垂径定理教案
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。 学生答：这些图形都是轴对称图形。 那么， 那么 ， 你还记得我们学过图形中轴对称图形有哪些 吗 ？ 每人说出一种即可。 每人说出一种即可。 学生答：等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形， 学生答：等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正 方形，等腰三角形， 方形，等腰三角形，圆。 圆是不是轴对称图形我们还没有研究过， （圆是不是轴对称图形我们还没有研究过，它不算学 过的轴对称图形。 过的轴对称图形。 ）
1 1 37.4=18. AB= *37.4=18.7 2 2
1、 圆是轴对称图形 2、 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦， 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条 弧。 个条件的位置换一下， 如果我们把这 5 个条件的位置换一下，就是说 、3 、4 、5 如果把 2） 3）作为题设能不能得出 1） 4） 5） 、 作为题设能不能得出 、 、 如果把 1） 3）作为题设能不能得出 2） 4） 5） 、3 、 、4 、5 、 、 、4 、3 、5 如果把 2） 4）作为题设能不能得出 1） 3） 5） 、 、 、 、5 、3 、4 如果把 2） 5）作为题设能不能得出 1） 3） 4） 、 、 、 这就是我们的预习作业。 这就是我们的预习作业。 作业： 12、 15、 作业：P84 页 12、13 、15、16
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0
培养学生 的灵活运用能 力。
OE= OA − AE
2
2
=
50 − 25 = (50 + 25)(50 − 25) =
2 2
75 * 25 =25 3
显然后一种算法要比前一种简单的多， 显然后一种算法要比前一种简单的多，在练习和作业 我们要尽量用后一种算法。 中，我们要尽量用后一种算法。 下面我们来学习例 2 例 2 已知：如图，在以⊙O 为圆心的两个同心圆中， 已知：如图，在以⊙ 为圆心的两个同心圆中， 两点。 大圆的弦 AB 交小圆于 CD 两点。 求证： 求证：AC=BD 讨论一下，如何作? 讨论一下，如何作? 学生答： 学生答：连结 OA、OB、OC、 OA、OB、OC、OD O AOC≌△BOD. ≌△BOD 证△AOC≌△BOD. OC=OD， ∵OC=OD，OA=OB A C E D B ∴∠OCD= ODC， OCD=∠ ∴∠OCD=∠ODC， OAD=∠ ∠OAD=∠OBC ∴∠AOC= AOC=∠ ∴∠AOC=∠BOD ∴△AOC≌△BOD AOC≌△ ∴△AOC≌△BOD ∴AC=BD 有没有更简单的方法？ 有没有更简单的方法？ 证明（学生板演） ：过 OE⊥AB， 证明（学生板演） 过 O 作 OE⊥AB，垂足 E，则 ： AE=BE， AE=BE，CE=DE AE—CE=BE CE=BE∴AE CE=BE-DE 即 AC=BD 注意：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“ 注意：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“垂 直于弦的直径”作为辅助线，实际上， 直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作 一条与弦垂直的线段。 一条与弦垂直的线段。 练习：已知在⊙ AB、 为互相垂直的两条弦， 练习：已知在⊙O 中，AB、CD 为互相垂直的两条弦， OD⊥AB，OE⊥AC，D，E 为垂足。 OD⊥AB，OE⊥AC， 为垂足。 你想象一下，会有什么样的结论？ 你想象一下，会有什么样的结论？
OB
培养学生的 观察能力， 观察能力，概括 能力， 分析能力， 能力， 分析能力， 从而调动学生学 习积极性， 习积极性，使学 生主动的获得知 识。
A
