苏教版高中数学必修一对数函数对数教案(1)(1)

苏教版高中数学必修一《对数》教学设计教材：【教学目标】l.知识与技能:（1）理解对数的概念和意义；（2）能熟练地进行指数式与对数式的互化,理解两个对数恒等式；（3）了解常用对数与自然对数以及这两种对数的记法。

2. 过程与方法:(1) 通过探究使学生感受化归的数学思想；(2) 通过探究、思考、反思、完善，培养学生理性思维能力。

3. 情感、态度与价值观:（1）通过学习使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣；（2）通过阅读对数发展史，增强学生的数学素养。

【教学重、难点】（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的互化。

【教学方法与手段】情境导学、启发引导、质疑讨论、迁移创新。

【教学过程】一、做好伏笔，温故知新：1.在指数式N a b =中，a 称为 ，b 称为 ，N 称为 ；2.若0>a 且1≠a ，则=0a ，=1a 。

二、问题情境，引出课题：求下列各式的x 值（1）273=x （2）2515=x （3）32=x 探析：1.3个问题的共性都是已知 和 的值，求 的值。

即指数式N a b =中，已知 和 的值，求 的值。

（这里0>a 且1≠a ）。

2.32=x 的解引发我们对=x ？的思考：①在R x ∈内，这样的方程有解吗？②既然有解，x 的值是多少呢？3.对数产生背景介绍。

4.介绍对数的文化意义。

三、概念理解，新知建构：1.对数的定义——一般地，如果a (0,1)a a >≠的b 次幂等于N ，即N a b =，那么就称b 是以a 为底 N 的对数（logarithm ），记作N b a log =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2.对数概念的理解：①利用对数形式表示32=x 中x 的值。

②将指数式932=化为对数式为29log 3=；将对数式212log 4=化为指数式 为2421=。

总结：由对数的定义可知，N a b =与N b a log =两个等式所表示的是a ，b ，N 这 三个量之间的同一关系，并且说明了指数式和对数式是可以互化的。

对数的概念【教学目标】1.使学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化。

2.培养学生应用数学的意识.【教学重点】对数的概念【教学难点】对数与指数的互化【教学过程】一.复习引入：某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,这种物质剩留的的质量是原来的84%,经过多少年这种物质的剩留量为原来的一半?二.新课讲解1. 定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 即 N a b =，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

N a b = b N a =log【注】（1） 在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数）；（2） 01log =a 1log =a a（3）对数恒等式： N a N a =log ；b a b a =log（4）常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。

为了简便,N 的常用对数log 10 N 简记作lg N例如：log 105简记作lg 5 log 103.5简记作lg3.5.（5）自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e ＝2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N 简记作ln N 。

例如：log e 3简记作ln3 log e 10简记作ln102. 例题例1 将下列指数式改写成对数式：（1）54＝625 （2）2-6＝164 （3）3a ＝27 (4) （13 ）m ＝5.73 解：（1）log 5625＝4；（2）log 2 164 ＝－6；（3）log 327＝a ；（4）log 315.73＝m例2 将下列对数式写成指数式：（1）log 2116＝－4；（2）log 2128＝－7；（3）lg0.01＝－2；（4）ln10＝2.303解：（1）（12 ）－4＝16；（2）27＝128；（3）10－2＝0.01；（4）e 2.303＝10例3 求下列各式的值：（1） 64log 2 ；271log 3（2） 27log 9； 81log 34解：设 =x 27log 9 则 ,27=x a 3233=x , ∴23=x （3） ()[]81log log log 346（4） ()()32log 32-+（5） 5log 23log 14242-+-+例4 求 x 的值：（1） 43log 3-=x （2） ()()1123log 2122=-+-x x x （3） ()[]0log log log 432=x （4） 872log =x （5） 416log =x解：（1）2713443==-x （2）2,00212123222-==⇒=+⇒-=-+x x x x x x x但必须：⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠->-0123112012222x x x x ∴0=x 舍去 2-=x（3） ()1log log 43=x , ∴3log 4=x , 6443==x（4） 787878878722)(2=∴==x x x （5） )(22164舍去或-=∴=x x【课堂小结】（1）定义 （2）互换 （3）求值大家要在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化，会计算一些特殊对数值。

