上海市嘉定区2019届高三数学第二次质量调研(二模)试题(含解析)

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上海市长宁(嘉定)区2019届高三二模数学试卷2019.04一、填空题（本大题共12题,1～6每题4分，7～12每题5分，共54分) 1。

已知集合}4,3,2,1{=A ，}62|{<<=x x B ,则=B A ； 2。

已知复数z 满足i i z 43+=（i 是虚数单位),则=||z ； 3. 已知线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛2102n m ，解为⎩⎨⎧==11y x ，则=+n m ； 4. 在7)1(x +的二项展开式中，5x 项的系数为 ； 5。

已知圆锥的主视图所图所示，则该圆锥的侧面积是 ;6. 已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥11x y y x ,则y x 2-的最大值为 ；7。

设函数a x x f -=)(（其中a 为常数）的反函数为)(1x f -，若函数)(1x f -的图像经过点)1,0(，则方程2)(1=-x f 的解为 ；8. 学校从3名男同学和2名女同学中任选2人到虹桥枢纽参加为期一天的春运志愿者服务活动，则选出2人中至少有1名女同学的概率为 ;(结果用数值表示) 9. 已知直线⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （α为参数)与抛物线x y 42=相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为)2,(m ，则线段AB 的长为 ；10. 在ABC △中，已知DB CD 2=,P 为线段AD 上的一点，且满足CB CA m CP 94+=，若ABC △的面积为3,3π=∠ACB ,则||CP 的最小值为 ；11. 已知有穷数列}{n a 共有m 项,记数列}{n a 所有项的和为)1(S ，第二及以后所有项的和为)2(S ，…，第n (m n <≤1)及以后所有项的和为)(n S ，若)(n S 是首项为1公差为2的等差数列的前n 项和,则当m n <≤1时，=n a ；12. 已知定义R 在上的奇函数)(x f 满足:)()2(x f x f -=+，且当10≤≤x 时,)(log )(2a x x f +=，若对任意]1,0[∈x ，都有3log 1)21(22-≥++-tx x f ，则实数t 的取值范围为 ；二、选择题(本大题共4题，每题5分,共20分）13。

1 二模真题汇编-三角比与三角函数一、填空题1、（金山区2019年二模2题）函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是 .【答案】π【解析】()2sin cos 12sin cos 1sin 2y x x x x x =+=+=+则22T ππ== 2、（宝山区2019年二模9题）如图，扇形OAB 的半径为1，圆心角为2π，若P 为弧AB 上异于,A B 的点，且PQ OB ⊥交OB 于点Q ，当POQ ∆时，POQ ∠的大小范围为_________【答案】,63ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】()111sin 11cos sin sin 2224S OP OQ θθθθ===>,63ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭3、（崇明区2019年二模2题）函数sin cos y x x =的最小正周期=T _______________.【答案】π2 【解析】x x x y 2sin 21cos sin ==，则ππωπ===222T4、（徐汇区2019年二模5题）函数cos2sin ()cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为【答案】【解析】23)(34,3)32(2,0),32sin()(cos sin 2cos 23)(min -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=+=x f x x x x f x x x x f πππππ5、（杨浦区2019年二模1题）函数2()12sin f x x =-的最小正周期是 【答案】π【解析】()212sin cos2f x x x =-=22T ππ⇒==．6、（杨浦区2019年二模7题）函数arcsin 211xx y =-的值域是【答案】14[,]22ππ-+【解析】由题意()arcsin 211x y x x =+-≤≤，在[]1,1-上单调递增，当1x =-时，12y π-=，当1x =时，42y π+=，故该函数的值域是14,22ππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦3 7、（杨浦区2019年二模11题） 若△ABC 的内角A 、B 、C ，其中G 为△ABC 的重心，且0GA GB ⋅=，则cos C 的 最小值为【答案】45【解析】0GA GB ⋅=90AGB ⇒∠=︒，如图，CD 为AB 边上中线，设GD k =，则AD BD k ==，3CD k =，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，根据平行四边形的性质（四条边的平方和等于两条对角线的平方和），可得()()222222CA CB AB CD +=+，即()222221436202a b k k k +=+=， 所以222220ab a b k ≤+=， 在ABC ∆中由余弦定理得2222222044cos 2205a b c k k C ab k +--==≥，所以()min 4cos 5C =．