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克里格法（Kriging）是地统计学的主要内容之一，从统计意义上说，是从变量相关性和变异性出发，在有限区域内对区域化变量的取值进行无偏、最优估计的一种方法；从插值角度讲是对空间分布的数据求线性最优、无偏内插估计一种方法。
克里格法的适用条件是区域化变量存在空间相关性。
克里格法，基本包括普通克里格方法（对点估计的点克里格法和对块估计的块段克里格法）、泛克里格法、协同克里格法、对数正态克里格法、指示克里格法、折取克里格法等等。
随着克里格法与其它学科的渗透，形成了一些边缘学科，发展了一些新的克里金方法。
如与分形的结合，发展了分形克里金法；与三角函数的结合，发展了三角克里金法；与模糊理论的结合，发展了模糊克里金法等等。
应用克里格法首先要明确三个重要的概念。
一是区域化变量；二是协方差函数，三是变异函数一、区域化变量当一个变量呈空间分布时，就称之为区域化变量。
这种变量反映了空间某种属性的分布特征。
矿产、地质、海洋、土壤、气象、水文、生态、温度、浓度等领域都具有某种空间属性。
区域化变量具有双重性，在观测前区域化变量Z(X)是一个随机场，观测后是一个确定的空间点函数值。
区域化变量具有两个重要的特征。
一是区域化变量Z(X)是一个随机函数，它具有局部的、随机的、异常的特征；其次是区域化变量具有一般的或平均的结构性质，即变量在点X与偏离空间距离为h的点X＋h 处的随机量Z(X)与Z(X+h)具有某种程度的自相关，而且这种自相关性依赖于两点间的距离h与变量特征。
在某种意义上说这就是区域化变量的结构性特征。
二、协方差函数协方差又称半方差，是用来描述区域化随机变量之间的差异的参数。
在概率理论中，随机向量X与Y 的协方差被定义为：区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量Z(x)和Z(x+h)的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即区域化变量Z(x) 的自协方差函数也简称为协方差函数。
一般来说，它是一个依赖于空间点x 和向量h 的函数。
克里金是一种什么方法克里金（Kriging）是一种地质统计学的插值方法，最早由法国地质学家G.M. 克里金（Georges Matheron Krige）于1951年提出，用于空间数据的插值和预测。
克里金插值方法是基于统计学原理和空间相关性的推断方法，在地质学、地理学、地球科学等领域广泛应用。
克里金方法主要应用于连续空间数据的插值，即根据已知的离散点数据推断未知位置的数值，例如地质勘查、大气污染监测、地下水位预测等。
其基本原理是基于已知数据点的空间相关性进行位置预测，预测结果不仅考虑到周围点的值，还考虑到点与点之间的空间自相关性。
克里金方法通常包括以下几个步骤：1. 变异函数模型化：首先需要对已知数据点的空间变异性进行建模。
通过对数据进行统计分析，使用半方差函数（semivariogram）来描述变量之间的空间相关性。
半方差函数是指变量之间的差异程度与距离之间的关系，通过实测数据点的数值差异可以估计半方差函数。
常见的半方差函数有指数模型、高斯模型和球状模型等。
2. 方差-协方差矩阵的计算：根据已知数据点的空间坐标和数值，通过半方差函数估计方差-协方差矩阵。
方差-协方差矩阵用于描述变量之间的协方差关系，便于后续的预测计算。
3. 克里金方程的建立：基于已知数据点的方差-协方差矩阵，建立克里金方程。
克里金方程是一个权重函数，用于计算未知位置处的预测值。
克里金方程考虑到空间数据点之间的距离和空间自相关性，通过调整权重系数，能够提高模型的拟合度。
4. 预测结果的计算：通过克里金方程，对未知位置处的数值进行预测。
在预测过程中，通过已知数据点对未知点进行加权平均，权重系数由克里金方程决定。
根据已知数据点的空间位置和数值，以及未知位置的空间坐标，计算出未知位置处的预测值。
5. 不确定性的估计：克里金方法不仅可以提供预测值，还可以通过计算半方差函数的拟合误差来估计预测结果的不确定性。
通过估计半方差函数的置信限，可以得到预测结果的置信区间，从而对预测结果的准确程度进行评估。
克里金(Kriging)插值克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。
克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)和块克里金插值。
常规克里金插值其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。
