2015年高考数学创新设计精品试题专题训练1-1-2

之8.解析几何（含精析）一、选择题。

1．如图，已知椭圆221:111x C y +=，双曲线22222:1y x C a b-=(a ＞0，b ＞0)，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A ，B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ）A 、5B 、17C 、5D 、21472．如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A.324 B.233 C.305D.523．已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．224．方程02=+ny mx 与)0(122>>=+n m ny mx 的曲线在同一坐标系中的示意图可能是（ ）二、填空题。

5．圆锥曲线中不同曲线的性质都是有一定联系的，比如圆可以看成特殊的椭圆，所以很多圆的性质结论可以类比到椭圆，例如；如图所示,椭圆C:()222210x y a b a b+=>>可以被认为由圆222x y a +=作纵向压缩变换或由圆222x y b +=作横向拉伸变换得到的。

依据上述论述我们可以推出椭圆C 的面积公式为 .xyb-baO -a6.若P 0(x 0，y 0)在椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是0022xx yy a b+＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线2222x y a b-＝1(a ＞0，b ＞0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是 .7．我们把离心率215+=e 的双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 称为黄金双曲线．如图是双曲线()222222,0,01b a c b a by a x +=>>=-的图象，给出以下几个说法： ①双曲线115222=+-y x 是黄金双曲线；②若ac b =2，则该双曲线是黄金双曲线；③若21,F F 为左右焦点，21,A A 为左右顶点，1B （0，b ），2B （0，﹣b ）且021190=∠A B F ，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN ⊥，090=∠MON ，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为 ．8．若存在实常数k 和b ，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x 分别满足：f(x)≥kx ＋b 和g(x)≤kx＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)＝x 2，φ(x)＝2eln x(其中e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h(x)与φ(x)间的隔离直线方程为 .9．设,A B 分别为椭圆Γ:22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点,F 为右焦点,l 为Γ在点B 处的切线,P 为Γ上异于,A B 的一点,直线AP 交l 于D ,M 为BD 中点,有如下结论:①FM 平分PFB ∠;②PM 与椭圆Γ相切;③PM 平分FPD ∠;④使得PM =BM 的点P 不存在.其中正确结论的序号是_____________.10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A B 、为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为圆；③设θ是ABC ∆的一内角，且7sin cos 13θθ+=，则22sin cos 1x y θθ-=表示焦点在x 轴上的双曲线；④已知两定点12(1,0),(1,0)F F -和一动点P ，若212||||(0)PF PF a a ⋅=≠，则点P 的轨迹关于原点对称.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）.三、解答题。

【创新设计】（人教通用）2015高考数学二轮复习 专题整合限时练1理（含最新原创题，含解析）(建议用时：40分钟) 一、选择题1．若A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则A ∩B 中元素个数为 ( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 因为A ＝{x |2＜2x＜16，x ∈Z }＝{x |1＜x ＜4，x ∈Z }＝{2,3}，B ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，所以A ∩B ＝{2}． 答案 B2．若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( )．A.12＋i B ． 5 C.52D ．54解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b ＝－1，|a ＋b i|＝|－12－i|＝52. 答案 C3．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，则在选出的宣传者中男、女都有的概率为( )． A.815B ．12 C.25D ．415解析 从4名男生和2名女生中选出2人担任H 7N 9禽流感防御宣传工作，总的方法数为C 04C 22＋C 14C 12＋C 24C 02＝15，其中选出的宣传者中男、女都有的方法数为C 14C 12＝8，所以，所求概率为815.答案 A4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( )．A ．21B ．24C ．28D ．7解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝12， ∴a 4＝4， ∴S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4＝28.答案 C5．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 由(a －b )·a 2＜0得，a ≠0且a ＜b ；反之，由a ＜b ，不能推出(a －b )·a 2＜0，即“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的充分非必要条件． 答案 A6．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )．A.12 B ．32C ．1D ． 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线为x ±33y ＝0，所以抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是|1±33×0|1＋332＝32. 答案 B7.已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )．A ．192B ．32C ．96D ．－192解析 由程序框图可知，a 计算的结果依次为2，－1，12，2，…，成周期性变化，周期为3；当i ＝2 011时运行结束，2 011＝3×670＋1，所以a ＝2.所以，⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6，T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 6·26－r x 3－r， 令3－r ＝2，得r ＝1，所以，含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192. 答案 D8．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 由图象可知A ＝1，且14T ＝14×2πω＝7π12－π3＝π4，∴ω＝2，f (x )＝sin (2x ＋φ)． 把⎝⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入得：－1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ，又∵|φ|＜π2，∴7π6＋φ＝3π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin (2x ＋π3)．答案 A9．已知O 是坐标原点，点A (－2,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则O A →·O M →的取值X 围是( )． A ．[－1,0]B ．[－1,2]C ．[0,1]D ．[0,2]解析 ∵A (－2,1)，M (x ，y )，∴z ＝O A →·O M →＝－2x ＋y ，作出不等式组对应的平面区域及直线－2x ＋y ＝0，如图所示．平移直线－2x ＋y ＝0，由图象可知当直线经过点N (1,1)时，z min ＝－2＋1＝ －1；经过点M (0,2)时，z max ＝2. 