2018-2019学年上海市嘉定区高二上学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市嘉定区高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知过定点(4,5)的直线m 的一个法向量是()23d =-，，则直线m 的点方向式方程可以为（ ） A.()()3425x y -=- B.4523x y --=C.()()34250x y ---=D.4532x y --=【答案】D【解析】先由直线的一个法向量求直线的斜率，再由直线的点方向式方程求解即可. 【详解】解：直线m 的一个法向量是()23d =-，， 所以直线m 的一个方向向量是()3，2，所以直线的斜率为23， 又直线m 过定点(4,5)， 则直线m 的点方向式方程可以为4532x y --=， 故选：D. 【点睛】本题考查了直线的法向量及直线的斜率，重点考查了直线的点方向式方程，属中档题. 2．用数学归纳法证明:()()()2222*1211236n n n n n N +++++⋯=∈，在第二步证明当1n k =+成立时,通常要将()222221231k k +++⋯+++最终变形为（ ）A.()()()212116k k k k ++++B.()()12766k k k +++C.()()1236k k k ++ D.()()()1112116k k k ⎡⎤⎡⎤+++++⎣⎦⎣⎦【答案】D【解析】根据数学归纳法的证明步骤和格式即可得解. 【详解】解：由数学归纳法的证明格式用数学归纳法证明:()()()2222*1211236n n n n n N +++++⋯=∈，在第二步证明当1n k =+成立时,通常要将()222221231k k +++⋯+++最终变形为()()()1112116k k k ⎡⎤⎡⎤+++++⎣⎦⎣⎦，故选D. 【点睛】本题考查了数学归纳法的证明步骤和格式，重点考查了对数学归纳法的理解，属基础题.3．列向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行是二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的_____条件（ ） A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.非充分非必要【答案】C【解析】由二元一次方程组存在唯一解及两向量平行的充要条件可得解. 【详解】解：二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的充要条件为1221a b a b ≠，又 1221a b a b ≠的充要条件为列向量12a a ⎛⎫⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫⎪⎝⎭不平行， 故列向量12a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与12b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭不平行是二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩存在唯一解的充要条件， 故选:C. 【点睛】本题考查了二元一次方程组存在唯一解的充要条件及两向量平行的充要条件，重点考查了充分必要性的判断，属基础题.4．已知,由抛物线2y x =、x 轴以及直线1x =所围成的曲边区域的面积为S.如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S.所谓“分之弥细,所失弥少”,这就是高中课本中的数列极限的思想.由此可以求出S 的值为（ ）A.12B.13C.14D.25【答案】B【解析】由题意利用积分法，求出由抛物线2y x =、x 轴、直线1x =所围成的曲边区域的面积可转化为21=0S x dx ⎰，再运算即可得解.【详解】解：由题意有2311111=(10)00333S x dx x⎰==⨯-=， 即由抛物线2y x =、x 轴、直线1x =所围成的曲边区域的面积为13， 故选B. 【点睛】本题考查了定积分的应用，重点考查了运算能力，属基础题.二、填空题5．已知两点A(-1,2)、B(3,6),则直线AB 的倾斜角为_______. 【答案】4π 【解析】先由斜率公式可得6213(1)k -==--，再由斜率与倾斜角的关系tan θk =求解即可. 【详解】解：由A(-1,2)、B(3,6),则直线AB 的斜率为6213(1)k -==--，设直线AB 的倾斜角为θ，则[)0,θπ∈，又tan 1k θ==，所以4πθ=，故答案为：4π. 【点睛】本题考查了斜率公式及斜率与倾斜角的关系tan θk =，重点考查斜率与倾斜角的概念及运算能力，属基础题.6．向量()2a =1，在()31b =，上的投影为______.【解析】由a 在b 方向上的投影为a b b⋅，再结合向量的数量积运算及向量模的运算即可得解. 【详解】解：由向量a 在b 方向上的投影的几何意义有a 在b 方向上的投影为a b b⋅，又13215a b ⋅=⨯+⨯=，231b =+=则a 在b2=，故答案为：2. 【点睛】本题考查了向量a 在b 方向上的投影的概念，重点考查了向量的数量积运算及向量模的运算，重点考查了运算能力，属基础题.7．直线10x y ++=与直线210x y -+=的夹角的大小等于_______(用反三角函数式表示).【答案】arctan3【解析】先求出两直线的斜率，再利用两直线的夹角公式求解即可. 【详解】解：直线10x y ++=与直线210x y -+=的斜率分别为-1和2， 设直线10x y ++=与直线210x y -+=的夹角为θ，则12tan 31(1)2θ--==+-⨯，所以arctan3θ=， 故答案为：arctan3. 【点睛】本题考查了直线的斜率的求法及两直线的夹角公式，重点考查了运算能力，属基础题. 8．下图为中国古籍《尚书》中记载的“洛书”,关于其传说被列为国家级非物质文化遗产.依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为_________.【答案】6【解析】由中国古籍《尚书》中记载的“洛书”得：123456789，依据此数阵所示的行列式，能求出元素2的代数余子式的值. 