2021版江苏高考数学复习讲义：基本不等式含答案

2021年高考数学 不等式 专题复习教案 苏教版一、知识回顾不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，是解决许多实际问题的重要工具，在高考中属主体内容.以考查不等式的解法和最值方面的应用为重点，多数情况是在函数、数列、几何、实际应用题等综合型试题中考查，在考试说明中考查要求也比较高1．解某些不等式要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，含参数的不等式可分类讨论．2．利用基本不等式时要注意不等式运用的条件．3．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合的思想处理问题．4．利用线性规划解决问题时应力求画图准确． 二、例题精讲例1．设若是与的等比中项，则的最小值为__________. 解析: 因为，所以，1111()()2224b a b a b a b a b a ba +=++=+++=，当且仅当即时“=”成立,故最小值为.练习 1.若直线10(0,0)ax by a b ++=>>经过圆的圆心,则的最小值为__________________.例2．已知关于的不等式的解集为,则的解集为________________. 解析：由的解集为知,为方程的两个根,由韦达定理得,解得, ∴即,其解集为.练习2.已知不等式的解集为,试用表示不等式的解集. 例3．已知且，则的取值范围为_________________.解析：设23()()()()a b x a b y a b x y a x y b +=++-=++-，∴,解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴55151(),2()12222a b a b -<+<-<--<-∴95113()()2222a b a b -<+--<， 即.错解：解此题常见错误是：－1＜a +b ＜3， ① 2＜a －b ＜4. ② ①+②得1＜2a ＜7. ③ 由②得－4＜b －a ＜－2. ④ ①+④得－5＜2b ＜1，∴－＜3b ＜. ⑤③+⑤得－＜2a +3b ＜.另:本题也可用线性规划来解.练习3. 函数满足：1(1)2,2(1)4f f -，求的取值范围为____________________．例4．某种饮料分两次提价，提价方案有三种，方案甲是：第一次提价，第二次提价 ；方案乙是：第一次提价，第二次提价；方案丙是：每次提价 .如果,那么提价最多的是方案解析：设原价为1，两次提价后的价格为 则：易证：，方案丙提价最多.练习4.（1）甲、乙两人两次在同一个粮店购买粮食（设两次单价不同），甲每次购买粮食100kg, 乙每次用100元购买粮食.若规定,谁两次购粮的平均单价低,谁的购粮方式就合算,则两人购粮方式更合算的是__________________. （2）克盐水中，有克盐（），若再添加克盐（）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式 ___________.例5．（1）设为正实数，满足，则的最小值是__________. （2）如果正数满足，那么的取值范围是____________.解析：（1）22(3)(23)34y x z xz xz xz+∴==,即的最小值为. （2）由题设，.又23(1)5(1)44(1)5111b b bab b bb b b+-+-+=⋅==-++ ---，4(1)2(1)41b bb∴-+-=-.或解::230⇒-练习5.（1）已知（为常数），，，若的最小值为，求的值．（2）若, 且, , 则的最大值是_______.例6．解关于的不等式：解析：当当当当当当练习6. 解关于的一元二次不等式.例7．已知函数2(),[1,)x ax af x xx-+=∈+∞，（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.解析：（1）当时，2444()4440 x xf x xx x-+==+--=.（2）由题意，时，恒成立，即恒成立，，即恒成立，若，若，则恒成立，故，而2112411xxx x=-++--，当且仅当时取等号，故，所以，练习7. 三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围 是 ．例8．数列由下列条件确定：*1110,(),()2n n nax a x x n N x +=>=+∈,当时，求证：（1）；（2）解析：（1）由1110,()2n n nax a x x x +=>=+，知，当时，1111()2n n n n n aax x x x x ---=+⋅= （2）112,,()2nn n nanx a x x x +=+当时， 211()022n n n n n n na x ax x x x x x +-∴-=+-=，所以，当时，练习8.已知数列为等比数列，，设是数列的前项和，证明：.例9．已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在处取得极大值，在处取得极小值，且，若设，求实数的取值范围解析：,又处取得极大值，在处取得极小值 故在有，在上有方程即的两根分布在内///(0)20(1)320(2)4520f b f a b f a b ⎧=->⎪⇒=-+<⎨⎪=-+>⎩23204520b a b a b <⎧⎪⇒-+<⎨⎪-+>⎩ 又，由线性规划知识易知，当过两点时取得最大和最小值，的范围为.练习9. 已知关于的不等式222(37)(32)0x a x a a +-++-<的解集中的一个元素是，求实数的取值范围，并用表示该不等式的解集.例10．已知二次函数满足，（1） 求二次函数的表达式；（2） 若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。

2021年高考数学一轮复习第二章不等式第10课基本不等式文（含解析）1．基本不等式：①基本不等式成立的条件：．②等号成立的条件：当且仅当时取等号．2．常用的不等式①．②．③．3．最值定理:若，则由可得如下结论：①若积（定值），则和有最小值．②若和（定值），则积有最大值．应用例析1．直接用公式求最值例1. （1）(xx烟台质检)若，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，当且仅当，即时，取等号．变式：若，则的最小值为【答案】8【解析】∵，∴，当且仅当，即时，取等号．的最小值为8（2）已知，求的最大值【解析】，当且仅当时取得等号所以的最大值为1（3）若，求的最大值，，，所以当且仅当即时取得等号，所以的最大值为2.凑出积为常数例2. 已知，求的最小值【解析】∵ ，∴，∴，当且仅当，即时，取得最小值．变式：1.已知，则的最小值为【解析】∵ ，∴，∴，当且仅当，即时，取得最小值．2.已知，则的最 值为【解析】∵ ，∴，∴，当且仅当，即时，取等号所以，故的最大值为3.条件最值例3. 已知，且，求的最小值【解析】∵，且，∴，当且仅当，即时，取等号，∴的最小值为．变式：已知，且，求的最小值并求取最小值时与的值【解析】∵，且，∴∴1272773(3)()()333333y x x y x y x y x y ++=++=++≥+=， 当且仅当，即 时，取等号，∴的最小值为4.基本不等式与指数、对数等相结合例4.（1） 若,则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵,∴，∴，∴．（2）已知，且，那么的取值范围是．【答案】【解析】111222221122log log log1log log()()22x y xyx y+=⋅≤==，∵，∴，∴，∴，∴，∴．