3) A 点 点重合 AC、 4） AC、BC 重合 AD、 5） AD、BD 重 AE， 重合， AE=BE； 既然 AE，BE 重合，我们就可以得到 AE=BE； AC， 重合， AC=BC； AC，BC 重合，我们就可以得到 AC=BC； AD， 重合， AD=BD。 AD，BD 重合，我们就可以得到 AD=BD。 我们可以把它分成几个部分，若一条直线满足 我们可以把它分成几个部分， 、垂直于弦 、过圆心 1） 垂直于弦 2） 过圆心 、 、 、平分弦 、平分弦所对的劣弧 则可以推出 3） 平分弦 4） 平分弦所对的劣弧 5） 、 、 、 平分弦所对的优弧 使学生牢 看例题 如图，已知在⊙ 8cm， 例1 如图，已知在⊙O 中，弦 AB 的长 8cm，圆心 O 固掌握定理并 能灵活运用。 3cm， 的半径. 能灵活运用。 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径. 分析：要求半径， 分析：要求半径， 那么我们应该怎么办？ 那么我们应该怎么办？ 学生答： 学生答：连结 OA 问：这时能求出 OA 或 OB 吗？ 学生答：不能. 学生答：不能. A B 那么还应该怎么办呢? 问：那么还应该怎么办呢? 启发： （启发： 看题圆心 O 到 AB 的距离为 3cm 那么这个距离在图 中如何体现呢？） 中如何体现呢？） 学生答： OE⊥AB， 学生答：过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，则 OE=3cm 由垂径定理可知： AB， 师：由垂径定理可知：OE 垂直于弦 AB，并且过圆心 O， 我们可得 AE=BE、AC=BC、AD=BD（学生答） AE=BE、AC=BC、AD=BD（学生答） 对于弧相等在这道题中我们可以不用考虑， 对于弧相等在这道题中我们可以不用考虑，接下来我 们就可以利用 AE=BE 求 OA 了。 学生答） ：连结 OA， OE⊥AB， 解（学生答） 连结 OA，过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，则 ： OE=3cm， OE=3cm，AE=BE AB=8cm， ∵AB=8cm， ∴AE=4cm 在 Rt∆AOE 中，有 Rt∆ =5（cm） OA= OE + AE = 3 + 4 =5（cm） ∴O 的半径为 5m 总 结 规 我们考虑一下：半径、 讲完例 1 后，我们考虑一下：半径、圆心的弦的距离 律 ， 培养学生 及弦长三者有何关系？ 及弦长三者有何关系？ 的归纳总结能 l 2 力。 2 2 r =d +（ ）
调动学生 的学习积极 性，培养学生 的学习习惯。 的学习习惯。
C O A E D
刚才** **同学提出了圆 也是轴对称图形， 刚才 ** 同学提出了圆 也是轴对称图形 ， 他的说法对 吗？让我们来共同研究一下。 让我们来共同研究一下。 下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。 下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。 首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折， 首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折， 然后观察 折叠后的两个半圆有何关系？ 折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论 学生答：圆是轴对称图形 学生答：圆是轴对称图形。 那么你知道它的对称轴是什么样的吗？ 师：那么你知道它的对称轴是什么样的吗？ 学生答： 学生答：它的直径 经过圆心的直线 有同学说是直径， 有同学说是经过圆心的直线， 有同学说是直径， 有同学说是经过圆心的直线， 谁说的 对呢？同学们讨论一下。 对呢？同学们讨论一下。 学生答： 对称轴是直线而直径是线段， 学生答： 对称轴是直线而直径是线段， 所以我们应该说
通 过 预 OD=OC-DC=ROD=OC-DC=R-7.2 习作业， 习作业 ， 使学 Rt△ 由勾股定理， 在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得 生养成良好的 2 2 2 OA =AD +OD 学习习惯。 学习习惯。 2 2 2 =18. 即 R =18.7 +（R-7.2） 解这个方程， 27. 解这个方程，得 27.9（米） 27. 答：赵州石拱桥的桥拱半径为 27.9 米。 练习： 的圆形油槽内装入一些油后， 练习：在直径为 650mm 的圆形油槽内装入一些油后， 截面如图所示。 AB=600mm，求油的最大深度。 截面如图所示。若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。 学生板演： 200mm。 学生板演：得 200mm。 这节课我们就讲到这里， 这节课我们就讲到这里， 下面请一位同学总结我们这 节课学习了哪些内容？ 节课学习了哪些内容？
2 2 2 2
O E
2
根据此公式， 三个量中， 根据此公式，在 l，r，d 三个量中，知道任何两个量 就可以求出第三个量。 就可以求出第三个量。
练习： AB， 练习：在半径为 50mm 的 O 中，有长 50mm 的弦 AB，计 算， 1)点 1)点 O 与 AB 的距离 2)∠ 2)∠AOB 的度数 学生答出结果（ 学生答出结果（1）25 3 mm （2）60 利用刚讲过的半径、弦及圆心到弦的距离三者关系， 利用刚讲过的半径、弦及圆心到弦的距离三者关系， 可以知道 OE= OA − AE = 50 − 25 = 2500 − 625 = 1875 有简单一点的及计算方法吗？ 有简单一点的及计算方法吗？