8、（闵行区2019年二模6题）在ABC D 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积()22213S a c b =+-，则 tanB = ． 【答案】43． 【解析】1sinB 2S ac =，222cos 2a b c B ab +-=，sin tan cos B B B =由上述三个公式可得4tan 3B =．4 9、（闵行区2019年二模9题）若函数()2x sin xcos x x f w w w =的图像关于直线3x p=对称， 则正数w 的最小值为 ． 【答案】14． 【解析】化简可得()sin(2)3f x x p w =+3x p =对称，所以3x p=的时候，()f x 取得最值，所以2sin 133p w 骣???琪桫，即2332k p p w p +=+（k Z ∈），所以1342k w =+（k Z ∈），即最小的正数w 为14． 10、（浦东新区2019年二模6题）已知函数()()()sin 20f x x ϕϕ=+>是偶函数，则ϕ的最小值是______.【答案】4π【解析】()()0sin 21,=024k f k Z ππϕϕ==±+∈>得,min 4πϕ∴=11、（青浦区2019年二模7题）函数|sin arcsin |y x x =+的最大值为________ 【答案】sin12π+【解析】|sin arcsin |y x x =+在[]1,1-上为偶函数，且在[]0,1上为单调递增，所以最大值为sin12π+ 二、选择题1.（长宁、嘉定区2019年二模16题）对于ABC ∆,若存在111C B A ∆，满足1cos cos sin cos sin cos 111===C C B B A A ，则称ABC ∆为类三角形”“V .类三角形”“V 一定满足 （ ）5 【A 】有一个内角为︒30 【B 】有一个内角为︒45 【C 】有一个内角为︒60 【D 】有一个内角为︒75 【答案】B【解析】由题意可得等腰三角形ABC ∆的三个内角C B A ,,均为锐角，且1,11sin cos sin cos ,sin cos C C B B A A ===，απα2,-===A C B 则设，由于111C B A ∆中，111,,C B A 不会全是锐角，否则，有2,2,2111πππ=+=+=+C C B B A A ，与三角形内角和矛盾，所以111,,C B A 必有一个钝角，只能是顶角1A 为钝角，11B C 和为锐角.所以απαπ-2-211==C B ，，所以α21=A ，再根据1sin cos A A =,可得ααπ2sin )2cos(=-，即02cos 2sin =+αα，432πα=，顶角为4π.2.（普陀区2019年二模16题）设函数()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin πx x f ，若对于任意,2,65⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈ππα在区间[]m ,0上总存在唯一确定的β，使得()(),0=+βαf f 则m 的最小值为（ ） A 、6π B 、2π C 、67πD 、π 【参考答案】B【解析】画出()x f 图像，()()βαππαf f ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈23,00,232,65，所以m 的最小值为2π，选B3.（青浦区2019年二模14题）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）6 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 【D 】 既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】A B >可得B 为锐角；充分性：当A 为锐角时，tan y x =在(0,)2π上单调递增，tan tan A B >成立；当A 为钝角时，A B π+<，则B A π<-，tan()tan A B π->；|tan ||tan |A B >成立。

(2019上海长宁、嘉定二模)上海长宁、嘉定区2019年高三下学期二模数学（文）试题数学〔文〕一、填空题〔本大题总分值56分，共14小题，每题4分〕1、函数)32sin()(π+=x x f 的最小正周期是__________、2、假设关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(,1)m ，那么实数=m _________、3、〔文〕集合{}{}Z x x B a A x ∈<<=-=,931,,0,1，假设AB ≠∅，那么实数a 的值 是 、4、复数z 满足1i z -＝3，那么复数z 的实部与虚部之和为__________、5、求值：1220132013201320132013124(2)C C C -+-+-=___________、6、向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过57、设1,0≠>a a ，行列式34210231D -=xa 中第3第2列的代数余子式记作y ，函数()x f y =数图像经过点()1,2，那么a = 、8、〔文〕135sin ,53)cos(-==-ββα，且 )0,2(),2,0(πβπα-∈∈，那么=αsin _____、9、〔文〕如图是一个算法框图，那么输出的k 的值是____________、 10、〔文〕设函数21x y -=的曲线绕x 轴旋转一周所得几何体的表面积__________、11、〔文〕从4名男生和3名女生中任选3人参加会议，那么选出3人中至少有名女生的概率是__________、12、〔文〕函数x x x x f 4|4|)(22-+-=的单调递减区间是___________、 13.