rt不稳定性和RM不稳定性理论

瑞利泰勒不稳定性公式
瑞利-泰勒不稳定性发生在非稳定的密度分层的状况下，譬如较重的液体位于较轻的液体上，重力的作用加速了一层液体侵入另一层液体的进程，产生了湍流及随之发生的界面上的湍流混合过程。

瑞利泰勒不稳定性引起流体内部密度不同区域之间的相互渗透。

流体内部区域可以是由一个界面分开的两种不同的物质，或是一个界面分开的两部分平均密度不同的同种物质，这两个区域之间存在着密度梯度。

这种通常被称为瑞利泰勒不稳定性的现象，往往发生于重力场中低密度流体支撑高密度流体的情况。

瑞利泰勒不稳定性，由于热的等离子体在磁场中会出现抗磁性漂移，因此在等离子体与真空的边界上出现扰动时，在扰动的波峰波谷之间会出现电荷的积累。

这种积累产生的电场由洛仑兹力分析可知，会使波谷加深，波峰变高，从而使等离子体的槽纹变深。

搁婴摘要袖：。

丝性约水骧变ｆ』＝ｉ爆过删ｑ，存在各种流体不稳定蛙，它们能够破坏靶丸的别称。

阽羽Ｉ完整性，使得点火火败。

在这些流体力学不稳定性中，瑞利一泰勒不稳定性较容易发，１：，它的破坏性也比较大，被认为是影响惯性约束聚变砸点火所需的最小能：最的０：要凶豢之一，因此深入地理解内爆过程中的瑞利一泰勒不稳定性的发展舭｛ｐ，列于实现点火与商增益聚变是至关重要的。

本文从一个简译的堕逍体模型出发，分别研究了平衡流以及剪切流对瑞４：Ｕ一泰勒不稳定的影ｌ胸，得到如下的结果：１）与波矢平行方向的平衡流会改挛琐烈一泰塑至稳壅的丛塾堡塑堡奎（频移作用）；２）剪叨流及磁场在锐边界条件下对瑞利一泰勒不稳定性的影响表现为：ｉ）瑞利一泰勒不稳定性可以被与扰动波矢平行的５Ｆ衡磁场抑制，如果磁场足够强，瑞利一泰恸不稳定性甚至尢法发展；ｉｉ）与现有的一些模型不同，我们发现剪切流会驱动不稳定性；ｉｉ）Ｉ曲于平衡流剪切的存在，在短波扰动、强剪切流或是较小的阿托伍德＜Ａｆ：，ｗｏｏｄ）数的时候，瑞利一泰勒不稳定性表现出的特性与＂尔文一亥姆稚旌不稳定性类似。

同时，我们给｛“了瑞利一泰勒一；稳定性增长率与扰动波数、约化流剪切、约化Ａｌｆｖｅｎ速度以及阿托伍德数之间的关系。

Ⅵ钮．２，Ｏ岛ｚ、ｆ弓ｊＡＢＳＴＲＡＣＴＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｍｔ‘｝ｌｊ’ｔ、ＳＯ１１１３ｕｙｉｎｓ（，献）ｉｌ“ｉ＊ｉｎ１）ｌａ．。

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《周期温度调制倾斜基板下粘性液体薄膜的瑞利-泰勒不稳定性》篇一周期温度调制与倾斜基板下粘性液体薄膜的瑞利-泰勒不稳定性研究一、引言瑞利-泰勒不稳定性（Rayleigh-Taylor instability，简称RTI）是一种流体动力学现象，表现为重力驱动下密度差异较大的流体之间的界面出现的不稳定性。

当这一不稳定性发生在周期性温度调制和倾斜基板下的粘性液体薄膜时，其动力学行为和演化过程将变得尤为复杂。

本文旨在探讨这一现象的物理机制，并对其影响因素进行深入分析。

二、周期温度调制下的粘性液体薄膜在周期性温度调制下，粘性液体薄膜的物理性质会发生变化。

这种变化会导致薄膜内部的应力分布不均，进而可能触发瑞利-泰勒不稳定性。

此外，温度的周期性变化也会影响液体的粘度、表面张力等关键参数，进一步影响薄膜的稳定性。

三、倾斜基板对不稳定性的影响当粘性液体薄膜放置在倾斜基板上时，重力沿基板方向的分量将起到作用。

这一分量的存在将加剧界面处的扰动，使瑞利-泰勒不稳定性更加明显。

此外，基板的倾斜角度也会影响液体的流动和分布，从而影响不稳定的演化过程。

四、瑞利-泰勒不稳定性的物理机制瑞利-泰勒不稳定性是由界面处的密度差异和重力驱动的流体流动共同作用引起的。

在周期性温度调制和倾斜基板的影响下，这种不稳定性将表现出更为复杂的特性。

一方面，温度的周期性变化将导致界面处的密度分布发生变化，从而影响流体的运动；另一方面，倾斜基板将改变流体的流动方向和速度分布，进一步加剧了不稳定性。

五、实验与模拟研究为了深入研究周期温度调制和倾斜基板下的瑞利-泰勒不稳定性，我们进行了实验和模拟研究。

实验中，我们通过改变温度调制参数和基板倾斜角度，观察了不稳定的演化过程和特征。

同时，我们还利用数值模拟方法对这一现象进行了建模和仿真，以进一步验证实验结果并探索更多的影响因素。

六、结果与讨论实验和模拟结果表明，周期性温度调制和倾斜基板均会对瑞利-泰勒不稳定性产生影响。

《周期温度调制倾斜基板下粘性液体薄膜的瑞利-泰勒不稳定性》篇一周期温度调制与倾斜基板下粘性液体薄膜的瑞利-泰勒不稳定性研究一、引言在流体动力学的研究领域中，瑞利-泰勒不稳定性（Rayleigh-Taylor instability）是一种普遍存在的现象，它主要描述了重力作用下，较重流体与较轻流体之间的界面不稳定性。