高中数学 对数函数（一）教案 苏教版必修1教学目标：使学生理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质，培养学生数形结合的意识.学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互转化，了解对数函数在生产实际中的简单应用.教学重点：对数函数的图象和性质.教学难点：对数函数与指数函数的关系.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的函数，这个函数可以用指数函数y ＝2x表示.现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x 就是要得到的细胞个数y 的函数.根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x ＝log 2y .如果用x 表示自变量，y 表示函数，这个函数就是y ＝log 2x . 这一节，我们来研究对数函数. Ⅱ.讲授新课 1.对数函数定义一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数y ＝log a x 叫做对数函数.［师］这里对数函数的解析式可以由指数函数求得，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.即对数函数的定义域是（0，+∞)，值域是R .［师］画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系：（1）y ＝2x ，y ＝log 2x ； （2）y ＝（12）x，y ＝log 21x它们的图象关于直线y ＝x 对称.所以y ＝log a x 的图象与y ＝a x 的图象关于直线y ＝x 对称.因此，我们只要画出和y ＝a x的图象关于y ＝x 对称的曲线，就可以得到y ＝log a x 的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质.图 象32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801132.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567811性 质定义域：（0，+∞） 值域：R过点（1，0），即当x ＝1时，y ＝0 x ∈（0，1）时y ＜0 x ∈（1，＋∞）时y ＞0 x ∈（0，1）时y ＞0 x ∈（1，＋∞）时y ＜0在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数［师］接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用.3.例题讲解［例1］求下列函数的定义域（1）y ＝log a x 2 (2)y ＝log a (4－x ) (3)y ＝log a (9－x 2) 分析：此题主要利用对数y ＝log a x 的定义域（0，+∞）求解解：（1）由x 2＞0，得x ≠0 所以函数y ＝log a x 2的定义域是{x |x ≠0} (2)由4－x ＞0，得x ＜4 所以函数y =log a (4－x )的定义域是{x |x ＜4}(3)由9－x 2＞0得－3＜x ＜3 所以函数y =log a (9－x 2)的定义域是{x |－3＜x ＜3} 评述：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式. ［师］为使大家进一步熟悉对数函数的图象和性质，我们来做练习. Ⅲ.课堂练习 课本P 69练习1.画出函数y ＝log 3x 及y ＝x 31log 的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.相同性质：两图象都位于y 轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x ＝1，y ＝0.不同性质：y ＝log 3x 的图象是上升的曲线，y ＝x 31log 的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数.2.求下列函数的定义域：（1）y ＝log 5(1－x ) （2）y ＝1log 2x（3）y ＝log 711－3x（4）y ＝log 3x解：（1）由1－x ＞0得x ＜1 ∴所求函数定义域为{x |x ＜1}(2）由log 2x ≠0，得x ≠1，又x ＞0 ∴所求函数定义域为{x |x ＞0且x ≠1}(3)由⎩⎪⎨⎪⎧11－3x ＞01－3x ≠0 ，得x ＜13 ∴所求函数定义域为{x |x ＜13}(4)由⎩⎨⎧x ＞0log 3x ≥0 ，得⎩⎨⎧x ＞0x ≥1∴x ≥1∴所求函数定义域为{x |x ≥1} 要求：学生板演练习，老师讲评. Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家应逐步掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题. Ⅴ.课后作业（一）课本P 70习题1，2（二）1.预习内容：P 67例2、例3 2.预习提纲：（1）同底数的两对数如何比较大小？ （2）不同底数的两对数如何比较大小？对数函数（二）教学目标：使学生掌握对数函数的单调性，掌握比较同底与不同底对数大小的方法，培养学生数学应用意识；用联系的观点分析、解决问题，认识事物之间的相互转化.教学重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.教学难点：不同底数的对数比较大小.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即： 当a ＞1时，y ＝log a x 在（0,+∞）上是增函数； 当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上是减函数. 这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用. Ⅱ.