复变函数与积分变换重点公式归纳解析

复变函数与积分变换重要知识点归纳一、复变函数的基础知识1.复数与复平面：复数由实部和虚部构成，可以用复平面表示，实部表示横轴，虚部表示纵轴。

2.复变函数的定义：复变函数是将复数集映射到复数集的函数。

3.极坐标形式和指数形式：复数可以表示为极坐标形式和指数形式，这两种形式有助于分析复数运算和求解复变函数。

二、复变函数的性质与分析1.连续性与可导性：复变函数在复平面上的连续性与可导性是复变函数分析中重要的性质。

2.柯西-黎曼方程：一个函数在一些区域上可导，当且仅当其满足柯西-黎曼方程。

3.偏导数和全微分：复变函数的偏导数与全微分的概念与实变函数的类似，但存在一些差异。

三、积分变换的基础知识1.定积分：定积分是积分变换的基本操作，用于求解区间上的面积和曲线下的面积等问题。

2.不定积分：不定积分是对函数求原函数的逆过程，通过不定积分可以求出函数的原函数。

四、复积分与柯西公式1.复积分：复积分是对复变函数在一些区域上的积分，可以理解为沿着复平面上的曲线进行的积分运算。

2.柯西公式：柯西公式是复积分的重要定理，它将复变函数与曲线围城的区域之间的关系建立了起来。

3.洛朗级数展开：洛朗级数展开是复积分应用中的重要工具，可以将复变函数展开为无穷级数。

五、拉普拉斯变换与傅立叶变换1.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是线性时不变系统中信号处理的重要工具，可以将时域函数转换为频域函数。

2.拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有一系列的性质，例如位移定理、尺度定理和频率域乘法等。

3.傅立叶变换：傅立叶变换是将时域函数转换为频域函数的一种积分变换，广泛应用于信号分析和图像处理中。

以上是复变函数与积分变换的重要知识点的归纳总结。

这些知识点在数学及其应用中起到了重要的作用，对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。

复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数1. 任何一个复数 z ≠0 有无穷多个辐角，如θ1是辐角，则有Arg z = 1+2kπ (k =0,±1,±2,…)表示 z 的全部辐角，其中满足-π＜ 0≤π的辐角 0称为辐角 Argz 的主值， 记为 0=arg z . 2. 棣莫弗公式：（cosθ + sinθ) =cosnθ + sin θ1. 柯西–黎曼方程：第二章 解析函数∂= ∂，∂= −∂ ∂∂∂∂2. 如果二元实函数 ( , )在区域 D 内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程：∂2 ∂2∂ 2 + ∂ 2 = 0则称 ( , )为区域 D 内的调和函数。

3. 共轭调和函数公式：( , )( , ) = ∫ − ( 0, 0) ∂ ∂d + ∂ ∂d + C其中( 0, 0)为 D 内一个定点，( , )为 D 内任一点，C 为任意常数。

该积分与路径无关。

4. 指数函数的定义5. 指数函数的性质 = + = (cos + sin )2 = 16.ln ,称为 Ln z 的主值，于是有ln = ln | | + arg而其他各支可由下式表达：Ln = ln + 2 ( = ±1, ±2, … )7.余弦函数与正弦函数：cos =sin =8.双曲正弦函数和双曲余弦函数： sh =chz =+ −2 − −2− −2 + −2C C 01. 复积分的计算第三章 复变函数的积分∫ ( )d = ∫ [ ( )] ′( )dC2. 计算：C 为单位圆周| | = 1的上半部分从 1 = 1到 2 = −1的弧。

C 的参数方程为 = (0 ≤ ≤ )，d = d .3. 柯西积分公式：1( 0) = 2 ∮( ) − 0d4. 高阶导数公式:( )∮ C − 0 d = 2 ∙ ( 0)( )(0 !) =2 ( )∮ ( − ) +1d ( = 1,2, ⋯ ).( )∮ d = 2 ( )( ) ( = 1,2, ⋯ ). 0 C( − 0) +1 !1. 幂级数收敛半径公式为第四章级数∞∑=0R = lim ||.2. 幂级数基本展开公式：→∞ +111 −= 1 + + 2 + ⋯ + + ⋯ ，| | < 1； ∞11 += ∑(−1) ，| | < 1； =0 ∞= ∑ =0∞!，| | < +∞；2 +1 sin = ∑(−1) ，| | < +∞；(2 + 1)!=0∞cos = ∑ =0(−1) 2(2 )!，| | < +∞；3. 函数展开结果中可能不含 z 的负幂项，原因在于 ( )在 C 内是解析的。

复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数复变函数是将复数域上的变量映射到复数域上的函数。

形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是自变量，u(x,y)和v(x,y)是实部和虚部函数。

复变函数的性质包括解析性、全纯性、调和以及实部虚部的关系等。

1.解析函数性质解析函数是复变函数的重要性质之一，它表示函数在其定义域内处处可导，并且其导数连续。

如果f(z)是定义在区域D上的函数，满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)是该区域上的解析函数。