本文将重点探讨在周期性温度调制和倾斜基板的影响下，粘性液体薄膜的瑞利-泰勒不稳定性的特性和机理。

二、周期温度调制与瑞利-泰勒不稳定性的基本理论瑞利-泰勒不稳定性是流体动力学中一种重要的物理现象，其产生的主要原因是重力作用下，密度差异较大的两种流体之间的界面在微小扰动下会逐渐放大，最终导致流体的混合。

而周期性温度调制则是一种通过改变流体温度场来影响其流动特性的方法。

在周期性温度调制的作用下，粘性液体薄膜的物理性质如表面张力、粘度等都会发生变化，从而影响其瑞利-泰勒不稳定性。

三、倾斜基板对瑞利-泰勒不稳定性的影响在倾斜基板的影响下，粘性液体薄膜的流动将受到重力和基板倾斜角度的共同作用。

基板的倾斜会导致流体的流动方向和速度发生变化，从而影响瑞利-泰勒不稳定性的发展。

此外，基板的表面特性如粗糙度、润湿性等也会对流体的流动和稳定性产生影响。

四、实验设计与实施为了研究周期温度调制和倾斜基板下粘性液体薄膜的瑞利-泰勒不稳定性，我们设计了一套实验装置。

该装置包括一个可调节温度的加热系统、一个可调节倾斜角度的基板以及用于观察和记录实验现象的高速摄像机。

通过改变温度和基板倾斜角度，我们可以观察和记录不同条件下的瑞利-泰勒不稳定性的发展过程。

五、实验结果与分析实验结果表明，在周期性温度调制的作用下，粘性液体薄膜的瑞利-泰勒不稳定性得到了明显的增强。

随着温度的周期性变化，流体的表面张力、粘度等物理性质也随之改变，从而加剧了界面的不稳定性。

而基板的倾斜则会使流体的流动更加复杂，使得瑞利-泰勒不稳定性的发展受到更多的影响因素。

飞行进近中尾流的大涡数值模拟徐肖豪;赵鸿盛;杨传森;王振宇【摘要】尾流间隔是增大跑道容量的主要限制因素之一,为了在保持安全水平的前提下有效地增大跑道容量,应制定安全高效的尾流间隔.对尾流流场和尾涡消散物理过程的研究,是制定准确、恰当的空中交通中尾流间隔的重要理论依据.本文用大涡模拟方法对三雏机翼简化模型的尾流场进行了数值模拟.数值模拟的来流速度、迎角和定解条件等重要参教以航空器尾流事故高发的进近阶段为依据,计算结果验证了涡核的进裂消散、涡对的连接消散和涡对的下沉现象,发现了在涡对卷起之前的不对称性和Crow关联发生后涡对消散的不对称性,并分析了其原因.【期刊名称】《南京航空航天大学学报》【年(卷),期】2010(042)002【总页数】6页(P179-184)【关键词】尾流间隔;数值模拟;大涡模拟;湍流【作者】徐肖豪;赵鸿盛;杨传森;王振宇【作者单位】中国民航大学空中交通管理学院,天津,300300;北京航空航天大学电子信息工程学院,北京,100191;南京航空航天大学民航学院,南京,210016;中国民航机场建设集团公司西南分公司,成都,610202【正文语种】中文【中图分类】V355当今世界各主要机场的航班延误已经成为影响航空运输发展的瓶颈,增大跑道容量可以有效地减少航班延误[1]。

而尾流间隔又是跑道容量的主要限制因素,因此制定出安全高效的尾流间隔对航空运输的发展有着重要的现实意义。

更清晰地认识尾流的物理过程和尾涡的消散原理能够为尾流间隔的缩减提供坚实的理论根据。

Kraft于1955年通过飞行实验确定发动机螺旋桨形成的涡流对后面跟进的航空器不会造成危害,但同时发现由于机翼升力导致的尾流将有可能对后机安全构成威胁[2]。

Thomas等人[3]采用数值模拟方法,对处于稳定分层的大气中,以巡航速度飞行的Boeing-747的翼尖涡进行了计算,计算结果验证了Crow[4]于1970年提出的正弦不稳定性(即Crow不稳定性)。

旋转磁场驱动的磁—瑞利—泰勒不稳定性研究早期的聚变研究中的平衡Z箍缩,由于不可避免地要出现交换/准交换模(k·B =/≈0)不稳定性,难以成为一种可能的磁约束聚变系统。

避免这种不稳定性的一种途径是放弃柱形几何位形,这导致多年来聚变界对Z箍缩失去兴趣,而转向了托卡马克构型。

最近随着百纳秒快脉冲功率技术的发展和动态Z箍缩的出现,聚变界对Z箍缩重新焕发了兴趣。

在动态Z箍缩系统中,等离子体柱在磁压的驱动下内爆,不可避免地要出现磁-瑞利-泰勒(,magneto-Rayleigh-Taylor,MRT)不稳定性。

MRIT不稳定模式与其他不稳定模式一起发展,但MRT不稳定的增长率要比其他模式快得多,它是破坏Z箍缩对称性的最严重的影响因素,因此研究MRT不稳定性,进而找到抑制其发展的技术方案,对于动态Z箍缩的任何遮用丽成都是十分重要的。

本文在MRT不稳定性研究的基础—上,提出了采用方向时变(旋转)的驱动磁场来抑制动态Z箍缩的MRT不稳定性,分别在有限厚度平板和柱形套筒位形中,研究了旋转驱动磁场对MRT不稳定性的抑制机理和物理图像,得到的主要结论有:(1)在平板位形中,旋转磁场驱动的所有模式均得到明显抑制,增长率均低于(磁场不旋转的)经典值;(2)在套筒位形中,优化的交替O-Z箍缩的主导模式末态时的最大e倍数明显远低于标准O箍缩或Z箍缩的:(3)磁场方向旋转是一种独立于有限厚度的效应,磁场方向旋转的频率、套筒的。