讲授新课［例1］比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 28.5 (3)log 0.31.8，log 0.32.7 (3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0，a ≠1) 分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小. 解：（1）考查对数函数y ＝log 2x ，因为它的底数2＞1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log 23.4＜log 28.5(2)考查对数函数y ＝log 0.3x ，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是log 0.31.8＞log 0.32.7［师］通过（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：（1）确定所要考查的对数函数；（2）根据对数底数判断对数函数增减性；（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.解：（3）当a ＞1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上是增函数，于是log a 5.1＜log a 5.9当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上是减函数，于是log a 5.1＞log a 5.9评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握.［例2］比较下列各组中两个值的大小： （1）log 67，log 76 (2)log 3π，log 20.8分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数值的大小.解：（1）∵log 67＞log 66＝1，log 76＜log 77＝1，∴log 67＞log 76 （2）∵log 3π＞log 31＝0，log 20.8＜log 21＝0，∴log 3π＞log 20.8评述：例2仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例2（2）题也可与1比较. ［例3］求下列函数的定义域、值域：⑴ y ＝212--x －14⑵ y ＝log 2（x 2＋2x ＋5） ⑶ y ＝log 31（－x 2＋4x ＋5） ⑷ y ＝log a （－x 2－x ） （0＜a ＜1）解：⑴要使函数有意义，则须： 212--x －14≥0 即：－x 2－1≥－2 得－1≤x ≤1 ∵－1≤x ≤1 ∴－1≤－x 2≤0 从而 －2≤－x 2－1≤－1 ∴14 ≤212--x ≤12 ∴0≤212--x －14 ≤14 ∴0≤y ≤12∴定义域为[－1，1]，值域为[0，12]⑵∵x 2＋2x ＋5＝（x ＋1）2＋4≥4对一切实数都恒成立 ∴函数定义域为R从而log 2（x 2＋2x ＋5）≥log 24＝2 即函数值域为[2，＋∞）⑶要使函数有意义，则须： －x 2＋4x ＋5＞0得x 2－4x －5＜0解得－1＜x ＜5由－1＜x ＜5 ∴在此区间内 （－x 2＋4x ＋5）max ＝9∴ 0≤－x 2＋4x ＋5≤9从而 log 31（－x 2＋4x ＋5）≥log 319＝－2 即：值域为 y ≥－2∴定义域为[－1，5]，值域为[－2，＋∞）⑷要使函数有意义，则须：⎩⎨⎧≥-->--)2(0)(log )1(022x x x x a由①：－1＜x ＜0由②：∵0＜a ＜1时 则须 －x 2－x ≤1，x ∈R 综合①②得 －1＜x ＜0当－1＜x ＜0时 （－x 2－x ）max ＝14 ∴0＜－x 2－x ≤14∴log a （－x 2－x ）≥log a 14∴ y ≥log a 14∴定义域为(－1，0)，值域为[log a 14，＋∞）Ⅲ.课堂练习课本P 69练习3补充：比较下列各题中的两个值的大小（1）log 20.7，log 310.8 （2）log 0.30.7， log 0.40.3（3）log 3.40.7，log 0.60.8，（13）21- （4）log 0.30.1， log 0.20.1解：（1）考查函数y ＝log 2x∵2＞1， ∴函数y ＝log 2x 在（0，+∞）上是增函数 又0.7＜1， ∴log 20.7＜log 21＝0 再考查函数y ＝log 31x∵0＜13＜1 ∴函数y ＝log 31x 在（0，+∞）上是减函数又1＞0.8， ∴log 310.8＞log 311＝0∴log 20.7＜0＜log 310.8 ∴log 20.7＜log 310.8（2）log 0.30.7＜log 0.40.3（3）log 3.40.7＜log 0.60.8＜（13）21-（4）log 0.30.1＞log 0.20.1 要求：学生板演，老师讲评 Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的思想方法. Ⅴ.课后作业课本P 70习题 3对数函数（三）教学目标：使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.教学重点：函数单调性、奇偶性证明通法.教学难点：对数运算性质、对数函数性质的应用.教学过程：Ⅰ.复习回顾［师］上一节课后，我要求大家预习函数单调性，奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾.1.判断及证明函数单调性的基本步骤： 假设——作差——变形——判断说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.2.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：①考查函数定义域是否关于原点对称；②比较f (－x )与f (x )或者－f (x )的关系；③根据函数奇偶性定义得出结论.说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意. ［师］接下来，我们一起来看例题 Ⅱ.