答案 B10．如图F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )．A.13 B ．23 C.15D ．25解析 由题意知，|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，∵|F 1A |－|F 2A |＝2，∴|F 2A |＝2，∴|F 1A |＋|F 2A |＝6，∵|F 1F 2|＝4，∴C 2的离心率是46＝23. 答案 B11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为( )．A.323 B ．403C.163D ．40解析 观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为4，由图中数据得该几何体的体积为13×4＋12×4×4＝403.答案 B12．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n n ＝2×a n n＋1(其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝( )． A ．－3 B ．－2 C ．3D ．2解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∵f (32－x )＝f (x )，∴f (32－x )＝－f (－x )，∴f (3＋x )＝f (x )，∴f (x )是以3为周期的周期函数． ∵S n n ＝2×a n n＋1，∴S n ＝2a n ＋n ，S n －1＝2a n －1＋(n －1)(n ≥2)． 两式相减并整理得出a n ＝2a n －1－1， 即a n －1＝2(a n －1－1)，∴数列{a n －1}是以2为公比的等比数列，首项为a 1－1＝－2，∴a n －1＝－2·2n －1＝－2n ，a n ＝－2n＋1，∴a 5＝－31，a 6＝－63.∴f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (2)＋f (0)＝f (2)＝－f (－2)＝3. 答案 C 二、填空题13．已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x,2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq |的最小值为__________．解析 ∵p ·q ＝2x －2＝0，∴x ＝1， ∴p ＋λq ＝(2＋λ，2λ－1)， ∴|p ＋λq |＝2＋λ2＋2λ－12＝5λ2＋5≥ 5.答案514．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 由sin B ＋cos B ＝2得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，而B ∈(0，π)，所以B ＝π4.由正弦定理得，sin A ＝a sin B b ＝12，又A ＋B ＋C ＝π，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴A ＝π6.答案π615．若曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________. 解析 由y ＝x ，得y ′＝－12x，所以，曲线y ＝x在点(m ，m)处的切线方程为y －m＝－12m(x －m )，由已知，得12×32m×3m ＝18(m ＞0)，m ＝64.答案 6416．已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2bab的最小值为________．解析 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以 3a ＋2b ab ＝3b ＋2a ＝(3b ＋2a )(2a ＋b )＝6a b ＋2b a＋7≥26a b ·2ba＋7＝7＋43(当且仅当a ＝2－3，b ＝23－3时等号成立)． 答案 7＋4 3。

创新问题专项训练(二)一、选择题 1．用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C A －C B ，C A C B ，C B －C A ，C AC B ，若A ＝{x |x 2－ax －1＝0，a ∈R }，B ＝{x ||x 2＋bx ＋1|＝1，b ∈R }，设S ＝{b |A *B ＝1}，则C (S )等于( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知集合A ＝{(x ，y )||x －2|＋|y －3|≤1}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ≤0，D 2＋E 2－4F >0}，若集合A ，B 恒满足“A ⊆B ”，则集合B 中的点所形成的几何图形面积的最小值是( )A.22πB ．πC.12πD.2π3．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋ … ＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，π2)上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x ·e x5．定义：若函数f (x )的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于f (x )的同值变换的是( )A ．f (x )＝(x －1)2，T 将函数f (x )的图像关于y 轴对称 B ．f (x )＝2x －1－1，T 将函数f (x )的图像关于x 轴对称C ．f (x )＝2x ＋3，T 将函数f (x )的图像关于点(－1,1)对称D ．f (x )＝sin(x ＋π3)，T 将函数f (x )的图像关于点(－1，0)对称二、填空题6．对于非空实数集A ，记A *＝{y |任意x ∈A ，y ≥x }．设非空实数集合M ，P ，满足M ⊆P .给出以下结论：①P *⊆M *；②M *∩P ≠∅；③M ∩P *＝∅.其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．7．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]等于________．8．某同学为研究函数f (x )＝1＋x 2＋1＋－x2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP ＝x ，则AP ＋PF ＝f (x )．请你参考这些信息，推知函数f (x )的极值点是______；函数f (x )的值域是________．9.(1)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝(22)x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．(2)若存在实常数k 和b ，使得函数f (x )和g (x )对其定义域上的任意实数x 分别满足：f (x )≥kx ＋b 和g (x )≤kx ＋b ，则称直线l ：y ＝kx ＋b 为f (x )和g (x )的“隔离直线”．已知h (x )＝x 2，φ(x )＝2eln x (其中e 为自然对数的底数)，根据你的数学知识，推断h (x )与φ(x )间的隔离直线方程为________．三、解答题10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 和g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)． (1)证明：当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数； (2)在同一函数图像上取任意两个不同的点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点C (x 0，y 0)，记直线AB 的斜率为k ，若f (x )满足k ＝f ′(x 0)，则称其为“K 函数”．判断函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)是否为“K 函数”？并证明你的结论．11．如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O 1的半径为2r (r 为常数)，小飞轮O 2的半径为r ，O 1O 2＝4r .在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足∠BO 1A＝π3，在小飞轮的边缘上有点C .设大飞轮逆时针旋转，传动开始时，点B ，C 在水平直线O 1O 2上．(1)求点A 到达最高点时A ，C 间的距离； (2)求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值．答 案1．选B 显然集合A 的元素个数为2，根据A *B ＝1可知，集合B 的元素个数为1或3，即方程|x 2＋bx ＋1|＝1有1个根或有3个根．结合函数y ＝|x 2＋bx ＋1|的图象可得，b ＝0或4－b 24＝－1，即b ＝0或b ＝±2 2.2．