例5．(xx越秀质检)已知，则的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴4a b+≥=，当且仅当，即时，等号成立．5．基本不等式的实际应用问题例6．(xx中山质检）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格．问：（1）每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？【解析】（1）每套丛书售价定为100元时，销售量为万套，此时每套供货价格为元，书商所获得的总利润为万元．答：书商能获得的总利润是万元．（2）每套丛书售价定为元时，由，解得，依题意，单套丛书利润，∴，∵，∴，由100(150)21020150xx-+≥=⨯=-，当且仅当，即时，等号成立，此时，．答：每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大．第10课 基本不等式作业题1．(xx·临沂一模)已知a >0，b >0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A2．(xx·常州质检)已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4【答案】C3．(xx·长沙质检)若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23【答案】D4．(xx·福州质检)已知函数f (x )＝2x 满足f (m )·f (n )＝2，则mn 的最大值为( ) A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B5．(xx·佛山一模)设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a的最小值为( )A ．3 B.92C ．5D ．7 【答案】A6．已知函数f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.【答案】367．若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 【答案】8．(xx·商丘模拟)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y的最小值为__________．【答案】69. 围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m，新墙的造价为460元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．10．(xx·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？#28534 6F76 潶R31213 79ED 秭33808 8410 萐40505 9E39 鸹22730 58CA 壊35509 8AB5 誵tgGY23623 5C47 屇v33446 82A6 芦。

§1.6 基本不等式及其应用1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1．若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定．若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值． 2．函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是．因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x 无最小值．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ )(4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )题组二 教材改编2．设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81 D ．82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件，故选C.5．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4 答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y ，即x ＝12，y ＝1时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.7．若实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则2x ＋1y 的最小值是________，x －y x 2＋y 2的最大值为________． 答案 2 14解析 实数x ，y 满足x >y >0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则xy ＝2， 则2x ＋1y≥22x ·1y ＝2，当且仅当2x ＝1y，即x ＝2，y ＝1时取等号， 故2x ＋1y 的最小值是2， 又x >y >0，x －y >0，x －y x 2＋y 2＝x －y (x －y )2＋2xy ＝x －y(x －y )2＋4＝1x －y ＋4x －y ≤12(x －y )·4x －y ＝14，当且仅当x －y ＝4x －y ，即x ＝3＋1，y ＝3－1时取等号， 故x －y x 2＋y 2的最大值为14.利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________． 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立．故f (x )有最小值4. 命题点2 常数代换法例2 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．3＋2 2B ．3＋ 2C ．2＋2 2D ．3答案 A解析 因为2m ＋n ＝1，则1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ·(2m ＋n )＝3＋n m ＋2m n≥3＋2n m ·2mn＝3＋22， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝2－22，n ＝2－1时等号成立，所以1m ＋1n 的最小值为3＋22，故选A.命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 答案 6解析 方法一 (换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0， 令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 方法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y1＋y ，所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝9－3y ＋3y (1＋y )1＋y＝9＋3y 21＋y ＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y ＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23(1＋y )·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y ，即y ＝1，x ＝3时取等号，所以x ＋3y 的最小值为6.