2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=14．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．16．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．08．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=1【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．1【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．0【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A．8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos∠APB=﹣．故选：C．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，∴a+2b﹣2=0，∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||==．∴线段B1P的长度的最大值为3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为6．【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC是直角三角形；（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，（1分）因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，（2分）因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．（3分）因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（4分）（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），（6分），，（7分）因为，所以，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，（6分）所以AB⊥A1D．（7分）因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，（10分）所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．（12分）设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．（14分）19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，则椭圆G的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数学（理科） 2016.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．解：（Ⅰ）因为()2sin cos2f x x x =--所以 πππ()2sin cos2444f =--⋅=…………………2分 πππ3()2sin cos26662f =--⋅=- …………………4分 因为 32>-,所以 ππ()()46f f >…………………6分 （Ⅱ）因为 2()2sin (12sin )f x x x =--- …………………9分 22sin 2sin 1x x =--2132(sin )22x =-- 令 sin ,[1,1]t x t =∈-， 所以2132()22yt =--, …………………11分 因为对称轴12t =, 根据二次函数性质知，当 1t =-时，函数取得最大值3 …………………13分16解: (I) A 型空调前三周的平均销售量111015125x ++==台 …………………2分 （Ⅱ）因为C 型空调平均周销售量为10台，所以451051581215c c +=⨯---= …………………4分 又222222451[(1510)(810)(1210)(10)(10)]5s c c =-+-+-+-+- 化简得到22411591[2()]522s c =-+…………………5分 因为4c ∈N ，所以当47c =或48c =时，2s 取得最小值所以当4578c c =⎧⎨=⎩ 或4587c c =⎧⎨=⎩时，2s 取得最小值 …………………7分 （Ⅲ）依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2， …………………8分 20255(0)304012P X ==⋅=, 1025201511(1)+=3040304024P X ==⋅⋅, 10151(2)30408P X ==⋅=, …………………11分 随机变量X 的分布列为随机变量X 的期望511117()0121224824E X =⨯+⨯+⨯=. …………………13分17解:（Ⅰ）证明：连结NG NE ，.在MCD ∆中，因为,N G 分别是所在边的中点，所以1CD 2NG ， …………………1分 又1CD 2EH , 所以 NG EH , …………………2分 所以NEHG 是平行四边形，所以EN GH , …………………3分 又EN ⊂平面DEM ，GH ⊄平面DEM ,…………………4分 所以GH 平面DEM .…………………5分 （Ⅱ）证明：方法一：在平面EFCD 内，过点H 作DE 的平行线HP ，因为,,DE EM DE EF ⊥⊥,EM EF E = 所以DE ⊥平面EFM ,所以HP ⊥平面EFM ，所以HP ⊥EF .又在EMF ∆中，因为EM M F EF ==，所以M H EF ⊥.以H 为原点，,,HM HF HP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系…………………6分所以1(0,1,0),(0,1,2),,1)2E M C N --…………………7分所以3,1)2EM CN ==-- ，…………………8分 所以0EM CN ⋅= ，所以EM CN ⊥.…………………9分 方法二：取EM 中点K ，连接,NK FK .又NK 为EMD ∆的中位线，所以NK DE又DE CF ，所以NK CF ，所以NKFC 在一个平面中.…………………6分 因为EMF ∆是等边三角形，所以EM FK ⊥,又DE EM ⊥，所以NK EM ⊥,…………………7分 且NK FK K = ，所以EM ⊥平面NKFC ，…………………8分 而CN ⊂平面NKFC ,所以EM CN ⊥.…………………9分 （Ⅲ）因为(0,0,2)CF =- , 所以0EM CF ⋅= , 即EM CF ⊥,又 CF CN C = , 所以EM ⊥平面NFC ，所以EM 就是平面NFC 的法向量. …………………11分又1,1)2HG = ，设GH 与平面NFC 所成的角为θ，则有31sin |cos ,|||||HG EM HG EM HG EM θ+⋅=<>== …………………13分 所以GH 与平面NFC 所成的角为π4. …………………14分18解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .当1a =时， '()e (2)(1)x f x x x =++ …………………2分 当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：…………………4分函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(1)-+∞，，函数()f x 的单调递减区间为(2,1)--. …………………5分 （Ⅱ）解：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，所以 ()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a .