学生答： 学生答：ADOE 为矩形 那么， 那么，如何来证明呢 ？ 学生口答： OD⊥AB，OE⊥AC，AC⊥ 学生口答：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AC⊥AB ∴∠EAD= ADO=∠AEO=90° EAD=∠ ∴∠EAD=∠ADO=∠AEO=90° 为矩形。 ∴ADOE 为矩形。 AC=AB，又会有什么结论呢？ 师：如果已知 AC=AB，又会有什么结论呢？ 学生答：ADOE 为正方形 学生答： 那么， 那么，如何来证明呢 ？ 学生口答： 学生口答：在刚才的证明中加上 ∵AC=AB ∴AE=AD 为正方形。 ∴ADOE 为正方形。 多年前， 例2 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是 圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 37. 圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 米，拱 弧的中点到弦的距离，也叫拱形高） 高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为 7.2 米， 求桥拱的半径（ 求桥拱的半径（精确到 0.1 米）
黑龙江省首届初中数学教师优秀教案评选参评教案
课题 垂径定理 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 知识 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 教 目标 学 能力 能较熟练地运用弦、 直径之间的特定关系， 解决有关问题。 能较熟练地运用弦、 、 弧 直径之间的特定关系， 解决有关问题。 目 目标 标 德育 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 目标 能较熟练地运用弦、 直径之间的特定关系， 解决有关问题。 情感 能较熟练地运用弦、 、 弧 直径之间的特定关系， 解决有关问题。 目标 教学重点 垂径定理及运用 教学难点 垂径定理及其推论的正确区分及运用 讨论法、 学方法 讨论法、探索法 实物、 教学手段 实物、微机 请同学们观察几幅图片 看些图形， 几幅图片， 看些图形， 请同学们观察几幅图片， 看他们有什么共同 由直观图 特点？ 形引入， 特点？ 形引入，引发 学生的学习兴 趣。
1 1 37.4=18. AB= *37.4=18.7 2 2
1、 圆是轴对称图形 2、 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦， 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条 弧。 个条件的位置换一下， 如果我们把这 5 个条件的位置换一下，就是说 、3 、4 、5 如果把 2） 3）作为题设能不能得出 1） 4） 5） 、 作为题设能不能得出 、 、 如果把 1） 3）作为题设能不能得出 2） 4） 5） 、3 、 、4 、5 、 、 、4 、3 、5 如果把 2） 4）作为题设能不能得出 1） 3） 5） 、 、 、 、5 、3 、4 如果把 2） 5）作为题设能不能得出 1） 3） 4） 、 、 、 这就是我们的预习作业。 这就是我们的预习作业。 作业： 12、 15、 作业：P84 页 12、13 、15、16
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培养学生 的灵活运用能 力。
OE= OA − AE
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50 − 25 = (50 + 25)(50 − 25) =
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显然后一种算法要比前一种简单的多， 显然后一种算法要比前一种简单的多，在练习和作业 我们要尽量用后一种算法。 中，我们要尽量用后一种算法。 下面我们来学习例 2 例 2 已知：如图，在以⊙O 为圆心的两个同心圆中， 已知：如图，在以⊙ 为圆心的两个同心圆中， 两点。 大圆的弦 AB 交小圆于 CD 两点。 求证： 求证：AC=BD 讨论一下，如何作? 讨论一下，如何作? 