选B 集合A 可以看作是由区域{(x ，y )||x |＋|y |≤1}向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度得到的，这是一个边长为2的正方形区域，集合B 是一个圆形区域，如果A ⊆B 且集合B 中的点形成的几何图形的面积最小，则圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是|x －2|＋|y －3|＝1所表示正方形的外接圆，其面积是π×12＝π.3．选B 由于线性回归方程恒过样本点的中心(x ，y )，则由“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”一定能推出“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”，反之不一定成立．4．选D 由凸函数的定义可得该题即判断f (x )的二阶导函数f ″(x )的正负．对于A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )<0；对于D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝2e x ＋x e x，在x ∈(0，π2)上，恒有f ″(x )>0.5．选B 选项B 中，f (x )＝2x －1－1的值域为(－1，＋∞)，将函数f (x )的图象关于x轴对称变换后所得函数的值域为(－∞，1)，值域改变，不属于同值变换．经验证，其他选项正确．6．解析：对于①，由M ⊆P 得知，集合M 中的最大元素m 必不超过集合P 中的最大元素p ，依题意有P *＝{y |y ≥p }，M *＝{y |y ≥m }，又m ≤p ，因此有P *⊆M *，①正确；对于②，取M ＝P ＝{y |y <1}，依题意得M *＝{y |y ≥1}，此时M *∩P ＝∅，因此②不正确；对于③，取M ＝{0，－1,1}，P ＝{y |y ≤1}，此时P *＝{y |y ≥1}，M ∩P *＝{1}≠∅，因此③不正确．综上所述，其中正确的结论是①.答案：①7．解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln 2－1<0，f (e)＝ln e －2e >0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.答案：28．解析：显然当点P 为线段BC 的中点时，A ，P ，F 三点共线，此时AP ＝PF ，且函数f (x )取得最小值5，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝12；当x ∈[0，12]时，函数f (x )单调递减，且值域为[5，2＋1]；当x ∈[12，1]时，函数f (x )单调递增，且值域为[5，2＋1]，∴函数f (x )的值域为[5，2＋1]．答案：x ＝12[5，2＋1]9．解析：(1)由A 点的纵坐标为2，得点A 的横坐标是⎝⎛⎭⎪⎫222＝12，由矩形的边平行于坐标轴，得B 点的纵坐标是2，从而横坐标是22＝4，所以C 点的横坐标是4，纵坐标是(22)4＝14，所以点D 的横坐标等于A 点的横坐标12，点D 的纵坐标等于C 点的纵坐标14，即D 点的坐标是(12，14)．(2)容易观察到h (x )和φ(x )有公共点(e ，e)，又(x －e)2≥0，即x 2≥2e x －e ，所以猜想h (x )和φ(x )间的隔离直线为y ＝2e x －e ，下面只需证明2eln x ≤2e x －e 恒成立即可，构造函数λ(x )＝2eln x －2e x ＋e.由于λ′(x )＝2e e －xx(x >0)，即函数λ(x )在区间(0，e)上递增，在(e ，＋∞)上递减，故λ(x )≤λ(e)＝0，即2eln x －2e x ＋e≤0，得2eln x ≤2e x －e.故猜想成立，所以两函数间的隔离直线方程为y ＝2e x －e.答案：(1)(12，14)(2)y ＝2e x －e10．解：(1)假设g (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，则有g ′(x )＝2ax ＋b ＋c x ＝2ax 2＋bx ＋cx>0对于一切x >0恒成立，从而必有2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立．又a <0，由二次函数的图象可知：2ax 2＋bx ＋c >0对于一切x >0恒成立是不可能的． 因此当a <0时，无论b 为何值，函数g (x )在定义域内不可能总为增函数．(2)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”，g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”．证明如下：对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，k ＝f x 1－f x 2x 1－x 2＝a x 22－x 21＋b x 2－x 1x 2－x 1＝a (x 2＋x 1)＋b ＝2ax 0＋b .又f ′(x 0)＝2ax 0＋b ，故k ＝f ′(x 0)． 故函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是“K 函数”．对于函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)(x >0)， 不妨设x 2>x 1>0，则k ＝g x 1－g x 2x 1－x 2＝a x 21－x 22＋b x 1－x 2＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋c lnx 1x 2x 1－x 2.又g ′(x 0)＝2ax 0＋b ＋c x 0，若g (x )为“K 函数”，则必满足k ＝g ′(x 0)，即有2ax 0＋b ＋c ln x 1x 2x 1－x 2＝2ax 0＋b ＋cx 0，也即c ln x 1x 2x 1－x 2＝2c x 1＋x 2(c ≠0)，所以lnx 1x 2x 1－x 2＝2x 1＋x 2.设t ＝x 1x 2，则0<t <1，ln t ＝t －1＋t.①设s (t )＝ln t －t －1＋t，则s ′(t )＝t －2t＋t2>0，所以s (t )在t ∈(0,1)上为增函数，s (t )<s (1)＝0，故ln t ≠t －1＋t.②①与②矛盾，因此，函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c ·ln x (abc ≠0)不是“K 函数”． 11．解：(1)以O1为坐标系的原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．当点A 到达最高点时，点A 绕O 1转过π6，则点C 绕O 2转过π3.此时A (0,2r )，C (92r ，32r )．∴AC ＝－92r 2＋r －32r 2＝25－23·r .(2)由题意，设大飞轮转过的角度为θ， 则小飞轮转过的角度为2θ，其中θ∈[0,2π]．此时B (2r cos θ，2r sin θ)，C (4r ＋r cos 2θ，r sin 2θ)． 记点B ，C 的高度差为d ，则d ＝|2r sin θ－r sin 2θ|， 即d ＝2r |sin θ－sin θcos θ|.设f (θ)＝sin θ－sin θcos θ，θ∈[0,2π]， 则f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)．令f ′(θ)＝(1－cos θ)(2cos θ＋1)＝0，得cos θ＝－12或1，则θ＝2π3，4π3，0或2π.f (θ)和f ′(θ)随θ的变化情况如下表：综上所述，点B ，C 在传动过程中高度差的最大值d max ＝332r .。

第2讲 数列的综合问题一、选择题1．(2014·杭州质量检测)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析 ∵a 4＜0，a 5＞|a 4|， ∴a 4＋a 5＞0， ∴S 8＝a 4＋a 52＝a 1＋a 82＞0.∴最小正整数为8. 答案 C2．(2014·广州综合测试)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin n ＋π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2014＝( )．A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009解析 由a n ＋1－a n ＝sinn ＋π2⇒a n ＋1＝a n ＋sinn ＋π2，所以a 2＝a 1＋sin π＝1＋0＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝1＋(－1)＝0，a 4＝a 3＋sin 2π＝0＋0＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝0＋1＝1，∴a 5＝a 1，如此继续可得a n ＋4＝a n (n ∈N *)，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 014＝4×503＋2，因此S 2 014＝503×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 1＋a 2＝503×(1＋1＋0＋0)＋1＋1＝1 008. 答案 C3．