〔文〕 变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 假设目标函数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值，那么实数a 的取值范围_______________.14、〔文〕设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，6,231==a a ，假设自然数,...,...,21k n n n 满足......321<<<<<k n n n ，且,......,,131k n n a a a a 是等比数列，那么文第9题k n =_______________.二、选择题〔本大题总分值20分，共4小题，每题5分〕15. ),(11b a A ，),(22b a B 是坐标平面上不与原点重合的两个点，那么OA OB ⊥的充要条件是 〔 〕A 、12211-=⋅a b a b B.02121=+b b a a C.2121b b a a = D.1221b a b a = A 、假设,,//m l =⋂βαα那么m l //B 、假设,//,ααm l ⊥那么m l ⊥C 、假设,//,//ααm l 那么m l //D 、假设l m l ⊥,//α，那么α⊥m17.过点(1,1)P 作直线与双曲线2212y x -=交于A 、B 两点，使点P 为AB 中点，那么这样的直线〔〕A 、存在一条，且方程为210x y --=B 、存在无数条C 、存在两条，方程为()210x y ±+=D 、不存在18.〔文〕函数2()21,()1,x f x g x x =-=-构造函数()F x ，定义如下：当|()|(),()|()|,|()|(),()()f x g x F x f x f x g x F x g x ≥=<=-时当时，那么()F x 〔〕A 、有最小值0，无最大值B 、有最小值1-，无最大值C 、有最大值1，无最小值D 、无最小值，也无最大值三、解答题〔本大题总分值74分，共5小题〕19.〔文〕〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕如图，点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，AB 为圆O24π，2OA =，120AOP ∠=︒、〔1〕求三棱锥1A APB -的体积；〔2〕求异面直线1A B 与OP 所成角的大小、〔结果用 反三角函数值表示〕、20.〔此题总分值12分，第1小题总分值6分，第2小题总分值6分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边a ，b ，c 成等比数列、〔1〕求证：03B π<≤； 〔2〕求1sin 2sin cos B y B B+=+的取值范围、 21.〔此题总分值14分，第1小题总分值4分，第2小题总分值10分〕设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数、〔1〕求k 的值；〔2〕〔文〕假设0)1(<f ，试说明函数)(x f 的单调性，并求使不等式A 10)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的的取值范围、22.〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分，第3小题总分值6分〕如图，点)1,0(F ，直线m ：1-=y ，P 为平面上的动点，过点P 作m 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅、〔1〕求动点P 的轨迹C 的方程；〔2〕〔文〕过轨迹C 的准线与y 轴的交点M 作方向向量为)1,(a d =→的直线m '与轨迹C 交于不同两点A 、B ，问是否存在实数a 使得FB FA ⊥？假设存在，求出a 的范围；假设不存在，请说明理由；〔3〕〔文〕在问题〔2〕中，设线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为),0(0y D ，求0y 的取值范围、23、〔此题总分值18分，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分，第3小题6分〕〔文〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对于任意*N ∈n ，总有)1(2-=n n a S 、 〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕在n a 与1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成等差数列，当公差d 满足43<<d 时，求n 的值并求这个等差数列所有项的和T ；〔3〕记)(n f a n =，如果)log (2m n f n c n ⋅⋅=〔*N ∈n 〕，问是否存在正实数m ，使得数列}{n c 是单调递减数列？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，请说明理由、数学文〔参考答案〕【一】填空题〔每题4分，共56分〕1、π2。