学生答： 学生答：连结 OA、OB、OC、 OA、OB、OC、OD O AOC≌△BOD. ≌△BOD 证△AOC≌△BOD. OC=OD， ∵OC=OD，OA=OB A C E D B ∴∠OCD= ODC， OCD=∠ ∴∠OCD=∠ODC， OAD=∠ ∠OAD=∠OBC ∴∠AOC= AOC=∠ ∴∠AOC=∠BOD ∴△AOC≌△BOD AOC≌△ ∴△AOC≌△BOD ∴AC=BD 有没有更简单的方法？ 有没有更简单的方法？ 证明（学生板演） ：过 OE⊥AB， 证明（学生板演） 过 O 作 OE⊥AB，垂足 E，则 ： AE=BE， AE=BE，CE=DE AE—CE=BE CE=BE∴AE CE=BE-DE 即 AC=BD 注意：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“ 注意：在圆中，解弦的有关问题时，常常需要作“垂 直于弦的直径”作为辅助线，实际上， 直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只须从圆心作 一条与弦垂直的线段。 一条与弦垂直的线段。 练习：已知在⊙ AB、 为互相垂直的两条弦， 练习：已知在⊙O 中，AB、CD 为互相垂直的两条弦， OD⊥AB，OE⊥AC，D，E 为垂足。 OD⊥AB，OE⊥AC， 为垂足。 你想象一下，会有什么样的结论？ 你想象一下，会有什么样的结论？
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培养学生的 观察能力， 观察能力，概括 能力， 分析能力， 能力， 分析能力， 从而调动学生学 习积极性， 习积极性，使学 生主动的获得知 识。
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3) A 点 点重合 AC、 4） AC、BC 重合 AD、 5） AD、BD 重 AE， 重合， AE=BE； 既然 AE，BE 重合，我们就可以得到 AE=BE； AC， 重合， AC=BC； AC，BC 重合，我们就可以得到 AC=BC； AD， 重合， AD=BD。 AD，BD 重合，我们就可以得到 AD=BD。 我们可以把它分成几个部分，若一条直线满足 我们可以把它分成几个部分， 、垂直于弦 、过圆心 1） 垂直于弦 2） 过圆心 、 、 、平分弦 、平分弦所对的劣弧 则可以推出 3） 平分弦 4） 平分弦所对的劣弧 5） 、 、 、 平分弦所对的优弧 使学生牢 看例题 如图，已知在⊙ 8cm， 例1 如图，已知在⊙O 中，弦 AB 的长 8cm，圆心 O 固掌握定理并 能灵活运用。 3cm， 的半径. 能灵活运用。 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径. 分析：要求半径， 分析：要求半径， 那么我们应该怎么办？ 那么我们应该怎么办？ 学生答： 学生答：连结 OA 问：这时能求出 OA 或 OB 吗？ 学生答：不能. 学生答：不能. A B 那么还应该怎么办呢? 问：那么还应该怎么办呢? 启发： （启发： 看题圆心 O 到 AB 的距离为 3cm 那么这个距离在图 中如何体现呢？） 中如何体现呢？） 学生答： OE⊥AB， 学生答：过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，则 OE=3cm 由垂径定理可知： AB， 师：由垂径定理可知：OE 垂直于弦 AB，并且过圆心 O， 我们可得 AE=BE、AC=BC、AD=BD（学生答） AE=BE、AC=BC、AD=BD（学生答） 对于弧相等在这道题中我们可以不用考虑， 对于弧相等在这道题中我们可以不用考虑，接下来我 们就可以利用 AE=BE 求 OA 了。 学生答） ：连结 OA， OE⊥AB， 解（学生答） 连结 OA，过 O 作 OE⊥AB，垂足为 E，则 ： OE=3cm， OE=3cm，AE=BE AB=8cm， ∵AB=8cm， ∴AE=4cm 在 Rt∆AOE 中，有 Rt∆ =5（cm） OA= OE + AE = 3 + 4 =5（cm） ∴O 的半径为 5m 总 结 规 我们考虑一下：半径、 讲完例 1 后，我们考虑一下：半径、圆心的弦的距离 律 ， 培养学生 及弦长三者有何关系？ 及弦长三者有何关系？ 的归纳总结能 l 2 力。 2 2 r =d +（ ）
调动学生 的学习积极 性，培养学生 的学习习惯。 的学习习惯。
C O A E D