因为'()e (2)()x f x x x a =++, 令'()0f x =,得122,x x a =-=-. …………………6分 当2a -≤-时，即2a ≥时，因为'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a所以22()e ()e a a f a a a a =++≤，解得112a -≤≤，所以此种情形不成立， ………………… 8分 当2a ->-，即2a <时，若0a ≥, 则'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a 所以22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102a ≤≤ . …………………9分 若0a <，则'()0f x <对(,)x a a ∈-成立，'()0f x >对 [,)x a ∈-+∞成立.则()f x 在(,)a a -上单调递减，在[,)a -+∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a -而22()e ()e 0e a a a f a a a a a -=-+=<≤，所以0a <. …………………11分 综上，a 的取值范围是 1(,]2-∞ …………………12分 法二：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a ，当0a ≤时，显然0[,)a ∈+∞，而(0)0e a f a =≤≤成立， …………………8分 当0a >时,'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为()f a ，所以有22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102a ≤≤. …………………11分 综上，1(,]2a ∈-∞. …………………12分 （Ⅲ）a 的取值范围是2a ≠. …………………14分19解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y代入24y x =，得到12y =， …………………1分 又||2BC =，所以212x x -=，所以23x =， …………………2分 代入24y x =，得到1y = …………………3分所以21211AD y y k x x -===-. …………………5分（Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+. 则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………7分由24y kx m y x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以 2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k=+-=+=+++=, …………………11分 又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>， 所以12124S m km S y y ==+， …………………12分 因为16160km ∆=->，所以01km <<, 所以12144S km S =<. …………………13分 法二：设直线AD 的方程为y kx m =+ .由24y kx m y x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………7分1212|||||AD x x x x =-=-= …………………8分 点O 到直线AD的距离为d =, 所以11||||||2S AD d m m =⋅==………………9分 又21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++=, …………………11分 又注意到1204km y y =>，所以0,0k m >>， 所以1212=4S m km S y y ==+， …………………12分因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<. …………………13分 法三：直线OD 的方程为22y y x x = , …………………6分 所以点A 到直线OD的距离为d = …………………7分又||OD = …………………8分 所以1122111||||22S OD d x y x y ==- 又21221121()()2S y y x x y y =+-=+， …………………9分 所以122111*********||||2()2()x y x y S x y x y S y y y y --==++22122112121212||||442()8()y y y y y y y y y y y y --==++ …………………10分 因为21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩, 所以2221214()8y y x x -=-= …………………11分 代入得到，22112121212221212||||8()8()S y y y y y y y y S y y y y --==++12212()y y y y =+ …………………12分因为12y y +≥ 当且仅当12y y =时取等号， 所以112212144S y y S y y <=. …………………13分20解：（Ⅰ）(1,0,0),(1,1,1)Z W == …………………2分 （Ⅱ）对于X n ⊆Ω，考虑元素'X =)1,,1,,1,1(21n i x x x x ---- ， 显然，'n X ∈Ω，',,X Y X ∀，对于任意的{}n i ,,2,1 ∈，i i i x y x -1,,不可能都为1，可得,'X X 不可能都在好子集S 中 …………………4分 又因为取定X ，则'X 一定存在且唯一，而且'X X ≠，且由X 的定义知道，,n X Y ∀∈Ω，''X Y X Y =⇔=， …………………6分 这样，集合S 中元素的个数一定小于或等于集合n Ω中元素个数的一半，而集合n Ω中元素个数为2n ，所以S 中元素个数不超过12n -； …………………8分 （Ⅲ）121(,,,,)n n X x x x x -∀= ，121(,,,,)n n n Y y y y y -=∈Ω定义元素,X Y 的乘积为：112211(,,,,)n n n n XY x y x y x y x y --= ，显然n XY ∈Ω. 我们证明:“对任意的121(,,,,)n n X x x x x S -=∈ ，121(,,,,)n n Y y y y y S -=∈ ，都有XY S ∈.” 假设存在,X Y S ∈, 使得XY S ∉，则由（Ⅱ）知，112211()'(1,1,,1,1)n n n n XY x y x y x y x y S --=----∈此时，对于任意的{1,2,...,}k n ∈，,,1k k k k x y x y -不可能同时为1, 矛盾，所以XY S ∈.因为 S 中只有12n -个元素，我们记 121(,,,,)n n Z z z z z -= 为S 中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道121(,,,,)n n Z z z z z S -=∈ ，显然这个元素的坐标分量不能都为0，不妨设1k z =,根据Z 的定义，可以知道S 中所有元素的k 坐标分量都为1 …………………11分 下面再证明k 的唯一性：若还有1t z =, 即S 中所有元素的t 坐标分量都为1,所以此时集合S 中元素个数至多为22n -个，矛盾.所以结论成立 …………………13分。