2019年上海市青浦区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）不等式的解集是．2．（4分）已知复数z满足z（1+i）＝2+4i（其中i为虚数单位），则|z|＝．3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，则的单位向量是．4．（4分）在（1﹣x）6的二项展开式中，含有x3项的系数为（结果用数值表示）．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则p＝．6．（4分）已知E、F是互斥事件，P（E）＝0.2，P（E∪F）＝0.8，则P（F）＝．7．（5分）函数y＝|sin x+arcsin x|的最大值为．8．（5分）若实数x、y满足条件，则x2+y2的最小值为．9．（5分）已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是（﹣∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是．10．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为．11．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），在区间（﹣1，1）内有两个零点，则a2﹣2b的取值范围是．12．（5分）已知O为△ABC的外心，，，则λ+μ的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知，B＝{y|y＝log2x}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．{2}D．{（4，2）} 14．（5分）已知△ABC是斜三角形，则“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件15．（5分）已知曲线（θ是参数），过点P（6，2）作直线l与曲线Γ有且仅有一个公共点，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条16．（5分）等差数列a1，a2，…，a n（n≥3，n∈N*）满足|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|＝2019，则（）A．n的最大值为50B．n的最小值为50C．n的最大值为51D．n的最小值为51三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，圆柱是矩形O1OAA1绕其边O1O所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点．（1）求三棱锥A1﹣ABC体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段AO1的中点，求异面直线CM与BO1所成角的大小．18．（14分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tan∠BAN＝，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan∠BCN＝1，现有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km．（1）求A、B两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由．19．（14分）已知a∈R，函数．（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若a≥0且对任意x∈R都成立，求a的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），总存在一个点Q（x'，y'）满足关系式：（λ＞0，μ＞0），则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ，使得椭圆4x2+9y2＝36变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，△AOB（O为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0）得到△A'O'B'，记△AOB和△A'O'B'的面积分别为S与S'，求证：；（3）若△EFG的三个顶点都在椭圆（a＞b＞0），且椭圆中心恰好是△EFG 的重心，求△EFG的面积．21．（18分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），且不等式|f（x）|≤2019|2x﹣x2|对任意的x∈[0，10]都成立，数列{a n}是以7+a为首项，公差为1的等差数列（n∈N*）．（1）当x∈[0，10]时，写出方程2x﹣x2＝0的解，并写出数列{a n}的通项公式（不必证明）；（2）若无穷数列{b n}满足对任意的m，n∈N*都成立，求证：数列{b n}是等差数列；（3）若（n∈N*），数列{c n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，求的取值范围．2019年上海市青浦区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）不等式的解集是．