【详解】解：由中国古籍《尚书》中记载的“洛书”得：123456789，所以依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为：12(1)+-4679(3642) 6.=--= 故答案为：6. 【点睛】本题考查了对图像语言的分析及处理能力，重点考查了数阵所示的行列式的元素的代数余子式的值的运算，属基础题.9．在平面直角坐标系中,以点()(15A B -，、为直径的圆的方程可以化为220x y Dx Ey F ++++=的形式,则D+E+F=_______.【答案】6-+【解析】先由中点坐标公式和两点的距离公式求圆的参数方程，求得22332()24x y +-+-=，再将该圆的标准方程化为一般方程得22(510x y y +-+-+，运算即可得解.【详解】解：由中点坐标公式可得，以点()(15A B -，、为直径的圆的圆心坐标为02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，半径为2AB ，即该圆的标准方程为22332()24x y -+-=，化为圆的一般方程得22(510x y y +-+-+，即0,51D E F ==--=-+所以6D E F ++=-+，故答案为：6-+【点睛】本题考查了圆的标准方程的求法及标准方程与一般方程的互化，重点考查了曲线与方程的知识，属基础题.10．平面直角坐标系xOy 中,点A(4,-2),动点P 满足•4OP AP =，则动点P 的轨迹方程是___.【答案】22(2)(1)9x y -++=【解析】先求出OP ,AP ,再结合平面向量数量积的坐标运算，可得(4)(2)4x x y y -++=，再化为标准式即可.【详解】解：设(),P x y ，则(),OP x y =uu u r,()4,2AP x y =-+,由•4OP AP =，所以(4)(2)4x x y y -++=，即22(2)(1)9x y -++=，故答案为：22(2)(1)9x y -++=. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算及动点的轨迹方程，重点考查了曲线与方程，属基础题.11．某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是_______.【答案】2047【解析】由该程序框图的功能可得121n n a a +=+，再结合递推公式可得{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，再利用通项公式求解即可. 【详解】解：设2019n a ≤，则121n n a a +=+，且11a =， 则112(1)n n a a ++=+，又112a +=，即{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-， 设212019nn a =-≤，则满足题意的n 的最大值为10， 即1010211023a =-=，则112102312047a =⨯+=， 故答案为：2047. 【点睛】本题考查了程序框图的功能，主要考查了数列递推式求通项公式，重点考查了运算能力，属基础题.12．已知数列{}()*n a n N ∈的通项公式为()()21112111000645100145n n nn n n n n n a n +-⎧--≤≤⎪⎪=⎨+⎪≥⎪-⎩，，，则lim n n a →∞=______.【答案】5-【解析】把问题转化为lim n n a →∞=114545n n n n +-+-，再分子、分母同时除以5n 即可得解. 【详解】解：要求lim n n a →∞，只需求lim n n a →∞=114545n n n n +-+-， 又lim n n a →∞=114545n n n n +-+-=lim n →∞4()15414()55n n +-=1515=--， 故答案为：5-. 【点睛】本题考查了求极限问题，因为54>，则需分子、分母同时除以5n ，重点考查了运算能力.13．已知数轴上分别对应实数()m n m n 、＞的两个点E 、F 的距离用行列式可以表示为m EF n =11，类比于此,平面上三个成逆时针顺序的点()()()112233A x y B x y C x y ，，，，，形成的三角形面积用行列式可表示为S=________.【答案】11223311121x y x y x y 【解析】先阅读理解题意，再由类比推理可得解. 【详解】由题意可类比推理得：平面上三个成逆时针顺序的点()()()112233A x y B x y C x y ，，，，，形成的三角形面积用行列式可表示为S=11223311121x y x y x y ， 故答案为：11223311121x y x y x y . 【点睛】本题考查了阅读能力及类比推理，重点考查了逻辑推理能力，属基础题.14．等比数列{}n a 前n 项和n S ，首项为10,公比为2,则方程3310x S y a -++=所表示的图形的面积为________. 【答案】200【解析】由等比数列的通项公式求3a ，3S ，则方程3310x S y a -++=为704010x y -++=，再通过讨论去绝对值符号，画图即可得解.【详解】解：由等比数列{}n a 前n 项和n S ，首项为10,公比为2,则2310240a =⨯=，2310(122)70S =⨯++=，则方程3310x S y a -++=， 即704010x y -++=，当70,40x y ≥≥-时，方程可化为40x y +=， 当70,40x y ≥<-时，方程可化为120x y -=， 当70,40x y <>-时，方程可化为100x y -=， 当70,40x y <<-时，方程可化为20x y +=，作出图形，如图所示，则表示的图形为正方形ABCD ,由两平行线的距离公式可得AB == 则正方形的面积为 2200=，故答案为：200.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及两平行线的距离，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.15．平面上线段4GH =，如果三角形GPH 上的顶点P 永远保持2PG PH =，那么随着P 的运动,三角形GPH 面积的最大值等于_________. 