶点v j 的路径。
它经过的边(v i , v p 1)、(v p 1, v p 2)、...、(v pm ,v j )应是属于E 的边。
n 路径长度u 非带权图的路径长度是指此路径上边的条数。
生成树算法的三个步骤生成树是图论中的重要概念，它描述了一个连通图的一个子图，该子图包含了图中的所有顶点，并且是无环的。
生成树算法是用来找到一个连通图的生成树的一种方法。
本文将介绍生成树算法的三个步骤：图的遍历、边的选择和生成树的构建。
一、图的遍历图的遍历是生成树算法的第一步，它的目的是将图中的所有顶点访问一遍。
常用的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索是通过递归的方式进行遍历，从某个顶点开始，先访问它的一个邻接顶点，然后再递归地访问该邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问过。
广度优先搜索是通过队列的方式进行遍历，从某个顶点开始，先访问它的所有邻接顶点，然后再依次访问这些邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问过。
二、边的选择边的选择是生成树算法的第二步，它的目的是选择一些边，使得这些边构成一个连通图的生成树。
常用的边的选择算法有最小生成树算法和最大生成树算法。
最小生成树算法的目标是选择一些边，使得这些边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法是从一个顶点开始，每次选择一条最小权值的边，将该边连接的顶点加入到生成树中，直到所有顶点都被加入到生成树中。
克鲁斯卡尔算法是先将所有边按照权值从小到大排序，然后依次选择权值最小的边，如果这条边连接的两个顶点不在同一个连通分量中，则将这条边加入到生成树中。
最大生成树算法的目标是选择一些边，使得这些边的权值之和最大。
常用的最大生成树算法有逆克鲁斯卡尔算法和逆普里姆算法。
逆克鲁斯卡尔算法和逆普里姆算法的原理与克鲁斯卡尔算法和普里姆算法相反。
三、生成树的构建生成树的构建是生成树算法的第三步，它的目的是根据选择的边构建一个生成树。
生成树可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否有边。
邻接表是一种链表的数据结构，其中的每个节点表示一个顶点，节点的值表示该顶点的邻接顶点。
数据结构图的遍历实验报告篇一：【数据结构】图的存储和遍历实验报告《数据结构B》实验报告系计算机与电子专业级班姓名学号XX年1 0 月9日1. 上机题目：图的存储和遍历2. 详细设计#include#define GRAPHMAX 10#define FALSE 0#define TRUE 1#define error printf#define QueueSize 30typedef struct{char vexs[GRAPHMAX];int edges[GRAPHMAX][GRAPHMAX];int n,e;}MGraph;int visited[10];typedef struct{int front,rear,count;int data[QueueSize];}CirQueue;void InitQueue(CirQueue *Q) {Q->front=Q->rear=0;Q->count=0;}int QueueEmpty(CirQueue *Q){return Q->count=QueueSize;}int QueueFull(CirQueue *Q){return Q->count==QueueSize;}void EnQueue(CirQueue *Q,int x) { if(QueueFull(Q)) error("Queue overflow");文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持else{ Q->count++;Q->data[Q->rear]=x;Q->rear=(Q->rear+1)%QueueSize;}}int DeQueue(CirQueue *Q){int temp;if(QueueEmpty(Q)){ error("Queue underflow");return NULL;}else{ temp=Q->data[Q->front]; Q->count--;Q->front=(Q->front+1)%QueueSize;return temp;}}void CreateMGraph(MGraph *G){int i,j,k;char ch1,ch2;printf("\n\t\t 请输入定点数，边数并按回车 (格式如：3，4)：");scanf("%d,%d", &(G->n),&(G->e));for(i=0;in;i++){ getchar();printf("\n\t\t 请输入第%d个定点数并按回车：",i+1);scanf("%c",&(G->vexs[i]));}for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++)G->edges[i][j]=0;for(k=0;ke;k++){ getchar();printf("\n\t\t 请输入第%d条边的顶点序号 (格式如：i,j )：",k+1);scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);for(i=0;ch1!