块克里金插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸现象。
按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金(Ordinary Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。
在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括：Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）Kriging（克里金插值法）Minimum Curvature（最小曲率）Modified Shepard's Method（改进谢别德法）Natural Neighbor（自然邻点插值法）Nearest Neighbor（最近邻点插值法）Polynomial Regression（多元回归法）Radial Basis Function（径向基函数法）Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）Moving Average（移动平均法）Local Polynomial（局部多项式法）下面简单说明不同算法的特点。
克里金插值法及其合用范围克里金插值法又称空间局部插值法，是以变异函数理论和构造剖析为基础，在有限地区内对地区化变量进行无偏最优预计的一种方法，是地统计学的主要内容之一，由南非矿产工程师 D.Matheron于1951年在找寻金矿时首次提出，法国着名统计学家G.Matheron随后将该方法理论化、系统化，并命名为Kriging，即克里金插值法。
克里金插值法原理克里金插值法的合用范围为地区化变量存在空间有关性，即假如变异函数和构造剖析的结果表示地区化变量存在空间有关性，则能够利用克里金插值法进行内插或外推。
其本质是利用地区化变量的原始数据和变异函数的构造特色，对未知样点进行线性无偏、最优预计，无偏是指偏差的数学希望为0，最优是指预计值与本质值之差的平方和最小[1]。
所以，克里金插值法是依据未知样点有限领域内的若干已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、大小和空间方向，与未知样点的互相空间关系，以及变异函数供给的构造信息以后，对未知样点进行的一种线性无偏最优预计。
假定研究地区a上研究变量Z（x），在点xi A（i=1，2，，n）处属性值为Z（xi），则待插点x0 A处的属性值Z（x0）的克里金插值结果 Z*（x0）是已知采样点属性值Z（xi）（i=1，2，，n）的加权和，即：Z*(x0)ni Z(x i)（1）i1式中i是待定权重系数。
此中Z(xi)之间存在必定的有关关系，这类有关性除与距离有关外，还与其相对方向变化有关，克里金插值方法将研究的对象称“地区化变量”针对克里金方法无偏、最小方差条件可获取无偏条件可得待定权系数i (i=1，2，，n)知足关系式：ni1（2）i1以无偏为前提，kriging方差为最小可获取求解待定权系数i的方程组：ni C(x i,x j) C(x0,x j)(j 1,2, ，n)i 1ni 1i1（3）式中，C（xi，xj）是Z(xi)和Z(xj)的协方差函数。
2国内外研究进展从克里金方法被提出到此刻已有完美的理论，并在好多领域获取了本质的应用，在某些领域的应用又推进了克里金理论的发展[3]。
IDL克里金插值算法实现技巧IDL（Interactive Data Language）是一种数据分析和可视化的编程语言，克里金插值算法则是一种常用的空间插值方法，用于根据已知的离散点数据，推算出未知位置的值。
下面将介绍一些IDL克里金插值算法实现的技巧。
1.导入所需模块：```.r griddata.r variogram```2.读取数据：```data = read_ascii_file('data.txt', /silent, /data)```这里的`data.txt`是包含离散点数据的文件，通过`read_ascii_file`函数可以将其读取到`data`变量中。
3.创建网格：```lon = findgen(nx) * (lon_max - lon_min) / (nx - 1) + lon_min lat = findgen(ny) * (lat_max - lat_min) / (ny - 1) + lat_mingrid = griddata(lon, lat)```使用`findgen`函数生成等差数列来创建网格坐标。