厚度均具有单调的抑制作用,它们的协同作用会增强抑制效果;(4)有限厚度效应仅在磁场方向时变时呈现,在标准O箍缩Z箍缩中则无体现;(5)另外嵌套O-Z箍缩构型也有很好的稳定性,由于MRT不稳定性得到非常好的抑制,交待/嵌套O-Z箍缩构型具有应用于O-Z箍缩袞筒惯性覆聚变(Theta-Z-LIF)的潜力。

Turing 不稳定性及斑图形成摘要:在这篇文中，我们借助于浮游植物-浮游动物的数学模型来研究Turing 不稳定是如何产生的.首先介绍了Turing 不稳定产生的内在机理，给出了详细的过程，并且最终得出了产生Turing 不稳定的参数空间.然后在结合含有扩散项的浮游植物、浮游动物的捕食模型来研究该模型是否能够产生Turing 不稳定现象. 关键词：Turing 不稳定，捕食模型1.Turing 不稳定性1952年Turing 在文中《The chemical basis of morphogenesis 》一文中提出：如果参加相互反应的化学物质自身不存在扩散作用，经过一段时间反应后，它们会达到一定的平衡状态，即这些化学物质的浓度将会变得均匀. 但如果这些化学物质具有扩散作用的话，那么在某种条件下，这种均匀的平衡态将会被打破，变成不均匀的平衡态，这边是Turing 不稳定现象. 换句话说在同一个正常数平衡解处的常微风模型是稳定的，但对于加入扩散作用的偏微分方程模型却是不稳定的.本文借助于数学模型来说明发生Turing 不稳定性的条件. 海洋中存在着多种浮游植物和浮游动物，它们的关系非常的复杂，这里我们仅分别考虑一种浮游植物、一种浮游动物，并且这种浮游动物主要以这种浮游植物为食. 浮游植物会产生毒素，可以杀死一定量的浮游动物，进而来保护自己免受捕食.并且还考虑两种浮游生物在二维平面上的空间分布，从而引入其含有Laplacian 算子的扩散项。

Spatiotemporal dynamics toxic-phytoplankton-zooplankton model ：1P P aPZ rP t K P m Z bPZ cPZ dZ t P m P m∂⎛⎫=-- ⎪∂+⎝⎭∂=--∂++（1） 这里的参数均为正常数，其中()()=,,,,P P x y t Q x y t =，分别是能够产生毒素的浮游植物、浮游动物在t 时刻(),x y 处的密度，并且浮游植物产生的毒素可以杀死浮游动物且满足第二类功能性反应函数. 浮游植物服从Logistic 的增长方式，r为其内禀增长率，K 为其环境容纳量. 浮游动物捕食浮游植物满足第二类功能性反应函数，a 为捕食率，m 为半饱和常数. b 为浮游动物捕食浮游植物转化为自身增长的效率，d 为浮游动物的死亡率，c 为浮游植物产生毒素杀死浮游动物的概率，显然要满足b c >.对于模型（1）的各个平衡点处的稳定性在文献[1]中已经研究，这里不再详细介绍，仅仅在下面简单分析其正平衡态存在、稳定的条件. 下面我们在模型（1）的基础上，考虑其扩散项，从而得到如下的模型.Spatiotemporal dynamics in a reaction-diffusion toxic-phytoplankton-zooplankton model ：()()11221,,,P P aPZ rP D P f P Z D P t K P m Z bPZ cPZ dZ D Z g P Z D Z t P m P m∂⎛⎫=--+∆+∆ ⎪∂+⎝⎭∂=--+∆+∆∂++@@（2） 且满足非零的初始条件()()(),,00,,,00,[0,][0,]P x y Q x y x y Lx Lx >>∈Ω=⨯ 以及零边界条件()0,P Q x y n n ∂∂==∈∂Ω∂∂其中,Lx Ly 分别是模型（1）在,x y 方向上的一段，向量n 是边界∂Ω上的单位外法向量，零边界条件也就说明了这个系统没有外部的输入，此时可以认为模型是独立的. 12,D D 分别表示浮游植物和浮游动物的扩散系数. ∆为二维空间上拉布拉斯算子.2222=x y∂∂∆+∂∂ 本文研究的是Turing 不稳定性，所以只需关心正平衡态，从模型（1）可以计算出本系统存在唯一的一个正平衡态为()***,E P Z =其中：()()()()**2,rm b c K b c d md md P Z b c d aK b c d ----==----并且满足：()/0K md b c d >-->.模型（1）在正平衡点*E 处的线性化模型为：P P J t Z Z ⎛⎫⎛⎫∂= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭其中**,P P P Q Q Q =-=--，矩阵J 为()()()()()()()111221220rd K b c d m b c d ad J J K b c b c d b c J J J r K b c d md aK ⎛⎫----+- ⎪----⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭--- ⎪ ⎪⎝⎭@ 则由二维系统的Routh-Hurwitz 判据[1]可得正平衡点稳定的冲要条件为()()()()11221221det 0rd K b c d md J J J J J K b c ---=-=>-（3） ()()()()()()11220rd K b c d m b c d tr J J J K b c b c d ----+=+=<---（4）联合（3）、（4）式可解出参数范围为：()m b c d md K b c d b c d-+<<----（5） 接下來研究Turing 不稳定性，即是由于扩散系统引起的不稳定性. 