2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1﹣i）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣22．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，则a4的值为（）A．2 B．4 C．8 D．163．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（）A．5 B．6 C．7 D．85．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．56．（5分）若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）7．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的值域是[﹣1，1] 8．（5分）已知点A（5，0），抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（）A．2 B．C．3 D．4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）lga+lgb=1，则ab=．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=，其离心率为．11．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为．12．（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线y=x2相切，若直线l的倾斜角为45°，则t=．13．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，则a=．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．16．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．17．（13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．18．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ADE的体积．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．20．（14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．2015-2016学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）复数（1+i）（1﹣i）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：（1+i）（1﹣i）=1﹣i2=1+1=2，故选：A．2．（5分）已知数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，则a4的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵数列{a n}是公比为2的等比数列，且满足，∴=0，解得a1=1，∴a4=1×23=8．故选：C．3．（5分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：由题意正方形ABCD中，E为DC的中点，可知：=．则λ+μ的值为：．故选：A．4．（5分）如图，在边长为3的正方形内有区域A（阴影部分所示），张明同学用随机模拟的方法求区域A的面积．若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A内点的个数平均值为6600个，则区域A的面积约为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由题意，∵在正方形中随机产生了10000个点，落在区域A内点的个数平均值为6600个，∴概率P==，∵边长为3的正方形的面积为9，∴区域A的面积的估计值为≈6．故选：B．5．（5分）某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a 值为（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1i=1a=2×1﹣1=1，i=2，不满足条件i＞3，a=2×2﹣1=3，i=3不满足条件i＞3，a=2×3﹣3=3，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出a的值为3．故选：C．6．（5分）若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，可知（2，﹣3）满足x﹣y≥0，满足x+y﹣2≤0，所以不满足ax﹣y﹣1≤0，即2a+3﹣1＞0，解得a＞﹣1．故选：B．7．（5分）已知函数则下列结论正确的是（）A．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）B．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）C．函数f（x）在上单调递增D．函数f（x）的值域是[﹣1，1]【解答】解：分段函数的图象如图：可知：A不正确；∀x∈R，f（﹣x）≠f（x），B不正确；函数f（x）在上单调递增，所以C不正确；函数f（x）的值域是[﹣1，1]，所以D正确．不正确的选项为D．故选：D．8．（5分）已知点A（5，0），抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（）A．2 B．C．3 D．4【解答】解：点A（5，0）在x轴上，抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，可知三角形PFA是等腰三角形，即：|PF|=|AF|，可得|PF|=4，由抛物线的定义可知，P的横坐标为：3，纵坐标为：2．则PA的长度为：=4．故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）lga+lgb=1，则ab=10．【解答】解：由lga+lgb=1，得：lg（ab）=1，所以，ab=10．故答案为10．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点（1，2），则b=2，其离心率为．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=bx，过点（1，2），可得b=2，a=1，c=，可得双曲线的离心率为：e=．故答案为：2；．11．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为4．【解答】解：由三视图可知三棱柱的底面为直角边为2等腰直角三角形，棱柱的高为2，这是一个歪放的三棱柱∴V==4．故答案为4．12．（5分）直线l经过点A（t，0），且与曲线y=x2相切，若直线l的倾斜角为45°，则t=．【解答】解：设切点为（m，m2），y=x2的导数为y′=2x，即有切线l的斜率为k=2m=tan45°=1，解得m=，可得切点为（，），由1=，解得t=．故答案为：．13．