【分析】通过移项、通分；利用两个数的商大于0等价于它们的积大于0；将分式不等式转化为二次不等式，解二次不等式求出原不等式的解集．【解答】解：原不等式等价于等价于x（2x﹣1）＜0解得故答案为（）【点评】本题考查将分式不等式等价转化为二次不等式、考查二次不等式的解法．2．（4分）已知复数z满足z（1+i）＝2+4i（其中i为虚数单位），则|z|＝．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由z（1+i）＝2+4i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（4分）在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，则的单位向量是±．【分析】在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，可得＝（﹣3，4），可得的单位向量＝．【解答】解：∵在x轴、y轴正方向上的投影分别是﹣3、4，∴＝（﹣3，4），||＝＝5．则的单位向量＝＝±．故答案为：±．【点评】本题考查了向量数量积性质、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（4分）在（1﹣x）6的二项展开式中，含有x3项的系数为﹣20（结果用数值表示）．【分析】利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，令x的指数为3得到r的值，代入通项求出含x3项的系数，得到结果．【解答】解：写出二项式的通项，通项T r+1＝C6r（﹣x）r＝（﹣1）r C6r x r，令r＝3得x3项的系数是（﹣1）3C63＝﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式系数的性质，本题解题的关键是写出展开式的通项公式，这是解决二项展开式的特定项问题的工具．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣y2＝1经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，则p＝4．【分析】求出双曲线的顶点，得到抛物线的焦点坐标，即可求解P即可、【解答】解：双曲线﹣y2＝1经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，可得双曲线的顶点坐标（2，0），所以，解得p＝4．故答案为：4．【点评】本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．（4分）已知E、F是互斥事件，P（E）＝0.2，P（E∪F）＝0.8，则P（F）＝0.6．【分析】由E、F是互斥事件，得到P（F）＝P（E∪F）﹣P（E），由此能求出结果．【解答】解：∵E、F是互斥事件，P（E）＝0.2，P（E∪F）＝0.8，∴P（F）＝P（E∪F）﹣P（E）＝0.8﹣0.2＝0.6．故答案为：0.6．【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件的概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）函数y＝|sin x+arcsin x|的最大值为．【分析】由三角函数的单调性、奇偶性得：f（x）在[﹣1，1]为单调递增的奇函数，所以﹣sin1﹣≤f（x）≤sin1+，即|f（x）|∈[0，sin1+]，得解．【解答】解：设f（x）＝sin x+arcsin x，则函数定义域为[﹣1，1]，则f（x）在[﹣1，1]为单调递增的奇函数，所以﹣sin1﹣≤f（x）≤sin1+，即|f（x）|∈[0，sin1+]，故答案为：sin1+．【点评】本题考查了三角函数的单调性、奇偶性，属中档题．8．（5分）若实数x、y满足条件，则x2+y2的最小值为．【分析】根据条件画出可行域，z＝x2+y2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点P到原点距离的最值，从而得到z最值即可．【解答】解：根据实数x、y满足条件画出可行域，z＝x2+y2，表示可行域内点P到原点距离的平方，当z是点Q到直线x+y﹣1＝0的距离的平方时，z最小，最小值为d2＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．9．（5分）已知a、b、c都是实数，若函数的反函数的定义域是（﹣∞，+∞），则c的所有取值构成的集合是{0}．【分析】由题意可得，函数f（x）的值域为（﹣∞，+∞），当a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y＝x2的值域为[a2，+∞）；然后结合反比例函数的图象及函数y＝在（a，c）内有意义，可得c＝0，则答案可求．【解答】解：函数的反函数的定义域是（﹣∞，+∞），即函数f（x）的值域为（﹣∞，+∞），若a≥0，显然不合题意，则a＜0，此时y＝x2的值域为[a2，+∞）；则需y＝的值域包含（﹣∞，a2），结合函数y＝在（a，c）内有意义，则c＝0．∴c的所有取值构成的集合是{0}．故答案为：{0}．【点评】本题考查互为反函数的两个函数特性间的关系，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．10．