因此，我们总假设条件（3）、（4）成立，也即式（5）式是恒成立的. 下面考虑含有扩散的模型（2），做与上述相同的平移变换,并把新的变量,P Q 仍记为,P Q ，这里的,P Q 表示模型（2）在平衡点*E 附近的扰动. 可得：1112121222P J P J Q D P t Q J P J Q D Q t ∂⎧=++∆⎪⎪∂⎨∂⎪=++∆⎪∂⎩（6） 又因为模型（6）的任意解都可以展开成下述的Fourier 级数：()()()()()(),0,0,0,0,,sin ,,cos ij ij i j i j ij ij i j i j P r t u r t t krQ r t v r t t kr αα∞∞==∞∞==⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩∑∑∑∑（7）这里向量(),r x y =，且0,0x L xy L y <<<<. 向量(),i j k k k =，且/,/i j k i Lx k j Ly ππ==，,i j k k 称为波数.把（7）式带入（6）式可得：()()211112221222ij ij ij ij ij ij J D k J t J J D k tααββαβ∂⎧=-+⎪⎪∂⎨∂⎪=+-⎪∂⎩（8） 其中222i j k k k =+，这里是因为()()()222sin sin sin sin sin i j i i j j i j kr k x k y k k x k y k k x k y k kr∆=∆+=-+-+=-模型（8）是一个常系数微分方程组，其解的形式为1212t t c e c e λλ+，其中12,c c 为常数，是由初始条件所确定. 12,λλ是其系数矩阵1J 的特征值2111121221222J D k J J J J D k ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦（9） 求得此系数矩阵的行列式、迹分别为：()()()4211211222111221221det J D D k J D J D k J J J J =-++-（10）()()()21121122tr J D D k J J =-+++（11）为了研究是由于扩散发生的不稳定，系数矩阵的特征值12,λλ至少有一个是具有正实部，也就说条件()()11det 0,0J tr J ><至少有一个不成立. 有假设条件（3）、（4）恒成立，可知11220J J +<恒成立，所以得到()10tr J <恒成立，所以要使Turing 不稳定发生，存在一个参数空间使得()1det 0J <成立.令()()()2421211222111221221G k D D k J D J D k J J J J =-++-（12）这是一个关于未知数2k 的一元二次函数，由条件（3）知112212210J J J J ->成立.显然，()20G k <在()20,k ∈+∞成立的必要条件是1122210J D J D +>（13）在条件（13）成立的前提下，要使()20G k <成立，即要求()20G k =有两个实根，则必须满足系数判别式：()()211222112112212214J D J D D D J J J J +>-（14） 在满足条件（13），（14），函数（12）将会存在两个正的实根22,k k ，当满足 222k k k <<（15）时，有()20G k <，即模型（8）的系数矩阵的特征值12,λλ至少有一个是具有正实部，则模型（2）的平衡点*E 是不稳定的，此时平衡点*E 的不稳定性是由于扩散项∆算子的特征值也成波数的k 所引起的，所以称（15）式为Turing 不稳定空间. 得到Turing 不稳定的参数空间后，可以选取输入参数空间的各个参数，使得模型在这些参数下发生Turing 不稳定，进而会形成各种斑图，对于具体形成斑图，这里不做介绍.综上，可得发生Turing 不稳定性的充分必要条件是：式子（3）、（4）、（13）、（14），也即：()()()()11221221112211222121122211211221221det 0004J J J J J tr J J J J D J D J D J D D D J J J J ⎧=->⎪=+<⎪⎨+>⎪⎪+>-⎩ 对于模型数学模型（2），根据上面的Truing 不稳定的充要条件来求其Truing 不稳定的参数空间. 前面已经得到求解其雅克比矩阵J ，其中220J =，由（4）式可知()110tr J J =<，再由（13）式可得1120J D >，而这里的20D >，从而可得对于模型（2）来说，不满足上述的条件，所以并不会发生Turing 不稳定现象.通过（4）、（13）式可知，1122,J J 必须是异号的，并且负值的绝对值要大于正值的绝对值，在模型（2）中，220J =，所以其不会发生Turing 不稳定现象.2. 总结这是最近看到的一篇关于反应扩散微分方程的文章，原文中也是简单介绍个各个理论，我有利用生物数学课堂上学过的知识，进行整理。