(2014·吉林省实验中学模拟)a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为 ( )．A ．－3B ．－4C ．3D ．4解析 a n ＝⎠⎛0n (2x ＋1)d x ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，所以1a n＝1n －1n ＋1，所以S n ＝n n ＋1，所以b n S n ＝n n －n ＋1＝n ＋1＋9n ＋1－10≥－4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立，所以b n S n 的最小值为－4. 答案 B4．已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )．A.32 B ．53 C.256D ．43解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫24mn ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，m ＋n ＝6，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.答案 A 二、填空题5．(2013·辽宁卷)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q ＞1， ∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2， 因此S 6＝－261－2＝63.答案 636．(2014·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1，所以q ＞1.∵a 2a 1＝q ，∴a 1(q －1)＝1，a 1＝1q －1， ∴a 3＝q 2q －1＝q －2＋q －＋1q －1＝q －1＋1q －1＋2≥2q －1q －1＋2＝4， 当且仅当q ＝2时取得等号，故可知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.答案 2n －17．(2014·咸阳一模)已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0.解析 因为函数f (x )＝x ＋sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n }有19项，a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则必有f (a 10)＝0，所以k ＝10. 答案 108．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧S10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －2d ＝n 33－10n 23，由于函数f (x )＝x 33－10x 23(x ＞0)在x ＝203处取得极小值也是最小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49. 答案 －49 三、解答题9．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3＝4，{a n }的前3项和为7.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －3)2n＋3，设数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－1n.(1)解 设数列{a n }的公比为q ，由已知得q >0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1＋a 1q ＋4＝7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)证明 当n ＝1时，a 1b 1＝1，且a 1＝1，解得b 1＝1. 当n ≥2时，a n b n ＝(2n －3)2n＋3－(2n －2－3)2n －1－3＝(2n －1)·2n －1.∵a n ＝2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝2n －1.∵b 1＝1＝2×1－1满足b n ＝2n －1， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．∴S n ＝n 2.∴当n ＝1时，1S 1＝1＝2－11.当n ≥2时，1S n ＝1n 2<1nn －＝1n －1－1n. ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－11＋11－12＋…＋1n －1－1n ＝2－1n. 10．(2014·四川卷)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n， 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n.所以，T n ＝2n ＋1－n －22n. 11．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线2x ＋y －2＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，可得2a n ＋1＋S n －2＝0.① 当n ≥2时，2a n ＋S n －1－2＝0.② ①－②，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2)． 因为a 1＝1,2a 2＋a 1＝2，所以a 2＝12.所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，S n ＝1－12n1－12＝2－12.若⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λn ＋λ2n 为等差数列，则S 1＋λ＋λ2，S 2＋2λ＋λ22，S 3＋3λ＋λ23成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫S 2＋9λ4＝S 1＋3λ2＋S 3＋25λ8，即2⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋9λ4＝1＋3λ2＋74＋25λ8，解得λ＝2. 又λ＝2时，S n ＋2n ＋22n ＝2n ＋2，显然{2n ＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2， 使得数列{S n ＋λn ＋λ2n }成等差数列．。

合测评 试卷分拆练常考填空题——基础夯实练(一) (对应学生用书P403)(建议用时：40分钟)1．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________． 解析 ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎨⎧a 2＝16，a ＝4，∴a ＝4. 答案 42．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面上对应的点位于第________象限．解析 z 1·z 2＝3－i ，对应的点为(3，－1)． 答案 四3．已知向量|a |＝10，|b |＝12，且a ·b ＝－60，则向量a 与b 的夹角为________． 解析 由a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－60⇒cos θ＝－12，由于θ∈[0，π]故θ＝120°. 答案 120°4．已知直线l 经过坐标原点，且与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，切点在第四象限，则直线l 的方程为________．解析 如图所示，可知AC ＝1，CO ＝2，AO ＝3， ∴tan ∠AOC ＝33，所以切线方程为y ＝－33x . 答案 y ＝－33x5．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________(用区间表示)．解析 据题意知x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，故有4－4a ＜0，解得a ＞1. 答案 (1，＋∞) 6.如果执行右图的流程图，若输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 等于________． 解析 p 1＝3，p 2＝12，p 3＝60，p 4＝360，此时m ＝k ，结束，所以输出结果为360. 答案 3607．在等比数列{a n }中，a 5·a 11＝3，a 3＋a 13＝4，则a 15a 5等于________．解析 ∵a 5·a 11＝a 3·a 13＝3，a 3＋a 13＝4，∴a 3＝1，a 13＝3或a 3＝3，a 13＝1，∴a 15a5＝a 13a 3＝3或13.答案 3或138．设实数x 和y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤10，x －y ≤2，x ≥4，则z ＝2x ＋3y 的最小值为________．