=G->vexs[i];i++);for(j=0;ch2!=G->vexs[j];j++);G->edges[i][j]=1;}}void DFSM(MGraph *G,int i){int j;printf("\n\t\t 深 度 优 列： %c\n",G->vexs[i]);visited[i]=TRUE;for(j=0;jn;j++)if(G->edges[i][j]==1 &&////////////////DFSM(G,j);} void BFSM(MGraph *G,int k){ int i,j;CirQueue Q;InitQueue(&Q);printf("\n\t\t 广 度 优列： %c\n",G->vexs[k]);visited[k]=TRUE;EnQueue(&Q,k); while(!QueueEmpty(&Q)){ i=DeQueue(&Q);先遍历序 visited[j]!=1)先遍历序for(j=0;jn;j++)if(G->edges[i][j]==1 && visited[j]!=1) { visited[j]=TRUE;EnQueue(&Q,j);}}}void DFSTraverseM(MGraph *G) {int i;for(i=0;in;i++)visited[i]=FALSE;for(i=0;in;i++)if(!visited[i]) DFSM(G,i);}void BFSTraverseM(MGraph *G) {int i;for(i=0;in;i++) visited[i]=FALSE;for(i=0;in;i++)if(!visited[i]) BFSM(G,i);}void main(){MGraph *G,a;char ch1;int i,j,ch2;G=&a;printf("\n\t\t 建立一个有向图的邻接矩阵表示\n"); CreateMGraph(G);printf("\n\t\t 已建立一个有向图的邻接矩阵存储\n"); for(i=0;in;i++){ printf("\n\t\t");for(j=0;jn;j++)printf("%5d",G->edges[i][j]);}getchar();ch1='y';while(ch1=='y'||ch1=='Y'){ printf("\n");printf("\n\t\t 图的存储与遍历");("\n\t\t** ******************************");printf("\n\t\t*1 ---- 更新邻接矩阵*"); printf("\n\t\t*2 ---- 深度优先遍历*"); printf("\n\t\t*3 ---- 广度优先遍历*"); printf("\n\t\t*0 ---- 退出*");printf("\n\t\t** ******************************");}} printf("\n\t\t 请选择菜单号 ( 0 ---------------- 3) "); scanf("%d",&ch2); getchar(); switch(ch2) { case1:CreateMGraph(G); printf("\n\t\t 图的邻接矩阵存储建立完成\n");break; case 2:DFSTraverseM(G);break; case3:BFSTraverseM(G);break; case 0:ch1='n';break;default:printf("\n\t\t 输出错误！清重新输入！"); }3. 调试分析（1）调试过程中主要遇到哪些问题？是如何解决的？由于实习之初对邻接表的存储结构了解不是很清楚，所以在运行出了一个小错误，即在输出邻接表时，每个结点都少了一个邻接点。
图论及应用习题答案图论及应用习题答案图论是数学中的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图论在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了许多领域，如计算机科学、通信网络、社交网络等。
本文将为读者提供一些关于图论及应用的习题答案，帮助读者更好地理解和应用图论知识。
1. 图的基本概念题目：下面哪个不是图的基本概念？A. 顶点B. 边C. 路径D. 线段答案：D. 线段。
图的基本概念包括顶点、边和路径。
线段是指两个点之间的连线，而在图论中，我们使用边来表示两个顶点之间的关系。
2. 图的表示方法题目：以下哪个不是图的表示方法？A. 邻接矩阵B. 邻接表C. 边列表D. 二叉树答案：D. 二叉树。
图的表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边列表。
二叉树是一种特殊的树结构，与图的表示方法无关。
3. 图的遍历算法题目：以下哪个不是图的遍历算法？A. 深度优先搜索B. 广度优先搜索C. 迪杰斯特拉算法D. 克鲁斯卡尔算法答案：D. 克鲁斯卡尔算法。
图的遍历算法包括深度优先搜索和广度优先搜索，用于遍历图中的所有顶点。
迪杰斯特拉算法是用于求解最短路径的算法，与图的遍历算法有所不同。
4. 最小生成树题目：以下哪个算法不是用于求解最小生成树？A. 克鲁斯卡尔算法B. 普里姆算法C. 弗洛伊德算法D. 公交车换乘算法答案：D. 公交车换乘算法。
最小生成树是指包含图中所有顶点的一棵树，使得树的边的权重之和最小。