刚才** **同学提出了圆 也是轴对称图形， 刚才 ** 同学提出了圆 也是轴对称图形 ， 他的说法对 吗？让我们来共同研究一下。 让我们来共同研究一下。 下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。 下面同学们拿出你的圆形纸片，按老师的要求来做。 首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折， 首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折， 然后观察 折叠后的两个半圆有何关系？ 折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论 学生答：圆是轴对称图形 学生答：圆是轴对称图形。 那么你知道它的对称轴是什么样的吗？ 师：那么你知道它的对称轴是什么样的吗？ 学生答： 学生答：它的直径 经过圆心的直线 有同学说是直径， 有同学说是经过圆心的直线， 有同学说是直径， 有同学说是经过圆心的直线， 谁说的 对呢？同学们讨论一下。 对呢？同学们讨论一下。 学生答： 对称轴是直线而直径是线段， 学生答： 对称轴是直线而直径是线段， 所以我们应该说
通 过 预 OD=OC-DC=ROD=OC-DC=R-7.2 习作业， 习作业 ， 使学 Rt△ 由勾股定理， 在 Rt△OAD 中，由勾股定理，得 生养成良好的 2 2 2 OA =AD +OD 学习习惯。 学习习惯。 2 2 2 =18. 即 R =18.7 +（R-7.2） 解这个方程， 27. 解这个方程，得 27.9（米） 27. 答：赵州石拱桥的桥拱半径为 27.9 米。 练习： 的圆形油槽内装入一些油后， 练习：在直径为 650mm 的圆形油槽内装入一些油后， 截面如图所示。 AB=600mm，求油的最大深度。 截面如图所示。若油面宽 AB=600mm，求油的最大深度。 学生板演： 200mm。 学生板演：得 200mm。 这节课我们就讲到这里， 这节课我们就讲到这里， 下面请一位同学总结我们这 节课学习了哪些内容？ 节课学习了哪些内容？
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根据此公式， 三个量中， 根据此公式，在 l，r，d 三个量中，知道任何两个量 就可以求出第三个量。 就可以求出第三个量。
练习： AB， 练习：在半径为 50mm 的 O 中，有长 50mm 的弦 AB，计 算， 1)点 1)点 O 与 AB 的距离 2)∠ 2)∠AOB 的度数 学生答出结果（ 学生答出结果（1）25 3 mm （2）60 利用刚讲过的半径、弦及圆心到弦的距离三者关系， 利用刚讲过的半径、弦及圆心到弦的距离三者关系， 可以知道 OE= OA − AE = 50 − 25 = 2500 − 625 = 1875 有简单一点的及计算方法吗？ 有简单一点的及计算方法吗？
学生答： 学生答：ADOE 为矩形 那么， 那么，如何来证明呢 ？ 学生口答： OD⊥AB，OE⊥AC，AC⊥ 学生口答：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AC⊥AB ∴∠EAD= ADO=∠AEO=90° EAD=∠ ∴∠EAD=∠ADO=∠AEO=90° 为矩形。 ∴ADOE 为矩形。 AC=AB，又会有什么结论呢？ 师：如果已知 AC=AB，又会有什么结论呢？ 学生答：ADOE 为正方形 学生答： 那么， 那么，如何来证明呢 ？ 学生口答： 学生口答：在刚才的证明中加上 ∵AC=AB ∴AE=AD 为正方形。 ∴ADOE 为正方形。 多年前， 例2 1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是 圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 37. 圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为 37.4 米，拱 弧的中点到弦的距离，也叫拱形高） 高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为 7.2 米， 求桥拱的半径（ 求桥拱的半径（精确到 0.1 米）
黑龙江省首届初中数学教师优秀教案评选参评教案
课题 垂径定理 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 知识 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 教 目标 学 能力 能较熟练地运用弦、 直径之间的特定关系， 解决有关问题。 能较熟练地运用弦、 、 弧 直径之间的特定关系， 解决有关问题。 目 目标 标 德育 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴。 目标 能较熟练地运用弦、 直径之间的特定关系， 解决有关问题。 情感 能较熟练地运用弦、 、 弧 直径之间的特定关系， 解决有关问题。 目标 教学重点 垂径定理及运用 教学难点 垂径定理及其推论的正确区分及运用 讨论法、 学方法 讨论法、探索法 实物、 教学手段 实物、微机 请同学们观察几幅图片 看些图形， 几幅图片， 看些图形， 请同学们观察几幅图片， 看他们有什么共同 由直观图 特点？ 形引入， 特点？ 形引入，引发 学生的学习兴 趣。