解析 根据约束条件，可得三条直线的交点坐标为A (6,4)，B (4,6)，C (4,2)，将三个坐标分别代入目标函数，可得最小值为目标函数线过点C 时取得，即最小值为z min ＝2×4＋3×2＝14.答案 149．下列：①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－|x ＋1|；③f (x )＝ln2－x 2＋x；④f (x )＝12(2x ＋2－x )四个函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的函数是________． 解析 f (x )＝sin x 在区间[－1,1]上单调递增；f (x )＝－|x ＋1|不是奇函数；f (x )＝12(2x ＋2－x )不满足在区间[－1,1]上单调递增；对于f (x )＝ln 2－x 2＋x ，f (－x )＝ln 2＋x2－x＝－ln2－x 2＋x ＝－f (x )，故为奇函数，x ∈[－1,1]时，2－x 2＋x ＝－1＋42＋x，它在[－1,1]上单调递减，故f (x )＝ln 2－x2＋x在[－1,1]上单调递减． 答案 ③10．甲、乙两人各写一张贺年卡，随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是________．解析 (甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以P ＝24＝12. 答案 1211．设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞).若f (x )＞4，则x 的取值范围是________．解析 当x ＜1时，由2－x ＞4，得x ＜－2，当x ≥1时，由x 2＞4，得x ＞2，综上所述，解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)12．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈[－π6，α]．若f (x )的值域是[－12，1]，则a 的取值范围是________．解析 ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，α.∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，2a ＋π6.∵f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴π2≤2a ＋π6≤76π.则π6≤a ≤π2，即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π213．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则双曲线的离心率为________．解析 因为y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，所以a 2＋b 2＝4①，又因为|PF |＝5，所以点P (x ，y )到准线的距离也是5，即p2＋x ＝5，而p ＝4，∴x ＝3，所以P (3,26)，代入双曲线方程，得9a 2－24b 2＝1②，由①②得a 4－37a 2＋36＝0，解得a 2＝1或a 2＝36(舍去)，所以a ＝1，b ＝3，所以离心率e ＝ca ＝2. 答案 214．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋3)＝f (x ＋1)且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的图象的交点个数为________．解析 由f (x ＋3)＝f (x ＋1)⇒f (x ＋2)＝f (x )，可知函数的最小正周期为2，故f (1)＝f (3)＝f (5)＝f (7)＝1，函数f (x )＝x 2的值域为{y |0≤y ≤1}，当x ＝7时，函数y ＝log 7x 的值为y ＝log 77＝1，故可知在区间[0,7]之间，两函数图象有6个交点． 答案 6常考填空题——基础夯实练(二) (对应学生用书P404)(建议用时：40分钟)1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．解析 由⎩⎨⎧x 2－1＝0，x －1≠0，⇒x ＝－1.答案 －12．已知集合M ＝{x |－5＜x ＜2}，N ＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2}, 则M ∩N ＝________.答案 {－4，－3，－2，－1,0,1}3．某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x,10,8环的成绩，已知这组数据的平均值是9，则这组数据的方差是________．解析 根据平均数为9，得x ＝8，根据方差公式，得s 2＝14[(10－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(8－9)2]＝1. 答案 1 4.若如图所示的流程图输出的S 是62，则在判断框中①表示的“条件”应该是________．解析 ∵S ＝21＋22＋23＋24＋25＝62，所以判断框中①表示的“条件”应为n ≤5. 答案 n ≤55．若向量a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，c ＝(1,2)，且(a －b )⊥c ，则实数x 的值为________．解析 ∵(a －b )⊥c ，a ＝(2x －1，x ＋3)，b ＝(x,2x ＋1)，∴(a －b )·c ＝(x －1，－x ＋2)·(1,2)＝x －1－2x ＋4＝3－x ＝0，解得x ＝3. 答案 36．已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则 cos α的值为________．解析 已知α为锐角，∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 答案43＋3107．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是________． 解析 从“6听饮料中任取2听饮料”这一随机试验中所有可能出现的基本事件共有15个，而“抽到不合格饮料”含有9个基本事件，所以检测到不合格饮料的概率为P ＝915＝35. 答案 35 8.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为a ，∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，则其全面积为________．解析 如题图，过B 作BD ⊥AA 1于D ，连接CD ，则△BAD ≌△CAD ，所以∠ADB ＝∠ADC ＝90°，所以AD ⊥CD ，AD ⊥BD ， 所以△BCD 为垂直于侧棱AA 1的截面． 又因为∠BAD ＝60°，AB ＝a ，所以BD ＝32a .所以△BDC 的周长为(3＋1)a ，从而S 侧＝(3＋1)a 2，S 底＝12×a 2sin 60°＝34a 2.故S 全＝S 侧＋2S 底＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a 2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋1a 29．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 解析 因为2xy ＝x ·2y ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22， 所以，原式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0.又x ＞0，y ＞0，所以x ＋2y ≥4.当x ＝2，y ＝1时取等号． 答案 410．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 解析 由已知g ′(1)＝2，而f ′(x )＝g ′(x )＋2x ， 所以f ′(1)＝g ′(1)＋2×1＝4.答案 411．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：y 2＝8x 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则x 0的取值范围是________． 解析 由抛物线定义可得R ＝|MF |＝x 0＋p2＝x 0＋2，又抛物线准线x ＝－2与圆相交，故有2＋2＜R ＝x 0＋2，解得x 0＞2. 答案 (2，＋∞)12．在R 上定义运算：x y ＝x (1－y )，若∃x ∈R 使得(x －a x ＋a )＞1成立，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵∃x 使得(x －ax ＋a )＞1⇒(x －a )(1－x －a )＞1，即∃x 使得x 2－x －a 2＋a ＋1＜0成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＞0⇒4a 2－4a －3＞0，解得a ＞32或a ＜－12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞13．如果点P 在平面区域⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________． 