Cauchy-Riemann条件可以表示为：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x2.全纯函数性质全纯函数是解析函数的特殊情形，它在整个复平面上都有定义，并且是解析的。

全纯函数还有许多重要的性质，如Liouville定理、最大模原理等。

3.调和函数性质调和函数是复平面上的实函数，满足拉普拉斯方程(△u=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0)。

调和函数在物理学中有广泛的应用，例如描述电势、热力学等现象。

4.实部虚部关系对于任意一个复变函数f(z)，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)之间有一些重要的关系。

例如，如果f(z)是一个解析函数，则它的实部和虚部函数满足调和方程，并且u(x,y)和v(x,y)是共轭调和函数。

二、积分变换公式积分变换是对函数进行积分操作的数学工具，常用于求解微分方程、信号处理等问题。

常见的积分变换公式包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。

1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号分析和控制系统的积分变换方法。

定义域为半无穷区间的函数f(t)在复平面上进行拉普拉斯变换后得到一个复变函数F(s)，满足积分方程：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt2.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、位移性质、尺度变换、微分性质等。

复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数的基本概念和性质1. 复数集的定义：复数集是由实数和虚数构成的集合，形式为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i² = -12. 复变函数的定义：设有一个定义在平面上的函数f(z)，其中z = x + yi是平面上的点，x和y是实数。

如果对任意给定的z都有唯一确定的复数w与之对应，那么称函数f(z)是复数域上的一个函数。

3.复变函数的连续性：如果在z0处存在一个复数A，使得当z趋于z0时，函数f(z)趋于复数A，则称函数f(z)在点z0处连续。

4.复变函数的可导性：如果函数f(z)在z0处连续，并且当z趋于z0时，函数f(z)的导数存在有一个有限的极限L，则称函数f(z)在z0处可导，并记为f'(z0)=L。

二、复变函数的常用公式1. 欧拉公式：e^(iθ) = cosθ + isinθ2. 增补公式：sinh(x + iy) = sinh(x)cos(y) + isin(y)cosh(x)3.多项式的根公式：设P(z)=aₙzⁿ+aₙ₋₁zⁿ⁻¹+…+a₀是一个非常数多项式，aₙ≠0，则P(z)=0在复数域存在n个根。

4.共轭根公式：如果z是复数P(z)=0的根，则z^*也是复数P(z)=0的根。

5. 辐角公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，辐角θ = arctan(y/x)，其中-π < θ ≤ π。

6. 复数的模公式：对于复数z = x + yi，其中x和y是实数，模，z，= √(x² + y²)。

7. 三角和指数函数的关系：sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ))/(2i)，cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ))/28. 三角函数和指数函数的关系：sin(ix) = i sinh(x)，cos(ix) = cosh(x)。

三、复变函数的常用积分变换公式1.度量积分变换：对于复变函数f(z)，定义如下的度量积分变换公式：∫(f(z)dz) = ∫(f(z₁)dz₁ + f(z₂)dz₂ + … + f(zₙ)dzₙ)，(z₁,z₂,…,zₙ)为路径连续的点。

复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。

掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。

4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。

.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22z x y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctany z x=； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数与积分变换概念公式一、复变函数复变函数是指定义在复平面上的函数，即函数的自变量和因变量均为复数。

复数可用标准形式表示为 z = x + yi，其中 x 和 y 分别表示实部和虚部。

复变函数可以将一个复数映射到另一个复数，即 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中 u 和 v 分别表示实部和虚部。

复变函数通常具有解析性，即满足柯西-黎曼方程，即：∂u/∂x=∂v/∂y∂u/∂y=-∂v/∂x复变函数的求导规则也与实变函数类似，可以通过对u和v分别对x和y求偏导得到。

复变函数的积分也可类似地进行，即将曲线积分转换为线积分，并利用格林公式等方法进行计算。

积分变换是指将一个函数通过积分的方式转换为另一个函数，常见的积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换和z变换等。

1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将实函数转换为复函数的积分变换方法，可以用于求解微分方程和信号处理等问题。

拉普拉斯变换的定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] f(t)e^(-st)dt其中 f(t) 为已知的函数，s 为复变量。

拉普拉斯变换具有线性性质，即 L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和g(t) 分别为待变换的函数。

2.傅里叶变换傅里叶变换是一种将复函数表示为基本正弦和余弦函数的线性组合的积分变换方法，主要用于信号处理和频谱分析等领域。

傅里叶变换的定义为：F(ω) = F{f(t)} = ∫[-∞,+∞] f(t)e^(-jωt)dt其中 f(t) 为已知的函数，ω 为角频率。

傅里叶变换也具有线性性质，即 F{af(t) + bg(t)} = aF(ω) + bG(ω)，其中 a 和 b 为常数，f(t) 和 g(t) 分别为待变换的函数。