`nx`和`ny`分别是网格在x和y方向上的点数，`lon_min`和`lon_max`是经度的最小值和最大值，`lat_min`和`lat_max`是纬度的最小值和最大值。
`griddata`函数用于创建一个网格对象。
4.计算半方差函数：```vario = variogram(data, /spherical, /optimized,x=data[*,0],y=data[*,1],z=data[*,2])````variogram`函数用于计算半方差函数，其中`spherical`表示使用球状半变函数模型，`optimized`表示自动选择最优的克里金模型参数。
`data[*,0]`、`data[*,1]`和`data[*,2]`分别表示数据点的经度、纬度和数值。
克里金插值克里金(Kriging)插值克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。
克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)和块克里金插值。
常规克里金插值其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。
块克里金插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸现象。
按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金(Ordinary Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。
在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括：Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）Kriging（克里金插值法）Minimum Curvature（最小曲率）Modified Shepard's Method（改进谢别德法）Natural Neighbor（自然邻点插值法）Nearest Neighbor（最近邻点插值法）Polynomial Regression（多元回归法）Radial Basis Function（径向基函数法）Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）Moving Average（移动平均法）Local Polynomial（局部多项式法）下面简单说明不同算法的特点。
Kriging插值法(2012-04-19 13:48:09)转载▼标签：杂谈克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。
与插值工具集中的其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前，有效使用克里金法工具涉及z 值表示的现象的空间行为的交互研究。
什么是克里金法？IDW（反距离加权法）和样条函数法插值工具被称为确定性插值方法，因为这些方法直接基于周围的测量值或确定生成表面的平滑度的指定数学公式。
第二类插值方法由地统计方法（如克里金法）组成，该方法基于包含自相关（即，测量点之间的统计关系）的统计模型。
因此，地统计方法不仅具有产生预测表面的功能，而且能够对预测的确定性或准确性提供某种度量。
克里金法假定采样点之间的距离或方向可以反映可用于说明表面变化的空间相关性。
克里金法工具可将数学函数与指定数量的点或指定半径内的所有点进行拟合以确定每个位置的输出值。
克里金法是一个多步过程；它包括数据的探索性统计分析、变异函数建模和创建表面，还包括研究方差表面。
当您了解数据中存在空间相关距离或方向偏差后，便会认为克里金法是最适合的方法。
该方法通常用在土壤科学和地质中。
克里金法公式由于克里金法可对周围的测量值进行加权以得出未测量位置的预测，因此它与反距离权重法类似。
这两种插值器的常用公式均由数据的加权总和组成：•其中：Z(s i) = 第i个位置处的测量值λi = 第i个位置处的测量值的未知权重s0 = 预测位置N = 测量值数在反距离权重法中，权重λi仅取决于预测位置的距离。
但是，使用克里金方法时，权重不仅取决于测量点之间的距离、预测位置，还取决于基于测量点的整体空间排列。
要在权重中使用空间排列，必须量化空间自相关。
因此，在普通克里金法中，权重λi取决于测量点、预测位置的距离和预测位置周围的测量值之间空间关系的拟合模型。
以下部分将讨论如何使用常用克里金法公式创建预测表面地图和预测准确性地图。