克鲁斯卡尔算法和普里姆算法是常用的求解最小生成树的算法，而弗洛伊德算法是用于求解最短路径的算法，与最小生成树问题有所不同。
5. 图的应用题目：以下哪个不是图的应用？A. 社交网络分析B. 路径规划C. 图像处理D. 数字逻辑电路设计答案：D. 数字逻辑电路设计。
图的应用广泛存在于社交网络分析、路径规划和图像处理等领域。
数字逻辑电路设计虽然也涉及到图的概念，但与图的应用有所不同。
总结：图论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用价值。
通过本文提供的习题答案，读者可以更好地理解和应用图论知识。
图论1——图的遍历与图的最小生成树一、图的遍历图的遍历：从图的某顶点出发，访问图中所有顶点，并且每个顶点仅访问一次。
在图中，访问部分顶点后，可能又沿着其他边回到已被访问过的顶点。
为保证每一个顶点只被访问一次，必须对顶点进行标记，一般用一个辅助数组visit[n]作为对顶点的标记，当顶点vi未被访问，visit[i]值为0；当vi已被访问，则visit[i]值为1。
有两种遍历方法（它们对无向图，有向图都适用）深度优先遍历广度优先遍历1、深度优先遍历从图中某顶点v出发：1）访问顶点v；2）依次从v的未被访问的邻接点出发，继续对图进行深度优先遍历；对于给定的图G=（V，E），首先将V中每一个顶点都标记为未被访问，然后，选取一个源点v V，将v标记为已被访问，再递归地用深度优先搜索方法，依次搜索v的所有邻接点w。
若w未曾访问过，则以w为新的出发点继续进行深度优先遍历，如果从v出发有路的顶点都已被访问过，则从v的搜索过程结束。
此时，如果图中还有未被访问过的顶点（该图有多个连通分量或强连通分量），则再任选一个未被访问过的顶点，并从这个顶点开始做新的搜索。
上述过程一直进行到V中所有顶点都已被访问过为止。
例：在下图中，从V0开始进行一次深度遍历的过程如图所示：深度优先遍历得到的遍历序列为：序列1：V0,V1,V3,V7,V4,V2,V5,V6序列2：V0,V1,V4,V7,V3,V2,V5,V6由于没有规定访问邻接点的顺序，深度优先序列不是唯一的。
但是，当采用邻接表存储结构并且存储结构已确定的情况下，遍历的结果将是确定的。
例如：对下图（a）的邻接表存储（图b）的遍历过程如图（c）。
图a 图b图cDFS序列：c0 → c1→ c3→ c4→ c5→ c2采用邻接表存储结构的深度优先遍历算法实现：Pascal语言：procedure dfs(g:adjgraph;i:integer);varp:edgenode;beginwriteln('visit vertex:',g.adjlist[i]^.vertex);visited[i]:=true;p:=g.adjlist[i]^.firstedge;while p<>nil dobeginif not visited[p^.adjvex]then dfs(g,p^.adjvex);p:=p^.next;end;end;procedure dfstraverse(g:adjgraph);vari:integer;beginfor i:=1to g.n dovisited[i]:=false;for i:=1to g.n doif not visited[i]then dfs(g,i);end;C语言：/*********************************************************//* 图的深度优先遍历算法 *//* 文件名：dfs.c 函数名：dfs()、dfstraverse() *//********************************************************/int visited[m];void dfs(adjgraph g,int i){/*以vi为出发点深度优先遍历顶点vi所在的连通分量*/edgenode*p;printf("visit vertex: %c \n",g.adjlist[i].vertex);/*访问顶点i*/visited[i]=1;p=g.adjlist[i].firstedge;while(p)/*从p的邻接点出发进行深度优先搜索*/{if(!visited[p->adjvex])dfs(g,p->adjvex);/*递归*/p=p->next;}}void dfstraverse(adjgraph g){/* 深度优先遍历图g */int i;for(i=0;i<g.n;i++)visited[i]=0;/*初始化标志数组*/for(i=0;i<g.n;i++)if(!visited[i])/*vi未访问过*/dfs(g,i);}图的深度优先遍历算法（邻接表表示法）算法分析：对于具有n个顶点和e条边的无向图或有向图，遍历算法dfstraverse对图中每个顶点至多调用一次dfs。
从dfstraverse中调用dfs或dfs内部递归调用自己的最大次数为n。
当访问某顶点v i时，dfs的时间主要耗费在从该顶点出发搜索它的所有邻接点上。
用邻接表表示图时，需搜索第i个边表上的所有结点，因此，对所有n个顶点访问，在邻接表上需将边表中所有O（e）个结点检查一遍。
所以，dfstraverse算法的时间复杂度为O（n+e）。
2、广度优先遍历图中某未访问过的顶点v i出发：1）访问顶点v i；2）访问v i的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …w k；3）依次从这些邻接点出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问；例如：求图G 的以V0起点的广度优先序列。