高等数学a1 失稳-回复高等数学A1 失稳：从稳定到失稳的数学探索在高等数学中，我们经常会遇到一个重要的概念——稳定性。

稳定性是指系统在面对外界扰动时是否能够保持原有的运动状态或动力学性质。

然而，有时候我们会发现一些系统在某些条件下会发生失稳，即无法维持原有的稳定状态，这对于我们理解和分析这些系统的行为有着重要的意义。

本文将以高等数学A1中的失稳为主题，从基本概念到具体案例，一步一步解析稳定性与失稳的数学探索。

一、稳定性概述在我们开始探讨失稳之前，必须先了解什么是稳定性。

对于一个动力学系统来说，稳定性可以分为三种情况：稳定、不稳定和临界稳定。

1. 稳定性：当系统受到外界的微小扰动后，系统的行为趋于平衡，保持在初始状态附近，即系统具有稳定性。

2. 不稳定性：当系统受到微小扰动后，系统的行为越离初始状态越远，无法维持原有的动力学性质，即系统具有不稳定性。

3. 临界稳定性：当系统受到微小扰动后，系统的行为会趋于初始状态附近，但是随着时间的推移，系统会逐渐发生变化，即系统具有临界稳定性。

二、线性稳定性与非线性失稳性对于线性系统来说，其稳定性有着相对简单的判断方法。

线性系统是指系统的输入与输出之间存在线性关系，而非线性系统则没有这种关系。

在这里我们将主要讨论线性稳定性与非线性失稳性。

1. 线性稳定性：对于线性系统，我们可以通过特征根的判断来确定系统的稳定性。

当特征根的实部都小于零时，系统是线性稳定的；而当特征根存在实部大于零时，系统是线性不稳定的。

2. 非线性失稳性：与线性系统不同，非线性系统的稳定性往往更加复杂。

非线性系统的失稳性主要体现在系统的参数、初始条件或其他外界因素发生变化时，导致系统行为产生明显变化，甚至出现分岔、混沌等现象。

三、具体案例探索为了更好地理解线性稳定性与非线性失稳性，我们将以两个具体案例进行说明。

1. 线性稳定性案例：阻尼振动考虑一个简单的弹簧-质点系统，质点受到重力和来自弹簧的弹力作用。

第6章磁流体力学不稳定性§6.1概论等离子体能够被磁场约束并处于力学平衡状态。

一个处于力学平衡状态的等离子体位形，当它受到某种扰动，偏离平衡态时，等离子体将如何反应？是越来越偏离平衡态，最后导致平衡态被破坏呢，还是很快将扰动抑制住回到平衡态．前者是不稳定平衡，后者是稳定平衡．但当磁流体处在非热力学平衡态，其内部存在着可以转换成扰动能量的自由能时，在合适的条件下有些扰动就可能发展成为在大范围、长时间、能量超过热噪声水平的大幅度集体运动．这种集体运动就称为不稳定的模式，相应现象就称为磁流体的不稳定性．研究等离子体的各种不稳定性，阐明其物理机制，探索抑制不稳定性的方法，一直是受控核聚变研究的重要课题．磁约束等离子体可以处于力学平衡状态，但它不是完全的热力学平衡态．等离子体处于非热力学平衡状态意味着等离子体具有较高的自由能，因而必然会产生从较高能量状态过渡到较低能量状态的宏观或微观运动．等离子体偏离热力学平衡态大体有两类方式．一类是等离子体宏观参数如密度、温度、压强或其它热力学量的空间局域性和不均匀性；另一类是等离子体的速度空间分布函数偏离麦克斯韦分布．由于前一种原因产生不稳定性时，等离子体通常以整体形式在空间改变其形状，因而称为宏观不稳定性。

由后一种原因产生的不稳定性称为微观不稳定性．宏观不稳定性通常用磁流体力学方程进行分析，因而也称为磁流体力学不稳定性，而微观不稳定性则用动力论方程进行分析，因而也叫动力学不稳定性．由于磁流体力学不稳定性在磁约束核聚变等离子体中具有更重要的地位，处理方法也相对地比较容易，因此本节仅讨论磁流体力学不稳定性．下面我们将首先从分析流体的瑞利一泰勒不稳定性（Rayleigh－Taylor instability）入手，这样做物理图像清晰，易于理解．然后讨论在分析磁流体力学不稳定性中得到广泛应用的能量原理．在这基础上分析几种主要的宏观不稳定性，最后讨论等离子体电阻对不稳定性的影响．下面是几种典型的磁流体不稳定模式．例1．瑞利一泰勒（Rayleigh-Taylor）不稳定性（图4．1）；例2．开尔文一亥姆霍兹（Kelvin－Helmholtz）不稳定性（图4．2）；例3．腊肠型不稳定性（图4．3）；例4．弯曲型不稳定性（图4.4）；例5. 磁岛（图4.5）；例6. 磁重联（图4．6）．每种不稳定的扰动在其演化过程中都会依次经历下面三个阶段：线性阶段、非线性阶段及饱和阶段．在线性阶段，扰动的幅度较小，不同类型的扰动彼此之间并不相互作用，扰动对它所处的平衡态也无影响，这时扰动的幅度是随时间指数增长的．在非线性阶段，扰动幅度增大到会反过来使原有的平衡量作一定调整（因此改变了自己得以不稳定增长的初始条件，使馈入的自由能量减少），并达到开始和其他扰动模式相互作用（从而彼此间交换能量）的程度，从而使增长率木断下降．这时扰动幅度是依次随时间的不同幂次（一般是从高幂到低幂次）而增长的．当时间的幂次最后降低到零时，就达到了演化的终点——扰动的幅度不再随时间增加，而一直保持极大值，这就是饱和．本章只讨论磁流体的线性不稳定性．线性不稳定性的基本描述方法（1）简正模法先将描述所研究对象的状态量写成平衡量（零级量）和扰动量（一级小量）之和，然后把它们代入所用的磁流体方程组，从中减去平衡方程并略去二级小量就得到了线性化的方程组．对这些方程作（时间）拉氏变换和（空间）傅氏变换,(,)exp()k A t A i i t ωω=⋅-r k r 后可能出现下列几种情况：（i ）全部空间坐标都能进行傅氏变换．