使用克里金法创建预测表面地图要使用克里金法插值方法进行预测，有两个任务是必需的：•找到依存规则。
•进行预测。
要实现这两个任务，克里金法需要经历一个两步过程：1.创建变异函数和协方差函数以估算取决于自相关模型（拟合模型）的统计相关性（称为空间自相关）值。
2.预测未知值（进行预测）。
由于这两个任务是不同的，因此可以确定克里金法使用了两次数据：第一次是估算数据的空间自相关，第二次是进行预测。
变异分析拟合模型或空间建模也称为结构分析或变异分析。
在测量点结构的空间建模中，以经验半变异函数的图形开始，针对以距离h 分隔的所有位置对，通过以下方程进行计算：Semivariogram(distanceh ) = 0.5 * average{(valuei– valuej}2]该公式涉及到计算配对位置的差值平方。
下图显示了某个点（红色点）与所有其他测量位置的配对情况。
会对每个测量点执行该过程。
计算配对位置的差值平方通常，各位置对的距离都是唯一的，并且存在许多点对。
快速绘制所有配对则变得难以处理。
并不绘制每个配对，而是将配对分组为各个步长条柱单元。
例如，计算距离大于40 米但小于50 米的所有点对的平均半方差。
经验半变异函数是y 轴上表示平均半变异函数值，x 轴上表示距离或步长的图（请参阅下图）。
经验半变异函数图示例空间自相关量化时采用以下地理的基本原则：距离较近的事物要比距离较远的事物更相似。
因此，位置对的距离越近（在半变异函数云的x 轴上最左侧），具有的值就应该越相似（在半变异函数云的y 轴上较低处）。
位置对的距离变得越远（在半变异函数云的x 轴上向右移动），就应该变得越不同，差值的平方就会更高（在半变异函数云的y 轴上向上移动）。
根据经验半变异函数拟合模型下一步是根据组成经验半变异函数的点拟合模型。
半变异函数建模是空间描述和空间预测之间的关键步骤。
克里金法的主要应用是预测未采样位置处的属性值。
经验半变异函数可提供有关数据集的空间自相关的信息。
但是，不提供所有可能的方向和距离的信息。
因此，为确保克里金法预测的克里金法方差为正值，根据经验半变异函数拟合模型（即，连续函数或曲线）是很有必要的。
该操作理论上类似于回归分析，在此回归分析中将根据数据点拟合连续线或曲线。
要根据经验半变异函数拟合模型，则选择用作模型的函数（例如，开始时上升并在距离变大而超过某一范围后呈现水平状态的球面类型）（请参阅下面的球面模型示例）。
经验半变异函数上的点与模型有一些偏差；一些点在模型曲线上方，一些点在模型曲线下方。
但是，如果添加一个相应的距离，每个点都会在线上方，或者如果添加另一个相应的距离，每个点都会在线下方，这两个距离值应该是相似的。
有多种半变异函数模型可供选择。
半变异函数模型克里金法工具提供了以下函数，可以从中选择用于经验半变异函数建模的函数：•圆•球面•指数•高斯•线性所选模型会影响未知值的预测，尤其是当接近原点的曲线形状明显不同时。
接近原点处的曲线越陡，最接近的相邻元素对预测的影响就越大。
这样，输出曲面将更不平滑。
每个模型都用于更准确地拟合不同种类的现象。
下图显示了两个常用模型并确定了函数的不同之处：球面模型示例该模型显示了空间自相关逐渐减小（等同于半方差的增加）到超出某个距离后自相关为零的过程。
球面模型是最常用的模型之一。
球面模型示例指数模型示例该模型在空间自相关随距离的增加呈指数减小时应用。
在这里，自相关仅会在无穷远处完全消失。
指数模型也是常用模型。
要选择使用哪个模型基于数据的空间自相关和数据现象的先验知识。
指数模型示例有关更多数学模型的信息，请参见下面。
了解半变异函数- 变程、基台和块金正如前文所述，半变异函数显示了测量样本点的空间自相关。
由于地理的基本原则（距离越近的事物就越相似），通常，接近的测量点的差值平方比距离很远的测量点的差值平方小。
各位置对经调整后进行绘制，然后模型根据这些位置进行拟合。
通常使用变程、基台和块金描述这些模型。
变程和基台查看半变异函数的模型时，您将注意到模型会在特定距离处呈现水平状态。
模型首次呈现水平状态的距离称为变程。
比该变程近的距离分隔的样本位置与空间自相关，而距离远于该变程的样本位置不与空间自相关。
变程、基台和块金的插图半变异函数模型在变程处所获得的值（y 轴上的值）称为基台。
偏基台等于基台减去块金。
块金会在以下部分进行描述。
块金从理论上讲，在零间距（例如，步长= 0）处，半变异函数值是0。
但是，在无限小的间距处，半变异函数通常显示块金效应，即值大于0。
如果半变异函数模型在y 轴上的截距为2，则块金为2。
块金效应可以归因于测量误差或小于采样间隔距离处的空间变化源（或两者）。
由于测量设备中存在固有误差，因此会出现测量误差。