讲授新课［例1］判断下列函数的奇偶性：（1）f (x )＝lg 1－x 1＋x(2)f (x )＝ln(1+x 2－x )分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行. 解：（1）由1－x1＋x＞0可得－1＜x ＜1所以函数的定义域为：（－1，1）关于原点对称又f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg （1－x 1＋x ）－1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )即f (－x )＝－f (x )所以函数f (x )＝lg 1－x1＋x是奇函数评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质，说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.解：（2）由1+x 2－x ＞0可得x ∈R 所以函数的定义域为R 关于原点对称又f (－x )＝ln(1+x 2＋x )＝ln (1+x 2+x ) (1+x 2－x )1+x 2－x＝ln11+x 2－x＝－ln(1+x 2－x )＝－f (x )即f (－x )＝－f (x )所以函数f (x )＝ln(1+x 2－x )是奇函数评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握.[例2]（1）证明函数f (x )＝log 2(x 2＋1)在（0，+∞）上是增函数（2）问：函数f (x )＝log 2(x 2＋1)在（－∞，0）上是减函数还是增函数？ 分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.（1）证明：设x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1＜x 2则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(x 12+1)－log 2(x 22+1)∵0＜x 1＜x 2 ∴x 12+1＜x 22+1 又∵y ＝log 2x 在（0，+∞）上是增函数.∴log 2(x 12+1）＜log 2(x 22+1) 即f (x 1)＜f (x 2)∴函数f (x )＝log 2(x 2+1)在（0，+∞）上是增函数. （2）是减函数，证明可以仿照上述证明过程.评述：此题可引导学生总结函数f (x )＝log 2(x 2+1)的增减性与函数y ＝x 2+1的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论.[例3]求函数y ＝log 21（x 2－2x －3）的单调区间.解：定义域x 2－2x －3＞0 解得x ＞3或x ＜－1 单调减区间是（3，＋∞）[例4] 已知y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1 ∴函数t ＝2－ax 是减函数由y ＝log a (2－ax )在[0，1]上x 的减函数，知y ＝log a t 是增函数，∴a ＞1 由x ＝1时，2－ax ＝2－a ＞0，得a ＜2∴1＜a ＜2Ⅲ.课堂练习（1）证明函数y ＝log 21 (x 2+1)在（0，+∞）上是减函数；（2）判断函数y ＝log 21 (x 2+1)在（－∞,0）上的增减性.证明：（1）设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 21 (x 12+1)－log 21 (x 22+1)＝log 21x 12＋1x 22＋1∵0＜x 1＜x 2，∴0＜x 12＜x 22， ∴x 12＋1x 22＋1 ＜x 12＋1x 12＋1而log 21x 是减函数 ∴log 21x 12＋1x 22＋1 ＞log 21x 12＋1x 12＋1＝log 211＝0∴f (x 1)－f (x 2)＞0 即f (x 1)＞f (x 2) ∴函数y ＝ log 21 (x 2+1)在（0，+∞）上是减函数（2）设x 1＜x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＝ log 21 (x 12+1)－log 21 (x 22+1)∵x 1＜x 2＜0，∴x 12＞x 22＞0而函数y ＝ log 21x 在（0，+∞）上是减函数.∴log 21 (x 12+1）＜log 21 (x 22+1) 即f (x 1)＜f (x 2)∴y ＝ log 21 (x 2+1)在（－∞，0）上是增函数.Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性，奇偶性的通法，提高数学应用的能力. Ⅴ.课后作业（一）课本P 70 4，5，8 （二）补充1.求y ＝log 0.3(x 2－2x )的单调递减区间.解：先求定义域：由x 2－2x ＞0,得x (x －2)＞0∴x ＜0或x ＞2 ∵函数y ＝log 0.3t 是减函数故所求单调减区间即t ＝x 2－2x 在定义域内的增区间.又t ＝x 2－2x 的对称轴为x ＝1 ∴所求单调递减区间为（2，+∞）2.求函数y ＝log 2(x 2－4x )的单调递增区间解：先求定义域：由x 2－4x ＞0得x (x －4)＞0∴x ＜0或x ＞4 又函数y ＝log 2t 是增函数故所求单调递增区间为t ＝x 2－4x 在定义域内的单调递增区间.∵t ＝x 2－4x 的对称轴为x ＝2 ∴所求单调递增区间为：（4，+∞）3. 已知y ＝log a (2－a x)在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.解：∵a＞0且a≠1 当a ＞1时，函数t ＝2－a x>0是减函数由y ＝log a (2－a x)在［0，1］上是x 的减函数，知y ＝log a t 是增函数，∴a＞1 由x ∈［0，1］时，2－a x≥2－a ＞0，得a ＜2, ∴1＜a ＜2当0<a <1时，函数t ＝2－a x>0是增函数由y ＝log a (2－a x)在［0，1］上x 的减函数，知y ＝log a t 是减函数，∴0<a<1 由x ∈［0，1］时，2－a x≥2－1＞0， ∴0<a<1 综上述，0<a<1或1＜a ＜2。