以V0起点的广度优先序列为：V0,V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7从C0出发的BFS序列为：c0→ c1→ c2→ c3→ c4→ c5由于没有规定访问邻接点的顺序，广度优先序列不是唯一的。
广度优先算法：从图中某顶点v i出发：1）访问顶点v i ；（容易实现）；2）访问vi 的所有未被访问的邻接点w1 ,w2 , …w k；3）依次从这些邻接点（在步骤2）访问的顶点）出发，访问它们的所有未被访问的邻接点; 依此类推，直到图中所有访问过的顶点的邻接点都被访问；为实现3），需要保存在步骤(2）中访问的顶点，而且访问这些顶点邻接点的顺序为：先保存的顶点，其邻接点先被访问。
在广度优先遍历算法中，需设置一队列Q，保存已访问的顶点，并控制遍历顶点的顺序。
C语言：数据结构：1）全局标志数组int visited[m]; /*全局标志向量*/2）邻接表存储结构/******************************************************//* 图的广度优先遍历算法 *//* 程序名bfs.c 函数名bfs()、bfstraverse() *//******************************************************/void bfs(adjgraph g,int i){int j;/*从顶点i出发广度优先遍历顶点i所在的连通分量*/edgenode*p;int queue[20],head,tail;/*FIFO队列*/head=-1;tail=-1;/*初始化空队列*/printf("%c ",g.adjlist[i].vertex);/*访问源点v*/visited[i]=1;queue[++tail]=i;/*被访问结点进队*/while(tail>head)/*当队列非空时，执行下列循环体*/{j=queue[++head];/*出队*/p=g.adjlist[j].firstedge;while(p)/*广度优先搜索邻接表*/{if(visited[p->adjvex]==0){printf("%c ",g.adjlist[p->adjvex].vertex);queue[++tail]=p->adjvex;visited[p->adjvex]=1;}p=p->next;}}}int bfstraverse(adjgraph g,datatype v){int i,count=0;/*广度优先遍历图g*/for(i=0;i<g.n;i++)visited[i]=0;/*初始化标志数组*/ i=loc(g,v);/*寻找顶点v在邻接表中的位序*/if(i!=-1){count++;/*连通分量个数加1*/bfs(g,i);}for(i=0;i<g.n;i++)if(!visited[i])/*vi未访问过*/{printf("\n");count++;/*连通分量个数加1*/bfs(g,i);/*从顶点i出发广度优先遍历图g*/}return count;/*返回无向图g中连通分量的个数*/}Pascal语言function loc(g:adjgraph;v:datatype):integer;vari:integer;beginfor i:=1to g.n doif g.adjlist[i]^.vertex=v then exit(i);exit(-1);end;procedure bfs(g:adjgraph;i:integer);varqueue:array[1..20]of integer;head,tail,j:integer;p:edgenode;beginhead:=0;tail:=0;write(g.adjlist[i]^.vertex);visited[i]:=true;inc(tail);queue[tail]:=i;while tail>head dobegininc(head);j:=queue[head];p:=g.adjlist[j]^.firstedge;while p<>nil dobeginif not visited[p^.adjvex]thenbeginwrite(g.adjlist[p^.adjvex]^.vertex);inc(tail);queue[tail]:=p^.adjvex;visited[p^.adjvex]:=true;end;p:=p^.next;end;end;end;function bfstraverse(g:adjgraph;v:datatype):integer; vari,count:integer;begincount:=0;for i:=1to g.n do visited[i]:=false;i:=loc(g,v);if i<>-1thenbegininc(count);bfs(g,i);end;for i:=1to g.n doif not visited[i]thenbeginwriteln;inc(count);bfs(g,i);end;exit(count);end;二、图的生成树与最小生成树对于一个无向的连通图G=（V，E），设G'是它的一个子图，如果G'中包含了G中所有的顶点（即V（G'）=V（G））且G'是无回路的连通图，则称G'为G一棵的生成树。