这样线性微分方程组就变成了线性的齐次代数方程组，它的有非平凡解的条件（系数行列式为零）就给出了关于()k ωω=的色散关系．例如上一章中平板几何位形下的阿尔文波的色散关系正是由这种方式得到的．（ii ）只有部分空间坐标能进行傅氏变换，剩余的坐标构成了约化的微分方程组．这时要设法先得到它的通解，然后利用边条件或连接条件也可以得到()k ωω=的色散关系．例如上一章中，柱坐标下阿尔文波的色散关系就是这样求得的．（iii ）所得出的约化微分方程如果是奇异的，如上一章中连续谱阿尔文波所满足的方程(2)能量原理（仅对理想磁流体适用）§6.2瑞利一泰勒不稳定性这是一种经典的流体不稳定性．因为这种不稳定性是由重力驱动的，故又称重力不稳定性．让我们来研究图3.25所示的一个容器．该容器内盛有两种不同质量密度的液体，上面的液体质量密度大，下面的质量密度小．两种流体之间有明显的分界线．显然，质量密度梯度ρ∇由下向上，受到的重力由上向下，用G -∇来表示．液体的平衡方程是()0tρρ∂+∇⋅=∂u (1) d G dtρρ=-∇u (2) 式中u 是流体元的速度．流体达到平衡0=u ．现在假定在交界面上出现了一个微扰动，其形式为1111(),()i t i t x e u u x e ωωρρ--== (3)这样，密度和流体速度便可写成：01011,ρρρ=+=+=u u u u (4)从这里开始，参数下标为0表示平衡量，参数下标为1表示扰动量．将（4）式代入平衡方程（3），我们得到质量守恒方程10110()0tρρρ∂+∇⋅=⋅∇=∂u u （5） 在整理上式时，已考虑到流体是不可压缩的，10∇⋅=u ．将（3））式代人（5）式便得到1ρ表达式：101i ρρω⋅∇=u （6） 同样可以得到扰动后的动量方程和1u 的表达式：101d G dtρρ=-∇u （7） 110G i ρωρ=∇u （8） 将（6）式和（8）相结合使得到如下的方程：200G ρωρ∇=-∇⋅． （9）（9）式说明，当流体的密度梯度方向跟受到的重力方向相反时就会产生不稳定性，此时20ω<，这就是说重流体在上面轻流体在下面的这种平衡是不稳定的．只要有微扰（轻轻晃动），就会破坏原来的平衡状态，直到达到另一种新的平衡态为止．这时重流体在下，轻流体在上，正好跟原来交换了位置，所以这种不稳定性也叫做交换不稳定性．现在我们采用类比的方法来研究约束在磁场中的等离子体．假定磁场与等离子体之间达到了平衡，中间有明显的分界面．就是说在等离子体中没有磁场，在磁场中没有等离子体．这时，等离子体除了受到重力之外，还受到磁场的作用力，包括磁场梯度引起的力B μ∇和磁场的弯曲引起的力2||()mv ⋅∇b b ．当然这是指单个粒子受到的力，我们把它们当作等效重力（跟流体情况作类比），记作eff G ∇，2||()eff G B mv μ∇⇒∇+⋅∇b b (10)将2,2mv W B B μ⊥⊥== ()B Bκ⊥∇⋅∇≡≈b b 以及粒子能量W W W ⊥=+代入上式并对整个麦克斯韦速度分布函数积分，我们可以得到作为流体元的等效重力：0eff B B G P B B ρ⊥∇∇⎛⎫∇→+ ⎪⎝⎭ （11）对干各向同性等离子体，||,B B P P ⊥⊥∇≈∇≈，因此 02eff B G PBρ⊥∇∇≈ 因为在低β情况下 2c c B B R κ⊥∇==-R 所以 202e eff eP G R ρ∇=-R （12） 将（12）式代入（9）式便得到描述瑞利一泰勒不稳定性的方程202002e e P R ρωρρ∇=⋅R （13） 上式说明，当磁场曲率e R 与等离子体密度梯度0ρ∇方向相反，即00e ρ⋅∇<R ，就会产生不稳定性．这种不稳定性条件也可以表示为磁场梯度与等离子体密度梯度同向，即00B ρ∇⋅∇>．如图3.26（a ）所示．从图中可以看出，这时的磁力线是凹向等离子体的．这种曲率被称为“坏曲率”．图3．26（b ）画出了稳定的磁场位形．此时，磁场曲率c R 与等离子体压强梯度P ∇（或密度梯度0ρ∇）同向．磁力线凸向等离子体，这种磁场位形的曲率被称为“好曲率”．在实际的磁场位形中，曲率矢量ˆκ往往不断改变方向．也就是说，在某个地方是“好曲率”，在另一个地方则变成“坏曲率”．如在简单磁镜场中，在中心部位是“坏曲率”，而在“咽喉”部位则是“好曲率”．因此，有必要引入“平均曲率”的概念．定义： 磁力线管的比容U ，它是磁力线管的几何体积V δ与管内的磁通量δΦ的比值：V Sdl δδ=⎰，B S const δδΦ==，S dl V Sdl Bdl B B δδδδ⎛⎫===Φ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ V dl U Bδδ==Φ⎰ 平均曲率的定义为211R l l c c d d B dl BB R B B B B dl B B B dl B ψψψψψψ∇∂-⋅=⋅=∇∂∂⎛⎫=-∇ ⎪∂⎝⎭∂=-∇∂⎰⎰⎰⎰⎰ 因此，平均曲率半径为 1c dl B dl R Bψψ∂∇∂=⎰⎰ 前面得到的稳定条件（好曲率）是曲率与P ∇同向，即0c P ∇⋅>R ，在聚变等离子体中，一般都是中心密度大，即/0P P r ∇∂∂<；因此稳定条件要求0c R <．这就相当于要求220dl U V B ψψψ∂∂∂==<∂∂∂⎰ 其中()V ψ为磁面包围的体积．因此，即()V ψ有极大值，其中必有磁场极小值，这相当于平均磁阱．这说明位于磁阱的等离子体是稳定的．与之相反，位于磁山“磁山”的等离子体是不稳定的，§6.2 等离子体的能量原理不考虑离子和电子的效应，可将等离子体作为单流体来处理。