【答案】163【解析】设(,)P x y ，再建立以GH 的中点为原点，GH 为x 轴，GH 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，再有已知条件求出点P 的轨迹为以10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，83为半径的圆，（除去与x 轴的两交点），再运算即可得解. 【详解】解：设(,)P x y ，以GH 的中点为原点，GH 为x 轴，GH 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，因为平面上线段4GH =，三角形GPH 上的顶点P 永远保持2PG PH =，所以(2,0),(2,0)G H -=()0y ≠，整理得：2220403x y x +-+=，化为标准式可得221064()39x y -+=，()0y ≠，即点P 的轨迹为以10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，83为半径的圆，（除去与x 轴的两交点），即三角形GPH 面积的最大值等于18164233⨯⨯=， 故答案为：163. 【点睛】本题考查了点的轨迹方程的求法，主要考查了曲线与方程，重点考查了运算能力，属中档题.16．在平面直角坐标系xOy 中,点O 是坐标原点,点A(2,1),B(0,2),点P 在圆()2211x y -+=上运动,若OA xOB yOP =+，则2x y +的最小值为________.【答案】1【解析】由圆的参数方程可设1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），再结合向量相等的坐标表示可得()2,1=()cos ,2sin y y x y θθ++，则2x y +=1sin 121cos θθ-++，再结合三角函数的有界性即可得解. 【详解】解：因为点P 在圆()2211x y -+=上运动,设1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），又OA xOB yOP =+，则()()2,1(0,2)cos ,sin x y y y θθ=++()cos ,2sin y y x y θθ=++，则21cos y θ=+ ，2sin 11cos x θθ=-+，所以2x y +=4sin 21cos θθ-+21cos θ++=1sin 121cos θθ-++，令1sin 1cos t θθ-=+，则sin cos 1t t θθ+=-，则)1t θϕ+=-1t ≥-，解得0t ≥， 故1sin 01cos θθ-≥+，即当1sin 01cos θθ-=+时，2x y +的最小值为1201+⨯=，故答案为：1. 【点睛】本题考查了圆的参数方程、向量相等的坐标表示及三角函数的有界性，重点考查了运算能力，属中档题.三、解答题17．用行列式讨论关于x y 、的二元一次方程()412mx y m m R x my m +=-⎧∈⎨+=⎩解的情况并求解.【答案】当2m =±时，二元一次方程组无解；当2m =±时，二元一次方程组有唯一解222294214m mx m m m y m ⎧-=⎪⎪-⎨-+⎪=⎪-⎩【解析】本题可对二元一次方程对应的系数行列式41m m进行分类讨论，当系数行列式为零时，二元一次方程组无解，当系数行列式不为零时，二元一次方程组有唯一解，通过运算即可求出此唯一解. 【详解】解：由题意可知，此二元一次方程对应的系数行列式为41m m，i ．当401m m=，即240m -=，即2m =±时，①当2m =时，二元一次方程组为24124x y x y +=⎧⎨+=⎩，此时二元一次方程组无解；②当2m =-时，二元一次方程组为24324x y x y -+=-⎧⎨-=-⎩，此时二元一次方程组无解；ii ．当401m m≠，即240m -=，即2m =±时，二元一次方程组有唯一解，解得222294214m m x m m m y m ⎧-=⎪⎪-⎨-+⎪=⎪-⎩， 故当2m =±时，二元一次方程组无解；当2m =±时，二元一次方程组有唯一解222294214m mx m m m y m ⎧-=⎪⎪-⎨-+⎪=⎪-⎩. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.18．已知向量、a b 的夹角为120°,且12a b ==，，设32.m a b n ta b =-=+， (1)试用t 来表示m n ⋅的值；(2)若m 与n 的夹角为钝角,试求实数t 的取值范围. 【答案】(1)(3)(2)414a b ta b t -⋅+=- (2)72t <且6t ≠- 【解析】(1)由平面向量数量积运算可得1a b ⋅=-，再由向量的运算法则可得(3)(2)414a b ta b t -⋅+=-；(2)由m 与n 的夹角为钝角,则0m n m n λ⋅<⎧⎨≠⎩，再运算即可得解.【详解】解: (1)因为向量、a b 的夹角为120°,且12a b ==，， 则1cos12012()12a b a b ⋅==⨯⨯-=-，则m n ⋅=22(3)(2)32(6)38(6)414a b ta b ta b t a b t t t -⋅+=-+-⋅=---=-， 故(3)(2)414a b ta b t -⋅+=-；(2)由m 与n 的夹角为钝角,则0m n m n λ⋅<⎧⎨≠⎩，解得726t t ⎧<⎪⎨⎪≠-⎩，故实数t 的取值范围为72t <且6t ≠-. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算及向量的夹角，重点考查了运算能力，属基础题.19．定义“矩阵”的种运算()a x y c ⎛⋅ ⎝，()b ax cy bx dy d ⎫=++⎪⎭，，该运算的意义为点()x y ，在矩阵a c ⎛⎝b d ⎫⎪⎭变换下成点()ax cy bx dy ++，，设矩阵13A ⎛= ⎝2.1⎫⎪-⎭(1)已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q 的坐标为(3,1),试求点P 的坐标； (2)是否存在这样的直线:它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上?若存在,试求出所有这样的直线；若不存在,则说明理由。