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PO⊥AD，AO＝1，OD＝2，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PDC是以∠PDC为直角的直角三角形，求解三角形得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，底面ABCD是边长为3的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，PO⊥AD，AO＝1，OD＝2，△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PDC是以∠PDC为直角的直角三角形．则最长棱为PC＝．故答案为：．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11．（5分）已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R），在区间（﹣1，1）内有两个零点，则a2﹣2b的取值范围是（0，2）．【分析】列出满足条件约束条件，画出满足条件的可行域，进而可得答案．【解答】解：由题意，要使函数f（x）＝x2+ax+b在区间（﹣1，1）上有两个零点，只要，其对应的平面区域如下图所示：则当a＝0，b＝0时，a2﹣2b取最小值0，当a＝﹣2，b＝1时，a2﹣2b取最大值2，所以a2﹣2b的取值范围为（0，2）；故答案为：（0，2）．【点评】本题考查了函数零点的分布，线性规划，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组．12．（5分）已知O为△ABC的外心，，，则λ+μ的最大值为．【分析】由平面向量的坐标运算、向量相等得：因为∠ABC＝，所以，设A（1，0），C（﹣，），B（x，y），则＝（1﹣x，﹣y），＝（﹣﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），因为，所以，解得：，由重要不等式得：因为点B在圆x2+y2＝1上，所以λμ＝，所以（λ+μ）2（λ+μ）≥0，解得：λ+μ≥2或，又点B只能在优弧AC上，所以，得解【解答】解：设△ABC的外接圆半径为1，以点O为原点建立坐标系，因为∠ABC＝，所以，设A（1，0），C（﹣，），B（x，y），则＝（1﹣x，﹣y），＝（﹣﹣x，﹣y），＝（﹣x，﹣y），因为，所以，解得：，因为点B在圆x2+y2＝1上，所以λμ＝，所以（λ+μ）2（λ+μ）≥0，解得：λ+μ≥2或，又点B只能在优弧AC上，所以，即λ+μ的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算、向量相等及重要不等式，属难度较大的题型．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知，B＝{y|y＝log2x}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．{2}D．{（4，2）}【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵＝{y|y≥0}，B＝{y|y＝log2x}＝R，∴A∩B＝{y|y≥0}＝[0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5分）已知△ABC是斜三角形，则“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据充要条件的定义，结合正切函数的图象和性质，分析：“A＞B”⇒“|tan A|＞|tan B|”和“|tan A|＞|tan B|”⇒“A＞B”的真假后，可得答案．【解答】解：当A＞B时，若AB均为锐角，则tan A＞tan B＞0，此时|tan A|＞|tan B|，若A为钝角，则π﹣A为锐角，B＜π﹣A，则tan（π﹣A）＝﹣tan A＞tan B＞0，此时|tan A|＞|tan B|，综上：当A＞B时，“|tan A|＞|tan B|”．当“|tan A|＞|tan B|”时，若AB均为锐角，则tan A＞tan B＞0，此时tan A＞tan B，即A＞B，若A为钝角，满足条件，若B为钝角，则tan（π﹣B）＝﹣tan B＜tan A，即π﹣B＜A，A+B＞π，故B不可能为钝角，综上，当“|tan A|＞|tan B|”时，“A＞B”，故“A＞B”是“|tan A|＞|tan B|”的充要条件，故选：C．【点评】本题考查了充要条件的判断，做题时一定要细心，是一道基础题，熟练掌握充要条件的定义是解答的关键．15．（5分）已知曲线（θ是参数），过点P（6，2）作直线l与曲线Γ有且仅有一个公共点，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】将曲线的参数方程化成普通方程为双曲线方程，结合图象可知，当过P的直线与双曲线的渐近线平行时，满足题．【解答】解：由消去参数θ可得﹣y2＝1，如图所示：经过P（6，2）且与双曲线的两条渐近线平行的直线满足题意．故选：B．【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．16．（5分）等差数列a1，a2，…，a n（n≥3，n∈N*）满足|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|＝2019，则（）A．n的最大值为50B．n的最小值为50C．n的最大值为51D．n的最小值为51【分析】首先数列{a n}中的项一定满足既有正项又有负项，不妨设满足，从而判断数列中的项为偶数项，利用凑配法和关系式的变换求出n的最大值．