解析根据题设条件，画出可行域，如图所示．由图可知不等式组确定的区域为阴影部分包括边界，点P 到Q 的距离最小为可行域上的点到圆心(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝(0＋1)2＋(－2－0)2－1 ＝5－1. 答案5－114．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝13；③S n ＝na n －n (n －1)2d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________．解析 对于①，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d是一个非零常数，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n 是等比数列，①正确．对于②，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 2＋a 12)2＝13，因此②正确．对于③，注意到S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n [a n －(n －1)d ]＋n (n －1)2d ＝na n －n (n －1)2d ，因此③正确．对于④，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，d >0时，S n 不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.答案 ①②③常考填空题——基础夯实练(三) (对应学生用书P405)(建议用时：40分钟)1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{0,1,2}，则A 与B 的关系为________． 答案 B A2．已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝________. 解析3＋i 1－i ＝(3＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋4i2＝1＋2i. 答案 1＋2i3．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________． 解析 化圆为标准形式(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a ＝0，∴a ＝1. 答案 14．设命题p ：存在两个相交平面垂直于同一条直线；命题q ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0，则(綈p )∧(綈q )________命题；(綈p )∧q ______命题．(填“真”或“假”)解析 对于命题p ，注意到垂直于同一条直线的两个平面相互平行，因此命题p 是假命题；对于命题q ，注意到x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，因此命题q 是真命题，则(綈p )∧(綈q )是假命题，(綈p )∧q 是真命题． 答案 假 真5．为了了解某地居民每户月均用电的基本情况，抽取出该地区若干户居民的用电数据，得到频率分布直方图如图所示，若月均用电量在区间[110,120)上共有150户，则月均用电量在区间[120,140)上的居民共有________户．解析 根据频率分布直方图，可知[110,120)的频率为10×0.03＝0.30，由题意，得样本容量为n ＝1500.3＝500，[120,140)的频率为10×(0.04＋0.02)＝0.60，故居民有0.60×500＝300(户)． 答案 3006．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是________．解析 S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋d ； ∴S 33－S 22＝(a 1＋d )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋d 2＝d 2，因此d ＝2.答案 27．从1,2,3,4,5中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为________． 解析 从1,2,3,4,5中随机抽取三个不同的数，有1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；2,3,4；2,3,5；3,4,5；2,4,5；1,4,5；共10种不同的取法，其中和为奇数的有1,2,4；1,3,5；2,3,4；2,4,5共4个，由此可得和为奇数的概率为P ＝410＝25.答案 25 8.某流程图如图所示，该程序运行后输出M ，N 的值分别为________(填“真”或“假”)．解析 依据流程图画出运行n 次后M ，N ，i 的值.3次运行后，i ＝4＞3，于是有M ＝13，N ＝21. 答案 13,21 9.已知高为3的直棱柱ABC -A ′B ′C 的底面是边长为1的正三角形(如右图所示)，则三棱锥B ′-ABC 的体积为________．解析 V B ′- ABC＝13×BB ′×S △ABC ＝13×3×34×12＝34. 答案 3410．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x ＋27y ＋1的最小值为________．解析 由x ＋3y －2＝0，得3y ＝－x ＋2， ∴3x ＋27y ＋1＝3x ＋33y ＋1＝3x ＋3－x ＋2＋1 ＝3x ＋93x ＋1≥23x ·93x ＋1＝7.当且仅当3x ＝93x ，即x ＝1时取得等号． 答案 711．在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE →·BD→＝________. 解析 AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12DC →·(BA →＋BC →)＝(AD →＋12DC →)·(AD →－DC →)＝AD →2－12DC →·AD→－12DC →2＝1－12×1×2cos 60°－12×4＝－32. 答案 －3212．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥0所表示的可行域如图所示，由图示可得，当平行直线系z ＝2x ＋y 过点A (1,0)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值z 最大值＝2＋0＝2. 答案 213．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线y ＝－3x 与椭圆C 交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．解析 记椭圆的左焦点为F 1，依题意得|OA |＝|OB |＝|OF |＝c ，四边形AFBF 1为矩形，△AF 1O 是正三角形，|AF 1|＝c ，|AF |＝3c ，椭圆C 的离心率为e ＝|FF 1||AF 1|＋|AF |＝2c c ＋3c ＝3－1. 答案3－114．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a xg (x )(a >0，且a ≠1)，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f (n )g (n )的前n 项和大于62，则n 的最小值为________． 解析 构造函数h (x )＝f (x )g (x )＝a x ，由已知条件可知h ′(x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2>0，则h (x )在R 上为增函数，得a >1，又a ＋a －1＝52，解得a ＝2或a ＝12(舍去)．所以f (n )g (n )＝2n ，其前n 项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2，由2n ＋1－2>62，解得2n ＋1>26，∴n >5，故n 的最小值为6. 答案 6常考填空题——基础夯实练(四) (对应学生用书P406)(建议用时：40分钟)1．复数1i －2＋11－2i 的虚部为________．解析 依题意得1i －2＋11－2i ＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i (1－2i )(1＋2i )＝－1＋i 5，因此该数的虚部是15. 答案 152．若集合A ＝{1，m 2}，集合B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{2}”的________条件．解析 由m ＝2，得A ∩B ＝{2}；反过来，由A ∩B ＝{2}不能得知m ＝2，此时m 可能取－ 2.因此，“m ＝2”是“A ∩B ＝{2}”的充分不必要条件．答案 充分不必要 3.执行如图所示的流程图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为________． 解析 依次可得x ＝3；x ＝7；x ＝127＞126，由判断框可知输出x ＝127. 