2.3.2 对数函数（2）教学目标：1．掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题．2．运用对数函数的图形和性质．3．培养学生数形结合的思想，以及分析推理的能力．教学重点：对数函数性质的应用．教学难点：对数函数图象的变换．教学过程：一、问题情境1．复习对数函数的定义及性质．2．问题：如何解决与对数函数的定义、图象和性质有关的问题？二、学生活动1．画出3log (2)y x =+、3log 2y x =+等函数的图象，并与对数函数3log y x =的图象进行对比，总结出图像变换的一般规律．2．探求函数图象对称变换的规律．三、建构数学1．函数log ()a y x b c =++（0,1a a >≠）的图象是由函数log a y x =的图象得到；2．函数|log |a y x =的图象与函数log a y x =的图象关系是 ；3．函数log ||a y x =的图象与函数log a y x =的图象关系是 ．四、数学运用例1 如图所示曲线是对数函数y ＝log a x 的图像，已知a 值取0.2，0.5，1.5，e ，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次为 ． 1C 2C 3C 4C 1 0 xy例2 分别作出下列函数的图象，并与函数y＝log3x的图像进行比较，找出它们之间的关系（1）y＝log3(x－2)；（2）y＝log3(x＋2)；（3）y＝log3x－2；（4）y＝log3x＋2．练习：1．将函数y＝log a x的图像沿x轴向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到函数图像的解析式为．2．对任意的实数a(a＞0，a≠1)，函数y＝log a(x－1)＋2的图像所过的定点坐标为．3．由函数y＝log3(x＋2)，y ＝log3x的图象与直线y=－1，y＝1所围成的封闭图形的面积是．例3 分别作出下列函数的图象，并与函数y＝log2x的图像进行比较，找出它们之间的关系（1）y＝log2|x|；（2）y＝|log2x|；（3）y＝log2(－x)；（4）y＝－log2x．练习结合函数y＝log2|x|的图象，完成下列各题：（1）函数y＝log2|x|的奇偶性为；（2）函数y＝log2|x|的单调增区间为，减区间为．（3）函数y＝log2(x－2)2的单调增区间为，减区间为．（4）函数y＝|log2x－1|的单调增区间为，减区间为．五、要点归纳与方法小结（1）函数图象的变换（平移变换和对称变换）的规律；（2）能画出较复杂函数的图象，根据图象研究函数的性质(数形结合)．六、作业1．课本P70－6，8，9．2．课后探究：试说出函数y＝log212x的图象与函数y＝log2x图象的关系．。