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)(2019·天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为________．答案 92解析 (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy. ∵x >0，y >0且x ＋2y ＝4，∴4≥22xy (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)， ∴2xy ≤4，∴1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92.(2)(2020·天津模拟)已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为________． 答案 2＋2 2解析 ∵P (a ，b )在x ＋y ＋c ＝2上， ∴a ＋b ＋c ＝2，a ＋b ＝2－c >0， 4a ＋b ＋a ＋b c ＝42－c ＋2－c c ＝42－c ＋2c－1，设⎩⎪⎨⎪⎧2－c ＝m ，c ＝n ，则m ＋n ＝2， 42－c ＋2c ＝4m ＋2n ＝m ＋n 2×⎝⎛⎭⎫4m ＋2n＝3＋2n m ＋mn≥3＋22n m ×mn＝3＋22， 当且仅当m 2＝2n 2，即c ＝22－2时，等号成立， ∴42－c ＋2c－1≥3＋22－1＝2＋22， 即4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为2＋2 2.基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是________．答案 92解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，所以S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92， 当且仅当n ＝4时取等号，所以S n ＋8a n 的最小值是92.命题点2 求参数值或取值范围例5 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab的最小值是( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．3 2 答案 B解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ， 由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝⎛⎭⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋b ab的最小值为9，故选B. (2)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C的最小值为( ) A.32 B.334 C.32 D.53答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋b c＝2·8b 8b ＋2b ＋b 8b＝168＋2b 2＋b 28 ＝84＋b 2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.基本不等式的实际应用例6 (1)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是______． 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元． 因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x·4x ＝240， 当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．(2)某人准备在一块占地面积为1 800 m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为________．答案 1 568解析 由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，x >3，y >3，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x，即x ＝40，y ＝45时等号成立，S 取得最大值， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值为1 568.思维升华 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________ m.答案 160解析 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003xm ， 由题意可得水池总造价f (x )＝150×4 8003＋120⎝⎛⎭⎫2×3x ＋2×3×4 8003x ＝240 000＋720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x (x >0)， 则f (x )＝720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ＋240 000 ≥720×2x ·1 600x＋240 000 ＝720×2×40＋240 000＝297 600， 当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，f (x )有最小值297 600， 此时另一边的长度为4 8003x＝40(m)， 因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.。

所以 1
m
+2
n
1 5
=
1 m
2 n
(2m+n)=
1 5
4
≥n
m
4m n
=
1 5
,4 2
n m
4m n
8 5
a+
a 1
=b
b2
+m
m
1=2n-
n
2
≤2-
1 m
= 2
n
,当且8 仅2 当n=2m=
55
故 a + 的b 最大值是 .2
a1 b2
5
时取等5 号,
2
考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
+c的最小值为
.
(2)(2019徐州铜山高三模拟)正数a,b,c满足 1 +1 1 = a ,若 b + >t恒成立,
a b c c cb
则实数t的最大值为
2
at
33
a b1
2
规律总结
常数代换法求最值的关键在于常数的变形应用,利用这种方法求最值要
注意以下三个方面:1.条件的灵活变形,确定或分离出常数是基础;2.已
知等式化为“1”的表达式,是代数式等价变形的基础;3.基本不等式求
最值的条件需要检验.
角度三 消元法求最值
典例3 (1)(2018南通高三调研)已知a,b,c均为正数,且abc=4(a+b),则a+b
.
答案 1
解析 x>0,y>0,2x+5y=20≥2 1,0则x y0<xy≤10,当且仅当2x=5y=10,即x= 5,y=2时取等号,则lg x+lg y=lg xy≤1,故最大值是1.