导数学习常见易错点辨析

导数学习常见易错点辨析

导数作为一种工具，在研究函数的变化率，解决函数的单调性、极值等方面的作用是极为等方便。很多学生在学习导数时，由于对导数基本概念、理论的理解存在着误区，致使在应用时常常出错。

一、对相关概念理解不清

1.导数值与导数

“函数f（x）在点x0处的导数”是一个数值；“导函数”简称“导数”是一个函数，求函数在某点处的导数时一般是先求出函数的导函数，在计算这点的导函数值。

2.极值与最值

（1）“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个定义域上的最大值和最小值，具有绝对性。

（2）从个数上看，一个函数在闭区间内最值一定存在且最值是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大值并不一定比极小值大。

（3）从位置上看，极值只能在定义域内部取得而最值却可以在区间的端点处取得，有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。

二、曲线的切点位置

例1.过曲线y=x3+2x上一点（1，3）的切线方程是_______.

错解：由y′=3x2+2，故y′1x=1=5，所以所求切线方程为y-3=5

（x-1），即5x-y-2=0。

正解：设切线在曲线上的切点为（x0，+2x0），y′1x=x0=3x02+2，切线方程为y--2x0=（3+2）（x+x0），由题意该切线过点（1，3），有3--2x0=（3+2）（1-x0），即（x0-1）2（2x0+1）=0，所以x0=1或x0=-，于是得切线方程为5x-y-2=0或11x-4y+1=0。

评析：利用导数研究曲线的切线时，要注意过a点的切线和a

点处的切线是不同的概念，前者要求切线过a点即可，可能会有多个结果，而后者要求a点为切点，通常只有一个结果。事实上，过某点的切线中，该点不一定是切点；在某点处的切线中，该点则是切点。

三、忽视原函数的定义域

例2.求函数y=的单调区间。

错解：y′=（）′=，令y′>0，则>0，所以x1.故函数y=的单调增区间是（-∞，1］，单调减区间是（1，+∞）。

正解：要使函数有意义，则2x-x2>0，0≤x≤2。所以函数的定义域为［0，2］

y′=（）′=，令y′>0，则>0，所以x1.故函数y=的单调增区间是［0，1］，单调减区间是（1，2］。

评析：利用导数求函数的单调区间时，一定要优先考虑原函数的定义域。

四、满足f′（x0）=0的x0不一定是极值点

例3.函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b

的值。

错解：f′（x）=3x2+2ax+b，由题意知f′（1）=0且f（1）=10，即3+2a+b=0且1+a+b+a2=10，解之得a=4，b=-11或a=-3，b=3。

正解：后面应加上当a=4，b=-11时，f′（x）=3x2+8x-11=（3x+11）（x-1），在-1时，f′（x）>0，故f（x）在x=1处有极值。而当a=-3，b=3时，f′（x）=3（x-1）2，在x0，在x>1时，f′（x）>0，故f′（x）在x=1处没有极值。所以a=-3，b=3应舍去。

评析：f′（x0）为极值的充要条件为f′（x0）=0且在x0处两侧的导数符号相反。可导函数的极值点是它的导数为零的点，但导数为零的点不一定是该函数的极值点。利用导数求极值可分为三步：（1）求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）=0的根；（3）检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右两侧的符号，确定极值。

五、函数的单调性与导数的关系

例4.已知函数f（x）=在（-2，+∞）内单调递减，求实数a的取值范围。

错解：f′（x）=，由题意，f′（x）≤0在（-2，+∞）内恒成立，即≤0，得a≤。

正解：后面应加上当a=时f（x）==，不满足（-2，+∞）内单调递减，应舍去，实数a的取值范围为（-∞，）。

评析：f（x）为增（减）函数，则一定可推出f′（x）≥（≤）0，但反之不一定成立。由于f′（x）≥（≤）0为f′（x）>（<）0或f′（x）=0，两者有一个成立即可，当f′（x）=0成立时，f

（x）为常数函数，此时f（x）不具备单调性。因此，f′（x）≥（≤）0是

f（x）为增（减）函数的必要不充分条件。此类题需检验参数取等号时是否成立即可。

我们在学习导数时，一定要多思考、多探究，全面加深对导数的理解。

（作者单位江苏赣榆厉庄高级中学）

注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以pdf格式阅读”