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，则a= 2或6．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为，圆心（a，0）到直线y=x﹣4的距离d=，∴=，解得a=2或a=6．故答案为：2或6．14．（5分）已知△ABC，存在△A1B1C1，满足==，则称△A1B1C1是△ABC的一个“友好”三角形．（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是②；（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°；③A=75°，B=75°，C=30°（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为65°，45°．【解答】解：（1）①若存在友好三角形，则，显然不成立，故①不存在友好三角形．②若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：2：2．∴a1+b1=＞2，③若存在友好三角形，则，∴a1：b1：c1=sinA1：sinA2：sinA3=：：2．∴a1+b1=2（﹣）＜2．与三角形两根之和大于第三边矛盾．故③不存在友好三角形．综上，存在友好三角形的是②．（2）C=180°﹣70°﹣B=110°﹣B．∴，即，∴，∵，∴sinA1=sin20°，sinB1=sin（90°﹣B），sinC1=sin（B﹣20°），∴A1=20°或160°，B1=90°﹣B，或B1=90°+B，C1=B﹣20°或200°﹣B．∵A1+B1+C1=180°，∴20°+90°﹣B+200°﹣B=180°，或20°+90°+B+B﹣20°=180°，解得B=65°，或者B=45°．∴C=45°，或C=65°．故答案为65°，45°．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）等差数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a3+a5=a4+7．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求满足不等式S n＜3a n﹣2的n的值．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d．…．（1分）因为a3+a5=a4+7，所以2a1+6d=a1+3d+7．…．（3分）因为a1=1，所以3d=6，即d=2，…．（5分）所以a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．…．（7分）（Ⅱ）因为a1=1，a n=2n﹣1，所以，…．（9分）所以n2＜3（2n﹣1）﹣2，所以n2﹣6n+5＜0，…．（11分）解得1＜n＜5，所以n的值为2，3，4．…．（13分）16．（13分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=sin2x+cos2x…．（4分）=…．（6分）所以函数f（x）的最小正周期．…．（8分）（Ⅱ）因为，所以，所以，…．（9分）根据函数f（x）=sinx的性质，当时，函数f（x）取得最小值，…．（10分）当时，函数f（x）取得最大值．…．（11分）因为，所以函数f（x）在区间上的最大值与最小值的和为0．…．（13分）17．（13分）为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t ≤30℃）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验．现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录如下：（Ⅰ）根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期．（Ⅱ）设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为D1，D2，估计D1，D2的大小？（直接写出结论即可）．（Ⅲ）从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率．【解答】解：（Ⅰ）研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度t满足：27℃≤t≤30℃）的生长状况，由关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：℃）的记录，得到农学家观察试验的起始日期为7日或8日．…．（3分）（少写一个扣1分）（Ⅱ）最高温度的方差大，即D1＞D2．…．（6分）（Ⅲ）设“连续三天平均最高温度值都在[27，30]之间”为事件A，…．（7分）则基本事件空间可以设为Ω={（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），…，（29，20，31）}，共计29个基本事件…．（9分）由图表可以看出，事件A中包含10个基本事件，…．（11分）所以，…．（13分）所选3天每天日平均最高温度值都在[27，30]之间的概率为．18．（14分）如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PAD；（Ⅲ）求三棱锥P﹣ADE的体积．【解答】解：（Ⅰ）取AD中点G，连接FG，BG，∵点F为PA的中点，∴FG∥PD且．∵BE∥PD，且，∴BE∥FG，BE=FG，∴四边形BGFE为平行四边形．∴EF∥BG，又∵EF⊄平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．（Ⅱ）连接BD．∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．∵G为AD中点，∴BG⊥AD，∵PD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴PD⊥BG，又∵PD∩AD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD．∵四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG，∴EF⊥平面PAD，又∵EF⊂平面PAE，∴平面PAE⊥平面PAD．（Ⅲ）∵△ABD为等边三角形，AD=2，∴BG=．∵．，∴V=V棱锥E﹣ADP=S△PAD•EF=．棱锥P﹣ADE19．（13分）已知函数．（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）单调区间和极值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．…．（1分）．…．（3分）当k=1时，，令f'（x）=0，得x=1，…．（4分）所以f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：…．（6分）所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=1，无极大值．…．（7分）f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．…．（8分）（Ⅱ）因为关于x的方程f（x）=k有解，令g（x）=f（x）﹣k，则问题等价于函数g（x）存在零点，…．（9分）所以．…．（10分）令g'（x）=0，得．当k＜0时，g'（x）＜0对（0，+∞）成立，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，而g（1）=1﹣k＞0，，所以函数g（x）存在零点．…．