Richtmyer-Meshkov不稳定性的格子Boltzmann数值模拟冯永昌;李会雄;王太【摘要】To seek a new method to study the Richtmyer-Meshkov(RM) instability, a numerical study was performed for the evolution of the interface between two layers of fluid with different densities using the coupled double distribution function lattice-Boltzmann method (LBM). The research focused on the RM instability and the perturbation growth rates of the interface were presented. The influence of the Mach number upon the perturbation growth rate was explored. The results show that due to the RM instability, the heavy fluid falls to generate a spike and the light fluid rises to form a bubble, and at last the head of the spike changes to mushroom shape. The numerical perturbation growth rate is in agreement with the result by the Zhang-Sohn model. The perturbation growth rises with an increase in the Mach number of shock wave. It can be concluded that the present method is an efficient approach to the simulation for the RM instability and two-phase flow.%为了探寻研究Richtmyer-Meshkov (RM)不稳定性的新方法,采用耦合双分布函数格子Boltzmann方法(LBM),对激波作用下两种不同密度流体交界面的演化过程进行了数值模拟研究,着重讨论了RM不稳定性的行程和演化特征,给出了交界面的扰动增长率的变化规律,同时还研究了激波强度对扰动振幅的影响.结果表明:由于受RM不稳定性的影响,两种不同密度流体的交界面上,重流体演化成尖顶结构,而轻流体演化成气泡结构,最终由于斜压效应重流体的尖顶转变成蘑菇头形状；交界面扰动增长率与Zhang-Sohn模型较吻合；激波强度越大,扰动振幅增长率越高.研究表明所提的方法可以用于RM不稳定性的研究,有望成为两相流研究的新途径.【期刊名称】《西安交通大学学报》【年(卷),期】2012(046)011【总页数】5页(P44-48)【关键词】格子Boltzmann方法;双分布函数;RM不稳定性;两相流【作者】冯永昌;李会雄;王太【作者单位】西安交通大学动力工程多相流国家重点实验室,710049,西安;西安交通大学动力工程多相流国家重点实验室,710049,西安;西安交通大学动力工程多相流国家重点实验室,710049,西安【正文语种】中文【中图分类】O354.5两种不同密度的分层流体交界面在激波作用下会获得一个有限速度，界面上的扰动会随着时间逐渐发展，最终导致两种流体强烈混合，该现象称为Richtmyer－Meshkov（RM）不稳定性［1－2］.RM 不稳定现象存在于许多物理过程中，如超燃冲压发动机内燃料的混合与燃烧、惯性约束热核聚变及天体物理中的超新星爆炸等，由于其在军事和民用上的巨大潜力，对RM不稳定性的研究至今异常活跃.目前，已有许多关于RM不稳定性实验［3］和数值模拟［4］结果的报道.在数值模拟方面，许多新的方法得到应用，如 Front－tracking［5］以及格子Boltzmann方法（LBM）［6］.与传统的基于求解宏观量的Navier－Stokes（N －S）方程的方法不同，LBM 是一种基于对流场的介观层次描述的方法，既具有微观方法假设条件较少的特点，又具有宏观方法的不关心分子运动细节的优势.该方法没有对介质连续性假设的要求，可用于模拟非连续介质的流动问题，能比较直观、方便地研究复杂的流动问题，因而该方法对于激波和界面的捕捉比其他方法更具优势.Jin等［7］首次采用单松弛LBM对RM不稳定性进行了初步模拟.Chen等［8］提出新的可压缩LBM，并对RM不稳定性进行研究，获得了与实验图像接近的模拟结果.2011年，Chen等［6］采用多松弛 MRT模型对RM不稳定性进行详细研究，获得了与理论预测相接近的模拟结果，数值模拟得到的界面演化过程与物理分析结果相一致，但该MRT模型存在过多的自由参数，对不同的工况需要调节自由参数才能得到满意的结果，并且不能直接采用实际物理单位.2007年，Li等［9］通过将双分布函数模型和多速度模型结合，提出了满足完全气体状态方程并可用于可压缩流动的耦合双分布函数格子Boltzmann模型.该模型在模拟黏性可压缩流动中，较之传统的单分布函数多速度模型，在调节比热容和普朗特数方面具有很大的优势，相对于多松弛MRT模型，自由参数少，可以直接采用实际物理单位；同时，通过采用圆函数分布代替Maxwell分布，使得耦合双分布函数模型可以应用于含有激波的复杂流场等问题.鉴于耦合双分布函数LBM的诸多优点，本文首次采用该方法分别对激波作用于Air－SF6和Air－He的交界面RM不稳定性现象进行数值模拟，给出了界面演化的详细过程，同时计算了两种工况下的扰动增长率，所得结果与理论模型预测基本一致，表明该方法能够用于RM不稳定性分析的模拟计算.本文还对不同马赫数Ma对界面扰动振幅的影响进行了研究，得出了其基本规律.1 数值模拟计算模型及实验参数1.1 物理模型本文的数值模拟在二维矩形计算区域上进行，交界面和激波的初始位置如图1所示.假设激波由矩形区域的左侧进入并向右运动，则激波左侧为波后Air，可由激波前后关系式求得其物理参数，激波和交界面之间为静止的Air，交界面右边为静止的SF6或He.实际数值模拟时，Air、SF6和He的密度按照实际密度给定，取γ＝1.4.计算区域长0.6m、高0.1m.图1 激波与交界面的初始位置1.2 计算方法本文采用的耦合双分布函数LBM演化方程［9］如下式中：分别为密度分布函数和平衡态密度分布函数；hα、分别为总能分布函数和总能平衡态分布函数.及其他参数的具体形式可参考文献［9］.流体的密度、速度、温度及压力等宏观参量可通过分布函数计算得到式中：b＝2／（γ－1）.本文采用有限差分方法对式（1）、（2）进行离散求解，时间离散采用一阶隐式显式龙格库塔格式［10］，空间离散采用二阶 Lax－wendroff格式.本文计算时选用D2Q12离散速度模型［9］.1.3 网格划分及边界条件在计算前进行了网格无关性验证，1200×200的均匀网格能够捕捉到更清晰的界面.边界条件的设置为：左边界采用进口边界条件；上下壁面采用周期性边界条件；右边界采用非平衡外推［11］.2 计算结果与分析本文分两种情况对RM不稳定性进行研究：①激波由轻气体向重气体入射；②激波由重气体向轻气体入射.