【数学】浙江省台州中学2016届高三上学期期中考试(文)
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台州中学2016届高三上学期期中考试数学试卷（文）参考公式：球的表面积公式 24S R π= 棱柱的体积公式V Sh =球的体积公式 343V R π= 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 其中R 表示球的半径 棱台的体积公式()112213V h S S S S =++ 棱锥的体积公式 13V Sh = 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 h 表示棱台的高一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则集合（ ）A ．B ．C ．D ． 2.若0<ab ，且0>+b a ，则以下不等式中正确的是（ ）A ．011<+ba B ．b a -> C ．22b a < D ．||||b a > 3. A 为三角形ABC 的一个内角，若2sin A+cos A=3，则这个三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定4. 函数1()(0)31xf x a x =+≠-，则 “f (1)＝1”是“函数()f x 为奇函数”的 条件．（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既非充分又非必要 5．已知函数的图象与轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则是减函数的区间为 ( )A ．(,)43ππB ．C ．D ．6．设向量a ，b 满足1a =，a 与a b -的夹角为0150，则b 的取值范围是（ ）{}|05A x x =∈≤≤N {}5,3,1=B C A =B {}4,2{}4,2,0{}3,1,0{}4,3,2()sin 3cos (0)f x x x ωωω=->x 2π()y f x =6π()y g x =()y g x =(,)44ππ-(0,)3π(,0)3π-A ．1[1)2，B ．1[+)2∞，C ．3[+)2∞， D ．(1+)∞， 7. 函数2xy x a=+的大致图象如图所示，则a 的取值范围是（ ）A ．(10)a ∈-， B ．(01)a ∈， C ．()a ∈-∞，1 D ．(1)a ∈∞，+ 8．定义在(),0)(0,)-∞+∞上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a ，仍是等比数列，则称()f x 为“等比函数”．现有定义在(),0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①()3,x f x =②2(),f x x=③3(),f x x =④ 2()log ,f x x =则其中是“等比函数”的()f x 的序号为 ．A. ①②③④ B ．①④ C. ①②④ D. ②③非选择题部分（共110分）二、填空题(本大题共7小题，9—12题：每空格3分，13—15题：每小题4分，共36分) 9. 已知,sin 3cos 5R ααα∈+=，则tan 2α的值是 ．10．已知首项为1，公差不为0的等差数列{}n a 的第2，4，9项成等比数列，则这个等比数列的公比=q ；等差数列{}n a 的通项公式n a = ；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S = ．11. 设二次函数()24()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0，+∞），则19c a+的最小值为 ；若ax 2﹣4x +c <0的解集为 (-1,2),则a c -= ．12. 已知函数5454()22xx x x f x ---+=-，则()f x 的递增区间为________， 函数()()5g x f x =-的零点个数为_______个．13．已知集合(){},1,1A x y x y =≤≤，若存在(),x y A ∈，使不等式20x y m -+≥成立，则实数m 最小值是 ．14. 已知AB AC ⊥，2AB AC -=，点M 是线段BC 上的一点，且()1AM AB AC +=，则AM 的取值范围是 ． 15. 已知函数2()()(),t f x x t t t R =--∈设a b <，(),()()(),(),()()a ab b a b f x f x f x f x f x f x f x <⎧=⎨≥⎩若函数()y f x x a b =++-有三个零点，则b a -的值为 ．三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分15分）设的内角所对应的边分别为,已知． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若,求的面积．17.（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n S +n a =2． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求满足不等式326321>+++n a a a 的n 的取值范围．18．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,BC PA 的中点，且2,1,3PA AD AB AC ====． （Ⅰ）证明：MN PCD 平面；（Ⅱ）求直线MN 与PAD 平面所成角的正切值．ABC ∆C B A ,,c b a ,,()sin sin sin a b a cA B A B+-=+-B 36cos ,3==A b ABC ∆19．（本小题满分15分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(8,4)A -，(2,)(0)P t t <在抛物线22(0)y px p =>上． （1）求p ，t 的值；（2）过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上．若P A ，PB ，PC 的斜率分别为123,,k k k ，且1232k k k +=，求点C 的坐标．20．（本题满分14分）已知函数2()2f x x bx c =-++，设函数)()(x f x g =在区间[]11-,上的最大值为M ． （Ⅰ）若2=b ，试求出M ；（Ⅱ）若M k ≥对任意的b c 、恒成立，试求k 的最大值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACCADBD非选择题部分（共110分）二、填空题(本大题共7小题，9—12题：每空格3分，13—15题：每小题4分，共36分)9. 4-3 10． 52，32n -，232n n -11. 3，-12 12. (]1,∞-；2个13．﹣3 14. 1(,1]215. 2+三、解答题（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分15分） 【解析】（Ⅰ）因为，所以， 所以，…………………………………………………………………3分所以， 又因为，所以。
