数学高考复习名师精品教案第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算课题：空间向量及其运算一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识：1．,a b向量共线的充要条件： ；2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习：1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。
若AB a =，AD b = ，1A A c =，则下列向量中与BM等的向量是（ ）()A 1122a b c-++ ()B 1122a b c++()C 1122a b c--+ ()D c b a +-21212．有以下命题：A①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C一定共面；③已知向量,,a b c是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 （ ）()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③3．下列命题正确的是 （ ）()A 若a 与b共线，b与c 共线，则a与c 共线；()B 向量,,a b c共面就是它们所在的直线共面；()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b，则存在唯一的实数λ使得a b λ=；4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ）()A OC OB OA OM ++= ()B OCOB OA OM--=2()C OCOB OA OM 3121++= ()D OCOB OA OM313131++=四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥ABCP -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证：BCPG ⊥GN ABCPM例2．已知H G F E ,,,分别是空间四边形ABCD 的边DA CD BC AB ,,,的中点， （1） 用向量法证明H G F E ,,,四点共面； （2）用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；（3）设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有1()4O M O A O B O C O D =+++例3．在平行六面体1111D C B A ABCD-中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧棱1A A 长为b ，且 1111120AAB AA D ∠=∠=︒，求（1）1AC 的长；（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值。
空间向量及其运算(2)教学目的：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论） 教学难点：空间作图． 教学过程： 一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a +=+=;b a -=-=;)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A '''体的棱4 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．5． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a//b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=6．向量与平面平行：已知平面α和向量a，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的7．共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+或对空间任一点O ，有 OP OM xMA yMB =++ ①上面①式叫做平面MAB 的向量表达式21．（本小题满分12分）已知方向向量为v =(1,3)的直线l 过点（0，－23）和椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N，满足OM ON ⋅= cot ∠MON ≠0（O为原点）.若存在，求直线m 的方程；若不存在，请说明理由.二、讲解新课：1 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z ，使p xa yb zc =++由此定理，若三向量,,a b c不共面，则所有空间向量所组成的集合是{|,,,}p p xa yb zc x R y R z R =++∈∈∈，这个集合可以看作由向量,,a b c 生成的，所以我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++2已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥ .3．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a. 4．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影.可以证明A B ''的长度||||cos ,A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．5．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,ae a a e ⋅=<>． （2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．6．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅． （2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．三、讲解范例：例已知空间四边形OABC ，其对角线OB,AC ，M,N 分别是对边OA,BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG=2GN ，用基底向量,,OA OB OC表示向量OG四、小结 ：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．五、作业：9B052。
一：教学目的：1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算2．用空间向量的运算意义、运算律以及共线、共面向量定理解决立几问题二：自主导学问题1：空间向量的相关概念有哪些？(1)向量的基本要素：(2)向量的表示：(3)向量的长度：(4)特殊的向量：(5)相等的向量：(6)平行向量(共线向量)：问题2平面向量的加减法，数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质如下表，其适用问题3：共线向量共面向量注：“空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们”这句话正确吗？为什么？问题4:平面共线向量定理？空间共线向量定理空间共面向量定理三：典例分析：CD题型一 空间向量的线性运算例2 已知空间四边形A B C D ，连结,A C B D ，设,M G 分别是,B C C D的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；（2）1()2AB BD BC ++ ；（3）1()2AG AB AC -+ ．题型二 共线、共面向量定理的应用例3已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点， （1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面； （2）求证：BD ∥平面EFGH ；四：当堂达标如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点，求证：1()2EF AB DC =+ ．五：拓展延伸：如图设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心求证：1()3AG AB AC AD =++BC DMGA BCDEFA。