（11分）当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以为函数g（x）的最小值，当时，即0＜k＜1时，函数g（x）没有零点，当时，即k≥1时，注意到，所以函数g（x）存在零点．综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．…．（13分）法二：因为关于x的方程f（x）=k有解，所以问题等价于方程1+kx（lnx﹣1）=0有解，…．（9分）令g（x）=kx（lnx﹣1）+1，所以g'（x）=klnx，…．（10分）令g'（x）=0，得x=1当k＜0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=k（﹣1）+1＞0.，所以函数g（x）存在零点．…．（11分）当k＞0时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最小值，而g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k．当g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k＞0时，即0＜k＜1时，函数g（x）不存在零点．当g（1）=k（﹣1）+1=1﹣k≤0，即k≥1时，g（e）=ke（lne﹣1）+1=1＞0所以函数g（x）存在零点．…．（13分）综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．法三：因为关于x的方程f（x）=k有解，所以问题等价于方程有解，…．（9分）设函数g（x）=x（1﹣lnx），所以g'（x）=﹣lnx．…．（10分）令g'（x）=0，得x=1，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表：所以函数g（x）在x=1处取得最大值，而g（1）=1，…．（11分）又当x＞1时，1﹣lnx＜0，所以x（1﹣lnx）＜1﹣lnx，所以函数g（x）的值域为（﹣∞，1]，…．（12分）所以当时，关于x的方程f（x）=k有解，所以k∈（﹣∞，0）∪[1，+∞）．…．（13分）20．（14分）如图，椭圆的离心率为，其左顶点A在圆O：x2+y2=16上．（Ⅰ）求椭圆W的方程；（Ⅱ）直线AP与椭圆W的另一个交点为P，与圆O的另一个交点为Q．（i）当时，求直线AP的斜率；（ii）是否存在直线AP，使得？若存在，求出直线AP的斜率；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆W的左顶点A在圆O：x2+y2=16上，∴a=4．又离心率为，∴，则，∴b2=a2﹣c2=4，∴W的方程为；（Ⅱ）法一：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率，设直线AP的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立得，化简得到（1+4k2）x2+32k2x+64k2﹣16=0，∵﹣4为上面方程的一个根，∴，则．由，代入得到，解得k=±1，∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．显然，∴不存在直线AP，使得．法二：（i）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），显然直线AP存在斜率且不为0，设直线AP的方程为x=my﹣4，与椭圆方程联立得，化简得到（m2+4）y2﹣8my=0，显然﹣4上面方程的一个根，∴另一个根，即，由，代入得到，解得m=±1．∴直线AP的斜率为1，﹣1；（ii）∵圆心到直线AP的距离为，∴．∵，代入得到．若，则m=0，与直线AP存在斜率矛盾，∴不存在直线AP，使得．。
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理） 2015.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =，那么()U C A B =（ ）（A ）∅（B ）{3}x x Z ∈≥（C ）{3,4}（D ）{1,2}【考点】集合的运算 【难度】1 【答案】C 【解析】因为{}1,2A =，{1,2,3,4}AB =，所以集合B 中一定含有元素3,4，可能含有1,2()U C A B 表示集合B 中不属于集合A 的元素，所以，{}()3,4U C A B =，选C（2）设30.320.2,log 0.3,2a b c ===，则（ ）（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）b a c <<【考点】对数与对数函数 【难度】1 【答案】D 【解析】3000.20.21a <=<=，所以01a <<； 22b log 0.3log 0.51=<=-，所以1b <-；0.30221c =>=，所以1c >综上，b a c <<，选D（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）cos ρθ=（B ）cos ρθ=（C ）sin 1ρθ=（D ）sin 1ρθ=-【考点】简单曲线的极坐标方程 【难度】1 【答案】D 【解析】以极点为原点，以极轴为x 轴建立平面直角坐标系，点π(2,)6-的直角坐标为：(2,1)-，所求直线方程为：1y =-， 转化为极坐标方程为：sin 1ρθ=-，选D（4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件 【难度】1 【答案】A 【解析】“p q ∧为真命题”等价于“p 真，q 真” “p q ∨为真命题”等价于“p 、q 至少一为真”所以，“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，选A（5）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cos ϕ=（ ）（A ）2-（B ）0（C ）2（D ）1【考点】函数的奇偶性【难度】2 【答案】B 【解析】由奇函数的性质得：()0cos 0f φ==，选B（6）已知函数()f x 的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计1()d f x x ⎰的值约为（ ）（A ）99100 （B ）310 （C ）910（D ）1011【考点】几何概型 【难度】2 【答案】A 【解析】记图中阴影部分的面积为S ，几何概型的概率公式得：333100S ≈， 即：99100S ≈，所以()1099100f x dx S =≈⎰，选A（7）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ）（A）5 （B）4 （C）3 （D）2【考点】利用导数求最值和极值【难度】2【答案】C【解析】()21'=++，f x x x e+(4)(1)xf x为偶函数，所以又因为()f x的极值点的个数为3个，选C所以，函数()n n≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平（8）若空间中有(5)面垂直，则这样的n值（）（A）不存在（B）有无数个（C）等于5 （D）最大值为8【考点】合情推理与演绎推理【难度】3【答案】C【解析】n=时，存在符合题意的情况：当5一个正四面体的4个顶点再加上正四面体的中心点 当5n >时，任取不共线的三点确定一个平面α， 假设存在三点之外的其他不共面的3个点不妨设为A 、B 、C ，由题意AC α⊥、AB α⊥，过平面外一点不可能存在作出两套直线与同一平面垂直，所以假设不成立 综上，5n =，选C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