答案 1274．已知函数f (x )＝2x ＋x ln x ，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为________． 解析 依题意得f (1)＝2，f ′(x )＝－2x 2＋ln x ＋1，f ′(1)＝－1，所求的切线方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. 答案 x ＋y －3＝05．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于________． 解析由题意作出图象如图，由图可知圆心O 到直线AB 的距离d ＝|－2|1＋3＝1，故|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3. 答案 2 36．右图是某高中十佳歌手比赛上某一位选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．解析 得分平均数为x ＝84＋84＋84＋86＋87＋91＋937＝87.方差S 2＝17[(84－87)2＋(84－87)2＋(84－87)2＋(86－87)2＋(87－87)2＋(91－87)2＋(93－87)2]＝807.答案 8077．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________.解析 据题意将已知两式相减可得3(S 3－S 2)＝a 4－a 3⇒3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，从而q ＝a 4a 3＝4.答案 48．(2014·苏州调研)已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a ，b ，c ，则“以a ，b ，c 为边恰好构成三角形”的概率是________．解析 A 中有两个数字，a ，b ，c 可重复，共有8种不同取法，其中可以构成三角形的取法有5种，分别为(2,2,2)，(5,5,5)，(5,5,2)，(5,2,5)和(2,5,5)，共5种，∴构成三角形的概率为58. 答案 589．某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ≥5，x －y ≤2，x ＜6.则该校招聘的教师人数最多是________．解析 由题意，可设目标函数为z ＝x ＋y ，根据约束条件，作出可行域，由于x ≠6，结合可行域，可知当目标函数z ＝x ＋y 过点(5,5)时，z max ＝5＋5＝10，所以该校招聘的教师最多为10名．答案 1010．直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线方程是________． 解析 由弦长结合抛物线定义可得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8，又由AB 的中点到y 轴的距离可得x 1＋x 22＝2，代入上式可得p ＝4，故抛物线方程为y 2＝8x . 答案 y 2＝8x11．已知∀x ∈(0，＋∞)，都有ax 2＋2ax ≥x －4a ，则实数a 的取值范围是________． 解析 分离参数：a ≥xx 2＋2x ＋4＝1x ＋4x ＋2， ∵x ＞0，∴x ＋4x ＋2≥6，则a ≥16. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞12.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A ＝________.解析 由图知OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－A ，∵OM →·ON →＝7π2144－A 2＝0，∴A ＝712π. 答案 712π13．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于________．解析 如图，三棱柱的外接球球心为O ，其中D 为上底面三角形外接圆的圆心，其中AD ＝33×6＝23，又OD ＝3，故在Rt △OAD 中可得R ＝|OA |＝(23)2＋32＝21，故球的表面积为4π(21)2＝84π. 答案 84π14．符号[x ]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f (x )＝x －[x ]．给出下列四个命题：①函数f (x )的定义域是R ，值域为[0,1]；②方程f (x )＝12有无数个解；③函数f (x )是周期函数；④函数f (x )是增函数． 其中正确命题的序号有________．解析 据已知函数的定义可得f (x )＝x －[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧⋮x (0≤x ＜1)，x －1(1≤x ＜2)，x －2(2≤x ＜3)，⋮如图为其部分图象，观察图象可得函数的定义域为R ，值域应为[0,1)，故①错；又图象与直线y ＝12有无穷多个交点，因此方程f (x )＝12有无穷多个解，故②正确；③由图象知函数周期为1；④由于函数是以1为周期的函数，故函数在整个定义域上不单调．综上可知命题②③是正确的．答案 ②③常考填空题——基础夯实练(五) (对应学生用书P407)(建议用时：40分钟)1．已知集合M ＝{y |y ＝2x }，N ＝{x |y ＝2x －x 2}，则M ∩N ＝________. 解析 将两集合化简得M ＝{y |y ＞0}，N ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，故M ∩N ＝{x |0＜x ≤2}． 答案 {x |0＜x ≤2} 2．在复平面内，复数i1－i对应的点位于第________象限． 解析 将复数化简得i 1－i＝i (1＋i )2＝－1＋i 2，因此其在复平面对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12位于第二象限． 答案 二3．若a ，b 为实数，则“a ＋b ≤1”是“a ≤12且b ≤12”的________条件． 解析 由a ＋b ≤1不能得a ≤12且b ≤12，如取a ＝1，b ＝－5；反过来，由a ≤12且b ≤12得知a ＋b ≤1.因此，“a ＋b ≤1”是“a ≤12且b ≤12”的必要不充分条件． 答案 必要不充分4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 解析 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋12＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 答案 相交5．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝________.解析 据分层抽样中各层等概率的特点可得18n ＝33＋5＋7⇒n ＝90.答案 906．运行如图所示流程图后，输出的结果为________．解析 S ＝0－2－0－(－2)－(－4)＝4. 答案 47．已知等差数列{a n }中，前5项和S 5＝15，前6项和S 6＝21，则前11项和S 11＝________.解析 由等差数列的求和公式，可得S 5＝5a 1＋5×42d ＝15，S 6＝6a 1＋6×52d ＝21，∴a 1＝1，d ＝1，则S 11＝11a 1＋55d ＝66. 答案 668．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆半径为1，则该圆锥的体积为________． 答案22π39．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.解析 画图，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 3，y ＝－k3，代入－k 3＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3＝8，∴k ＝－6. 答案 －6 10.已知|OA →|＝2，|OB →|＝23，OA →·OB →＝0，点C 在AB 上，∠AOC ＝30°，则向量OC →等于________(用OA→与OB →线性表示)． 解析 据题意以OA ，OB 分别为x ，y 轴建立直角坐标系，由OA →＝(2,0)，OB →＝(0，23)，设OC →＝xOA →＋yOB →＝x (2,0)＋y (0，23)＝(2x,23y )，由∠AOC ＝30°得点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32(由两直线的方程得交点)，即OC→＝(2x ，23y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32⇒x ＝34，y ＝14，故OC→＝34OA →＋14OB →.答案 34OA →＋14OB →11．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，则函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的递减区间是________． 