已有的研究表明，激波作用不同密度气体正弦界面后，在扰动发展初期，振幅a呈线性增长，后期振幅呈非线性增长，轻流体发展成为气泡，重流体发展成尖钉，最终随着演化不断发展进入湍流混合状态［12］.为了验证本文方法的可靠性，首先采用该方法模拟了Air－SF6的物理实验，实验具体参见文献［5］，并与物理实验结果及 Holmes等［5］使用Fronttracking方法的模拟结果进行了对比，如图2所示.从图中可以看出，本文的模拟结果要优于Fronttracking方法及其他理论预测模型，更加接近实验结果，表明了本文方法的可行性和优越性.图2 Air－SF6例子的扰动振幅随时间的变化2.1 激波由Air向SF6入射的数值算例Air中一个Ma为1.2的激波与正弦型介质界面相互作用，界面的另一侧充满了SF6，计算的初始条件为式中：l、m、r分别代表图1中的左、中、右3部分区域；ρ0、u0、p0 为参考量，其值为标准大气压下Air的参数，ρ0＝1.165kg／m3，p0＝ρ0RT0，T0＝303K，u0＝（RT0）1／2.激波初始位置x＝0.1m，交界面的初始位置x＝0.25 Nxdx＋0.008cos（20πy），其中Nx为x方向网格数，dx为网格长度.图3为t＝0，0.28，1.87，3.73ms时的密度和压力场图，当激波从左向右运动碰到交界面时，随即产生一个右行穿透激波和一个左行反射激波（见图3中t＝0.28ms的时刻），并且穿透激波有明显的弯曲，交界面在向下游运动的同时，有很小的变形.t＝1.87ms时，反射激波已经离开计算区域，穿透激波变得平坦，扰动振幅不断增大，由于受到RM不稳定性的影响，交界面的扰动继续发展，产生了泡状和钉状结构.最终，由于界面切向速度差导致尖钉头部形成翻转的蘑菇头形状（见图3中t＝3.73ms的时刻）.图3 Air－SF6例子不同时刻的密度和压力场图图4为扰动振幅及其增长率随时间的变化图，扰动振幅定义为气泡和尖钉长度之和的一半.由图4a可以看到，激波穿过界面时，扰动出现了负增长，随后，由于RM不稳定性起了主导作用，扰动迅速发展.图4b为数值模拟的扰动增长率与Zhang－Shon非线性理论模型［13］的对比图，可以看出，LBM数值模拟的计算结果与非线性理论结果较吻合.结果中出现的大幅波动是由数值格式的非物理振荡引起的.图4 Air－SF6例子的扰动振幅与扰动振幅增长率随时间的变化Zhang－Shon非线性理论模型［13］的表达式为式中：υ0＝kΔuA1a1，其中k为波数，a1 为激波作用后交界面的振幅，Δu为波后界面跃迁速度；A1为激波作用后界面的Atwood数.2.2 激波由Air向He入射的数值算例Air中一个Ma为2.0的激波与正弦型介质界面相互作用，界面的右侧充满He，交界面的初始位置x＝0.1 Nxdx＋0.008cos（20πy），激波初始位置x＝0.06m，初始参数如下图5给出了不同时刻激波和交界面运动发展情况的密度场图.当激波穿过交界面时，随即产生一个向左运动的反射稀疏波和一个向右运动的穿透激波，在右行穿透激波的催促下，交界面向下游运动，而且扰动振幅变小（见图5中t＝0.112ms的时刻）.随后，在激波作用下，交界面的振幅一直减小到0，然后朝相反方向增加，发生峰谷转换，该现象是激波由重气体入射到轻气体时最显著的特征.由于受到RM不稳定性的影响，交界面的扰动不断发展，重流体和轻流体相互浸入对方，重流体发展成为尖钉，轻流体发展成为气泡（见图5中t＝0.3ms的时刻）.最终，由于受到斜压效应的影响［4］，尖钉头部形成翻转的蘑菇头形状（见图5中t＝0.6ms的时刻）.图5 Air－He例子不同时刻的密度场图图6为Ma分别为2.0和2.5两种情况下的扰动振幅随时间的变化曲线.从图6可看到，当激波由Air区向He区运动时，交界面的振幅首先出现了负增长，直到振幅变为0.随后，发生峰谷转换，扰动振幅在RM不稳定性影响下呈正增长.同时，通过比较两种Ma下的扰动振幅，可以看出Ma越大，扰动振幅增长得越快即扰动增长率越大.这是由于在RM不稳定性后期，形成气泡和尖钉结构，气泡的增长速度只与平均波长和时间有关，而尖钉的增长速度与扰动振幅的初始增长速度成正比.显然，Ma越大，扰动振幅的初始增长速度越大，导致尖钉的增长速度变大，从而整个扰动振幅增长得越快.同时，通过比较图4a和图6还可以看出，图6扰动过程所需的时间短，其扰动振幅的变化要远快于图4a.这主要是由于激波穿过气体界面时，Air－He界面驱动流体的速度（u1／u0＝1.48，Ma＝2.0）远大于 Air －SF6 界面驱动流体的速度（u1／u0＝0.36，Ma＝1.2），因而Air－He界面获得的加速度比较大，所以其扰动振幅随时间发展得越快.图6 Air－He例子的扰动振幅随时间的变化图7为数值模拟的Ma为2.0时扰动增长率与Zhang－Shon非线性理论模型［13］的对比图，可以看出，在完成峰谷转换后，模拟的扰动增长率与非线性理论模型变化趋势相接近.图7 Air－He例子的扰动振幅增长率随时间的变化3 结论（1）本文采用耦合的双分布函数格子Boltzmann方法模拟了RM不稳定性现象，获得了与理论预测模型相吻合的结果，表明该方法能够应用于RM不稳定性的研究.（2）当激波由Air入射到SF6时，扰动振幅经历了一段负增长，接着快速增长.（3）当激波由Air入射到He时，扰动振幅经历了负增长、峰谷转换和快速增长，并且当激波Ma增加时，扰动振幅增长率升高.（4）从模拟结果可以看出，在两种情形下出现了相同的现象，即随着交界面扰动不断发展，轻流体形成泡状结构，重流体形成尖钉结构，尖钉最终翻转成蘑菇头形状.扰动振幅增长率与Zhang－Sohn非线性理论结果基本吻合.【相关文献】［1］RICHTMYER R D.Taylor instability in shock acceleration of compressible fluids［J］.Communications on Pure Applied Mathematics，1960，13（2）：297－319.［2］MESHKOV E E.Instability of the interface of two gases accelerated by a shock wave ［J］.Fluid Dynamics，1969，4（5）：101－104.［3］VETTER M，STURTEVANT B.Experiments on the Richtmyer－Meshkov instability ofan air／SF6interface［J］.Shock Waves，1995，4（5）：247－252.［4］严长林，孙德军，尹协远，等.Richtmyer－Meshkov不稳定性的数值模拟［J］.计算物理，2001，18（1）：27－32.YAN Changlin，SUN Dejun，YIN Xieyuan，et al.Numerical simulations of Richtmyer－Meshkov instabilities［J］.Chinese Journal of Computation Physics，2001，18（1）：27－32.［5］HOLMES R L，GROVE J W，SHARP D H.Numerical investigation of Richtmyer－Meshkov instability 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