【解答】解：{a n}为等差数列，则使等式|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|，＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|，则：数列{a n}中的项一定有正有负，不妨设a1＜0，d＞0，因为|a1|+|a2|+…+|a n|＝|a1+1|+|a2+1|+…+|a n+1|＝|a1﹣2|+|a2﹣2|+…+|a n﹣2|＝2019为定值，故设，且得d＞3．若a i＜0，且a i+1＜0，则|a i|﹣|a i+1|＝1，同理若a i≥0，则|a i+1|﹣|a i|＝1，所以＝＝k，所以数列{a n}的项数为2k．所以：|a1|+|a2|+..+|a n|＝﹣a1﹣a2﹣a3﹣…﹣a k+a k+1+a k+2+…+a2k，＝﹣2（a1+a2+a3+…+a k）+（a1+a2+a3+…+a k+a k+1+…+a2k）＝﹣2（ka1+d）+（2ka1+），＝k2d＝2019，由于：d＞3，所以：k2d＝2019＞3k2，解得：k2＜673，故：k≤25，n≤50．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，圆柱是矩形O1OAA1绕其边O1O所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点．（1）求三棱锥A1﹣ABC体积与圆柱体积的比值；（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段AO1的中点，求异面直线CM与BO1所成角的大小．【分析】（1）设矩形O1OAA1的边长分别为OA＝a，A1A＝b，由体积公式分别求出三棱锥A1﹣ABC体积与圆柱体积，作比得答案；（2）连接OM，则OM∥O1B，连接MC，则∠OMC为异面直线CM与BO1所成角，设OA＝AA1＝2，然后求解三角形得答案．【解答】解：（1）设矩形O1OAA1的边长分别为OA＝a，A1A＝b，则，，∴；（2）连接OM，则OM∥O1B，连接MC，则∠OMC为异面直线CM与BO1所成角，设OA＝AA1＝2，则，OM＝，OC＝2，∵点C是弧AB的中点，∴OC⊥平面ABO1，则OC⊥OM，在Rt△MOC中，有MC＝，∴cos∠OMC＝，则异面直线CM与BO1所成角的大小为．【点评】本题考查棱锥与圆柱体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．18．（14分）如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得tan∠BAN＝，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得tan∠BCN＝1，现有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km．（1）求A、B两点间的距离；（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由．【分析】（1）由tan∠BAN＝，∠BCN＝，得到|AD|，|DB|、|AB|间的关系，然后利用直角三角形的性质求解；（2）方案①：总铺设费用为5×4＝20（万元）．方案②：设∠BPD＝θ，则θ∈（θ0，），其中θ0＝∠BAN，在Rt△BDP中，DP＝＝，BP＝＝，则总铺设费用为2AP+4BP＝8﹣+＝8+6•．设f（θ）＝，则f′（θ）＝＝，求出函数的极小值，即函数的最小值得答案．【解答】（本题满分为14分）解：（1）过B作MN的垂线，垂足为D，如图示：在Rt△ABD中，tan∠BAD＝tan∠BAN＝，所以AD＝BD，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝tan∠BCN＝＝1，所以CD＝BD．则AC＝AD﹣CD＝BD﹣BD＝BD＝1，即BD＝3，所以CD＝3，AD＝4，由勾股定理得，AB＝＝5（km）．所以A，B两镇间的距离为5km．…（4分）（2）方案①：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5×4＝20（万元）．…（6分）方案②：设∠BPD＝θ，则θ∈（θ0，），其中θ0＝∠BAN，在Rt △BDP 中，DP ＝＝，BP ＝＝，所以AP ＝4﹣DP ＝4﹣．则总铺设费用为2AP +4BP ＝8﹣+＝8+6•．…（8分）设f （θ）＝，则f ′（θ）＝＝，令f '（θ）＝0，得θ＝，列表如下：，），所以f （θ）的最小值为f （）＝．所以方案②的总铺设费用最小为8+6（万元），此时AP ＝4﹣． …（12分）而8+6＜20，所以应选择方案②进行铺设，点P 选在A 的正西方向（4﹣）km 处，总铺设费用最低．…（14分）【点评】本题考查了简单的数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．19．（14分）已知a ∈R ，函数．（1）求a 的值，使得f （x ）为奇函数；（2）若a ≥0且对任意x ∈R 都成立，求a 的取值范围．【分析】（1）根据奇函数的定义与性质，利用f （0）＝0求得a 的值，再验证求得a 的值时，f （x ）是奇函数；（2）根据题意把不等式化为a2+a＞（5﹣a）•2x，要使不等式对任意x∈R都成立，得出5﹣a≤0即可．【解答】解：（1）函数为奇函数，即f（0）＝＝0，解得a＝1，∴f（x）＝，定义域为R，且满足f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），∴f（x）是定义域R上的奇函数；即a＝1时，f（x）为定义域R上的奇函数；（2）不等式f（x）＜化为＜，a≥0时，2x+a＞0，所以不等式化为3（2x﹣a）＜（a﹣2）（2x+a），即a2+a＞（5﹣a）•2x；要使该不等式对任意x∈R都成立，由a≥0且2x＞0，所以5﹣a≤0，即a≥5即可；所以a的取值范围是a≥5．