§12.3 角平分线的性质（二）【教学目标】1、让学生理解角平分线性质的逆定理并能灵活应用进行有关的计算和证明；2、能够按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明并规范学生书写；3、经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力。
【教学重点与难点】教学重点：角平分线性质的逆定理的证明和应用；教学难点：角平分线性质的逆定理的应用；【教学手段】多媒体。
【教学方法】讨论法、讲授法、情境教学法。
【教学过程】【复习回顾】首先请同学回忆上节课内容，角平分线的性质是什么？我们是如何证明的？简单回顾一下。
如图，在△ABC 中，AB=AC,AD 是∠BAC 的角平分线DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E 、F ，有下列四个结论：①AD 上任意一点到点C 、点B 的距离相等；②AD 上任意一点到AB 、AC 的距离相等；③BD=CD ，AD ⊥BC ；④∠BDE=∠CDF.其中，正确的结论是：_____学生回答：教师总结：本题综合运用了三角形全等和角平分线性质定理来解题，那么同学们要注意理解角平分线的性质定理。
今天这节课我们接着来探讨角平分线的性质定理。
【讲授新课】思考：我们知道，命题有原命题和逆命题，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，它的逆命题成立吗？你能把它写出来吗？1.讨论归纳：学生自主探究，教师提醒。
2.多媒体展示并证明逆定理注意让学生明确命题中的已知和求证，把文字语言转化数学语言，图形结合，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
教师总结：已知：如图,QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE ．求证：点Q 在∠AOB 的平分线上．B A E DC F证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠ QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上教师总结：所以，我们发现角平分线的性质逆定理是成立的，即角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意数学符号语言是怎么表示的。
三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。
本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。
1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。
在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。
三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。
2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。
对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。
（2）角平分线分割对边成比例。
对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。
（3）角平分线长度关系。
对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。
即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。
（4）角平分线的外角等于直角。
对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。
3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。
内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。
（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。
（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。
总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。
角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。
通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。
角的平分线的性质2 教案教学目标：1、利用三角形全等，证明角平分线的判定并掌握。
2、利用角平分线的性质和判定解决问题。
教学重点：角平分线的判定和应用。
教学难点：理解性质和判定的互逆关系,并能正确运用它们解决问题。
教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法。
教学过程：2复习引入1.、用尺规如何作角的平分线?2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？3探究新知已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）在Rt△QDO和Rt△QEO中QO＝QO（公共边）QD=QE∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠ QOD＝∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上。
角的平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：∵ QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，QD ＝QE ．∴点Q 在∠AOB 的平分线上．角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用数学语言表示为：∵ QD ⊥OA,QE ⊥OB,点Q 在∠AOB 的平分线上∴ QD ＝QE例1、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，且BE ＝CF 。
求证：AD 是△ABC 的角平分线。
练一练 已知:BD ⊥AM 于点D,CE ⊥AN 于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F 在∠A 的平分线上.AB CEF D例2 如图, △ABC 的角平分线BM,CN 相交于点P, 求证：点P到三边AB 、BC 、CA 的距离相等。
练习 如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠BAC 的平分线上．课堂练习1． 思考：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）DN E B F MC A AB CP M N拓展1． 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( )A.一处B. 两处C.三处D.四处ＳＯ公路 铁路五、课堂小结角的平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