3.z变换z变换是一种将离散信号表示为z的幂次的线性组合的积分变换方法，主要用于差分方程的求解和数字信号处理等领域。

复变函数及积分变换重点公式归纳复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。

复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。

复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。

在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：1.度量公式：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。

根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。

2.柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。

3.柯西-黎曼积分定理：对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。

4.柯西积分公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a 的闭合曲线。

5.柯西积分公式的推广：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。

6.柯西积分公式的应用：柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。

7.柯西主值公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pii}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PVf(a)+\frac{1}{2}f(a)，其中PV表示柯西主值。

复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。

二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。

幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。

V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。

s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。

复变函数复习重点 (一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示 1）模：22z x y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctanyx 之间的关系如下：当0,x >arg arctany z x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法： 1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x i y x i y z x i y x x y y y x y x i z x i y x i y x i y x y x y+-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

复变函数与积分变换重点公式归纳复变函数是指变量为复数的函数，可以表示为f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中z=x+iy，u(x, y)和v(x, y)为实数函数。

复变函数与实变函数（实数域上的函数）相比较，具有一些独特的性质和变换。

复变函数的基本性质有：1. 复变函数的可导性：复变函数的可导性与实变函数的可导性略有不同。

如果f(z)=u(x, y)+iv(x, y)在域D上的偏导数u_x、u_y、v_x、v_y都存在，并且满足柯西-黎曼方程（u_x=v_y，u_y=-v_x），则f(z)在D上可导。

2. 柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，满足柯西-黎曼方程的函数可以表示为全纯函数，也即f'(z)=u_x+iv_x存在。

复变函数的积分变换（Integral Transform）是通过对函数进行积分变换，得到新的函数表示形式。

常见的复变函数积分变换包括拉普拉斯变换、傅里叶变换、反傅里叶变换、正变换等。

以下是复变函数积分变换中的一些重点公式：1. 拉普拉斯变换（Laplace Transform）拉普拉斯变换将函数f(t)变换为F(s)（s为复数变量）的形式，公式表示为：F(s) = ∫[0,∞] e^(-st)f(t) dt2. 逆拉普拉斯变换（Inverse Laplace Transform）逆拉普拉斯变换将函数F(s)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t) = 1/2πi ∫[-i∞, i∞] e^(st)F(s) ds3. 傅里叶变换（Fourier Transform）傅里叶变换将函数f(t)变换为F(ω)（ω为频率）的形式，公式表示为：F(ω) = ∫[-∞,∞] e^(-iωt)f(t) dt4. 反傅里叶变换（Inverse Fourier Transform）反傅里叶变换将函数F(ω)变换为f(t)的形式，公式表示为：f(t)=1/2π∫[-∞,∞]e^(iωt)F(ω)dω5. 正变换（Forward Transform）正变换是指从时域到频域的变换，例如：拉普拉斯变换、傅里叶变换等。

复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。

3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x >arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。

第一篇 第一章 复数第一节 复数及其表示法 实部、虚部：x=Re z; y=Im z.辐角：θ=Arg z ； x=│z │cos θ；y=│z │sin θ，tg θ=y/x 数0是惟一的模为零而辐角没有定义的复数。

Arg z= arg z+2n π(n=0,±1, ±2,…)1 三角表示：⎩⎨⎧==θθsin rcos x r y z=r(cos θ+i sin θ)欧拉公式：e i θ=cos θ+isin θ 指数表示：z=re i θ,第二节 复数的运算及几何意义加法：z 1+z 2=(x 1+x 2)+i （y 1+y 2） 减法：z 1+z 2=(x 1-x 2)+i （y 1-y 2） 乘法：z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 1y 2+x 2y 1) 除法：)0(2222221122222212121≠+-+++=z y x y x iy y x x z zyxyx两个复数乘积的模等于它们模的乘积，两个复数乘积的辐角等于他们辐角的和。

2121212121)(ArgzArgz z z Arg z z r r z z +=⋅==复数z 的n 次幂2121212121)(ArgzArgz z z Arg z z r r z z -===z n =r n (cos n θ+isin n θ)(n 为正整数) 棣莫佛公式：（cos θ+isin θ）n=cos n θ+isin n θ两个复数商的模等于他们模的商，两个复数商的辐角等于分子与分母辐角的差。

复数的方根。

，的算术根，为其中1-n ,2,1,0k r r )2sin2(cosr z nnn=+++==nk i nk πθπθω共轭复数及其运算性质 iy -x z iy,x z =+= z=z 1）（rgz -z rg 2A A =）（z z 3=）（ 2zz z 4=）（2121z z z z 5±=±）（2121z z z z 6⋅=）（2121z z z z 7=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛）（.2,2x 8z z y z z -=+=）（关于复数模的重要公式)Re(2);Re(2212221221212221221z z z z z z z z z z z z -+=-++=+第三节 平面点集和区域邻域：在平面上以z0为中心，正数ρ为半径的圆内部的点集，称为点z0的ρ邻域。