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了等价转化问题，是中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y），总存在一个点Q（x'，y'）满足关系式：（λ＞0，μ＞0），则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ，使得椭圆4x2+9y2＝36变换为一个单位圆；（2）在同一直角坐标系中，△AOB（O为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0）得到△A'O'B'，记△AOB和△A'O'B'的面积分别为S与S'，求证：；（3）若△EFG的三个顶点都在椭圆（a＞b＞0），且椭圆中心恰好是△EFG 的重心，求△EFG的面积．【分析】（1）把伸缩变换代入x′2+y′2＝1，得到36λ2x2+36μ2y2＝36，与4x2+9 y2＝36比较求得λ＝，μ＝，则答案可求；（2）以OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设A （a ，0），B （b ，c ），求出经平面直角坐标系中的伸缩变换后得到的A ′（λa ，0），B ′（λb ，μc ），再分别求出S 与S '，作比得答案；（3）设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），G （x 3，y 3），由△EFG 重心是原点，得x 3＝﹣（x 1+x 2），y 3＝﹣（y 1+y 2），然后分类求解得答案．【解答】（1）解：伸缩变换为（λ＞0，μ＞0），代入x ′2+y ′2＝1， 得到（λx ）2+（μy ）2＝1，即36λ2x 2+36μ2y 2＝36，①将①式与4x 2+9 y 2＝36比较，得λ＝，μ＝，故所求的伸缩变换为；（2）证明：以OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设A （a ，0），B （b ，c ），则，经平面直角坐标系中的伸缩变换（λ＞0，μ＞0），得到A （λa ，0），B（λb ，μc ）．∴，∴＝；（3）解：设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），G （x 3，y 3），∵△EFG 重心是原点，∴，，∴x 3＝﹣（x 1+x 2），y 3＝﹣（y 1+y 2），当直线EF 的斜率不存在时，E （﹣，），F （﹣，﹣），G （a ，0），或E （，），F （，﹣），G （﹣a ，0），此时S △EFG ＝；当直线EF 的斜率存在时，设直线EF 的方程为y ＝kx +m ，由，得（b 2+a 2k 2）x 2+2a 2kmx +a 2m 2﹣a 2b 2＝0．，，y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2m ＝＝，∴x 3＝，，∵G （x 3，y 3）在椭圆上，∴，∴4m 2＝b 2+a 2k 2，∵|EF |＝＝＝．点G （x 3，y 3）到直线AB 的距离d ＝＝，∴S △EFG ＝|EF |d ＝．综上所述，△ABC 的面积是定值．【点评】本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．21．（18分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ），且不等式|f （x ）|≤2019|2x ﹣x 2|对任意的x ∈[0，10]都成立，数列{a n }是以7+a 为首项，公差为1的等差数列（n ∈N *）． （1）当x ∈[0，10]时，写出方程2x ﹣x 2＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式（不必证明）；（2）若无穷数列{b n }满足对任意的m ，n ∈N *都成立，求证：数列{b n }是等差数列；（3）若（n∈N*），数列{c n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，求的取值范围．【分析】（1）令f（2）＝0，f（4）＝0计算a，b的值，从而得出出数列{a n}的通项公式；（2）由条件可知b n+m﹣b m﹣b n＝0，令m＝1可得结论；（3）利用放缩法得出最小值，根据递减数列得出最大值．【解答】解：（1）当x∈[0，10]时，方程2x﹣x2＝0的解为：x＝2，x＝4．不等式|f（x）|≤2019|2x﹣x2|对任意的x∈[0，10]都成立，∴|f（2）|≤0，|f（4）|≤0，化为：4+2a+b＝0，16+4a+b＝0，解得a＝﹣6，b＝8．∴a n＝1+n﹣1＝n．（2）＝＞0，∵＝对任意的m，n∈N*都成立，∴|b n+m﹣b m﹣b n|≤0，又|b n+m﹣b m﹣b n|≥0，∴b n+m﹣b m﹣b n＝0，即b n+m＝b m+b n，令m＝1可得b n+1＝b n+b1，∴b n+1﹣b n＝b1．∴数列{b n}是等差数列．（3）由（1）可得：＝（n∈N*），∴＝（++……+），显然{}是递减数列，故≤S1＝．∵＞n，∴S n＞1+2+3+…+n＝，∴＞+．∴的取值范围是．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。