自然现象可随着比例范围变化而产生空间变化。
小于样本距离的微刻度变化将表现为块金效应的一部分。
收集数据之前，能够理解所关注的空间变化比例非常重要。
进行预测找出数据中的相关性或自相关性（请参阅上面的变异分析部分）并完成首次数据应用后（即，使用数据中的空间信息计算距离和执行空间自相关建模），您可以使用拟合的模型进行预测。
此后，将撇开经验半变异函数。
现在即可使用这些数据进行预测。
与反距离权重法插值类似，克里金法通过周围的测量值生成权重来预测未测量位置。
与反距离权重法插值相同，与未测量位置距离最近的测量值受到的影响最大。
但是，周围测量点的克里金法权重比反距离权重法权重更复杂一些。
反距离权重法使用基于距离的简单算法，但是克里金法的权重取自通过查看数据的空间特性开发的半变异函数。
要创建某现象的连续表面，将对研究区域（该区域基于半变异函数和附近测量值的空间排列）中的每个位置或单元中心进行预测。
克里金方法有两种克里金方法：普通克里金法和泛克里金法。
普通克里金法是最普通和广泛使用的克里金方法，是一种默认方法。
该方法假定恒定且未知的平均值。
如果不能拿出科学根据进行反驳，这就是一个合理假设。
泛克里金法假定数据中存在覆盖趋势，例如，可以通过确定性函数（多项式）建模的盛行风。
该多项式会从原始测量点扣除，自相关会通过随机误差建模。
通过随机误差拟合模型后，在进行预测前，多项式会被添加回预测以得出有意义的结果。
应该仅在您了解数据中存在某种趋势并能够提供科学判断描述泛克里金法时，才可使用该方法。
半变异函数图形克里金法是一个复杂过程，需要的有关空间统计的知识比本主题中介绍的还要多。
使用克里金法之前，您应对其基础知识全面理解并对使用该技术进行建模的数据的适宜性进行评估。
如果没有充分理解该过程，强烈建议您查看本主题结尾列出的一些参考书目。
克里金法基于地区化的变量理论，该理论假定z 值表示的现象中的空间变化在整个表面就统计意义而言是一致的（例如，在表面的所有位置处均可观察到相同的变化图案）。
该空间一致性假设对于地区化的变量理论是十分重要的。
数学模型下面是用于描述半方差的数学模型的常用形状和方程。
球面半方差模型插图圆半方差模型插图指数半方差模型插图高斯半方差模型插图线性半方差模型插图参考书目Burrough, P. A. Principles of Geographical Information Systems for Land Resources Assessment.New York:Oxford University Press. 1986.Heine, G. W. "A Controlled Study of Some Two-Dimensional Interpolation Methods."COGS Computer Contributions 3 (no. 2): 60–72. 1986.McBratney, A. B., and R. Webster. "Choosing Functions for Semi-variograms of Soil Properties and Fitting Them to Sampling Estimates."Journal of Soil Science 37: 617–639. 1986.Oliver, M. A. "Kriging:A Method of Interpolation for Geographical Information Systems."International Journal of Geographic Information Systems 4: 313–332. 1990.Press, W. H., S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery. Numerical Recipes in C:The Art of Scientific Computing.New York:Cambridge University Press. 1988.Royle, A. G., F. L. Clausen, and P. Frederiksen. "Practical Universal Kriging and Automatic Contouring."Geoprocessing 1: 377–394. 1981普通Kriging插值2007-12-06 14:46:17|分类：study and work |标签：|字号大中小订阅kriging 插值作为地统计学中的一种插值方法由南非采矿工程师D.G.Krige于1951年首次提出，是一种求最优、线形、无偏的空间内插方法。