………7分（Ⅱ）由可得,…………………………………………9分由可得， …………………………………………………12分 而 所以的面积………………………………15分 17.（本小题满分15分） 【解析】（Ⅰ）n =1时11a =, ∵2n n S a +=当2n ≥时112n n S a --+= ∴11102n n n n n n S a S a a a ---+--=⇒=ba ca cb a --=+222a b ac c -=-2221cos 222a cb ac B ac ac +-===π<<B 03B π=36cos ,3==A b 3sin 3A =BbA a sin sin =2=a ()sin sin sin cos cos sin C AB A B A B =+=+3326+=ABC ∆==C ab S sin 213322+∵110a =≠ ∴11()2n n a -=…………………………………………………7分（Ⅱ）121111631()()()22232n -++++>∴11163112()()232232n n --->⇒<∴6,n n N *>∈…………………………………………………………………………15分 18．（本小题满分15分）【分析】（Ⅰ）取PD 中点E ，连结NE ，CE ，可证MNEC 为平行四边形，由MN ∥CE 即可判定MN ∥平面PCD ．（其它证法酌情给分）（Ⅱ）方法一：可证平面P AD ⊥平面ABCD ，过M 作MF ⊥AD ，则MF ⊥平面P AD ，连结NF ．则∠MNF 为直线MN 与平面P AD 所成的角，解三角形可得解；方法二：P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，又可证AB ⊥AC ，分别以AB ，AC ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A ﹣xyz ，设平面P AD 的一个法向量为，则设MN 与平面P AD 所成的角为θ，则由夹角公式即可求得MN 与平面P AD 所成角的正切值． 【解析】（Ⅰ）证明：取PD 中点E ，连结NE ，CE ．∵N 为P A 中点，∴NE ，又M 为BC 中点，底面ABCD 为平行四边形，∴MC ．∴NEMC ，即MNEC 为平行四边形，………………………………………………4分∴MN ∥CE ∵EC ⊂平面PCD ，且MN ⊄平面PCD ，∴MN ∥平面PCD ．………… 7分 （其它证法酌情给分）（Ⅱ）方法一：∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面ABCD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD ， 过M 作MF ⊥AD ，则MF ⊥平面P AD ，连结NF ．则∠MNF 为直线MN 与平面P AD 所成的角，………………………………………10分 由AB =1，，AD =2，得AC ⊥CD ，由AC •CD =AD •MF ，得，在Rt △AMN 中，AM =AN =1，得．在Rt △MNF 中，，∴，直线MN与平面P AD所成角的正切值为．……………………………………15分方法二：∵P A⊥平面ABCD，P A⊥AB，P A⊥AC，又∵AB=1，，BC=AD=2，∴AB2+AC2=BC2，AB⊥AC．…………………9分如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则，N（0，0，1），P（0，0，2），，∴，，，………………………………………11分设平面P AD的一个法向量为，则由，令y=1得，………………… 13分设MN与平面P AD所成的角为θ，则，∴MN与平面P AD所成角的正切值为．………………………………………15分19．（本小题满分15分）【解析】（1）将点A（8，﹣4）代入y2=2px，得p=1，……………………………4分将点P（2，t）代入y2=2x，得t=±2，因为t＜0，所以t=﹣2．…………………7分（2）依题意，M的坐标为（2，0），直线AM的方程为y=﹣x+，……9分联立抛物线方程y2=2x，并解得B（，1），所以k1=﹣，k2=﹣2，…………………………………………………………………12分代入k1+k2=2k3得，k3=﹣，从而直线PC 的方程为y =﹣x +， 联立直线AM ：y =﹣x +，并解得C （﹣2，）．……………………………………………………………………15分 20．（本题满分14分）【解析】（Ⅰ）当2=b 时c bx x x f ++-=2)(2在区间[]11-,上是增函数， 则M 是(1)g -和(1)g 中较大的一个， 又(1)g -c +-=5，(1)g c +=3，则⎩⎨⎧>+≤+-=1|,3|1|,5|c c c c M ………………5分（Ⅱ）)()(x f x g =c b b x ++--=22)(（i ）当1b >时，)(x g y =在区间[]11-,上是单调函数，则{})1(),1(max g g M -= 而(1)g -c b +--=21，(1)g c b ++-=21，则≥M 2(1)g -+(1)g 44)1()1(>=--≥b f f ，可知2M > …………………8分 （ii ）当1b ≤时，函数)(x g y =的对称轴x b =位于区间[1,1]-之内，此时{}max (1),(1),()M g g g b =-，又c b b g +=2)(，① 当10b -≤≤时，有)()1()1(b f f f ≤-≤， 则{})1(),(max g b g M =21≥))1()((g b g +21≥)1()(f b f -211(1)22b =-≥…10分 ② 当01b <≤时，有)()1()1(b f f f ≤≤-，则{})1(),(max -=g b g M 21≥))1()((-+g b g 21≥)1()(--f b f 211(1)22b =+≥…12分 综上可知，对任意的b 、c 都有12M ≥而当0b =，12c =时，21()2g x x =-+在区间[1,1]-上的最大值12M = ， 故M k ≥对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12. ………………………………14分。