解析 据已知可得A ＝1，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π8－3π8＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝cos(2x ＋φ)，再由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，解得φ＝－π4，因此f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，令2x －π4∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，解得x ∈k π＋π8，k π＋5π8(k∈Z )即为函数的单调递减区间． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z12．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜74，…，则可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0142＜________.解析 由32，53，74，…，可猜想第n 个式子应当为2n ＋1n ＋1，由此可得第2 013个表达式的右边应当为2×2 013＋12 013＋1＝4 0272 014.答案 4 0272 01413．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点F 作斜率为2的直线l 使它与圆x 2＋y 2＝b 2相切，则椭圆离心率是________． 解析如图所示，过点F 斜率为2的直线l 方程为y ＝2(x －c )，由直线l 与圆x 2＋y 2＝b 2相切可得，d ＝2c 5＝b ＝a 2－c 2，整理可得9c 2＝5a 2，即e ＝c a ＝c 2a 2＝59＝53. 答案 5314．已知奇函数f (x )＝5x ＋sin x ＋c ，x ∈(－1,1)，如果f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，则实数x 的取值范围为________．解析 ∵f ′(x )＝5＋cos x ＞0，可得函数f (x )在(－1,1)上是增函数，又函数f (x )的奇函数，∴由f (x )＝5x ＋sin x ＋c 及f (0)＝0可得c ＝0，由f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，可得f (1－x )＜－f (1－x 2)＝f (x 2－1)，从而得⎩⎨⎧1－x ＜x 2－1，1－x ＞－1，x 2－1＜1，解得1＜x ＜ 2.答案 (1，2)常考填空题——基础夯实练(六)(对应学生用书P408)(建议用时：40分钟)1．复数z＝1＋ii，则|z|＝________.解析依题意得z＝1－i，|z|＝12＋(－1)2＝ 2.答案 22．已知集合P＝{x|x(x－1)≥0}，Q＝{x|y＝ln(x－1)}，则P∩Q＝________.解析由x(x－1)≥0，得x≥1或x≤0.则P＝{x|x≥1或x≤0}．由x－1＞0，得x＞1，则Q＝{x|x＞1}．∴P∩Q＝{x|x＞1}，即P∩Q＝(1，＋∞)．答案(1，＋∞)3．在等比数列{a n}中，若a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于________．解析由等比数列的性质易得a4a5，a6a7，a8a9三项也成等比数列，由等比中项可得(a6a7)2＝(a4a5)·(a8a9)，解得a6a7＝±4，又a6a7＝a4a5·q4＝q4＞0，故a6a7＝4. 答案 44．若流程图所给的算法运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是________．解析据程序框图可得当k＝9时，S＝11；当k＝8时，S＝11＋9＝20，此时要求程序结束，故判断框填入条件k＞8即可．答案k＞85．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为________(用“＞”连接)．解析 由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为2 200元、2 150元、2 250元，又由直方图可知，甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大，丙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s 1＞s 2＞s 3. 答案 s 1＞s 2＞s 36．从{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率是________．解析 因为该实验所有的基本事件有9个，其中直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限时，斜率k ＜0，纵截距b ＞0，有2个基本事件，所以所求概率为29. 答案 297．在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________. 解析 由正弦定理得：BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，即3sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝ 2.答案28．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值是________．解析如图，画出约束条件表示的可行域，当直线z ＝x －2y 经过x ＋y ＝0与x －y －2＝0的交点A (1，－1)时，z 取到最大值3. 答案 3 9.如图所示，在△ABC 中，D 为BC 的中点，BP ⊥DA ，垂足为P ，且BP ＝2，则BC →·BP →＝________.解析 依题意得BC →·BP →＝2BD →·BP →＝2(BP →＋PD →)·BP →＝2(BP →2＋PD →·BP →)＝2BP →2＝8. 答案 810．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________． 解析 因为1＝x 3＋y4≥2x 3·y 4＝2xy12＝xy 3，所以xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号，故xy 的最大值为3. 答案 311．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________． 解析 设所求圆的半径是R ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋(－3)2＝1，则R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，因此圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.答案 x 2＋(y －1)2＝1012．如图所示，已知三棱柱，ABC -A ′B ′C 的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1-ABC 1的体积为______．解析 三棱锥B 1-ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32×312.答案 31213．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为________． 解析 由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1，F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2a ，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tan θ＝22＝|AF 1||CF 1|＝|BF 2||CF 2|，故|CF 1|＋|CF 2|＝22b 2a ＝|F 1F 2|＝2c ，整理并化简得2b 2＝2(a 2－c 2)＝ac ，即2(1－e 2)＝e ，解得e ＝22. 答案 2214．已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，若对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )的最大值为π－32，则(1)a 的值为________；(2)函数f (x )在(0，π)内的零点个数为________．解析 因为f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，当a ≤0时，f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，最大值f (0)＝－32，不适合题意，所以a ＞0，此时f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2a －32＝π－32，解得a ＝1，符合题意，故a ＝1.f (x )＝x sin x －32在x∈(0，π)上的零点个数即为函数y ＝sin x ，y ＝32x 的图象在x ∈(0，π)上的交点个数，又x ＝π2时，sin π2＝1＞3π＞0，所以两图象在x ∈(0，π)内有2个交点，即f (x )＝x sin x －32在x ∈(0，π)上的零点个数是2. 答案 (1)1 (2)2。